/岳陽市2024屆高三教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)（三）數(shù)學(xué)本試卷共19題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級(jí)、考號(hào)和姓名填寫在答題卡指定位置.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).3．非選擇題必須用黑色字跡的簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4．考生必須保證答題卡的整潔.考試結(jié)束后，只交答題卡.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式化簡(jiǎn)集合，結(jié)合交集的定義求.【詳解】不等式，可化為，所以不等式的解集為，所以，又，所以，故選：B.2.若虛數(shù)單位是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則（）A. B.2 C. D.5【答案】C【解析】【分析】利用方程根的意義，結(jié)合復(fù)數(shù)為0的充要條件求出，再求出復(fù)數(shù)的模.【詳解】依題意，，即，又，則，所以.故選：C3.直線的一個(gè)方向向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出給定直線的斜率即可得該直線的一個(gè)方向向量，再求與共線的向量即可.【詳解】直線的斜率為，則直線的一個(gè)方向向量，對(duì)于A，因，即向量與共線，A是；對(duì)于B，因，即向量與不共線，B不是；對(duì)于C，因，即向量與不共線，C不是；對(duì)于D，因，即向量與不共線，D不是.故選：A.4.下列命題正確的是（）A.若直線上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，則B.若直線不平行于平面且，則平面內(nèi)不存在與平行的直線C.已知直線，，平面，且，則直線，平行D.已知兩條相交直線，，且平面，則與相交【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間直線與平面的位置關(guān)系的定義，分類，及幾何特征，逐一分析選項(xiàng)，可得答案.【詳解】若直線上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，則或與相交，故A選項(xiàng)不正確；若直線不平行于平面且，則與相交，所以平面內(nèi)不存在與平行的直線，故B選項(xiàng)正確；已知直線，平面，且，則直線平行或異面，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；兩條相交直線，且平面，則平面或與相交，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B5.已知為奇函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)圖象平移的規(guī)則，且為奇函數(shù)，得出函數(shù)圖象的對(duì)稱性，進(jìn)而得出的值.【詳解】由函數(shù)圖象平移的規(guī)則可知：函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位、向下平移個(gè)單位得到的，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，得：，即，故選：D.6.把5個(gè)人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相鄰的兩天，乙丙安排在相鄰的兩天，則不同的安排方法數(shù)是（）A.96種 B.60種 C.48種 D.36種【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，結(jié)合相鄰問題和不相鄰問題的方法即可求得.【詳解】依題意，設(shè)這五個(gè)人分別為甲乙丙丁戊.第一步，將乙丙看成一個(gè)整體，考慮2人之間的順序，有種情況，第二步，將這個(gè)整體與丁戊全排列，有種安排方法，第三步，排好后產(chǎn)生4個(gè)空位，因甲乙不相鄰，則只能從3個(gè)空中任選1個(gè)安排甲，有種安排方法.則由分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的方案共有種.故選：D.7.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.有最小值25 B.有最大值25 C.有最小值50 D.有最大值50【答案】B【解析】【分析】由，利用等差數(shù)列的性質(zhì)推出，再利用基本不等式計(jì)算即得.【詳解】由可得，因則等差數(shù)列的公差，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)，取得最大值25.故選：B.8.已知函數(shù)，不存在最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分別在條件下結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性及二次函數(shù)性質(zhì)，確定函數(shù)的取值規(guī)律，由條件列不等式求的范圍，可得結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，若，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因?yàn)椴淮嬖谧钚≈?，所以，所以，?）當(dāng)時(shí)，若，則，因函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因?yàn)椴淮嬖谧钚≈担?，所以，所以?shí)數(shù)的取值范圍是，故選：C.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列結(jié)論正確的是（）A.，則B.C.的展開式的第6項(xiàng)的系數(shù)是D.的展開式中的系數(shù)為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)，解不等式判斷A，利用組合數(shù)的性質(zhì)證明結(jié)論判斷B，根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求第6項(xiàng)，確定其系數(shù)，判斷C，結(jié)合二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式及組合數(shù)性質(zhì)求展開式中的系數(shù)，判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋山M合數(shù)性質(zhì)可得或，A錯(cuò)誤，對(duì)于B，，所以，B正確，對(duì)于C，展開式的第6項(xiàng)為，所以第6項(xiàng)的系數(shù)是，C錯(cuò)誤，對(duì)于D，的展開式中的系數(shù)為，的展開式中的系數(shù)為，的展開式中的系數(shù)為，所以的展開式中的系數(shù)為，D正確，故選：BD.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.的單調(diào)遞減區(qū)間為C.的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到D.滿足條件的最小正整數(shù)為2【答案】ABD【解析】【分析】觀察函數(shù)圖象，確定函數(shù)的周期，由此可求，判斷A，再結(jié)合時(shí)，函數(shù)取最大值，列方程求，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求的單調(diào)遞減區(qū)間，判斷B，根據(jù)函數(shù)圖象變換結(jié)論，判斷C，先求，化簡(jiǎn)不等式可得范圍，解不等式確定的范圍，判斷D.【詳解】設(shè)函數(shù)的周期為，觀察函數(shù)圖象可得，，所以，又，所以，A正確，因?yàn)闀r(shí)，函數(shù)取最大值，，所以，，所以，故，由，可得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，B正確，函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，C錯(cuò)誤，因?yàn)?，所以，，所以可化為，所以或，由可得，，所以，即，取可得，取可得，由可得，，所以，即，取可得，所以滿足條件的最小正整數(shù)為2，D正確，故選：ABD11.如圖，四邊形是圓柱的軸截面且面積為2，四邊形繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到四邊形，則（）A.圓柱的側(cè)面積為B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，四面體的外接球表面積最小值為D.當(dāng)時(shí)，【答案】ABD【解析】【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，由已知可得，結(jié)合圓柱的側(cè)面積公式判斷A，由條件，根據(jù)線面垂直判定定理證明平面，由此證明，判斷B，由條件求四面體的外接球的半徑，結(jié)合球的表面積公式和基本不等式求其最小值，判斷C，由條件利用表示，由此可得，解不等式求范圍，判斷D.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，因?yàn)樗倪呅问菆A柱的軸截面所以，因?yàn)樗倪呅蔚拿娣e為2，所以，即所以圓柱的側(cè)面積，A正確，因?yàn)闉閳A的直徑，所以，又平面，平面，所以，又平面，，所以平面，平面，所以，B正確；因?yàn)椋O(shè)四面體的外接球的半徑為，則，因?yàn)?，，所以，所以，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以四面體的外接球表面積最小值為，C錯(cuò)誤，因?yàn)?，，，所以，所以，又，所以，所以，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，所以，D正確，故選：ABD.【點(diǎn)睛】知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查圓柱的側(cè)面積的求法，線面垂直的判定定理，多面體的外接球問題，空間中兩點(diǎn)距離問題，屬于綜合題，綜合考查學(xué)生直觀想象能力，邏輯推理能力，要運(yùn)算求解能力.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知雙曲線過點(diǎn)，且漸近線方程為，則的離心率為______．【答案】##【解析】【分析】分焦點(diǎn)在軸或軸上兩種情況，設(shè)出雙曲線方程，依題意，得到方程組，解之即得離心率.【詳解】當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在軸上時(shí)，其方程為，依題有，方程組無解；當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，其方程為，依題有，解得，則.故答案為：.13.已知角的終邊關(guān)于直線對(duì)稱，且，則的一組取值可以是______，______．【答案】①.②.（答案不唯一，符合，或，，即可）【解析】【分析】由條件角的終邊關(guān)于直線對(duì)稱可得，由可得，解方程求即可.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊關(guān)于直線對(duì)稱，所以，，又，所以或，，所以，或，，，取可得或所以的一組取值可以是，故答案為：，，（答案不唯一，符合，或，，即可）14.如圖所示，直角三角形所在平面垂直于平面，一條直角邊在平面內(nèi)，另一條直角邊長(zhǎng)為且，若平面上存在點(diǎn)，使得的面積為，則線段長(zhǎng)度的最小值為______．【答案】##【解析】【分析】由題意，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，利用線面垂直的性質(zhì)可得，進(jìn)而，由三角形的面積公式可得，即可求解.【詳解】在中，，則，又平面，平面平面，所以平面，連接，，所以，得，設(shè)（），則，即，得，當(dāng)即即時(shí)，取到最小值1，此時(shí)取到最小值.故答案為：

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵是利用勾股定理和三角形面積公式計(jì)算得到、，而，即為所求.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知等差數(shù)列滿足：，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若等差數(shù)列的公差不為零且數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)數(shù)列公差，由條件列出方程，求解后運(yùn)用等差數(shù)列基本量運(yùn)算即得；（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)其形式結(jié)構(gòu)進(jìn)行拆項(xiàng)和裂項(xiàng)，利用分組求和法與裂項(xiàng)求和法即可求得.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，依題意，成等比數(shù)列，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為或.【小問2詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差不為零，由（1）知，則，所以，即.16.某地區(qū)舉行專業(yè)技能考試，共有8000人參加，分為初試和復(fù)試，初試通過后，才能參加復(fù)試.為了解考生的考試情況，隨機(jī)抽取了100名考生的初試成績(jī)，并以此為樣本，繪制了樣本頻率分布直方圖，如圖所示.（1）若所有考生的初試成績(jī)近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，，試?yán)谜龖B(tài)分布估計(jì)所有考生中初試成績(jī)不低于85分的人數(shù)；（2）復(fù)試共四道題，前兩道題考生每題答對(duì)得5分，答錯(cuò)得0分，后兩道題考生每題答對(duì)得10分，答錯(cuò)得0分，四道題的總得分為考生的復(fù)試成績(jī).已知某考生進(jìn)入復(fù)試，他在復(fù)試中，前兩題每題能答對(duì)的概率均為，后兩題每題能答對(duì)的概率均為，且每道題回答正確與否互不影響.規(guī)定復(fù)試成績(jī)上了20分（含20分）的考生能進(jìn)入面試，請(qǐng)問該考生進(jìn)入面試的概率有多大?附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則：，.【答案】（1）182人；（2）.【解析】【分析】（1）先根據(jù)頻率分布直方圖平均數(shù)估算公式求出樣本平均數(shù)，然后根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求得概率，即可求解；（2）根據(jù)題意確定的取值，并求出對(duì)應(yīng)的概率，利用互斥事件加法概率公式求解即可.【小問1詳解】由題意得，樣本平均數(shù)的估計(jì)值為，因?yàn)閷W(xué)生初試成績(jī)服從正態(tài)分布，其中則，所以，所以估計(jì)初試成績(jī)不低于85分的人數(shù)為人.【小問2詳解】記該考生的復(fù)試成績(jī)?yōu)?，則能進(jìn)入面試的復(fù)試成績(jī)?yōu)?0分，25分，30分，，，，所以該考生進(jìn)入面試的概率為.17.已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為4的菱形，，，，是線段上的點(diǎn)，且．（1）證明：平面；（2）點(diǎn)在直線上，求與平面所成角最大值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）連結(jié)，交于點(diǎn)，由條件證明，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量方法證明，結(jié)合線面垂直判定定理證明結(jié)論；（2）根據(jù)線面角的向量求法求出與平面所成角的正弦值，再求其最大值，由此可求線面角的最大值.【小問1詳解】連結(jié)，交于點(diǎn)，連，由，知，又平面又底面為菱形，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，邊長(zhǎng)為4，則，在直角三角形中，所以所以點(diǎn)，則所以，所以，，所以，所以，又，平面，所以平面，【小問2詳解】設(shè)，所以，故，所以平面的一個(gè)法向量是，設(shè)與平面所成角為，則當(dāng)時(shí)，平面，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又所以，故與平面所成角的最大值為18.已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)且與直線相切，記圓心的軌跡為曲線．（1）已知、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，直線、的斜率分別為、，證明：；（2）若點(diǎn)、是軌跡上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)且，設(shè)線段的中點(diǎn)為，圓與動(dòng)點(diǎn)的軌跡交于不同于的三點(diǎn)、、，求證：的重心的橫坐標(biāo)為定值．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）先有兩點(diǎn)間距離公式求出圓心的軌跡方程，再由斜率的定義表示出斜率，利用軌跡方程化簡(jiǎn)斜率之差即可證明；（2）先設(shè)直線的方程為，直曲聯(lián)立，用韋達(dá)定理表示出線段中點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)而得到的軌跡方程是，再與動(dòng)圓的方程聯(lián)立，得到、、的橫坐標(biāo)分別為，，，最后利用的展開式系數(shù)與相同，得到系數(shù)為零即可.【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)，依題有，化簡(jiǎn)并整理成，圓心的軌跡的方程為，，又，所以，所以.【小問2詳解】顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，由，消并整理成，在判別式大于零時(shí)，，又，所以，所以，，，所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)，則，消得，所以的軌跡方程是，圓過定點(diǎn)，設(shè)其方程為，由，得，設(shè)、、的橫坐標(biāo)分別為，，，因?yàn)?、、異于，所以，，都不為零，故的根為，，，令，即有，所以，故的重心的橫坐標(biāo)為定值．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問關(guān)鍵是圓過定點(diǎn)，設(shè)其方程為，然后與的軌跡方程聯(lián)立，表示出重心橫坐標(biāo)的方程，然后利用待定系數(shù)法求出結(jié)果.19.已知的三個(gè)角的對(duì)邊分別為且，點(diǎn)在邊上，是的角平分線，設(shè)（其中為正實(shí)數(shù)）．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)①當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極小值；②設(shè)是的最大零點(diǎn)，試比較與1的大?。敬鸢浮浚?）（2）①0；②答案見解析.【解析】【分析】（1）方法一：設(shè)，由，結(jié)合三角形面積公式化簡(jiǎn)可得，由此可求實(shí)數(shù)的取值范圍，方法二：由是的角平分線，結(jié)合面積公式證明，根據(jù)關(guān)系，結(jié)合余弦定理可得，結(jié)合三角形性質(zhì)求的范圍，可得結(jié)論.（2）①方法一：由（1）方法一可得，結(jié)合條件求，結(jié)合余弦定理可得，方法二：由（1）方法二可得，由此可得，由此可得，求，再解方程，分區(qū)間判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值定義求結(jié)論，②在時(shí)，解方程，求出函數(shù)零點(diǎn)，由此可