2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式

目錄

【題型歸納］...................................................................2

題型一：解不含參數(shù)的一元二次不等式.............................................2

題型二：一元二次不等式與根與系數(shù)關(guān)系的交匯.....................................2

題型三：含有參數(shù)的一元二次不等式的解法.........................................4

題型五：實際問題中的一元二次不等式問題.........................................7

型,、■不等式的恒成與有解I口J.9

題型七：一元二次方程根的分布問題..............................................10

【重難點集訓(xùn)】................................................................12

【高考真題】..................................................................21

【題型歸納】

題型一：解不含參數(shù)的一元二次不等式

1.（2024.高一.全國?課后作業(yè)）不等式尤2一4x+4>0的解集是.

【答案】3**2}

【解析】由％2_4%+4>0,即（％-2）2>0,解得％w2,

所以不等式/一4%+4>0的解集是{冗1%02}.

故答案為：3%工2}

2.（2024?高一?全國?課后作業(yè)）不等式3f+5x+lvjc—f_1的解集是.

【答案】0

【解析】原不等式等價于尤2+x+[<0,由于爐+尤+!=[+工]-+工>0恒成立，

22I2）4

因此原不等式的解集為。.

故答案為：0

工2_3%>Q

）尤2—3尤<4.

【解析】由/一3尤>0可得x>3或x<0,

由f-3x<4可得-l<x<4,

故不等式組的解為{尤或3<x<4},

4.（2024.高一.江西南昌?開學(xué)考試）解下列方程和不等式：

（l）x2—2x—8=0

（2）6X2+5X-6>0

【解析】（1）依題意，X?-2x-8=（尤-4）（x+2）=0,

解得x=4或x=—2.

（2）依題意，6x?+5x-6=（3x-2）（2x+3）>0

解得或3x>2\,

所以不等式的解集為1x[x<-T或x>|]

題型二：一元二次不等式與根與系數(shù)關(guān)系的交匯

5.（多選題）（2024?高二?浙江寧波?期末）若關(guān)于x的一元二次不等式依2+fer+c>0（a,6,ceR）的解集為

{止2<x<3},則（）

A.。>0B.bc>0

C.a+b=OD.a-b+c>0

【答案】BCD

【解析】對于A,由題意，結(jié)合二次函數(shù)丁="2+笈+。的圖象知，拋物線開口應(yīng)向下，則。<0,故A錯

誤；

對于B,依題意，a<0,且一元二次方程依2+6x+c=o的兩根為一2和3,

-2+3=--

由韋達定理，<"，故6=-。>0,c=~6a>0,即6。>0,故B正確；

-2x3=-

.a

對于C,由上分析可得。+6=0,故C正確；

對于D,由上分析可得a-6+c=a-（-a）+（-6a）=-4a>0,故D正確.

故選：BCD.

6.（2024高一?河北石家莊.開學(xué)考試）已知不等式尤2+a+c<0的解集為{x|-2<x<l},則6=,c=

【答案】1-2

【解析】依題意，不等式/+加+c<0的解集為{x|-2<x<l},

（-b=-2+l

所以。?,解得b=l,c=-2.

[c=-2xl

故答案為：1；—2

7.（2024局三,全國?專題練習(xí)）若關(guān)于元的不等式Y(jié)—2ax-/v0（〃>0）的解集為{%[%<無<%},且

x2-Xj=15,貝！J。的值為.

【答案】

【解析】關(guān)于元的不等式％2—2雙-/v0（〃>0）的解集為{引％<X<%},

玉,x?是一元二次方程x2-2ax-a2=0^>0）的實數(shù)根，

.,.A=4?2+46Z2>0,

2

且%+%=2〃，XjX2=-a.

.W一玉=15,

/.152=（玉+%2）2—4玉%2=4/+4Q2,

又a〉0,解得a=

4

故答案為：.

4

8.（2024?高一?上海?課后作業(yè)）若不等式-3Kx2—2改+〃4—2有唯一解，則。的值是

【答案】2或-1

【解析】由于>=￥-2以+4為開口向上的二次函數(shù)，

22

不等式-3<x-2aX+a<-2的解可看作是y=x-2ax+a^￡y=-2,y=-3之間的圖象對應(yīng)的橫坐標(biāo),

故不等式一3<尤2-2ax+。V-2有唯一解，貝!!x2一2or+a=-2有唯一解.

即A=4〃—4(。+2)=0,解得a=2或a=-l.

故答案為：2或-I

題型三：含有參數(shù)的一元二次不等式的解法

9.(2024?高三?福建寧德?開學(xué)考試)解關(guān)于x的不等式加-422》-2依(aeR).

【解析】不等式ox?一422*-2分化為依2+(2a-2)x-4>0,

①當(dāng)a=0時，原不等式化為2尤+440,解得了4-2.

②當(dāng)。>0時，原不等式化為［尤二］(x+2”0,解得途2或尤4一2.

IaJa

③當(dāng)a<0時，原不等式化為］x-1［(x+2)W0.

22

當(dāng)一>—2,即av-L時，

aa

2

當(dāng)一=-2,即a=—1時，解得％=—2滿足題意；

a

22

當(dāng)一<一2,即一1vav0時，角軍得—<x<-2.

aa

綜上所述，當(dāng)。=0時，不等式的解集為何尤〈-2｝；

當(dāng)a>0時，不等式的解集為卜X'：或rW-2，；

當(dāng)時，不等式的解集為卜-2卜

當(dāng)a=-l時，不等式的解集為｛-2｝；

當(dāng)a<-l時，不等式的解集為

10.(2024.高一.湖南長沙.期末)當(dāng)。<1時，解關(guān)于龍的不等式3-沙x-末<0.

【解析】當(dāng)。=0時，代入不等式可得T+l<0,解得X>1；

當(dāng)0<a<1時，化簡不等式可得1x—1)<0即)(x—1)<0,

由1>1得不等式的解為1<了<工，

aa

當(dāng)q<0時，化簡不等式可得a［x—］（x—1）<0即［x----j（x—1）>0,

由得不等式的解為尤>i或尤<L

aa

綜上可知，當(dāng)。=0時，不等式（ar-1）（彳-1）<0的解集為｛x|x>l｝；

當(dāng)0<a<l時，不等式（辦一1）（無一1）<0的解集為，尤

當(dāng)a<0時，不等式（分一l）（x—l）<0的解集為“卜〈:或x>l｝.

11.（2024?高一?云南曲靖?階段練習(xí)）解下列不等式

（1）-X2+2X-3<0

（2）2x2-5ax+2a2<0

【解析】（1）因為一丁+2%—3<0,即f_2%+3>0,

注意至！］（%—iy+2N2>0,所以不等式—/+2%—3<0的解集為R.

（2）因為—5改+2/<0,即（2x-a）（x-2a）V。，

令（2九一〃）（九一2。）=0,解得x=￡或x=2a,

若a>0,BP|<2?,所以不等式的解集為1x《<x<2a>；

若a=0,即2f<0,所以不等式的解集為0；

若a<0,即■|>2a,所以不等式的解集為

綜上所述：若。>0,不等式的解集為<尤<2a1；

若a=0,不等式的解集為0；

若a<0,不等式的解集為卜12a<龍<■!1.

12.（2024?高一?安徽?階段練習(xí)）解關(guān)于x的一元二次不等式2履2十區(qū)一?0.（結(jié)果用集合表示）

O

【解析】由已知，可得左w0,

（1）當(dāng)%>0時，方程2阮2+阮_|=0有兩實根再2=一y,+3.,

不等式的解集為［J士乎運<尤<

4k4k

3

（2）當(dāng)月<0時，方程2近20+履—=o的根的判別式八二公+3院

8

①當(dāng)-3＜左＜0時，A＜0,所求不等式的解集為R；

②當(dāng)上=—3時，△=（）,所求不等式的解集為卜卜

③當(dāng)左＜-3時，△＞（）,所求不等式的解集為x＜-k+d「3k或x＞-k7「3k

—k+y/k2+3k

綜上所述:當(dāng)后＞0時，解集為

,.,,I—k+'k~+3k

當(dāng)上<一3時，解集為-----------或x>

當(dāng)左=-3時，解集為

一3＜左＜0時，解集為R.

題型四：一次分式不等式的解法

3r-1

13.（2024?高一?廣東?開學(xué)考試）不等式：JyNO的解為

【答案】X＞-ngx＜-2

【解析】由入?yún)s,得

3r-11

所以不等式^―的解為xN：或無＜—2.

2x+43

故答案為：無之；或無＜—2

14.（2024?高一?全國?課堂例題）不等式上;＞0的解集是.

【答案】{,x＞-2或x＜—3}

_i_3

【解析】缶r＞0等價于（尤+3）（x+2）＞0,解得*＞一2或x＜-3,

故解集為何尤＞-2或x＜-3}.

故答案為：何彳＞-2或x＜-3}

15.（2024?高一?全國?課堂例題）不等式*20的解集是—

【答案】{?。?或&2}.

(x+2)(x—4)>0,

【解析】原不等式等價于

九一4w0,

解得x>4或％<-2,

故不等式的解集是{x|x>4或X<-2}.

故答案為：{x|x>4或xW-2}

2r-1

16.（2024.高一.全國.課堂例題）不等式的解集為

2x+l

【答案】{X|-2<兀<5}

【解析】原不等式可以化為（2%-1）（2%+1）<0,

即卜一3：一—[<0,解得一卜<3，

故原不等式的解集為

故答案為：{x|-]<尤<]}

題型五：實際問題中的一元二次不等式問題

17.（2024.高一.陜西?階段練習(xí)）某禮服租賃公司共有300套禮服供租賃，若每套禮服每天的租價為200

元，則所有禮服均被租出；若將每套禮服每天的租價在200元的基礎(chǔ)上提高10x元（1VXW20,xeZ）,

則被租出的禮服會減少10x套.若要使該禮服租賃公司每天租賃禮服的收入超過6.24萬元，則該禮服租賃公

司每套禮服每天的租價應(yīng)定為（）

A.220元B.240元C.250元D.280元

【答案】C

【解析】依題意，每天有300-10x套禮服被租出，

該禮服租賃公司每天租賃禮服的收入為

（300-10%）-（200+10%）=—100/+1000X+60000元.

因為要使該禮服租賃公司每天租賃6.24萬元，

所以-100%2+1000%+60000>62400,

即Y-10x+24<0,解得4<x<6.因為且xeZ,所以》=5,

即該禮服租賃公司每套禮服每天的租價應(yīng)定為250元.

故選：C.

18.（2024?高三.全國?專題練習(xí)）在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積不小于300m2的內(nèi)接矩形

花園（陰影部分），則圖中矩形花園的其中一邊的邊長x（單位：m）的取值范圍是（）

B.{x|12<x<25)

C.1x|10<x<30}D.{x[20<x<30}

【答案】C

【解析】

?,DEAFxAF

如圖，過A作AH于H,交DE于F,易知——=—,即一=—

BCAH4040

則=FH=4Q—x.所以矩形花園的面積S=x（40-x）N300,

mi0<x<30.

故選:C.

19.（2024?高一?江蘇連云港?階段練習(xí)）某地每年銷售木材約20萬立方米，每立方米價格為2400元，為了

減少木材消耗，決定按銷售收入的,%征收木材稅，這樣每年的木材銷售量減少gr萬立方米.為了既減少木

材消耗又保證稅金收入每年不少于900萬元，則f的取值范圍是（）

A.{力此3}B.{d3</<5}C.{f|3<?<5}D.{r|/<5}

【答案】B

【解析】由題設(shè)2400x，％x（20—gr）2900且0</<8,整理得產(chǎn)一8/+15V0,可得3W/45.

故選：B

20.（2024?高一?全國?單元測試）某商品的成本價為80元/件，售價為100元/件，每天售出100件，若售價

O

降低X成（1成=10%）,售出商品的數(shù)量就增加]X成，要求售價不能低于成本價.

（1）設(shè)該商品一天的營業(yè)額為y,試求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若要求該商品一天的營業(yè)額至少為10260元，求尤的取值范圍.

【解析】（1）依題意售價降低x成則商品售價為10。卜-[]=1。（1。-尤）元/件，

售出商品數(shù)量為1。。［1+。］=4（25+旬件，

所以該商品一天的營業(yè)額為'=10（1。-尤）x）（25+4x）,

又售價不能低于成本價，所以10（10-司-8020,解得xW2,

所以>=40（10—x）（25+4x）（0WxW2）.

（2）由（1）商品一天的營業(yè)額為y=40（10—x）（25+4x）（0WxW2）,

令40（10—x）（25+4x）^10260,化簡得8爐_30尤+13W0,

,,113

解得——x--r?X0<x<2,

24

所以x的取值范圍為卜

題型六：不等式的恒成立與有解問題

Y—1

21.（2024?高一?山西大同?階段練習(xí)）（1）解不等式：-~->1；

2x-3

（2）若不等式/一2尤-1>。的解集為R,求實數(shù)。的取值范圍.

【解析】（1）三g>l即為［三>0即（x—2）（2%-3）<0,

解得T<x<2,故原不等式的解集為1x||<x<2:.

（2）因為不等式好一2%—1>々的解集為R,故爐一2%—1一〃>0的解集為R,

故A=4+4+4a<0,所以Q<—2.

22.（2024?高一?浙江金華?階段練習(xí)）若不等式依2_2%+2>0對于滿足1<兀<4的一切實數(shù)x恒成立，則實

數(shù)〃的取值范圍是.

【答案】?>1

【解析】因為l<x<4,所以由62一2%+2>0得a>^^=-2x4+2x'=-2（1-L1+-,

x2x2x2）2

又9<_L<i,所以工=：,即*=2時，三2取得最大值5，

4xx2x2

所以a>:.

故答案為：a>—.

23.（2024?高一?江蘇南京?階段練習(xí)）當(dāng)時，不等式Y(jié)-〃吠+4>0恒成立，則實數(shù)能的取值范圍

為.

【答案】m<4

【解析】當(dāng)1<%<3時，X2-rwc+4>0<^nvc<x2m<x+—,

x

4

因此，當(dāng)1<工43時，不等式Y(jié)一如+4>0恒成立，即mvx+-恒成立，

x

4I44

而當(dāng)1<%<3時，x+—>2jx'—=4,當(dāng)且僅當(dāng)了=—,即％=2時取等號，于是得機<4,

xVxx

所以實數(shù)機的取值范圍為m<4.

故答案為：m<4

24.（2024.高三.上海寶山.開學(xué)考試）若命題“對任意的％￡R,都有依2+工+1<（）”為假命題，則實數(shù)4的取

值范圍為.

【答案】^eR

【解析】由題意可知，命題“存在力￡R,Q%2+x+l20"為真命題.

當(dāng)a=0時，由％+1N0可得合乎題意；

當(dāng)a>0時，存在JTN—1,使得ox?+%+i2"220成立，

當(dāng)avO時，A=l—4〃>0,所以存在九ER,QY+X+INO成立，

綜上所述，當(dāng)〃的取值范圍為全體實數(shù).

故答案為：

題型七：一元二次方程根的分布問題

25.（2024?高一?遼寧?階段練習(xí)）關(guān)于元的一元二次方程依2+3%_I=O有實根，則上的取值范圍是（）

9999

A.kW—B.kN—且左w0C.kN—D.k>—且左w0

4444

【答案】B

【解析】利用判別式直接求出結(jié)論，注意左。0,從而求出答案.由題可知：4=32+4左20

9

所以《2-二，又因為上w0

4

~9

所以左2——且左wo.

4

故選：B.

26.（2024?高一嘿龍江哈爾濱?階段練習(xí)）已知西是關(guān)于元的一元二次方程-一（加+1）X+2加-1=0的兩

個不相等的實數(shù)根，且滿足X：+々2=18,則實數(shù)加的值是（）

A.-3B.5C.-5或3D.5或-3

【答案】A

【解析】由韋達定理可得%+々=帆+1，%%2=2小-1,然后結(jié)合k+k=18可解出根，然后進行檢驗即可.因為

尤1，彳2是關(guān)于X的一元二次方程f-（"7+1次+27”-1=0的兩個不相等的實數(shù)根，

所以%+x2=m+1,%/=2m-1,

222

所以玉2+92=（%+x2）—2石馬=（^t+l）—2（2m—l）=m—2m+3=18

解得小=5或m=-3

當(dāng)機=5時，方程%之一6%+9=0無解，故舍去

當(dāng)根=-3時滿足題意

故選：A

27.（2024?高一?安徽合肥?期中）一元二次方程％2_4加+2根+6=0有兩個不等的非正根，則實數(shù)加的范圍

為（）

3

A.—3<m<0B.—3<m<—1C.—3<m<—1D.—1<m<—

2

【答案】C

【解析】因為一元二次方程/一4g:+2機+6=0有兩個不等的非正根，

A=16m2-4（2m+6）>0

<2m<0,

2m+6>0

解得—3<m<—1,

故選：C

28.（2024?高一?全國?課后作業(yè)）若方程爐+（〃?+2卜+機+5=0只有正根，則根的取值范圍是（）

A.mWT■或機24B.-5<m<-4

C.-5<m<-4D.-5<m<-2

【答案】B

【解析】方程f+（根+2）x+m+5=0只有正根，貝IJ

（1）當(dāng)△=（m+2）2-4（m+5）=0,即加=±4時，

當(dāng)機=T■時，方程為（兀-1）2=。時，X=1,符合題意；

當(dāng)m=4時，方程為（x+3）2=0時，尤=一3不符合題意.

故根=-4成立；

⑵當(dāng)△=（機+2）2-4（m+5）>0,解得機<-4或機>4,

A=（m+2）2-4（m+5）>0

則<-（m+2）>0,解得-5<m<T.

m+5>0

綜上得-5<m<-4.

故選B.

29.（2024?高一?上海奉賢.階段練習(xí)）若毛、馬是方程尤2+2〃武+川-根-1=0的兩個實數(shù)根，且

芯+%=占%-1,則實數(shù)m的值為.

【答案】1

【解析】由一元二次方程有兩個實根，結(jié)合韋達定理、判別式/20即可求修的值.「方程有兩個實數(shù)根,

即A=4m2-4（m2-m-1）>0,

2

由題意知：玉+%=-2m,XjX2=m-m-1,

又占+%=玉々-1,.-.m2+m-2=0,

解得m=1或〃?=-2（舍去），

即有raj=1.

故答案為：1

30.（2024?高一?全國?課后作業(yè)）若方程/+2px+3P-2=0有兩個負根，則實數(shù)P的取值范圍為.

【答案】上|<°41或2:

【解析】設(shè)方程的兩個根分別為4，馬，利用韋達定理計算得到答案.設(shè)方程的兩個根分別為毛，尤2，由

A=4p2-4（3p-2）>0,、

題意及根與系數(shù)的關(guān)系，得，西+%=-2。<0,解得:<p41或p22,因此實數(shù)P的取值范圍為

玉％=3p-2>0,

pp<l^p>2>.

故答案為：jp1<p<>2

31.（2024.高二?山東苗澤?期中）若關(guān)于x的一元二次方程尤2一2尤+彳=0有兩個不相等的正實數(shù)根，則實數(shù)

4的取值范圍是.

【答案】0<Z<l

【解析】,?一元二次方程爐-2尤+4=0有兩個不相等的正實數(shù)根,

A>04-42>0

玉+%〉0=><2>0,.-.0<2<1.

再%>02>0

故答案為。</<1

【重難點集訓(xùn)】

1.（2024?高一?遼寧?階段練習(xí)）設(shè)正實數(shù)。、b、c滿足〃則當(dāng)今取得最小值時,

ab

珀曰一七生、

—2+;3---6-的取大值為（z）

abc

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】依題意，由c=/一仍+4/,得-"+4/=@+竺_]22。/一1=3,

ababba\ba

當(dāng)且僅當(dāng)?=竺，即。=26時等號成立，貝卜=6/,

ba

因止匕2+1-9=3+1■一+：=-（1-2）2+444,當(dāng)且僅當(dāng)6=：時取等號，

abc2bb66~bbb2

所以當(dāng)a=l,6=[c=：時，2+取得最大值4.

22abc

故選：D

2.（2024?高一?遼寧?階段練習(xí)）已知ly區(qū)1且2x+y=l,貝12x?+16x+3y2的最小值為（）

A.—B.=C.13D.3

72

【答案】D

【解析】因為及區(qū)1且2x+y=l,

所以-lWyVl,y=-2x+\,

所以—1K—2光+1K1,

所以0K九41,

11Q

則令?。?2犬+原+39+1）*4。+/+亍

當(dāng)04x41時，“X）單調(diào)遞增，

11Q

所以當(dāng)x=0時，Ax）取得最小值為14X（0+：）2+/=3,

77

即2/+16x+3V的最小值為3,

當(dāng)且僅當(dāng)*=0、y=1時取最小值.

故選：D.

3.（2024.高三.江蘇南通.階段練習(xí)）已知集合4={小。8尤+7訓(xùn)，集合3={巾2-6+16<0},則

A5=（）

A.{x[74元<8}B.{尤|7〈尤V8}C.|x|2<x<7j-D.{x[2<xV7}

【答案】A

【解析】集合A={X|X2-8X+7>0}=[X\X<1或尤>7）,

集合8=}卜2-10>+16<0}={引2<y<8},

所以AnB=1x|7<x<8}.

故選：A.

4.（2。24?高三?天津南開?階段練習(xí)）“煞VI，，是“送弓，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】A

【解析】由不等式生［wl,可得W<0,所以八x：3）（：+2）V°,解得_2<XM3,

x+2x+2|x+2/0

又由x一；V；,可得一解得一2WXW3,

乙乙乙乙乙

因為何-2<尤<3｝是｛x|-2<x<3｝的真子集,

Oy—115

所以“力小,是‘一5用”的充分不必要條件

故選：A.

5.（2024高一?河南?期末）"-3<〃?<1”是“不等式（9-1）/+（〃z-l）x-l<0對任意的xeR恒成立”的

（）條件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

【答案】A

【解析】當(dāng)〃z=l時，（根一l）x?+（加一對任意的xeR恒成立；

當(dāng)初力1時，要使不等式+（帆-1卜-1<0對任意的xeR恒成立,

w-1<0

貝U應(yīng)有1A=(m根解得-3<m<\.

綜上所述，加的取值范圍為-3〈根WL

顯然"-3<〃?<1”包含的范圍包含于"-341”包含的范圍,

所以，"-3<根<1”是“不等式（〃?T）d+W-1h-1<0對任意的xeR恒成立”的充分不必要條件

故選：A.

6.（2024?高一?江蘇南京?期末）已知實數(shù)天，丫滿足d+y2+w=l,則％+V的最大值為（）

A.更B.也C.2D.3

33

【答案】A

【解析】由/+9+孫=1得，（彳+?=.+1,

因為孫4gL所以（x+y）2Vgi+1，即（x+y）21,

所以一3空，所以當(dāng)且僅當(dāng)尤=y=且時，x+y取最大值為撞.

3333

故選：A.

7.（2024?高一?江西新余期中）不等式——如必<。的解集是{%|2vx<3},則o?一笈+此。的解集是

（）

A.{%|2<x<3}B.{x|—1<x<—C.{%|—/<%<—§}D.{x|—<x<1}

【答案】B

【解析】由題設(shè)2,3是12—女—人=。的兩個根，則，=5,力=—6,

所以依之一。％+1=5x2+6x+1=（5x+l）（x+l）<0,即一1<%<一（,

故不等式解集為{如-1<》<-5.

故選：B

8.（2024?高一?湖北恩施?階段練習(xí)）已知相，且的zwO,對于任意xNO均有

^x-m）^x-n）^x-3m-n）>0,貝|（）

A.m<0B.m>0C.n<0D.n>0

【答案】C

【解析】當(dāng)相<0時，在x20上，x-m20恒成立，所以只需滿足（九一九）（九一3加一恒成立，此時

3m+n<n,由二次函數(shù)圖象可知，只有〃<0時滿足（X-〃）（九一3加一〃）20,而〃>0不滿足條件；

當(dāng)〃<0時，在％之0上，兀-〃之。恒成立，所以只需滿足（犬—加）（％—3加—九）N0恒成立，此時等于0的方程

兩根分別為％=根和元=3m+〃,

①當(dāng)2m+〃>0時，此時0<加V3m+〃，當(dāng)尤之0時，（%—加）（%—3加一幾）20不恒成立；

②當(dāng)2加+〃<0時，此時3根+九〈根，若滿足（九一加）（1-3加一〃）之。恒成立，只需滿足根<0；

③當(dāng)2〃?+〃=0時，此時3機+〃=m>0,滿足（1—加）（九一3加一2。恒成立.

綜上可知，滿足（％-機）（1-九）（X-3加一〃）20在無20恒成立時，只有九<0.

故選：C.

9.（多選題）（2024?高一?遼寧?階段練習(xí)）已知關(guān)于光的一元二次不等式辦2+法+°>（）的解集為加，則下

列說法正確的是（）

A.若Af=0,貝ljaV。且〃-4ac40

B.若二=2=三，則關(guān)于x的不等式“+以+c，>0的解集也為u

abc

C.若M={x|-1v%v2},則關(guān)于x的不等式a(x2+1)+b(x-l)+c<2ax的解集為N={%|x<0,或%>3}

D.若/=口|尤/%,%為常數(shù)},S.a<b,則°+奶+公的最小值為5+2亞

【答案】ACD

【解析】A選項，若M=0,即一元二次不等式依2+云+°>0無解,

則一元二次不等式OX?+〃x+c40恒成立，

??.avO且b2_4ac40,故A正確；

nhcahc

B選項‘令則"=7、"7、c=7

■■-a'x2+b'x+c'>O^^^J-(ax2+bx+c)>0,

當(dāng)/<0時，-(a廠+bx+c)>?？苫癁閛r2+6x+c<0,其解集不等-故B錯誤;

t

C選項，若加="|一1<了<2},

則a<0,且-1和2是一元二次方程以2+法+°=0的兩根，

bc

?--1+2=——,且一1x2=一,/.b=-a,c=-2a,

aa

關(guān)于1的不等式a，+l)+6(x-l)+c<2ax可化為a，+1)一〃(％一1)一2q<2ax,

可化為—3%)<0,a<。，/.x2-3x>0,角星得X<0或無>3,

即不等式。(Y+l)+6(x—l)+cv2ax的解集為N={%|x<0,或x>3},故C正確；

D選項，Af={x|%w/,不為常數(shù)},

打￡

/.a>0且〃-4ac=0,.a+3Z7+4c_"+'儀,

b>a>0,:.b-a>0,令b—Q=t>0,貝ljb=a+/,

b2..,、(a+￡)2

a+3Z?H----Q+3(Q+，)H----------

當(dāng)且僅當(dāng)t=則0=（1+?。ヾe」“：",且。為正數(shù)時，等號成立，

所以"+3”+公的最小值為5+26,故D正確.

b-a

故選：ACD.

10.（多選題）（2024.高一.江蘇徐州.階段練習(xí)）為配制一種藥液，進行了兩次稀釋，先在體積為丫的桶中

盛滿純藥液，第一次將桶中藥液倒出5升后用水補滿，攪拌均勻，第二次倒出3升后用水補滿，若在第二

次稀釋后桶中藥液含量不超過容積的75%,則V的可能取值為（）.

A.4B.40C.8D.28

【答案】CD

【解析】第一次稀釋后，藥液濃度為

V-515

第二次稀釋后，藥液濃度為』一5一廠X3_"+,

VV

v+15_

依題意有V<”。/，即V2—32V+60V0，解得24V430,

-------------SIJ70

V

XV-5>0,即V?5,所以5WVW30.

故選：CD.

11.（多選題）（2024?高一.浙江溫州?開學(xué)考試）已知函數(shù)>="2+法-3,則下列結(jié)論正確的是（）

A.關(guān)于尤的不等式ax2+bx-3<0的解集可以是{小>3}

B.關(guān)于尤的不等式如2+法一3>0的解集可以是0

C.函數(shù)y=加+6x-3在（0,+8）上可以有兩個零點

D.“關(guān)于x的方程火°+法-3=0有一個正根和一個負根”的充要條件是"a>0"

【答案】BCD

【解析】對A,若不等式*+6x-3<0的解集是{尤卜>3},則a=0旦36-3=0,得6=1,

而當(dāng)〃=0,b=l時，不等式ax?+笈_3<0,即九一3<0,得九<3,與x>3矛盾，故A錯誤；

對B,取a=-l,b=0,此時不等式-f―3>0的解集為0,故B正確；

對C,取a=—1,b=4,貝!J由y=—J?+4x—3=0,得％=1或3,故C正確；

aw0

對D,若關(guān)于x的方程ax?+笈一3=0有一個正根和一個負根，貝卜3八，得a>0,

——<0

、a

若a>0,則A=Z?2+i2a>0,故關(guān)于x的方程依2+以一3=0有兩個不等的實根A，x2,

3

且玉工2=<。，關(guān)于X的方程狽2+云_3=0有一個正根和一個負根.

a

因此“關(guān)于x的方程ax?+法一3=0有一個正根和一個負根”的充要條件是“a>0”,故D正確.

故選：BCD.

12.（多選題）（2024.高三.浙江紹興.期末）已知awR,關(guān)于％的一元二次不等式（6-2）（犬+2）>0的解集

可能是（）

A.”卜〉2或X<_2}B.2}

C.D.卜/一}

【答案】ACD

【解析】當(dāng)a=0時，（依一2）（x+2）=—2（x+2）>0=xV—2；

當(dāng)a>0時，（ax—2）（x+2）=〃卜一■|}x+2）〉0nx或％<—2,故A正確；

當(dāng)〃<0時，（ax—2）（x+2）=----）（x+2）,

若4=-2na=-l,則解集為空集；

a

22

若一<_2n—lva<0,則不等式的解為：一<x<-2,故D正確；

aa

22

若—>-2n〃<-l,則不等式的解為：-2<x<一,故C正確.

aa

故選：ACD

13.（2024?高一?江蘇徐州?階段練習(xí)）已知再，々是關(guān)于1的方程幺-（2左+1）%+左2+1=0的兩個實數(shù)根，若

土=（，則上的值為_____.

x22

【答案】7或1

【解析】由尤是關(guān)于X的方程d-（Ik+^x+k2+1=。的兩個實數(shù)根，

貝［］占+/=2%+1,尤2占=父+1,

因為土=；，故土+逗印—直一2=?,

々2%占2尤2占2

所以但后+1）2—2二工,

lc+\2

化簡得發(fā)2一8左+7=0,

解得左=7或左=1

故答案為：7或1.

14.（2024?高一?浙江寧波?專題練習(xí)）對實數(shù)機，”.定義運算“軟'為：7〃&2=7.已知關(guān)于x的方

程x0（a€）x）=.若該方程有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)。的值是若該方程有兩個不等負根，則實

數(shù)。的取值范圍是

【答案】0a>0

【解析】因為a0x=

所以九位（［（8）%）=%（8）（6+%）=%（依+%）+（依+%）=（々+1）%2+（〃+i）x,

又兀⑥伍區(qū)力二一7,所以（〃+1）/+（Q+1）X+；=0,

即4（a+l）元2+4（i7+l）x+l=0,

4（a+l）^0

若該方程有兩個相等的實數(shù)根，則《解得a=0；

A=16（a+l）2-16（a+l）=0

4（a+l）40

2

若該方程有兩個不等負根，貝U■A=16（a+l）-16（a+l）＞0,解得。＞0,

、＞0

[4J.+1）

所以實數(shù)。的取值范圍是。>0.

故答案為：0：a>Q

"X?—x—2〉0,

15.(2024.高一.上海.隨堂練習(xí))整數(shù)人使關(guān)于x的不等式組，上+(3-中』<。解集中的整數(shù)只有一2,

則由上的值組成的集合為.

【答案】{-1,0,1,2,3}

【解析】由*2_工_2>0,

得了>2或x<-1,

由尤2+(3—k)x—3k<0,

得(x+3)(x-Q<0,

當(dāng)人=一3時，(x+3)2<0,無解，不合題意；

當(dāng)左<-3時，k<x<-3,則原不等式組的解集中不包含-2,不合題意;

當(dāng)人>一3時，一3cx<3

因為原不等式組的解集中只有一個整數(shù)-2,

如圖，結(jié)合數(shù)軸可知，—2W3,keZ,

所以去￡{—1,0,123}.

故答案為：{-1,0,1,2,3}.

―?—?_6_?__?——?~~6-6J—?——?—>

-5-4-3-2-1012345x

16.（2024?高一?全國?專題練習(xí)）已知集合人=卜［上［■<（）］,5={乂/一?根+1）1+2碩n+l）=。}.若“命題

pXx^B,4="|/<。1"是真命題，求加的取值范圍

【解析】由題意可知"<0n（x-l）（x+2）<0=_2<x<l,即A={x|—2<x<l},

2

X—（3m+l）x+2m（m+1）=0=＞石=2m,x2=m+1

若“命題p：v尤eg,A=Z已<。卜是真命題，則8屋4,

-2<2m<1

所以=^>-1<m<0,

-2<m+1<1

故根的取值范圍為：｛訓(xùn)-1<機<0｝.

17.(2024?高一?上海?課堂例題)設(shè)awR,解下列關(guān)于x的不等式：

(l)(x-tz)(x+3)>0；

(2)(x—a)(x-2<7)>0；

(3)x(x—tz)>(d5+l)(x—tz).

【解析】(l)當(dāng)av—3時，由(％—2。解得：或了之-3；

當(dāng)〃=—3時，由(x—a)(x+3)N0得(％+3)220,所以xcR；

當(dāng)。>一3時，由(％—。)(x+3)之0解得：x<-3^x>a.

綜上，當(dāng)av-3時，原不等式的解集為"|無4，或工之-3｝；當(dāng)〃=-3時，原不等式的解集為R；當(dāng)，>-3

時，原不等式的解集為k|x<-3或XNQ｝.

(2)當(dāng)avO時，由(x-〃)(％-2a)>0解得：x<2a或無>〃；

當(dāng)a=0時，由(％—.)(％—2〃)>0得％2>0,所以lw0；

當(dāng)a>0時，由(x-a)(x-2a)>0解得：x<a^x>2a.

綜上，當(dāng)a<。時，原不等式的解集為｛x|x<2a或x>a｝；