4.2.1指數(shù)函數(shù)的概念高

一

數(shù)

學(xué)

組

***

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）通過(guò)研究旅游人次變化和碳14衰減變化的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)指數(shù)函數(shù)概念的抽象過(guò)程，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)；（2）掌握指數(shù)函數(shù)的概念，經(jīng)歷用指數(shù)函數(shù)概念解決簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算，邏輯推理、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)；（3）了解增長(zhǎng)率，衰減率的概念，進(jìn)一步理解指數(shù)增長(zhǎng)和指數(shù)衰減的概念。教學(xué)重、難點(diǎn)

由不同的情境通過(guò)數(shù)量和數(shù)量關(guān)系抽象出指數(shù)函數(shù)概念。二、學(xué)習(xí)重點(diǎn)與難點(diǎn)隨著中國(guó)經(jīng)濟(jì)高速增長(zhǎng)，人民生活水平不斷提高，旅游成了越來(lái)越多家庭的重要生活方式．由于旅游人數(shù)不斷增加，Ａ，Ｂ兩地景區(qū)自2011年起采取了不同的應(yīng)對(duì)措施，Ａ地提高了景區(qū)門票價(jià)格，而Ｂ地則取消了景區(qū)門票．問(wèn)題探究下表給出了Ａ，Ｂ兩地景區(qū)2011年至2015年的游客人次以及逐年增加量．問(wèn)題1：

比較兩地景區(qū)游客人數(shù)的變化，你發(fā)現(xiàn)里怎樣的變化規(guī)律？問(wèn)題2：

為了更直觀的觀察規(guī)律，能用數(shù)學(xué)方法描述這種變化規(guī)律嗎？問(wèn)題3：

觀察圖象與表格，A地景區(qū)的游客人次近似于直線上升（線性增長(zhǎng)），你能用數(shù)量關(guān)系解釋這一直觀現(xiàn)象嗎？B地景區(qū)的游客人次是非線性增長(zhǎng)的，它又該用什么數(shù)量關(guān)系解釋這一直觀現(xiàn)象？問(wèn)題4：?jiǎn)栴}1數(shù)據(jù)處理我們發(fā)現(xiàn)，B地景區(qū)數(shù)據(jù)的增加量不像A地景區(qū)數(shù)據(jù)的增加量那樣大致相等，而是越變?cè)酱?。這仍然是定性刻畫(huà)，要定量刻畫(huà)變化規(guī)律，就需要找到與A地景區(qū)數(shù)據(jù)中類似的常數(shù)（增加量），你能找到B地景區(qū)數(shù)據(jù)中這個(gè)不變量嗎？問(wèn)題5：變量y的增長(zhǎng)率為p，經(jīng)過(guò)時(shí)間為x,若y的原始值為1，你能建立y與x之間的函數(shù)模型嗎？問(wèn)題6：當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會(huì)按確定的比率衰減（稱為衰減率），若衰減率為p，如果把剛死亡的生物體內(nèi)碳14含量看成1個(gè)單位，你能表示死亡生物體內(nèi)碳14含量y與死亡年數(shù)x之間的關(guān)系嗎？問(wèn)題7：科學(xué)家發(fā)現(xiàn)大約每經(jīng)過(guò)5730年，生物體內(nèi)的碳14含量衰減為原來(lái)的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”．你能求出p嗎？

問(wèn)題8：增長(zhǎng)率為常數(shù)p時(shí)，我們建立的函數(shù)模型是(p>0):衰減率為常數(shù)p時(shí)，我們建立的函數(shù)模型是(0<p<1).由于p為常數(shù),所以模型中的1+p,1-p一定為常數(shù)。不妨把它們統(tǒng)一記為a,我們就可以得到新的函數(shù)模型，其中x為自變量，你能求出底數(shù)a的取值范圍嗎？

概念解析指數(shù)函數(shù)的概念一般地，函數(shù)

(a>0,且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中

是自變量，函數(shù)的定義域是

典例解析例1．已知指數(shù)函數(shù)設(shè)f(x)＝ax(a>0,

且a≠1),且f(3)=π求f(0)，f(1)，f(-3)的值；分析：要求f(0)，f(1)，f(-3)的值，應(yīng)先求出f(x)＝ax的解析式即先求出a的值；歸納總結(jié)[規(guī)律方法]

1．在指數(shù)函數(shù)定義的表達(dá)式中，要牢牢抓住三點(diǎn)：(1)底數(shù)是大于0且不等于1的常數(shù)；(2)指數(shù)函數(shù)的自變量必須位于指數(shù)的位置上；(3)ax的系數(shù)必須為1.2．求指數(shù)函數(shù)的解析式常用待定系數(shù)法典例解析例２在問(wèn)題１中，如果平均每位游客出游一次可給當(dāng)?shù)貛?lái)1000元門票之外的收入，Ａ地景區(qū)的門票價(jià)格為150元，比較這15年間Ａ，Ｂ兩地旅游收入變化情況．解：設(shè)經(jīng)過(guò)x年，游客給Ａ，Ｂ兩地帶來(lái)的收入分別為f（x）和g（x），則f（x）＝1150×（10x+600），g（x）＝1000×278×1.11x．利用計(jì)算工具可得，當(dāng)x=0時(shí)，f（0）－g（0）＝412000．當(dāng)x≈10.22時(shí)，f（10.22）≈g（10.22）．結(jié)合圖可知：當(dāng)x＜10.22時(shí)，f（x）＞g（x），當(dāng)x＞10.22時(shí)，f（x）＜g（x）．當(dāng)x＝14時(shí)，f（14）－g（14）≈347303．這說(shuō)明，在2001年，游客給Ａ地帶來(lái)的收入比Ｂ地多412000萬(wàn)元；隨后10年，雖然f（x）＞g（x），但g（x）的增長(zhǎng)速度大于f（x）；根據(jù)上述數(shù)據(jù)，并考慮到實(shí)際情況，在2011年2月某個(gè)時(shí)刻就有f（x）＝g（x），這時(shí)游客給Ａ地帶來(lái)的收入和Ｂ地差不多；此后，f（x）＜g（x），游客給Ｂ地帶來(lái)的收入超過(guò)了Ａ地；由于g（x）增長(zhǎng)得越來(lái)越快，在2015年，Ｂ地的收入已經(jīng)比Ａ地多347303萬(wàn)元了．

函數(shù)y=ax(a

0，且a

1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量.函數(shù)的定義域是