2025年北京高考數(shù)學臨考押題卷

數(shù)學

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將白己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

1.已知集合A=，x:<2'<41,B={-2,-1,0,1,2）,則4口8=（）

A.{-1,0,1}B.{-2,-1,0,1,2}C.{0,1}D.{-1,1}

【答案】A

【分析】由指數(shù)函數(shù)性質確定集合A,再由交集定義計算.

【詳解】A=卜，<2*<4,={x|-2<x<2},又8={-2,-1,0,1,2},

所以={-1,0,1},

故選：A.

2.已知復數(shù)2=二-|4-到，則復數(shù)z在復平面內對應的點位于（）

1+111

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【分析】先根據(jù)復數(shù)的除法運算和復數(shù)的模求出復數(shù)z,再根據(jù)復數(shù)的幾何意義即可得解.

(3-i)(I)2-4i

【詳解】z----|4-3i|=—J16+9=一5=T—2i

1+i110+i)(l-i)2

所以復數(shù)z在復平面內對應的點為（T,-2）,位于第三象限.

故選：c.

3.己知向量Z石滿足|㈤=2,5=（2,0）,S.\a+b\=2,則&出〉=（）

71712TL57r

A.-B.-C.—D.—

6336

【答案】C

【分析】將|￡+'=2兩邊同時平方，將條件帶入計算即可.

【詳解】由已知|Z|=2，W=2,

2rrrrrr

所以（a+b）=a2+2b-a+b2=4+2x2x2xcos〈a,b〉+4=4,

得COS〈￡,B〉=一g,又〈2,楊￡［0,兀］,

所以

故選：C.

4.在（3x+l）］x-J的展開式中，x的系數(shù)為（）

A.9B.15C.-18D.-45

【答案】A

【分析】利用二項式展開式的通項公式即可得解.

323233

【詳解】（3元+1）3=（3.X+1）L-2+^|=（3x+l）-x-2（3x+l）+（3.x+l）.^y

易知，（3尤+1）3./的展開式中，沒有尤項;

因為-2（3x+iy的展開式的通項為：幾1=-2C；（3x）”,

令3-%=1,即左=2,所以-2（3元+廳展開式中，x的系數(shù)為-2C；X33-2=T8；

又因為（3尤+爐的展開式的通項為：Tk+l=C；（3尤）“J=C；X33Yx尤i,

R1

令T—k=l,即左=0,所以（3x+l）展開式中，x的系數(shù)為C；x3'-°=27；

綜上，在（3x+l）［尤-的展開式中，x的系數(shù)為-18+27=9,

故選：A.

5.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在區(qū)間（。,+e）上單調遞減的是（）

A./（x）=B./（x）=-x3C.〃x）=tanxD,〃x）=logjx|

【答案】B

【分析】由奇函數(shù)的性質可判斷A、D錯誤；由奇函數(shù)的性質和導數(shù)可得B正確；由正切函數(shù)的定義域可

得C錯誤.

【詳解】A：因為〃-司=二匕=占2-“X）,所以“X）不是奇函數(shù)，故A錯誤；

B：因為〃x）的定義域為R,

X/（-x）=-（-x）3=x3=-/（x）,所以/（X）是奇函數(shù)，

又/'⑺=-3d<0在（0,+⑹恒成立，

所以/'（X）在區(qū)間（。,+“）上單調遞減，故B正確；

C：由正切函數(shù)的定義域可得函數(shù)〃x）=tanx在（0,+8）上不連續(xù)，

所以/'（X）在區(qū)間（。,+8）上不單調，故C錯誤；

D：因為〃f）=log」T|Tog」#-〃x）,所以不是奇函數(shù)，故D錯誤；

22

故選：B.

6.已知拋物線V=4x的焦點為R點M在拋物線上，MN垂直y軸于點N,若同=6,貝以肱歷的面積

為（）

A.8B.46C.56D.10小

【答案】C

【分析】確定拋物線的焦點和準線，根據(jù)|MF=6得到M、,2石），計算面積得到答案.

因為拋物線y2=4x的焦點為F（1,O）,準線方程為x=-1,

所以|即|=加+1=6,故X“=5,

不妨設M在第一象限，故"（5,2斯），

所以SAMNF=1X（5_0）X26=56.

故選：C.

7."'J，，是“向=］期”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】借助函數(shù)單調性，分別找出其等價條件，再利用充分條件和必要條件的定義判斷.

【詳解】充分性：當［=，時，可得了=匕

但是對數(shù)函數(shù)Inx中，x的取值范圍是（0,+⑹，當》=>^0時，Inx和Iny無意義，所以由“）=，”不能推

出“l(fā)nx=lny"，充分性不成立.

必要性：因為對數(shù)函數(shù)Inx的定義域為（0,+8）,若lnx=lny,根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質，對數(shù)相等則真數(shù)相等，

所以可得彳=丁>。.

1111

對x=y,可得尤3=y3,所以由“l(fā)nx=lny”可以推出=y3"，必要性成".

所以“%=，”是"Inx=Iny”的必要不充分條件，

故選：B.

8.將函數(shù)〃x）=cos2尤-situcosx-1的圖象向左平移弓個單位長度得到函數(shù)g（x）的圖象，下列結論正確的

是（）.

A.g（x）是最小正周期為冗的偶函數(shù)B.點（：，（）］是g（x）的對稱中心

C.g（x）在區(qū)間后,;上的最大值為gD.8（尤）在區(qū)間（0，T上單調遞減

【答案】D

【分析】先由二倍角余弦公式和輔助角公式化簡再平移得到g（x）=-gsin2x,由正弦函數(shù)的奇偶性得到A

TT

錯誤；代入戶/導到B錯誤；由正弦函數(shù)的單調性得到C錯誤，D正確.

.1cos2x+l1.小1J2

【詳解】/(x)=cos2x-sinxcosx——=-----------sin2x——=cos2x+—，

2222-2I4

向左平移白個單位長度得到函數(shù)g(尤)，則g(元)=^COS12(X+8+』=sin2x,

K218y/42

對于A：由以上解析可得g(%)為奇函數(shù)，故A錯誤；

對于B：當冗=:時，g(x)=-5sin[2x；)=-5，故B錯誤；

1

7r3TT3

對于C：因為函數(shù)g(%)的遞增區(qū)間為2配+5?2%42配+5兀,左￡2,BPfar+—<x<far+—7I,A:GZ,

jrjr

同理得函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間為kK--,kn+-次eZ

IT

所以-五，0是g(x)的一個遞減區(qū)間，

JT

又當xe0,j時，g(x)<0,

所以g(x)a=g=一￥sin,0=冷,故C錯誤；

TTTT

D：由C的解析可知，所以減區(qū)間為k7l--,k7l+-，攵￡Z,

L44J

所以當左=0時可得，g(x)在區(qū)間H上單調遞減，故D正確；

故選：D.

9.風箏又稱為“紙鶯”，由中國古代勞動人民發(fā)明于距今2000多年的東周春秋時期，相傳墨翟以木頭制成

木鳥，研制三年而成，是人類最早的風箏起源.如圖，是某高一年級學生制作的一個風箏模型的多面體ABCEF,

。為A8的中點，四邊形EEDC為矩形，且。尸，AB,AC=BC=4,ZACB=120°,當時，多面

體ABC斯的體積為()

A16#R8an[7

333

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，先證得平面CDFE,在VABC中，解三角形求得48=46，再結合線面垂直判定

定理證得CE，平面ABC,得到CELAC,CEL3C,設CE=M,利用A^=A磨+防2,求得機=2點，結

合丫=匕一CDFE+VB-CDFE=2VA_CDFE，即可求解.

【詳解】在VABC中，因為AC=3C且。為A3的中點，所以CDLAB,

又因為。尸，AB,且DFICD=D,。尸,。。＜=平面CDEE,

所以ABL平面CDFE,

在VABC中，因為AC=8C=4且NACB=120。，

所以AB=2AO=2X4COS30O=4A/L且CD=2,

因為四邊形CDEE為矩形，可得CD,

又因為。尸_LAB,A3Cl8=D且AB,CDu平面ABC,所以平面ABC,

因為CEHDF,所以CE_L平面ABC,

又因為AC,6Cu平面ABC,所以CEJ_AC,CEJ_3C,

設CE=m,在直角AACE中，n：WAE2=AC2+m2=16+m2,

在直角A3CE1中，可得3爐=8。2+療=16+1，

因為AE_LBE,所以AB?=4^+砥?，

即48=16+相2+16+〃，,解得，”=20,

所以多面體ABCEF的體積

=X

V=^A-CDFE+VB.CDFE=^A-CDFE-^CDFE'人。=2x—x2xX=---.

故選：A.

10.已知數(shù)列｛。,｝是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為4,在q,%之間插入1個數(shù)，使這3個數(shù)成等差數(shù)列，

記公差為4,在。2,。3之間插入2個數(shù)，使這4個數(shù)成等差數(shù)列，公差為小，…，在%,。用之間插入〃個

數(shù)，使這〃+2個數(shù)成等差數(shù)列，公差為d”,則（）

A.當。＜夕＜1時，數(shù)列｛4｝單調遞減B.當〃＞1時，數(shù)列｛4｝單調遞增

c.當4時，數(shù)列｛4｝單調遞減D.當4＜4時，數(shù)列｛4｝單調遞增

【答案】D

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項可得%+5+1）4,可得"“=%（"T）,進而得到?=幽半，即可

對4討論,結合選項逐一求解.

【詳解】對于A,數(shù)列｛%,｝是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，則公比為。＞。，

由題意見M=%+（“+：!）%,得4=%%=必1”，d“+i=a"q（q；i）,

0<q<l時，dn<0,有務=倏?<1,dn+i>dn,數(shù)列｛4｝單調遞增，A選項錯誤；

對于B,“1時，4>0,,=*=，若數(shù)列｛4,｝單調遞增，

則也土。>1,即q>￡±1,由〃eN*,需要4>1,故B選項錯誤；

對于C,4>人時，"MT）>"""1）,解得l<g<3,q>l時，dn>0,

232

由孝=幽?，若數(shù)列｛4｝單調遞減，則幽土。<1,

d?n+21Jn+2

即q〈安=1+工，而l<q<:不能滿足q<l+-L^（〃eN*）恒成立，C選項錯誤；

n+1n+12n+\

對于D,4<成時，q（q7）<qq（qT）,解得o<q<i或4>3,

232

由AB選項的解析可知，數(shù)列｛4｝單調遞增，D選項正確.

故選：D.

【點睛】關鍵點睛：解決本題的關鍵是由題設結合等差數(shù)列的通項公式求出力=也宜之，進而得到

n+1

d,t7（n+l）

亨=4^1,從而一一分析各選項即可求解.

ann+2

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分.

1

11.已知函數(shù)〃x）=尤5+1g（x-2）的定義域為-

【答案】｛x\x>2]

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域有意義，解不等式求解.

fx>0

【詳解】根據(jù)題意可得c八，解得x>2

[x-2>0

故定義域為｛x|x>2｝.

故答案為：｛x|x>2｝

22

12.設雙曲線C:二-與=1（“>0/>0）的右頂點為R且尸是拋物線「:y=4x的焦點.過點廠的直線/

ab

與拋物線r交于A,B兩點,滿足旃=2麗，若點A也在雙曲線c上，則雙曲線C的離心率為.

【答案】叵4底

33

【分析】求出直線/的方程，與拋物線方程聯(lián)立求出點A坐標，再結合已知求出雙曲線的離心率.

【詳解】拋物線r：y2=4x的焦點尸(1,0),直線/不垂直于y軸，設其方程為X=(y+1,

由1消去工得：y2-4ty-4=Q,設4>2]),夙々，%)，則%％=-4，

[y=4%

由IF=2FB，得X=-2%，由對稱性不妨令點A在第一象限，解得％=20,百=2,

22Aoo

由點4(2,20)在雙曲線C:，一斗=1上得，三一2=1,又0=1,解得

abab3

所以雙曲線C的離心率6=近一=<「8=叵.

故答案為：遮

13.已知使tan(a+0<tan(a-0成立的一組%"的值為a=；P=

【答案】||(答案不唯一)

【分析】任取一組。,Ae(0,兀)，驗證是否滿足tanQ+0<tan3-0即可得

【詳解】取0=尸=三，此時tan(?+4)=tan三<0,tan(a—〃)=tan0=0,

故tan(a+0<tan(?-A),符合要求.

故答案為：y;y(答案不唯一).

14.大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理.大衍數(shù)列｛%｝中，對于

k=123,L,數(shù)列4i，a2k,a2k+l是公差為dk的等差數(shù)列，且｛4｝也是等差數(shù)列.已知q=0,%=4,%=24,

則%=;｛七｝的前9項和等于

【答案】12140

【分析】設等差數(shù)列｛4｝的公差為4,利用太極衍生原理由d依次表示。5,%，進而求出“，。5；再求出的即

可求出前9項和.

【詳解】設等差數(shù)列｛&｝的公差為］，依題意，4的，生成等差數(shù)列，公差4=亨?=2,

由。3,。4,。5成公差為4的等差數(shù)列，得%=%+24=4+2(2+d)=8+2d,

由〃5，。6，%成公差為4的等差數(shù)列，得%=%+2&=8+2d+2(2+2d)=12+6d,

而%=24,即12+6d=24,解得d=2,4=12；

4=4+3d=8,由%,。8，%成公差為d4的等差數(shù)列，得的=%+24=40,

所以｛見｝的前9項和Sg=%+幺愛+4+巴愛+%+巴愛+%+%愛+%

3333

=/%+2(/+%+%)+2%=萬.0+2(4+12+24)+—x40=140.

故答案為：12；140

|x+/n|,x＜0,

15.設函數(shù)〃x)=72mr給出下列四個結論：

-------yjx,x＞Q.

I2

①當機=0時，函數(shù)"%)在(-),+?)上單調遞減；

②若函數(shù)/(x)有且僅有兩個零點，則加＞0;

③當機＜。時，若存在實數(shù)。力，使得“。)=/僅)，則卜-4的取值范圍為(2,”)；

④已知點函數(shù)/'(x)的圖象上存在兩點Ql(%,％),。2(*2，%)(%＜工2＜。)，。卜。2關于坐標原點。的

對稱點也在函數(shù)外力的圖象上.若|P0+|PQJ=孚，則%=1.

其中所有正確結論的序號是.

【答案】②③④

【分析】根據(jù)尤20時，/(力=0即可判斷①，求解方程的根，即可求解②，結合函數(shù)圖象，求解臨界狀態(tài)

時|0-4-2,即可求解③，根據(jù)函數(shù)圖象的性質可先判斷根＞0,繼而根據(jù)對稱性聯(lián)立方程得

2

拒+JLm+4m_+J而+44,E|,,,3頂—曰_3,

2y2＞^y~~2y2＞根據(jù)|尸0j+|P02|=可侍/-%=5，代入即

可求解④.

【詳解】當加=0時，尤20時，/(力=0,故在(-。,+。)上不是單調遞減，①錯誤；

對于②，當機=0顯然不成立，故機w0,

當xZO時，令〃力=0,即一字五=0,得x=0,x<0,|x+W=0=x=-機，要使〃x）有且僅有兩個

零點，則一加<0,故%>0,②正確，

-x-m,x<0,

對于③，當機<0時，“尤）=,4im，此時〃x）在（-00）單調遞減，在［0,+8）單調遞增，如圖:

-----yJrx,x>0.

2

若/⑷=f（b）,由f=T

色&nx=2,故|a-4>2,所以|。-6|的取值范圍為（2,+8）；③正確

對于④，由①③可知：m40時顯然不成立，故相>0,

要使2（%,%）,。2（々，，2乂％<）2<。），9,2關于坐標原點。的對稱點也在函數(shù)/（尤）的圖象上,

象與了20,〃月=-字?有兩個不同的交點，如圖：

則只需要%>0,〉=一,一利|的圖

故玉<-m<x2<0,

r+m=（m+xj+&（x+m）=~~~=^，

\PQ^+\PQ^=^.\-m-x\+42\2-A/22x2-xi

由對稱可得了（-再）=-字/

再=-\-xx-m|=Xj+m,

42mt112A

，故（日浮K…，"二『

化簡可得％+m+^-xx=0

2

=ll.m+4m=Jgm，+4??

由于m>0,〃"7)=g加為(0,+QO)單調遞增函數(shù)，JEL/(1)=-1,

此時/+4加3=T,因此m=1,④正確，

故答案為：②③④

【點睛】方法點睛：函數(shù)零點問題常用的方法和思路

(1)直接法：直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍;

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)值域問題加以解決;

(3)數(shù)形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結合求解.

三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步或證明過程.

16.在VABC中，asinB=2bsinAcosB.

(1)求3的大??；

(2)若。=8,再從下列三個條件中選擇一個作為己知，使VABC存在，求VABC的面積.

條件①：8C邊上中線的長為加1；

2

條件②：cosA=--；

條件③：6=7.

注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得。分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解

答計分.

【答案】⑴八三

(2)答案見解析

【分析】(1)借助正弦定理計算即可得；

(2)選條件①或③：借助余弦定理與面積公式計算即可得；不可選條件②，不存在這樣的AABC.

【詳解】(1)由asinB=2bsinAcosB,

在NABC中，由正弦定理得sinAsin^=2sinAsinBcosB，

因為sinA>0,sin5>0,所以cos3=L,

2

IT

又0<3<兀，所以8=1；

(2)選條件①：8C邊上中線的長為百:

設8C邊中點為Af,連接AM,貝ljAM=01,8河=4,

在AABM中，由余弦定理得AM?

JT

即21=AB2+16-8ABCOS-,

3

整理得AB2-4AB-5=O，解得AB=5或AB=—1(:舍)，

所以VABC的面積為S4Bc=LA3-3C-sinB=!x5x8sinq=l(X^.

…223

A

A\

BM,

選條件③：6=7：

在VABC中，由余弦定理得萬2=/+。2—2?ccosB,BP72=82+c2-16c-cos—,

整理得c?-8c+15=0,解得c=3或c：=5,

當時，的面積為；

c=3VABC1ABe=acsinB=—x8x3sin—=6百.

23

當時，的面積為：

c=5VABC5AAsc=acsinB=—x8x5sin—=10百.

23

不可選條件②，理由如下：

2

若cosA=-],故A為鈍角，貝!JsinA=卜修岑

E7asinB*212A/152no

則八四=L5，b72=-即6>0,

3

其與A為鈍角矛盾，故不存在這樣的VABC.

17.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，AD//BC,CD±AP,為等腰直角三角形，PD=CD=2,平

面PBC交平面PAD于直線/,E,尸分別為棱P。，尸3的中點.

(2)設P4=AD=2BC=2,貝U：

①求平面AEF與平面PAD夾角的余弦值；

②在棱PC上是否存在點G,使得DG〃平面A肝？若存在，求，的值，若不存在，說明理由.

【答案】(1)證明見解析

(2)①姮；②存在，言

175

【分析】(1)根據(jù)線面平行的判定定理和性質定理分析證明；

(2)①根據(jù)題意可證得平面ABCZ),建系，利用空間向量求面面夾角；②設拓=4定，求點G的坐

標，根據(jù)線面平行的向量關系分析運算.

【詳解】(1)因為AD〃BC,ADu平面PAD,BCz平面尸AD,

所以8C〃平面PAD,又BCu平面依C,平面PBCPI平面上4。=/,

所以BC〃L

(2)①取AD的中點0,連接。尸,08,

由題意可得：BC//OD,且3C=QD,

則四邊形08CD為平行四邊形，可得0B//C。，

由△戶口)為等腰直角三角形，尸。=。)可知8，也),

又CD_LAP,APC\PD=P,AP,P￡>u平面尸AD,

所以CD_L平面PAD,則03_L平面尸AD,

由。P,AOu平面B4￡),則OP_LO3,ADVOP,

又因為△B4D為等邊三角形，則。為AB的中點，可得OPJ_AD,

OB[}AD=O,O8,ADu平面ABCD,則OP_L平面ABC。，

如圖，以。為坐標原點，分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，

/

則4(1,0,0),2(020),C(-l,2,0),D(-l,0,0),尸(0,0,白),E—,0,

92,F\0,1,

I2J

、

可得AE二，爐,

[-147

ii-AE=-—x+^-z=0

設平面A￡F的法向量〃=（x,y,z）,貝卜22

n?EF=gx+y=0

令x=2,貝!Jy=—1,z=2\/^,BPn=(2,-1,2^/3j,

由題意可知：平面的法向量諭=（0」,0）,

「?/曰/_______\n-m-1V17

Rjf#cos<n,m)=....=—j=-=-------,

、1|n|-|m|VI7xl17

所以平面AEF與平面BAD夾角的余弦值姮.

17

②由①可得：PC=(-1,2,-A/3),

設AS=2反SG(a,b,c),則而=(a,6,c-坦),

CL=-4a=-A

可得卜二

24解得。二24

c—A/3=—y/3/lc=-\/3(1—2)

即G(-A,22,石(1-2)),可得DG=(1-A,2尢6(1-A)),

若OG〃平面AEF,貝I為，方小，

__.4

可得訪?OG=2（1—X）—22+6（1—彳）=0,解得％

所以存在點G,使得DG//平面AEF此時P烹G=34.

18.某學校為提升學生的科學素養(yǎng)，所有學生在學年中完成規(guī)定的科普學習任務，并通過科普測試獲得相

應科普過程性積分.現(xiàn)從該校隨機抽取60名學生，獲得其科普測試成績(百分制，且均為整數(shù))及相應過程

性積分數(shù)據(jù)，整理如下表：

科普測試成績X科普過程性積分人數(shù)

90<^<100320

75<x<90210

60<%<75115

0<x<60015

用頻率估計概率.

(1)從該校全體學生中隨機抽取一名學生，估計這名學生科普過程性積分不低于2分的概率；

(2)從該校全體學生中隨機抽取三名學生，估計這三名學生的科普過程性積分之和恰好為6分的概率；

(3)從該?？破者^程性積分不低于1分的學生中隨機抽取兩名學生，記這兩名學生科普過程性積分之差的絕

對值不超過1的概率估計值記為小，這兩名學生科普過程性積分之差的絕對值不低于1的概率估計值記為

試判斷B和。2的大小(結論不要求證明).

【答案】(1弓

37

(2)---

108

(3)A<A

【分析】(1)利用圖表及古典概型計算即可；

(2)分類討論結合相互獨立事件的乘法公式計算即可；

(3)依次分類討論計算P1,P2并比大小即可.

【詳解】(1)由圖表可知從樣本空間中隨機抽取一名學生，

科普過程性積分不低于2分的人數(shù)的頻率為喏3=：,

602

所以估計全校學生中隨機抽取一人，該生科普過程性積分不低于2分的概率為g；

(2)隨機抽取三人，得分為6分的可能有：

情況1：1人。分，2人3分；

情況2：1人1分，1人2分，1人3分；

情況3：3人都是2分，

結合圖表知得。分，1分，2分，3分的概率分別為

151,151,101201

p=—=—,p=—=—,p=—=—,pw——=—,

604604606603

所以隨機抽取3人得6分的概率為

194

(3)根據(jù)題意從樣本中科普過程性積分不低于1分的學生中抽取1人，得1分、2分、3分的頻率依次為;,A1,

所以從全?？破者^程性積分不低于1分的學生中隨機抽取1名學生其積分，為1分、2分、3分的概率估計

依次為

則任意取2名同學，其積分之差的絕對值不超過1的可能有：｛1分，1分｝;｛1分，2分｝;｛2分，2分｝;

｛2分，3分｝;｛3分，3分｝五種可能,

111222^244457

即Pi=—X—+2x—X—+—X—+2x—X—+—X—=——

333999999981

任意取2名同學，其積分之差的絕對值不低于1的可能有：｛1分，2分｝;｛1分，3分｝;｛2分，3分｝三種

可能,

cl2cl4c2452

即=2x—x—F2x—x—F2x—x-=—

239399981

顯然A.

19.已知橢圓C：5+/=1(Q〉"0)的離心率為弓，左、右頂點分別為A，4.上、下頂點分別為片,層,

且面積為2.

(1)求橢圓C的方程;

(2)點尸是橢圓。上一點(不與頂點重合)，直線4P與1軸交于點直線4尸、與尸分別與直線交于

點N、D,求證：與△與。加的面積相等.

【答案】⑴土+犬=1

4

(2)證明見解析

【分析】(1)由題意列出關于。，4c的方程組，求出即可得解；

(2)由題意引入?yún)?shù)上表示男尸的斜率，進一步表示出的坐標(含參)，結合弦長公式、點到直

線的距離公式表示兩個三角形的面積即可得證.

/=Z?2+c2

【詳解】（1）由題意可得~-~~~，注意至Ua>Z?>0,c>0,解得a=2,0=l,c=石，故橢圓方程為

a2

L2b=2

[2

—+/=1;

4

由題意4(一2,。)，4(2,0)，4(0,1),5(0,-1),

因為點尸不與橢圓頂點重合，所以直線用P斜率存在且不為0,且不等于土;,

所以設4尸：y=fcv+l1%w0,左

y=kx+\

）

聯(lián)立二2_=＞（1+4左2爐+8履=o,顯然A=6必2〉0,

彳+,二

_8k一8k之1一4/

由韋達定理可知%+。=%尸=]+4攵2，從而yp=hp+1=+1=

1+4/1+442

8G1-4后2

所以P

1+4左2'1+4/

得苫=所以M1-

在y=履+1中令y=0,

4

1,x=-----

y=-x-ll-2k41+2%)

易知4為:y=—x—l,聯(lián)立2n所以。

1+2%l-2k'l-2kL

y=kx+ly~

\-2k

1-4公

l-4fc2(1-24)(1+2左)1+2%

注意到直線的斜率為%=1贄2

TV+22(1-4左+4廿)-2(1-2兀y.2(1-2無)'

1+4左2

1+2k/\

所以仍廣而兩（x+2），

11I

y=-x-lx=——

2k

聯(lián)立，所以N

l+2kz<I

y=-7-----r(x+2)y=-----1

I2k

記點A到DN的距禺、點鳥到DM的距禺依次為dyDN,^B2-DM

則口…小"阿方寸$廠

同理SAB^DM=5^B-DM-||=E,*..Jl+，2=

2|r^4||i^j

綜上所述，AADN與△與OM的面積相等，命題得證.

20.已知函數(shù)〃x）=F，其中a＞0.

⑴當。=1時，求曲線y=〃尤）在點（1,〃1））處的切線方程;

⑵求“X）的單調區(qū)間;

/、,.11

（3）當占＜%且網(wǎng).尤2＞。時，判斷了（%）-/仁）與蠢一京的大小，并說明理由.

【答案】（l）y-e=O

⑵單調遞增區(qū)間為（—，+m］；單調遞減區(qū)間為（-8,。）和

（3）答案見解析

【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義計算即可求解;

（2）利用導數(shù)討論函數(shù)了（無）的單調性即可；

（3）構造函數(shù)g（x）=〃x）-｝利用二階導數(shù)討論函數(shù)g（x）的單調性，即可下結論.

【詳解】（1）當4=1時，所以廣（無）=（..），.

XX

所以/(l)=e，r(l)=O.

所以曲線y=〃x）在點（L/■⑴）處的切線方程為y-e=o.

（2）〃元）的定義域為（Y,0）U（。，田），且〃尤）=（"：?*.

令/'（x）=0,得彳=!,

/'（X）與〃力的情況如下:

X(-00,0)

a

r(x)--0+

〃x)/

所以“X)的單調遞增區(qū)間為單調遞減區(qū)間為(y，。)和(。，j

(3)當<%2且玉>0時'，證明如下：

令g(x)=〃x)-L則g，(x)=("T1e"+l.

%X

設7z(x)=(辦—l)e^+l,貝!J〃'(%)=/門".

所以當九￡(YO,0)時,“⑴<0；當x?0,+oo)時，”(x)>0.

所以h(x)在(-a),0)上單調遞減，在(0,+“)上單調遞增.

從而/z(x)>/z(O)=O,即g<x)>0.

所以g(%)的單調遞增區(qū)間為(-8,0)和(0,+8).

當。<玉時，g(再)<g(%)，即/(項)一/(%2)<：-:；

當演<。時，且(王)<且(%2)，即/(%)一/(工2)<:—｝.

綜上，當王<工2且M-2>。時，/(工1)一/(入2)<----