湖北省六校（宜城一中、棗陽一中、曾都一中、襄陽六中、南漳一中、老河口一中）2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知函數(shù)，則（）A．4 B． C．2 D．2．下列求導(dǎo)運(yùn)算不正確的是（）A． B．C． D．3．傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)沙?；蛐∈铀帕械男螤畎褦?shù)分成許多類，如圖中第一行的，，，稱為三角形數(shù)，第二行的，，，稱為正方形數(shù)，第三行的，，，稱為五邊形數(shù).則正方形數(shù)、五邊形數(shù)所構(gòu)成的數(shù)列的第項(xiàng)分別為（）

A．， B．， C．， D．，4．的展開式中的系數(shù)為（）A．12 B．40 C．60 D．1005．3個(gè)相同的書簽，放入7個(gè)不同的書架中，每個(gè)書架里至多放一個(gè)書簽，則不同的放法有（）A．種 B．種 C．種 D．種6．若函數(shù)無極值，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，平面，為底面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則動(dòng)點(diǎn)在（）A．直線上 B．圓上 C．拋物線上 D．橢圓上8．已知實(shí)數(shù)，滿足，則的值為（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知數(shù)列滿足，，則下列結(jié)論正確的有（）A．為等比數(shù)列 B．的通項(xiàng)公式為C．為遞增數(shù)列 D．的前項(xiàng)和10．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)數(shù)滿足，則（）A． B．C． D．11．設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在雙曲線的右支上，且不與雙曲線的頂點(diǎn)重合，則下列命題中正確的是（）A．若，，則雙曲線的兩條漸近線的方程是B．若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則雙曲線的離心率大于3C．若，則的面積等于D．若雙曲線為等軸雙曲線，且，則三、填空題（本大題共3小題）12．若，則.13．已知函數(shù)，若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，則實(shí)數(shù).14．已知函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.16．回答下列問題，請(qǐng)寫出必要的答題步驟：(1)若（，為有理數(shù)），請(qǐng)求出的值.(2)已知，求.17．如圖，在三棱臺(tái)中，底面，，，為的中點(diǎn)，.(1)證明：；(2)若，求平面與平面夾角的余弦值.18．如圖所示，已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線過點(diǎn).(1)若直線與拋物線相切于點(diǎn)，求線段的長度；(2)若直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，且，直線與拋物線交于另一點(diǎn)，連接，記中點(diǎn)為，直線交于點(diǎn)，求的面積.19．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；(2)試討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求整數(shù)的最大值.

參考答案1．【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，則，所以.故選C.2．【答案】B【詳解】對(duì)于A：，故A正確；對(duì)于B：，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，故C正確；對(duì)于D：，故D正確.故選B.3．【答案】B【詳解】設(shè)正方形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為，五邊形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為，則，，，，由此得出，，，，，由此得出.故選B.4．【答案】C【詳解】因?yàn)?，其中展開式的通項(xiàng)為（），所以的展開式中含的項(xiàng)為，所以展開式中的系數(shù)為.故選C.5．【答案】D【詳解】由于書簽都相同，書架不同，每個(gè)書架至多放一個(gè)書簽，所以只要選出3個(gè)不同的書架即可．故共有種不同的放法故選D.6．【答案】D【詳解】的導(dǎo)數(shù)為，因?yàn)楹瘮?shù)無極值，在R上恒成立，即恒成立，，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是故選D.7．【答案】B【詳解】由，因?yàn)槠矫?，平面，所以，即，所以，又底面是邊長為的菱形，，為底面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以在以為直徑的圓上.故選B.8．【答案】A【詳解】由題意可得，設(shè)，則，故，即，令，則，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；當(dāng)，，在單調(diào)遞減.所以，所以，令，則，當(dāng)，，在單調(diào)遞增；當(dāng)，，在單調(diào)遞減.故，所以.由題意可知若，則，故，，此時(shí)且，解得，故.故選A.9．【答案】ABD【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，，所以，所以，又，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，整理得，故A、B正確；又，即，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，故C錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，所以?shù)列的前項(xiàng)和為，故D正確.故選ABD.10．【答案】BC【詳解】設(shè)，則，因?yàn)閷?duì)任意的都有，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增；因?yàn)椋?，則，所以A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，則，所以B正確；因?yàn)椋?，則，所以C正確；因?yàn)椋?，則，所以D錯(cuò)誤；故選BC．11．【答案】BCD【詳解】對(duì)于A：雙曲線的漸近線方程為，當(dāng)，時(shí)，雙曲線的漸近線方程是，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)辄c(diǎn)在上，則，得，所以雙曲線的離心率，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，若，則，即，即，得，所以，故C正確；對(duì)于D：若為等軸雙曲線，則，從而，若，結(jié)合，則，，在中，由余弦定理，得，故D正確，故選BCD.12．【答案】或【詳解】因?yàn)?，所以或，解得或，?jīng)檢驗(yàn)符合題意.13．【答案】【詳解】因?yàn)椋?，依題意可得，即，解得.14．【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，依題意，函數(shù)在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，由，得，令，，于是直線與函數(shù)在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，而，由，得，由，得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與函數(shù)的圖象，

觀察圖象知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，可得，即；又因?yàn)椋?，所以，即；解得，故的通?xiàng)公式為.（2）因?yàn)椋?16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）∵展開式的通項(xiàng)公式為：.∴，，，.（2）∵∴由展開式的通項(xiàng)公式可知：，，.17．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）在三棱臺(tái)中，∵，，∴，，．∵為的中點(diǎn)，∴，，∴四邊形為平行四邊形，故．∵，∴．∵底面，底面，∴．∵平面，為相交直線，∴平面，∵平面，∴．（2）以為原點(diǎn)，以分別為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，；∴，；設(shè)是平面的法向量，則，即，?。辉O(shè)是平面的法向量，則，即，?。弧啵嗥矫媾c平面夾角的余弦值為．18．【答案】(1)(2)【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，得到，因?yàn)橹本€PQ與拋物線相切，所以，解得，此時(shí)，代入拋物線中得，由拋物線定義得．（2）由題意得直線的方程為，如圖，設(shè)，，連接，聯(lián)立方程組，得到，由，則．因?yàn)?，且，，所以，解得，?dāng)時(shí)，，，所以直線，聯(lián)立方程，得到，則，因?yàn)?，所以為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，所以點(diǎn)為的重心，所以，同理當(dāng)時(shí)，，綜上可得．19．【答案】(1)(2)答案見解析(3)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，則，可知的定義域?yàn)椋?，令，解得；令，解得；可知的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；所以函數(shù)的最小值為.（2）由題意可知的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，恒成立，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，無單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，令解得，令，解得；令，解得；所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是，無單調(diào)遞增區(qū)間；