專題2-2三次函數(shù)圖像與性質(zhì)近5年考情（2020-2024）考題統(tǒng)計考點(diǎn)分析考點(diǎn)要求2024年甲卷（文），第16題,5分考查頻率：三次函數(shù)圖像與性質(zhì)的考查在近五年高考中保持一定頻率，尤其在新課標(biāo)全國卷中較為常見?？键c(diǎn)內(nèi)容：主要考查三次函數(shù)的圖像特征（如中心對稱性、開口方向）、單調(diào)性（通過導(dǎo)數(shù)分析）、極值點(diǎn)（一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)）以及圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用。題型分布：常以選擇題、填空題或解答題的形式出現(xiàn)，涉及三次函數(shù)的零點(diǎn)、最值、極值、單調(diào)區(qū)間等具體問題。難度變化：隨著高考改革的深入，對三次函數(shù)圖像與性質(zhì)的考查更加注重學(xué)生的綜合分析能力和解題技巧，難度可能略有提升。備考建議：考生應(yīng)熟練掌握三次函數(shù)的基本性質(zhì)，靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具進(jìn)行分析，同時注重題目類型的多樣性和綜合應(yīng)用能力的培養(yǎng)。（1）理解三次函數(shù)的定義域、值域和圖像特點(diǎn)。（2）掌握三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系。（3）判斷三次函數(shù)的極值點(diǎn)及其個數(shù)。（4）探究三次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)個數(shù)。（5）熟練運(yùn)用三次函數(shù)的對稱中心性質(zhì)。2024年新高考I卷，第10題,6分2024年新高考II卷，第11題,6分2022年新高考I卷，第10題,5分模塊一模塊一總覽熱點(diǎn)題型解讀（目錄）TOC\o"1-3"\n\h\z\u【題型1】求三次函數(shù)的解析式【題型2】三次函數(shù)的單調(diào)性問題【題型3】三次函數(shù)的圖像【題型4】三次函數(shù)的最值、極值問題【題型5】三次函數(shù)的零點(diǎn)問題【題型6】三次函數(shù)圖像，單調(diào)性，極值，最值綜合問題【題型7】三次函數(shù)對稱中心【題型8】三次函數(shù)的切線問題【題型9】三次函數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系模塊二模塊二核心題型·舉一反三(講與練)【題型1】求三次函數(shù)的解析式（1）一般式：（a≠0）（2）交點(diǎn)式：（a≠0）若三次函數(shù)滿足，則（

）A．38 B．171 C．460 D．965【題型2】三次函數(shù)的單調(diào)性問題三次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的一個重要內(nèi)容，其考點(diǎn)廣泛且深入，主要涉及函數(shù)的性質(zhì)、圖像、最值、零點(diǎn)以及與其他函數(shù)的綜合應(yīng)用等方面。以下是對三次函數(shù)常見考點(diǎn)的詳細(xì)分析：1.三次函數(shù)的定義與形式定義：形如

f(x)=ax3+bx2+cx+d（其中

a≠=0）的函數(shù)稱為三次函數(shù)。形式：注意系數(shù)

a,b,c,d

的作用，特別是

a

的正負(fù)決定了函數(shù)的開口方向（a>0

開口向上，a<0

開口向下）。2.函數(shù)的單調(diào)性導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：利用導(dǎo)數(shù)

f′(x)=3ax2+2bx+c

判斷函數(shù)的單調(diào)性。解不等式

f′(x)>0

和

f′(x)<0

得到函數(shù)的單調(diào)遞增和遞減區(qū)間。極值點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)（f′(x)=0）可能是極值點(diǎn)，需結(jié)合單調(diào)性判斷是否為極大值或極小值點(diǎn)。2024·廣東茂名市·一模（多選）若是區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值可以是（）A. B. C.3 D.4【鞏固練習(xí)】三次函數(shù)在上是減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【題型3】三次函數(shù)的圖像圖像三次函數(shù)的定義域和值域均為R。對于值域，可以借助極限的思想。根據(jù)函數(shù)的解析式可知，影響其值域范圍的主要是“ax3”這一項(xiàng)，因此可得：當(dāng)a＞0時，x趨近于+∞，則f(x)趨近于+∞；x趨近于-∞，則f(x)趨近于-∞。當(dāng)a＜0時，x趨近于+∞，則f(x)趨近于-∞；x趨近于-∞，則f(x)趨近于+∞。又因?yàn)閒(x)是連續(xù)的函數(shù)，且x∈R，所以f(x)的值域?yàn)镽。由于三次函數(shù)的值域?yàn)镽，則它的函數(shù)圖像與x軸至少有一個交點(diǎn)，換句話說三次方程至少有一個根。設(shè)，若為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．（2024·全國一卷真題）（多選）設(shè)函數(shù)，則（

）A．是的極小值點(diǎn) B．當(dāng)時，C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，【鞏固練習(xí)1】（多選題）（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．存在實(shí)數(shù)使得 B．方程有唯一正實(shí)數(shù)解C．方程有唯一負(fù)實(shí)數(shù)解 D．有負(fù)實(shí)數(shù)解【鞏固練習(xí)2】（2024·全國甲卷(文)真題）曲線與在上有兩個不同的交點(diǎn)，則的取值范圍為．【題型4】三次函數(shù)的最值、極值問題三次函數(shù)的極值與最值極值：通過導(dǎo)數(shù)等于0找到可能的極值點(diǎn)，并判斷其類型（極大值或極小值）。最值：在閉區(qū)間上，最值可能出現(xiàn)在端點(diǎn)或極值點(diǎn)處。需比較這些點(diǎn)的函數(shù)值來確定全局最值。已知三次函數(shù)無極值，且滿足，則.已知三次函數(shù)f(x)＝x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在定義域R上無極值點(diǎn)，則m的取值范圍是（

）A．m＜2或m＞4 B．或C． D．2＜m＜4【鞏固練習(xí)1】已知三次函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，存在，滿足．記的極大值為，則的取值范圍是．【鞏固練習(xí)2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知三次函數(shù)的極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為，則等于（

）A． B．C． D．【題型5】三次函數(shù)的零點(diǎn)問題三次方程的實(shí)根個數(shù)設(shè)三次函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù):，判別式為：△=，設(shè)的兩根為、，結(jié)合函數(shù)草圖易得：圖像(1)若，則恰有一個實(shí)根；(2)若,且，則恰有一個實(shí)根；(3)若,且，則有兩個不相等的實(shí)根；(4)若,且，則有三個不相等的實(shí)根.說明:(1)(2)含有一個實(shí)根的充要條件是曲線與軸只相交一次，即在R上為單調(diào)函數(shù)（或兩極值同號），所以（或，且）;(5)有兩個相異實(shí)根的充要條件是曲線與軸有兩個公共點(diǎn)且其中之一為切點(diǎn)，所以，且;(6)有三個不相等的實(shí)根的充要條件是曲線與軸有三個公共點(diǎn)，即有一個極大值，一個極小值，且兩極值異號.所以且.（2023·全國·高考真題）函數(shù)存在3個零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．若要存在3個零點(diǎn)，則，即，解得已知三次函數(shù)有三個零點(diǎn)，，，且在點(diǎn)處切線的斜率為，則.已知，，，若三次函數(shù)有三個零點(diǎn)，，，且滿足，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)1】已知三次函數(shù)的零點(diǎn)從小到大依次為m，0，2，其圖象在處的切線l經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)2】（2024·全國·一模）已知三次函數(shù)，，且有三個零點(diǎn).若三次函數(shù)和均為上的單調(diào)函數(shù)，且這兩個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)均有零點(diǎn)，則零點(diǎn)的個數(shù)為（

）A．個 B．個 C．個 D．個或個【鞏固練習(xí)3】已知，為三次函數(shù)，其圖象如圖所示.若有9個零點(diǎn)，則的取值范圍是.【鞏固練習(xí)4】已知三次函數(shù)有兩個零點(diǎn)，若方程有四個實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的范圍為（

）A． B． C． D．【題型6】三次函數(shù)圖像，單調(diào)性，極值，最值綜合問題（24-25高三上·云南·階段練習(xí)）（多選）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個極值點(diǎn)B．點(diǎn)是曲線的對稱中心C．有三個零點(diǎn)D．直線是曲線的一條切線（多選題）（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則是的極值點(diǎn)B．，使得C．若是的極小值點(diǎn)，則在區(qū)間上單調(diào)遞減D．函數(shù)的圖象是中心對稱圖形【鞏固練習(xí)1】函數(shù)的圖像如圖所示，則的取值范圍是．【鞏固練習(xí)2】（23-24高三·廣東清遠(yuǎn)·期末）（多選）已知函數(shù)，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．的值域?yàn)锽．在處取得極小值為2C．在上是增函數(shù)D．若方程有2個不同的根，則【鞏固練習(xí)3】2024·金華聯(lián)考模擬（多選題）已知函數(shù)，則（ ）A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減B．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為1C．函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為D．若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩解，則【題型7】三次函數(shù)對稱中心二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)即為對稱中心橫坐標(biāo)，即則為函數(shù)的對稱中心設(shè)三次函數(shù)，則對稱中心是；三次函數(shù)f(x)的對稱中心為，則已知三次函數(shù)的極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為，則等于（

）A． B．C． D．人們在研究學(xué)習(xí)過程中，發(fā)現(xiàn)：三次整式函數(shù)都有對稱中心，其對稱中心為（其中）.已知函數(shù).若，則（

）A． B． C． D．已知一元三次函數(shù)對稱中心的橫坐標(biāo)為其二階導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)．若，則（

）A．0 B．4 C． D．（2024·全國2卷·高考真題）（多選）設(shè)函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時，有三個零點(diǎn)B．當(dāng)時，是的極大值點(diǎn)C．存在a，b，使得為曲線的對稱軸D．存在a，使得點(diǎn)為曲線的對稱中心對于三次函數(shù)，給出定義：是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.某同學(xué)經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對稱中心.若函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的極大值為B．有且僅有2個零點(diǎn)C．點(diǎn)是的對稱中心D．【鞏固練習(xí)1】已知三次函數(shù)，若，則.【鞏固練習(xí)2】已知所有的三次函數(shù)的圖象都有對稱中心，，若函數(shù)，則.【鞏固練習(xí)3】（2024·四川成都·模擬預(yù)測）（多選）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個極值點(diǎn)B．有一個零點(diǎn)C．點(diǎn)是曲線的對稱中心D．直線是曲線的切線【鞏固練習(xí)4】（多選題）（2024·江蘇·模擬預(yù)測）已知三次函數(shù)，若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對稱，且，則（

）A． B．有3個零點(diǎn)C．的對稱中心是 D．【題型8】三次函數(shù)的切線問題一般地，過三次函數(shù)圖象的對稱中心作切線，則坐標(biāo)平面被切線和函數(shù)的圖象分割為四個區(qū)域，有以下結(jié)論：（1）過區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)作的切線，有且僅有3條；（2）過區(qū)域Ⅱ、Ⅲ內(nèi)的點(diǎn)以及對稱中心作的切線，有且僅有1條；（3）過切線或函數(shù)圖象（除去對稱中心）上的點(diǎn)作的切線，有且僅有2條.已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．若經(jīng)過點(diǎn)可以作出曲線的三條切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．（多選題）（2024·山西晉中·二模）對于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點(diǎn)”．某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對稱中心．若函數(shù)，則（

）A．一定有兩個極值點(diǎn)B．函數(shù)在R上單調(diào)遞增C．過點(diǎn)可以作曲線的2條切線D．當(dāng)時，【鞏固練習(xí)1】（2022·新高考一卷真題）（多選）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個極值點(diǎn) B．有三個零點(diǎn)C．點(diǎn)是曲線的對稱中心 D．直線是曲線的切線【鞏固練習(xí)2】（多選題）（山東省棗莊市2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時，若有三個零點(diǎn)，則b的取值范圍為B．若滿足，則C．若過點(diǎn)可作出曲線的三條切線，則D．若存在極值點(diǎn)，且，其中，則【鞏固練習(xí)3】（多選題）下列關(guān)于三次函數(shù)敘述正確的是（

）A．函數(shù)的圖象一定是中心對稱圖形B．函數(shù)可能只有一個極值點(diǎn)C．當(dāng)時，在處的切線與函數(shù)的圖象有且僅有兩個交點(diǎn)D．當(dāng)時，則過點(diǎn)的切線可能有一條或者三條【題型9】三次函數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系三次函數(shù)根與系數(shù)關(guān)系：對于，若有3個交點(diǎn)，則方程可以寫為， 展開后得

比對系數(shù)，則有：，，，2024屆·廣東省“六校”高三上學(xué)期9月聯(lián)合摸底（多選）已知三次函數(shù)有三個不同的零點(diǎn)，若函數(shù)也有三