2025北京房山中學(xué)高二（下）檢測一

數(shù)學(xué)

試卷共4頁，共150分.考試時間90分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.

一、選擇題：（每小題5分，共50分）

1.數(shù)列嶼，3,"，J無，…，則后是這個數(shù)列的第（）

A.8項B.7項C.6項D.5項

2.設(shè)數(shù)列｛4｝的前幾項和為5“=/-〃，則出的值為（）

A.14B.15C.48D.63

3.已知函數(shù)/（4）=加一3%2+2%-1,且己'（1）=2,則〃=（）

A.-1B.2C.1D.0

4.若等比數(shù)列｛〃/滿足4+%=5,且公比q=2,則/+。5=

A.10B.13C.20D.25

5.下列求導(dǎo)運算正確的是

A.（ln2）*=0B.（cos%）'=sin%

C.（e~xy=e~xD.（x_5J=—g—

6.等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，前〃項積為《，已知%=-4,%=-1，則（）

A.S“有最小值，7；有最小值B.S“有最大值，7；有最大值

C.S“有最小值，7；有最大值D.S”有最大值，7；有最小值

7.已知曲線y=/（x）在（5,/（5））處的切線方程是y=—x+5,則“5）與尸（5）分別為（）

A.5,-1B.-1，5C.-1，0D.0,-1

8.若數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，數(shù)列｛2｝為等比數(shù)列，則下列不等式一定成立的是（）

A.4+。4<”2+”3B.%一"1<4一"2

D.<a2a3

9.設(shè)｛4｝是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“｛4｝為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)N0,當“>乂時,

a?>0”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

10.已知函數(shù)/（%）滿足/（1）=—1,/'（1）=2,則函數(shù)y=/學(xué)在x=l處的瞬時變化率為（

e2ee2e

二、填空題(每小題5分，共30分)

11.在等差數(shù)列｛4｝中，已知g+4=6,則該數(shù)列前5項和S5=.

1+Ax1

12.已知函數(shù)/(x)=*+x,則/「/(—1)]=；lim^()-/()=

-Ax

13.我國古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有“衰分問題”：今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問次日

織幾問？其意為：一女子每天織布的尺數(shù)是前一天的2倍，5天共織布5尺，請問第二天織布的尺數(shù)是

14.已知｛%｝是公差不為0的等差數(shù)列，且q,4，為成等比數(shù)列?則該等比數(shù)列的公比為.

15.無窮數(shù)列｛%｝的前〃項和記為若｛%｝是遞增數(shù)列，而｛S“｝是遞減數(shù)列，則數(shù)列｛%｝的通項公式可

以為-.

16.過原點作曲線y=lnx的切線，則切點坐標為,切線方程為.

三、解答題(共70分.要求有必要的解題步驟)

17.已知函數(shù)/(X)=x」nx.

(1)求這個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；

(2)求曲線y=/(x)在點。，/⑴)處的切線方程.

18.已知等差數(shù)列｛4｝滿足%=9，/+。9=22.

(1)求｛4｝的通項公式；

(2)等比數(shù)列出｝的前〃項和為S“，且乙=q,再從條件①、條件②、條件③這三個條件中任選擇兩個

作為已知條件，求滿足5“<2025的〃的最大值.條件①：么=%+%；條件②：J=7；條件③：

19.已知數(shù)列｛%｝滿足q=0,2an+1-an-??+1=l(neN*),

(1)計算的，的，％，并推測｛4｝的通項公式；

(2)證明你所得到的結(jié)論.

20.在數(shù)列｛4｝中％=1,an+i=2an+n-l,neN*.

(1)證明：數(shù)列｛%+“｝是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛%｝的通項公式凡；

(3)求數(shù)列｛%,｝的前“項和公式S”.

21.設(shè)｛%｝和也｝是兩個等差數(shù)列，記q,=min｛4+的也+%〃，…+4〃｝(?=1,2,3,…)，其

中minN，馬,…，七｝表示A，%2,…%這s個數(shù)中最小的數(shù).

(1)若4=-n,b”=n,求證：｛%｝不是等差數(shù)列；

⑵若。“=2,b，，=n,證明：｛%｝是等差數(shù)列；

(3)證明：或者對任意實數(shù)存在正整數(shù)加，當〃上小時，土<M；或者存在正整數(shù)相，使得％,

n

^m+l9JM+2'…是等差數(shù)列.

參考答案

一、選擇題：(每小題5分，共50分)

1.【答案】C

【詳解】解：數(shù)列6,3,岳,萬，…，

可化為：數(shù)列出，邪,JI?,后，…,

則數(shù)列的通項公式為：4=衍與，

當an=5/6/1—3=A/33時，貝!J6力一3=33,

解得：〃=6,

故庖是這個數(shù)列的第6項.

故選：C.

【點睛】本題考查的知識點是數(shù)列的函數(shù)特性，數(shù)列的通項公式，其中根據(jù)已知歸納總結(jié)出數(shù)列的通項

公式，是解答的關(guān)鍵.

2.【答案】A

【詳解】由于數(shù)列｛%｝的前〃項和Sn=/_〃，

所以A=56,S7=42,

所以〃8=$8-S7=14.

故選：A

3.【答案】B

【詳解】f(x)=3ax2-6^+2,(1)=3a-4=2,解得：a=2.

故選：B.

4.【答案】C

【詳解】試題分析：方法一：根據(jù)觀察，數(shù)列可以為L2,4,8,16,....,即a“=2"T,那么

/+%=4+16=20.

方法二：對于/+%=4/=4(4+/),又4+%=5,則%+%=4x5=20.

方法三：對于q+。3=。1+。應(yīng)2=q+4。1=5,解方程可得，4=1,那么通項％=2"T,可知。3=4,

a5=16,則為+%=20.

故選C.

考點：1等比數(shù)列的基本性質(zhì)；2等比數(shù)列的通項公式.

5.【答案】A

【詳解】由題意，常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0,可得(In2)'=。是正確的，所以A是正確的；

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算公式，可得(cos%)'=—sin%,(e-x)，=—"x,(工")，=—5廠:所以B、C、D是錯誤

的，故選A.

【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的運算，其中解答中熟記導(dǎo)數(shù)的運算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與

運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

+d=—4

【詳解】依題意《一，二=-7,d=3==3〃-10,

6+2d=-1

由/<0解得〃<T,〃eN*,

所以等差數(shù)列｛4｝的前幾項和5“滿足：S3最小，無最大值.

6=—7,a2=—4,a3=—1,a4—2,a5—5,...

4=-7,4=281=-28/=-56,……

所以〃23時：7；,<0,且為遞減數(shù)列.

故，有最大值28,沒有最小值.

故選：C

7.【答案】D

【詳解】由題意得f(5)=-5+5=0,f(5)=-1.

故選D.

【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】D

(1儼111

【詳解】若么=(_巳),則4=1,4=—可

71

可得：+Z?4=~>b2+b3=——,故選項A錯誤；

若b“=2",則4=2,4=4,4=8,a=16

可得：a-4=14〉用一4=4,故選項B錯誤；

若％=肛，貝［|q=1,4=2,%=3,%=4

可得：=4<。2。3=6，故選項C錯誤；

不妨設(shè)｛4｝的首項為％,公差為d,則有：

01a4=%(q+3d)=q2+3o1d

的生=(q+d)(q+")=aj+2d2+3qd

則有：a2a3一q。4=2/20,故選項D正確

故選：D

9.【答案】C

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,則d/0,記國為不超過x的最大整數(shù).

若｛%,｝為單調(diào)遞增數(shù)列，則d〉0,

若qNO,則當〃22時，tz?>?!>0；若4<0,則%=4+(〃—1)2,

由%nq+e-l)]〉。可得">1一幺，取乂=l--y+1,則當〃>No時，an>0,

d_d_

所以，“｛4｝是遞增數(shù)歹！Tn“存在正整數(shù)No,當“>N0時，?！啊?”；

若存在正整數(shù)N。，當“〉乂時，?！啊?,取左?N*且左>乂，4>0,

假設(shè)d<0,令4=為+(〃-%)d<0可得〃〉上一》，且k-》>k,

當〃〉k-^+1時，an<0,與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，則d>0,即數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)歹！J.

所以，“｛/｝是遞增數(shù)列”u“存在正整數(shù)No，當">乂時，%>0”.

所以，“｛4｝是遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)N。，當〃〉乂時，〉0”的充分必要條件.

故選：C.

10.【答案】c

【詳解】」("小),

/e八2%+2e八%+1

y=/4在x=1處的瞬時變化率為'⑴:'⑴=2-(「)=A.

ex+1e1+1e2e2

故選：C.

二、填空題(每小題5分，共30分)

11.【答案】15

【詳解】：出+。4=%+%=6，；.S5=5(4；—)=^^=[5.

故答案為：15

12.【答案】①.0②.3

22

[詳解]/(-1)=(-1)-1=0,.-./[/(-1)]=/(0)=0+0=0;

2

/(1+Ax)-/(1)(1+Ax)+1+Ax-2

lim----------=lim-----------------=lim(Z\x+3)=3-

Ax-?OA%Axf0\yAxf0''

故答案為：0；3.

13.【答案】坦

【詳解】由題可得該女子每天織布的尺數(shù)成等比數(shù)列，設(shè)其首項為4,公比為4=2,

則見匕）=5,解得q=9

1-231

所以第二天織布的尺數(shù)為4=鼻義2=黑.

故答案為：—.

31

14.【答案】2

【詳解】設(shè)l）d,則。2=%+d，〃4=〃i+3d,

又％,a2,%成等比數(shù)列，貝4（%+d）2=q（q+34）=>/=々儲，又dwO,

2d》

則q=d,則公比為一=—=2.

%a

故答案為：2

15?【答案】

a?=--（答案不唯一）.

n

【詳解】因為｛s“｝是遞減數(shù)列，可以考慮。“<0,而｛4｝是遞增數(shù)列，可以構(gòu)造氏=-匕

n

故答案為：a=--（答案不唯一）.

nn

16.【答案】①.（e,1）x-ey=O

【詳解】設(shè)切點坐標為：（毛,均）,

因為y=lnx,

所以y——，

X

因為切線過原點，

所以切線的斜率為：左=上包=」_,

解得X。=e,%=1,

所以切點坐標為：（e,l）,

切線方程為：y=—x,即尤-ey=O,

故答案為：（e,l）；x-ey=Q.

三、解答題（共70分.要求有必要的解題步驟）

17.【答案】(1)/'(x)=lnx+l

(2)x-y-l=O

【小問1詳解】

/'(x)=x'1nx+x(lnx)=In%+1；

【小問2詳解】

由(1),r(i)=i,又/(i)=o,

則切線方程滿足y_/(l)=/'(l)(x_l)nx_y_l=O.

18.【答案】(1)an=2n-l

(2)10

【小問1詳解】

設(shè)等差數(shù)列｛/｝的公差為d,

a3+a9=2a6=22,=11,/.d=%—%=2,

61n=%+(〃—5)d—9+2(〃—5)—2〃—1.

【小問2詳解】

由(1)知：4=4=1,設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4

若選①②：?「&=%+4=1+3=4,/.S3=4+d+&=5+么=7,b2=2,

b240T)_1-2"

"=廣=2,???S"=2"-b

4l-q~1-2

???｛Sj為遞增數(shù)列，4=1024—1=1023,%=2048—1=2047,

滿足S.<2025的n的最大值為10；

若選①③：,.,4=%+。。=1+3=4,q-=U=4,

瓦

又2+1〉么，：q>L，q=2,.s[(1-4)=lzZl=2"_l

"1-q1-2

為遞增數(shù)列，Ho=lO24—l=lO23,Su=2048—1=2047,

滿足S"<2025的n的最大值為10；

若選②③：S3=4+d+勿=l+q+q2=7,q=2或q=—3,

n

,,°bA\-q\1-2"

又2+1>優(yōu)，:?q=2,：.sn-------=2"—1，

1—41-2

,「｛S"｝為遞增數(shù)列,九=1024—1=1023,%=2048-1=2047,

.?.滿足S〃<2025的n的最大值為10.

?小田、、123n-1/

19.【答案】(1)。2=—'"3=—，〃4=—；a=---

234nnv

(2)證明見解析.

【小問1詳解】

由題，2a2—%?%=1n2a2=1n%=-；

3243

2a3-a2-a3=l=^>—a3=1=>%=—；2a4-%?%=1=>§%=1n%="

則推測%=3(“eN*)；

n'7

【小問2詳解】

證明：a“N*).

當〃=1時，結(jié)論顯然成立;

假設(shè)〃=左僅一*)成立，則氏

K

k

貝U2%…=1=2一〒磯=1=工%=171

即"=左僅"*)成立時，〃=左+1也成立，又〃=1時，結(jié)論成立,

則結(jié)論對所有正整數(shù)均成立，則?！?巴3〃eN*).

n')

20.【答案】(1)證明見解析

n

(2)an=2—n

qn(n+l]

(3)S=2n+l-2—-——L

n2

【小問1詳解】

???為+i+(〃+1)=2為+〃-1+〃+1=2%+2〃=2(%+K),又q+1=2,

數(shù)列｛4+科是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列.

【小問2詳解】

由(1)得：o“+〃=2x2"T=2",，為二？"—〃.

【小問3詳解】

由(2)得：S“=(雪+2?+23+…+2")_(1+2+3+…+〃)=2(：；

口n（n+\\

=2"i-2一一----.

2

21.【答案】（1）證明見解析；

（2）證明見解析；（3）證明見解析；

【小問1詳解】

an=—n,bn—n,二％=—1,a,=—2,%=—3,=1,瓦=2,瓦=3,

q=min{1-1x1}=0,c2=min[1-1x2,2-