【摘要】在新高考背景下，針對(duì)數(shù)學(xué)解題教學(xué)過(guò)程中可能存在的誤區(qū)：重視解法套路的提煉、重視最優(yōu)解法的獲取、重視解題分析的引導(dǎo)、重視規(guī)范解答的示范，結(jié)合案例給出了四種解決對(duì)策：回歸本原通法、注重經(jīng)驗(yàn)積累、注重讓位真思、注重試錯(cuò)糾錯(cuò)。【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；解題教學(xué)；誤區(qū)；對(duì)策新高考改革給數(shù)學(xué)解題教學(xué)帶來(lái)了全新的機(jī)遇與挑戰(zhàn)。新高考強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查，注重知識(shí)的綜合運(yùn)用與思維的深度拓展。因此，原有的解題教學(xué)模式可能會(huì)深陷誤區(qū)，阻礙學(xué)生在新高考體系下數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面提升與個(gè)性發(fā)展。本文就高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中出現(xiàn)的幾個(gè)誤區(qū)進(jìn)行分析并提出相應(yīng)的對(duì)策。一、走出套路誤區(qū)，注重回歸本原1.誤區(qū)：重視解法套路的提煉，忽視概念原理的領(lǐng)悟在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師有時(shí)過(guò)度重視解法套路的提煉，熱衷于整理各類題型的固定解法步驟，讓學(xué)生機(jī)械記憶。這會(huì)導(dǎo)致學(xué)生雖能應(yīng)對(duì)一些常規(guī)題目，但遇到稍作變化、需要靈活運(yùn)用概念原理的問(wèn)題時(shí)便不知所措。例如，在學(xué)習(xí)拋物線定義時(shí)，教師提問(wèn)滿足到定點(diǎn)F（1，0）的距離比到定直線x=0距離大1的點(diǎn)的軌跡是什么？有了拋物線的定義，不少學(xué)生就將定直線x=0轉(zhuǎn)化為定直線為x=-1，把原題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)到一定點(diǎn)F（1，0）和一條定直線x=-1的距離相等的點(diǎn)的軌跡，得到答案y2=4x。顯然，這種解法只是進(jìn)行了簡(jiǎn)單的模仿，忽略了概念原理的生成。2.對(duì)策：回歸本原通法，讓基礎(chǔ)更厚實(shí)對(duì)于上述問(wèn)題，回顧拋物線定義的由來(lái)，不妨從代數(shù)角度來(lái)求證：由已知條件可得PF=d+1，即[（x-1）2+y2]=|x|+1，化簡(jiǎn)得（x-1）2+y2=x2+1+2|x|，即-2x+y2=2|x|。可以得到，當(dāng)x≥0時(shí)，y2=4x，當(dāng)xlt;0時(shí)，y=0。通過(guò)代數(shù)計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，結(jié)果并不是上面簡(jiǎn)單的模仿，可以發(fā)現(xiàn)圖形是由拋物線和一個(gè)射線組成。然后，教師進(jìn)一步提問(wèn)：（1）若將定直線變成x=-2，則滿足到定點(diǎn)的距離F（1，0）比到定直線x=-2距離小1的點(diǎn)的軌跡是什么？（2）若將定直線變成x=[12]，則滿足到定點(diǎn)的距離F（1，0）比到定直線x=[12]距離大[32]的點(diǎn)的軌跡是什么？學(xué)生通過(guò)代數(shù)計(jì)算可得（1）y2=4x；（2）當(dāng)x≥[12]時(shí)，y2=4x；當(dāng)xlt;[12]時(shí)，y2=3-2x。教師繼續(xù)追問(wèn)學(xué)生，通過(guò)定義的領(lǐng)悟、本源方法的回歸，你能體會(huì)到這類問(wèn)題的共性嗎？為什么有時(shí)是一段，有時(shí)是兩段呢？如何不通過(guò)代數(shù)計(jì)算發(fā)現(xiàn)結(jié)果是一段或者兩段？學(xué)生結(jié)合圖形反思領(lǐng)悟，可以發(fā)現(xiàn)（1）中若點(diǎn)在直線x=-2左側(cè)，到定點(diǎn)的距離F（1，0）一定大于到定直線x=-2距離，而（2）中點(diǎn)可能在直線x=[12]的兩側(cè)，所以有兩種情況。有了回歸本原通法的分析，學(xué)生下次在解決同類問(wèn)題時(shí)就不會(huì)是簡(jiǎn)單的模仿。通過(guò)深入理解概念原理構(gòu)建扎實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)，學(xué)生在面對(duì)復(fù)雜多變的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，就能夠依據(jù)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的深刻把握靈活應(yīng)變。二、走出優(yōu)解誤區(qū)，注重經(jīng)驗(yàn)積累1.誤區(qū)：重視最優(yōu)解法的獲取，忽視解題經(jīng)驗(yàn)的積累教師在講解題目時(shí)，往往會(huì)直接展示最為便捷高效的解題路徑，學(xué)生也將目光聚焦于記住最優(yōu)解法，卻忽視了在探尋解法過(guò)程中解題經(jīng)驗(yàn)的積累。這使得學(xué)生一旦脫離教師的引導(dǎo)，面對(duì)新題時(shí)缺乏獨(dú)立思考和探究的能力。例1證明不等式[12-1+122-1+123-1+…+12n-1lt;53]（n∈N*）生解：因?yàn)?n-1gt;3·2n-2（n≥3），所以[12-1+122-1+123-1+…+12n-1]lt;1+[13]+[13?2]+[13?22]+…+[13?2n-2]=1+[13]+[13][?][121-12]（1-[12n-2]）=[53]-[13?2n-2]因?yàn)閇13?2n-2]gt;0，所以[12-1+122-1+123-1+…+12n-1lt;53]（n∈N*）不可否認(rèn)，這種解法很簡(jiǎn)潔，將原數(shù)列放縮為等比數(shù)列，使得問(wèn)題輕松求解。但是如何獲取這個(gè)最優(yōu)解的呢？下次面對(duì)新面孔學(xué)生還能順利解題嗎？2.對(duì)策：注重經(jīng)驗(yàn)積累，讓反思更深入因此，在上述問(wèn)題的教學(xué)中，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生思考三個(gè)問(wèn)題：（1）為什么想到這種方法？放縮的本質(zhì)內(nèi)涵是什么？（2）有沒(méi)有其他放縮的形式？（3）有沒(méi)有其他解決問(wèn)題的角度？教師可以提示學(xué)生觀察通項(xiàng)[12n-1]，要想得到理想效果直接將[12n-1]變成等比數(shù)列[12n]，雖然容易求和但是發(fā)現(xiàn)方向反了；因此必須將分母2n-1變小，此時(shí)發(fā)現(xiàn)[k+1k+1?]2n-1=[kk+1?]2n+[kk+1?]2n-1，這樣只要保證[1k+1?]2n-1≥0即可。若k=3，得到n≥2，就可以帶來(lái)上面的不等式2n-1gt;3[?]2n-2（n≥3）。有了這樣的分析，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)很多其他放縮方法。對(duì)解題方法的本質(zhì)挖掘，不僅可以讓學(xué)生學(xué)會(huì)一題多解，從結(jié)果來(lái)看當(dāng)k取值越大，放縮越精確，學(xué)生進(jìn)一步學(xué)會(huì)了這種從彌補(bǔ)的角度進(jìn)行放縮，從而達(dá)到“見(jiàn)木見(jiàn)林”的高度。繼續(xù)解決例1，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步反思證明不等式除了放縮為等比數(shù)列，還可以放縮為裂項(xiàng)相消的方法。教師要善于與學(xué)生一起分析每一個(gè)步驟的合理性，嘗試其他可能的解法并比較優(yōu)劣，注重底層邏輯的挖掘，一起從題目的條件和問(wèn)題中挖掘出一般性的解題策略和數(shù)學(xué)思想。通過(guò)這樣的教學(xué)，可以使得學(xué)生的每一次解題的經(jīng)歷轉(zhuǎn)化為應(yīng)對(duì)多樣化的數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，從而進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。三、走出引導(dǎo)誤區(qū)，注重讓位真思1.誤區(qū)：重視解題分析的引導(dǎo)，忽視第一思維的讓位由于教學(xué)進(jìn)度的壓力，為了讓學(xué)生盡快掌握解題方法、提高解題能力，教師通常選擇直接向?qū)W生展示標(biāo)準(zhǔn)的解題步驟和方法，從題目條件的分析、相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用到最終答案的得出，都進(jìn)行細(xì)致入微的引導(dǎo)和講解，卻忽略了學(xué)生第一思維的發(fā)展空間，這一現(xiàn)象值得深入研究和反思。由于對(duì)知識(shí)系統(tǒng)性傳授的認(rèn)知偏差，教師往往認(rèn)為只有通過(guò)完整、系統(tǒng)的講解過(guò)程，才能讓學(xué)生構(gòu)建起嚴(yán)密的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，忽略了學(xué)生在探索過(guò)程中形成的知識(shí)建構(gòu)方式。其實(shí)數(shù)學(xué)課不僅僅要讓學(xué)生掌握知識(shí)和解題技巧，還要注重基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累。第一思維的讓位會(huì)對(duì)學(xué)生思維的獨(dú)立性產(chǎn)生抑制，讓學(xué)生逐漸形成依賴心理，遇到問(wèn)題首先等待教師的講解，而不是主動(dòng)運(yùn)用自己的思維去嘗試解決，缺乏獨(dú)立思考和分析問(wèn)題的能力。第一思維蘊(yùn)含著學(xué)生獨(dú)特的創(chuàng)造力和想象力，忽視其發(fā)展會(huì)導(dǎo)致學(xué)生思維的固化。第一思維的讓位會(huì)導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的降低，由于缺乏自主探索和成功解決問(wèn)題的體驗(yàn)，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣逐漸減弱。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變成了被動(dòng)地接受知識(shí)和模仿解題，而不是主動(dòng)地探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣。2.對(duì)策：注重讓位真思，讓參與更充分當(dāng)學(xué)生在自主探索過(guò)程中遇到困難時(shí)，教師要把握好介入的時(shí)機(jī)和方式。不能直接給出答案，而應(yīng)通過(guò)提問(wèn)、啟發(fā)等方式引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考自己的思路，幫助他們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題所在，并嘗試自己修正和完善。在學(xué)生嘗試解決問(wèn)題但陷入困境時(shí)，教師可以提問(wèn)：“你是怎么理解題目中的這個(gè)條件的？你為什么會(huì)選擇這樣的解題方法？”引導(dǎo)學(xué)生反思自己的思維過(guò)程。在學(xué)生充分表達(dá)和嘗試自己的第一思維后，教師再展示標(biāo)準(zhǔn)的解題分析方法，并與學(xué)生的思路進(jìn)行對(duì)比。讓學(xué)生明白不同思維方式的優(yōu)缺點(diǎn)，引導(dǎo)他們將自己的思維與教師的引導(dǎo)相結(jié)合，形成更加完善的解題策略。教師還可以將學(xué)生提出的不同解題思路和標(biāo)準(zhǔn)解法一起列在黑板上，從解題的簡(jiǎn)潔性、準(zhǔn)確性、通用性等方面進(jìn)行對(duì)比分析，幫助學(xué)生拓寬思維視野。例2：已知橢圓E：[x24]+y2=1的左，右頂點(diǎn)分別為A，B，圓x2+y2=4上有一動(dòng)點(diǎn)P，P在x軸上方，C（1，0），直線PA交橢圓E于點(diǎn)D，連結(jié)DC，PB。設(shè)直線PB，DC的斜率存在且分別為k1，k2，若k1=λk2，求λ的取值范圍。例2的通常解法思路為路徑1：[設(shè)AP：y=k（x+2）→D點(diǎn)坐標(biāo)→k2——P點(diǎn)坐標(biāo)→k1——————→λ=f（k1）]事實(shí)上，例2學(xué)生除了上面給出的解題思路外，教學(xué)實(shí)踐中學(xué)生的出發(fā)點(diǎn)和想法還有很多，比如路徑2：設(shè)BP：y=k1（x-2）→AP：y=-[1k1]（x+2）→D點(diǎn)坐標(biāo)→k2→λ=g（k1）路徑3：設(shè)CD：y=k2（x-1）→D點(diǎn)坐標(biāo)→kAD→k1→λ=h（k2）設(shè)點(diǎn)和設(shè)線是解析幾何的兩大出發(fā)點(diǎn)，本題學(xué)生提出的其他路徑同樣能順利地解決問(wèn)題，這樣的思考是有效的、貼近學(xué)生實(shí)際的。重視解題分析的引導(dǎo)與保護(hù)學(xué)生的第一思維同等重要。通過(guò)營(yíng)造適宜的教學(xué)環(huán)境、合理介入引導(dǎo)以及進(jìn)行有效的對(duì)比整合，讓學(xué)生充分參與，實(shí)現(xiàn)兩者的平衡發(fā)展，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)其獨(dú)立思考和創(chuàng)新思維能力。教師在課堂上要鼓勵(lì)學(xué)生大膽表達(dá)自己的第一思維，無(wú)論其想法是否正確，都給予充分的尊重和耐心的傾聽(tīng)。在講解前，先讓學(xué)生獨(dú)立思考幾分鐘，然后請(qǐng)學(xué)生分享自己的初步想法和思路，教師不急于評(píng)價(jià)，而是引導(dǎo)其他學(xué)生進(jìn)行討論和分析，從而營(yíng)造寬松的思維環(huán)境。四、走出示范誤區(qū)，注重試錯(cuò)糾錯(cuò)1.誤區(qū)：重視規(guī)范解答的示范，忽視錯(cuò)誤資源的利用傳統(tǒng)的解題教學(xué)往往側(cè)重于規(guī)范解答的示范，卻忽視了對(duì)學(xué)生錯(cuò)誤的挖掘與利用。例3：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，a1=1，an+1=[13]Sn，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。規(guī)范解答如下：因?yàn)閍1=1，an+1=[13]Sn，得到n≥2，an=[13]Sn-1，由兩式相減，得到an+1-an=[13]an（n≥2），所以an="""""。應(yīng)該說(shuō)教師在解題教學(xué)中規(guī)范解答示范必不可少，但是本題講解就這樣結(jié)束，學(xué)生會(huì)提出不少質(zhì)疑，下次面對(duì)類似的題目還會(huì)繼續(xù)走不少?gòu)澛?，那么面?duì)學(xué)生中產(chǎn)生的多種思維角度尤其是多種得不到正確結(jié)果的方法我們?nèi)绾翁幚砟兀?.對(duì)策：注重試錯(cuò)糾錯(cuò)，讓資源再利用學(xué)生錯(cuò)誤解題過(guò)程若能得到妥善運(yùn)用，將成為提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)與解題能力的有效工具。對(duì)于本題，學(xué)生的兩種典型錯(cuò)誤如下。方法1：因?yàn)閍1=1，an+1="[13]Sn，得到n≥2，an="[13]Sn-1。兩式相減，得an+1-an="[13]an，所以an=（[43]）n-1。方法2：因?yàn)閍1=1，an+1=[13]Sn，又因?yàn)閍n+1=Sn+1-Sn，得到Sn+1="[43]Sn，Sn=（[43]）n-1，求得an="[13]（[43]）n-2?？梢园l(fā)現(xiàn)學(xué)生的這兩種解法得到的結(jié)果不一樣，與教師給出的示范解答也不一樣，看來(lái)兩種方法都出現(xiàn)了錯(cuò)誤。認(rèn)真思考，仔細(xì)分析，發(fā)現(xiàn)方法1與正確答案的區(qū)別就是忽略了n≥2。事實(shí)上，學(xué)生在解這類數(shù)學(xué)題的過(guò)程中經(jīng)常會(huì)忽略這樣的范圍，所以教師應(yīng)該讓錯(cuò)誤資源再利用，讓學(xué)生在知錯(cuò)中醒悟。方法2中，學(xué)生從消去通項(xiàng)an的角度來(lái)解決問(wèn)題，這樣的解題出發(fā)點(diǎn)很好，但是問(wèn)題又出在哪里呢？通過(guò)與學(xué)生一起糾錯(cuò)，發(fā)現(xiàn)由Sn=（[43]）n-1求an的過(guò)程中應(yīng)該依據(jù)an=[S1，n=1Sn-Sn-1，n≥2]，從而得到正解an=。學(xué)生的典型錯(cuò)誤反映了學(xué)生在知識(shí)理解、思維邏輯、解題方法運(yùn)用等方面的漏洞與偏差。通過(guò)對(duì)錯(cuò)誤的分析與糾正，能夠精準(zhǔn)定位學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)，學(xué)生也能更深刻地理解數(shù)學(xué)概念與原理，避免再次犯錯(cuò)。錯(cuò)誤資源猶如一面鏡子