2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)測試卷（天津?qū)Ｓ茫?/p>

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題）

一、選擇題：本題共9小題，每小題5分，共45分.在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一

項。

1.全集。={-1,0,1,2,3},集合A={0,l,2},B={-1,0,1},貝U（gA）cB=（）

A.{-1}B.{0,1}C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3）

2.命題p：Dx>l,x2—1>0,則7?是（）.

A.Vx>l,x2-l<0B.3x>l,x2-l<0

C.3x<l,^-1<0D.Vx<l,x2-l<0

3.某國企進(jìn)行節(jié)能降耗技術(shù)改造，下面是該國企節(jié)能降耗技術(shù)改造后連續(xù)五年的生產(chǎn)利潤，預(yù)測第8年該

國企的生產(chǎn)利潤約為千萬元（參考公式及數(shù)據(jù)：b=J-----------------,a=y-bx^

-可2

Z=1

年號X12345

年生產(chǎn)利潤y（單位：千萬元）0.70.811.11.4

A.1.88B.2.21C.1.85D.2.34

4.若Q=0.5°6,b=0.6°5,c=2°s,則下列結(jié)論正確的是（）

A.b>c>aB.c>a>bC.a>b>cD.c>b>a

5.將函數(shù)y=2cos（2x-g］的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移（個單位,

所得函數(shù)圖象的一條對稱軸是（）

71_71-

A.x=-B.x=—C.x=—D.x—71

363

6.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)/（x）的解析式可能為（）

%

X

A./（x）=-——--B./（x）=sin2x?InX

C./（x）-e+e_D./（x）=cos2x?InX

22

7.如圖所示，已知雙曲線C：，-4=1（。>0/>0）的右焦點為/，雙曲線的右支上一點A,它關(guān)于原

ab

點。的對稱點為B,滿足NAFB=120。，且忸同=3|A尸則雙曲線C的離心率是

8.某農(nóng)村合作社引進(jìn)先進(jìn)技術(shù)提升某農(nóng)產(chǎn)品的深加工技術(shù)，以此達(dá)到10年內(nèi)每年此農(nóng)產(chǎn)品的銷售額（單

位：萬元）等于上一年的L3倍再減去3.已知第一年（2024年）該公司該產(chǎn)品的銷售額為100萬元，則按

照計劃該公司從2024年到2033年該產(chǎn)品的銷售總額約為（）（參考數(shù)據(jù)：13晨13.79）

A.3937萬元B.3837萬元C.3737萬元D.3637萬元

9.藝術(shù)家埃舍爾的作品展示了數(shù)學(xué)之美，如圖①是其作品《星空》中的一部分，由正方體和正八面體相互

交叉形成的組合體，可抽象為圖②所示的圖形.若正八面體的棱長均為2,且相交處均為棱中點，則兩個幾

何體相交后公共部分形成的幾何體的體積是（）

D.20

第II卷(非選擇題)

二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。

10.復(fù)數(shù)2==三的共輾復(fù)數(shù)為三，則工=.

11.若展開式的二項式系數(shù)之和為256,則展開式的常數(shù)項為.

12.從有5個紅球和4個藍(lán)球的袋子中，每次隨機(jī)摸出1個球，摸出的球不再放回.那么，在第3次摸到紅

球的條件下第4次摸到紅球的概率為.

13.已知點4(0,4),拋物線C：x2=2py(0<p<4)的準(zhǔn)線為/，點P在C上，作尸“，/于點H,|尸引=|以|,

ZAPH=120",則夕=.

14.如圖，已知正方形A3CD的邊長為2,過中心。的直線/與兩邊AB,C。分別交于點M,N,若。是BC

的中點，則QM-QN的取值范圍是；若尸是平面內(nèi)一點，且滿足202=408+(1-㈤OC(XeR),則

PM-PN的最小值是.

23

\/-x+2x,0<x<lm(x+l),0<x<—

2

15.已知函數(shù)/(x),g(x)均為周期為2的函數(shù)，/(x)=-4fx-+2,1<x<2g(x)=<

122

若函數(shù)"(x)=/(尤)-g(無)在區(qū)間［0,5］有10個零點，則實數(shù)機(jī)的取值范圍是.

三、解答題：本題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.(14分)

在VABC中，內(nèi)角A,B,C,所對的邊分別為“，b,c,且抽1118+加1114=26(<?-因0$3).

⑴求A；

⑵若sinB=2sinC,VABC的面積為t8,求a.

32

17.(15分)

如圖，在四棱錐S—ABCD中，底面ABCZ)為直角梯形，AD//BC,ABLAD,AB=BC,AD=3BC,ASAD=45°,

點E在線段AD上，滿足AE=2￡D,點尸為SE的中點.

s

BC

⑴證明：CP〃平面SAB；

(2)若SE1平面ABCD,求直線SB與平面S4D所成角的正弦值;

(3)在(2)的條件下，求平面與平面SCD所成角的余弦值.

18.(15分)

已知橢圓/+/=1(。>6>0)的左右焦點分別為耳、F2,離心率￡=乎，點尸、Q分別是橢圓的右

頂點和上頂點，△尸。。的邊尸。上的中線長為更.

2

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過橢圓上頂點Q的直線交橢圓于點A,且A月，。月，求直線AQ的方程；

(3)直線乙、4過右焦點尸2,且它們的斜率乘積為-；，設(shè)4、［分別與橢圓交于點C、。和E、F若M、N

分別是線段CZ)和的中點，求人的面積的最大值.

19.(15分)

已知數(shù)列｛%｝的前?項和為S?,且%=3,&=畢beN*).

n2'7

(1)求｛4｝的通項公式；

⑵設(shè)〃=」一，記數(shù)列抄“｝的前"項和為T”，若北？（-1）"彳對任意的〃eN*恒成立，求2的取值范圍；

anan+l

（3）設(shè)?！?等，是否存在正整數(shù)P、4（1<P<4），使得7。；,，7成等差數(shù)列？若存在，請求出所有符合條件

的數(shù)組（PM）;若不存在，請說明理由.

20.（16分）

已知〃x）=a%x>0）,其中a>0,a*l.

⑴若y=x與y=相切，求實數(shù)”的值;

（2）當(dāng)a>1時，證明:(x-l)元—>0；

⑶若不等式“力+［「

22a恒成立,求實數(shù)。的取值范圍.

2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)測試卷（天津?qū)Ｓ茫?/p>

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題）

一、選擇題：本題共9小題，每小題5分，共45分.在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一

項。

1.全集U={-1,0,123},集合A={0』,2},B={-1,0,1},貝iJ&A）c3=（）

A.{-1}B.{0,1}C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3）

【答案】A

【解析】因為U={—l,0,l,2,3},集合4={0,1,2},B={-1,0,1）,

所以必4={-1,3},則?A）c5={T}.

故選：A.

2.命題0：Vx>l,%2—1>0,貝！JT7是（）.

A.Vx>l,^-1<0B.3x>l,%2-1<0

C.3x<l,^2-1<0D.Vx<l,x2-l<0

【答案】B

【解析】易知。Vx>l,/two的否定M是玉:>1,^-KO.

故選：B

3.某國企進(jìn)行節(jié)能降耗技術(shù)改造，下面是該國企節(jié)能降耗技術(shù)改造后連續(xù)五年的生產(chǎn)利潤，預(yù)測第8年該

AE（^-x）（y,-y）

國企的生產(chǎn)利潤約為千萬元（參考公式及數(shù)據(jù)：b=J-----------------,a=y-bx）

力（七一丁『

Z=1

年號X12345

年生產(chǎn)利潤y（單位：千萬元）0.70.811.11.4

A.1.88B.2.21C.1.85D.2.34

【答案】C

6/22

【解析】利用最小二乘法求得回歸直線方程，將x=8代入回歸直線方程即可求得結(jié)果.由表中數(shù)據(jù)可知：

_1+2+3+4+5。_0.7+0.8+1+1.1+1.41

x=------------------=3；y=----------------------------=1

55

（X,.-X）（X-V）=0.6+0.2+0+0.1+0.8=1.7；火（七一土）？=4+1+0+1+4=10

1=1Z=1

.-.^=—=0.17,6=1-0.17x3=0.49

10

回歸直線方程為：?0/7元+0.49

當(dāng)x=8時，y=1-85

本題正確選項：C

4.若。=0.5一,b=0.6°5,c=2°s,則下列結(jié)論正確的是（）

A.b>c>aB.c>a>bC.a>b>cD.ob>a

【答案】D

【解析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得出0.5°6<0.5°s,2°-5>1-0.6°5<b結(jié)合0.5g<0.6°5,從而可得出

三個數(shù)的大小關(guān)系.函數(shù)y=0.5、是R上減函數(shù),所以0<O,506<O,50-5,同理得O.605<0.6°=1,

又O.505<O,605,所以O(shè).506<O,505<O,605<1,

又2°，5>1，所以0.5°6<0.6.<2°5,即a<b<c.

故選：D.

5.將函數(shù)y=2cos[2x-g）的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移?個單位，

所得函數(shù)圖象的一條對稱軸是（）

,7C?71__2?_

A.%=一B.%=-C.x=——D.X=TI

363

【答案】D

【解析】將函數(shù)V=2cos[2x-?）的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），則函數(shù)解析式變

向左平移~個單位得y=2cos[x-三+qJ=2cos尤,

由余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，其對稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點或最低點，故對稱軸為：x=k兀,左GZ,

左=1時，X=萬.

故選：D.

6.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)/（尤）的解析式可能為（）

7/22

A./(%)=-——--B.于(x)=sin2x.In：：1

C./(x)=e+e_D./(x)=cos2x-In

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，由函數(shù)的圖象，“X)的定義域為｛dx/O｝,其圖象關(guān)于原點對稱，為奇函數(shù)；在(。,+8)

上，函數(shù)圖象與無軸存在交點.

由此分析選項：

對于A,〃x)=其定義域為｛xrwo｝,有〃_力=上±=三二="可，

X—XX

/(X)為偶函數(shù)，不符合題意；

對于B,/(x)=sin2x-InX,其定義域為｛x|xw。｝,

有/(一x)=sin(-2x)/n?=—sin2x/n?=—/(x),)(可為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱；

當(dāng)％=也+］仕eZ)時，sin2x=0,f(x)=0,函數(shù)圖象與x軸存在交點，符合題意；

Ax

對于C,〃x)=e'：e',當(dāng)%>o時，e+e>0,x>0,故〃x)>0恒成立，所以該函數(shù)圖象在(0,+8)上

與x軸不存在交點，不符合題意；

對于D,/(x)=cos2x-In%>其定義域為3》/。｝，

有/(-x)=cos(-2x>lnx=cos2x/nx：1=/(尤),/(x)為偶函數(shù)，不符合題意.

綜上所述，只有選項B的函數(shù)滿足，

故選：B.

22

7.如圖所示，已知雙曲線C：方=l(a>O,b>O)的右焦點為產(chǎn)，雙曲線的右支上一點A,它關(guān)于原

點。的對稱點為8,滿足NA/為=120。，且忸刊=3|AF|,則雙曲線C的離心率是

8/22

A.=^-B.-C.—D.77

722

【答案】C

22

【解析】雙曲線C:三-斗=1（。>0,8>0）的右焦點為P,雙曲線C的右支上一點A,它關(guān)于原點。的對稱

ab

點、為B,滿足/A^B=120。，且|W|二3|AW,可得|即q-|Ab|=2a,\AF\=af\BF\=3af

r2222222

NFBF=60°,所以FF=AF+BF-2A足5/cos60。,可得4c=a+9a-6ax^f

4c2=7a2，

所以雙曲線的離心率為：e=也.

2

故選：C.

8.某農(nóng)村合作社引進(jìn)先進(jìn)技術(shù)提升某農(nóng)產(chǎn)品的深加工技術(shù)，以此達(dá)到10年內(nèi)每年此農(nóng)產(chǎn)品的銷售額（單

位：萬元）等于上一年的1.3倍再減去3.已知第一年（2024年）該公司該產(chǎn)品的銷售額為100萬元，則按

照計劃該公司從2024年到2033年該產(chǎn)品的銷售總額約為（）（參考數(shù)據(jù)：13°213.79）

A.3937萬元B.3837萬元C.3737萬元D.3637萬元

【答案】A

【解析】設(shè)該公司在2024年，2025年，…，2033年的銷售額（單位：萬元）分別為4,出，，％（）.

依題意可得%+i=L3%—3伍=1,2,.,9）,貝凡+1—10=1.3（%-10）（〃=1,2,.,9）,

所以數(shù)列｛4T0｝是首項為90,公比為1.3的等比數(shù)列，

則a“-10=90x13'T,即an=90x1.3“T+10,

9/22

90x(1-13。)

貝14+見++a=10x10+?100+300x(13.79-1)=3937

101-1.3

故從2024年到2033年該產(chǎn)品的銷售總額約為3937萬元.

故選：A.

9.藝術(shù)家埃舍爾的作品展示了數(shù)學(xué)之美，如圖①是其作品《星空》中的一部分，由正方體和正八面體相互

交叉形成的組合體，可抽象為圖②所示的圖形.若正八面體的棱長均為2,且相交處均為棱中點，則兩個幾

何體相交后公共部分形成的幾何體的體積是（）

D.2夜

【答案】B

【解析】如圖，因為正八面體的棱長均為2,且相交處均為棱中點，所以。C=l,

所以Ac=乎，則該正方體的棱長為血.

易知三棱錐A-BCD為正三棱錐，則上棱也BCO=匕棱曲旗克*立x變=變.

易知兩個幾何體相交后公共部分形成的幾何體體積為丫==2Q8x妥受.

第II卷（非選擇題）

二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。

10.復(fù)數(shù)z="的共輾復(fù)數(shù)為I，貝丘=__.

1+21

10/22

【答案】i

2-i(2-i)(l-2i)2—5i—2

【解析】=

l+2i-(l+2i)(l-2i)5

所以z=i.

故答案為：i.

11.若13萬+￡|“展開式的二項式系數(shù)之和為256,則展開式的常數(shù)項為.

【答案】5670

【解析】因為二項式系數(shù)和等于2"=256,所以，=8,

由二項式展開式通項公式=C；Ox）》（J_y=38TC；X"2,，

X

令8-2r=0,解得廠=4,所以常數(shù)項為7；=34C：=5670.

故答案為:5670.

12.從有5個紅球和4個藍(lán)球的袋子中，每次隨機(jī)摸出1個球，摸出的球不再放回.那么，在第3次摸到紅

球的條件下第4次摸到紅球的概率為.

【答案】1/0.5

【解析】用A,表示事件”第，次摸到紅球”，用表示事件”第i次摸到紅球"，7=123,4.

5x4

尸也）4，尸⑻4）=弓.

9

故答案為：!

13.已知點A（0,4）,拋物線C：V=20；（0<P<4）的準(zhǔn)線為/,點夕在。上，作p81./于點7/,|尸引二[24],

NAP"=120°,則。=.

【答案】I

【解析】設(shè)拋物線的焦點為M=4,，

由拋物線的定義可知，|尸叫=|尸產(chǎn)|，因為1PM=|1科，所以1PAi=忸耳，

不妨設(shè)點尸在第一象限，過點P作尸軸于點Q,則。為AF的中點，

11/22

因為NA/W=120°,所以ZAPQ=120°-90°=30°,

所以閘=四40=鼻4_3，畋=陷+|?？疻9+勺2+不

所以點尸的坐標(biāo)為］負(fù)4-夕2+?，

因為點P在拋物線C上，所以［曰］”.=2px［2+￡|,

QQ

化簡得5"+1122-192=0,解得p=y或—24（舍去），所以p=g.

Q

故答案為：—.

1.凡涉及拋物線上的點到焦點距離時，一般運用定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線距離處理；

2.若尸（尤。,%）為拋物線V=2px（。＞0）上一點，由定義易得I尸歹|=%+與；若過焦點的弦A8的端點坐標(biāo)

為4再,％）,B（x2,y2）,則弦長為|AB|=%+/+。，%可由根與系數(shù)的關(guān)系整體求出；若遇到其他標(biāo)準(zhǔn)

方程，則焦半徑或焦點弦長公式可由數(shù)形結(jié)合的方法類似地得到.

14.如圖，已知正方形ABCZ）的邊長為2,過中心。的直線,與兩邊48,CZ）分別交于點M,N,若。是BC

的中點，則QM-QN的取值范圍是；若P是平面內(nèi)一點，且滿足20P=203+（1-X）OC（XcR）,貝I］

PM-PN的最小值是.

12/22

【解析】由直線/過正方形A3CD的中心。且與兩邊A3、CO分別交于點M、N,得。為MN的中點,

則OM=-ON,QMQN=(QO+OM)-(QO+ON)=QQ2-OM2>

由。是BC的中點，得又貝U-IWQO?—

所以QVTQN取值范圍為

令OT=2OP，則OT=2.OP=WB+(l-A)OC,

貝1JOT=2OB+OC-；IOC，§POT-OC=WB-AOC于是CT=2C8，即點T在直線BC上,

因此10Tl21,|OP|>|,則nW-PN=(PO+OM)?(尸O+ON)=尸。2_。知2,

2217

而1V|OM區(qū)企，因止匕PM-PN=P(y-OM>一一2=一一,

44

7

所以-PN的最小值為-二.

4

-7

故答案為：［-1，。］;--

4

3

J-尤丁+2x,0<x<lm(x+l),0<x<—

15.已知函數(shù)f(x),g(x)均為周期為2的函數(shù)，/(x)g(x)=<

+2,1<x<2”<x<2

[22

若函數(shù)〃(無)=f(尤)-g(尤)在區(qū)間［0,5］有10個零點，則實數(shù)加的取值范圍是.

【答案】

【解析】作出f(x)的圖象以及g(x)在別上的圖象，通過分析圖象，可知/(尤)與g(x)在［0,1］有2

-3'

個交點，在1，］有1個交點，通過換元法，即可求得結(jié)果.作出了(x)的圖象，如圖，

13/22

作出g(x)在停別上的圖象,

在||，2卜口4)上，g(x)與/(x)共有兩個交點，

.與與幻在在5］共10個交點,

31「7一

f(x)與g(x)在0,-,2,-,［4,5］共有8個交點，

又/(x)與g(x)的周期為2,

-3-

f(x)與g(x)在［0,1］有2個交點，在有1個交點,

①m(x+1)=J-Y+2X在［0」有2個交點，

由①知加=J_］+/1+1-,0<%<1,

VX2+2X+1

16~

令4x+l=/,貝9u，

由基本不等式知根當(dāng)且僅當(dāng)f=3時，取等號;

3

當(dāng)/=1時，m=0；

當(dāng)f=5時，m=—,

2

所以加￡時有兩解，

②加(x+l)=-4[x-1)+2在(1，|有1個交點，

i4-t/r?\7rn—4%2+12%—7

由②知m=------------

x+1

令%+i=s,則*d),…4s+§

+20,

令/(s)=+20,則/￡)=_4+二,

S

14/22

723

令/(s)=0,解得s=------

2

當(dāng)S€、今]時,

/(s)>0,〃s)在2,上單調(diào)遞增,

I2)

當(dāng)se與總時，/1（5）＜0,〃s）在字,|上單調(diào)遞減,

=20-4723,

所以，當(dāng)s=2時，/(2)=-^8+^+20=1,

當(dāng)s=i時'm“°+*”o=g,

所以，加e[]/]或根=20-4，^,

綜上，me

故答案為:

三、解答題：本題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.（14分）

在VABC中，內(nèi)角A,B,C,所對的邊分別為。，b,c,asinB+teinA=2^(c-acosB).

⑴求A；

(2)若sinB=2sinC,VABC的面積為前，求a.

32

【解析】（1）由題意及正弦定理得，sinAsinB+sinBsinA=2A/3（sinC-sinAcosB）,

有sinBsinA=6(sinC-sinAcosB),

又由sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

有sinBsinA=^cosAsinB,

又由0<_8<兀，有sinB>0,可得sinA=V3cosA，

可得tanA=g\又由0<A<7t,可得A=g.

15/22

22

(2)由正弦定理及sin3=§sinC,有b=§

又由VABC的面積為S=—bcsinA=—x—excsin—=c1,

22336

有旦2=空，可得。=3,6=2,

62

由余弦定理，有a=J。？+o?一26CCOS4=,2?+3?-12x；=近,故.=近.

17.(15分)

如圖，在四棱錐S-ABC。中，底面ABCD為直角梯形，AD//BC,AB1,AD,AB=BC,AD=3BC,ZSAD=45°,

點E在線段AT＞上，滿足AE=2￡D,點尸為SE的中點.

(1)證明：C/〃平面&LB；

(2)若SE1平面ABCD,求直線SB與平面&4D所成角的正弦值;

(3)在(2)的條件下，求平面&與平面SCD所成角的余弦值.

【解析】(1)

取點M為的中點，連接尸，

因為點尸為SE的中點，所以MF//AE,MF=^AE,

又因為AD=33C,AE=2ED,

又3C//AE,則=

2

所以MF/ABC,MF=BC,

所以四邊形MFC3為平行四邊形，所以MB//FC,

16/22

又Affiu平面CFa平面SAB,

所以C尸〃平面&4B.

(2)因為SE_L平面ABCD,SEu平面SAD,所以平面SAD_L平面ABCD,

乂ABJ_AD,平面SADc平面ABCD=AZ),所以AB_1_平面S4Z),

所以直線SB與平面9所成角為NBM,

設(shè)AB=3C=a,貝ijAE=2a,

因為NS4Z>=45。，又SELAD,

所以SE=AE=2a，SA=2屈a，SB=yjAB2+S^=3a?

AUa1

所以sin/BSA=——

SB3a3

所以直線S3與平面S4D所成角的正弦值為;.

(3)在(2)的條件下，以A為坐標(biāo)原點，48所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，過點A作平行于SE

的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

4（0,0,0）,B（a,O,O）,C（a,a,O）,D（0,3o,0）,S（0,2a,2a）,

AB=（a,0,0）,AS=（0,2a,2a）,CS=（—a,a,2G,CD=（-a,2a,0）,

設(shè)平面SAB的一個法向量為元=(xllyllz1),

nAB=0ax=0

ci令％=1,所以4=（0,l,-l）,

2町+2az=0

n}-AS=x

設(shè)平面SCO的一個法向量為%=(x2,y2,z2),

n-CS—0-ax+ay+2az=0令%=1,所以巧=[2,1,：

則2222

—ax+2ay=0

n2-CD=022

17/22

1

V42

々刃22

設(shè)平面5AB與平面SCO所成的角為氏則cos6=

42

Hl^lV2x21

4

所以平面SAB與平面S8所成角的余弦值為唱.

18.（15分）

已知橢圓/+/=1（。＞。＞0）的左右焦點分別為耳、F2,離心率e=?，點P、Q分別是橢圓的右

頂點和上頂點，△尸。。的邊P。上的中線長為3.

2

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過橢圓上頂點。的直線交橢圓于點A,且A居，。月，求直線A。的方程；

（3）直線4、4過右焦點「2,且它們的斜率乘積為設(shè)4、4分別與橢圓交于點C、。和E、若M、N

分別是線段CO和的中點，求其腑面積的最大值.

【解析】（1）由題意，因為P（a,0）、。（。力），八?。。為直角三角形，所以「0=行萬=后,

222

又因為e=$=也，a=b+c,解得a=6,b=c=l,

a2

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為］=1.

（2）易知點&（—1,0）,kAFi-kQFi=-1,且電耳=1,則&1fl=-1,

所以，直線4兄的方程為y=-x—1,

4

x=——

卜=tTx=03

聯(lián)立解得或?，即點4（0,—D或A

[x2+2y2=2y=-i1

y=-

3

當(dāng)點A的坐標(biāo)為（0,-1）時，直線AQ的方程為工=0；

當(dāng)點A的坐標(biāo)為時，kAQ=—/=:，

°+3

止匕時，直線A。的方程為y=；x+l,即x-2y+2=0.

綜上所述，直線AQ的方程為x=0或彳-2＞+2=0.

（3）由題意，F(xiàn)2（l,0）,

18/22

設(shè)直線人的方程為曠=k（x—1）,其中4力0,。（芯,％）、￡>（9,%），

則直線，2的方程為y=-：（x-l）,E（w，%）、尸（尤4,%），

乙K

y-后（無一1）

聯(lián)立可得（1+2左2,2-軟2尤+2左2-2=0,

尤2+2/=2

4k22k2-2

由韋達(dá)定理可得三+%=-,XiXQ-z

2F+1-2r+i

西+x2左2k'2k2k]

所以,2%=%（尤材-1）=,所以M

2~2k2+l2p+l、2公+1'-2^+1）

k

2/+1'

所以，點N［看,-舟）即MN的中點為

1，,,,12\k\111A/2

所以九四二寸。斗I%、/："充口=2

2網(wǎng)+了4

當(dāng)且僅當(dāng)2岡=，時，即當(dāng)左=±5時取等號，所以“W的面積最大值為，

19.（15分）

已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S",且％=3,｝=號（weN*）.

（1）求｛4｝的通項公式；

⑵設(shè)2=」一，記數(shù)列也J的前"項和為（，若（2（-1）"彳對任意的“eN*恒成立，求2的取值范圍；

anan+\

（3）設(shè)。“=詈，是否存在正整數(shù)P、q（l<P<4），使得。,c。，7成等差數(shù)列？若存在，請求出所有符合條件

的數(shù)組（PM）;若不存在，請說明理由.

19/22

【解析】(1)因為*=畢，所以仇='1+""),

n22

當(dāng)〃=1時，H=q=詈，解得q=l；

由得s向=(』+1)(；+0用)，

所以s.+=%=(〃+w也m，整理得「兇”+1=0,

所以以+2—(〃+l)4+i+1=0,所以也什2-(〃+1)%+1=(n-l)an+1-mfJ,

所以叫：+2+"=2啊用，所以凡+2+q=2%+1，所以｛““｝是等差數(shù)列，

又〃2—6=2,所以q=1+2(〃-1)=2〃-1.

71If111

口）由（1）知）［2〃.1）（2〃+1）=〔KT―>

1n

所以北=—X

22〃+1

又b〃>0,所以(是遞增數(shù)列.

2

當(dāng)"=2