新高考新試卷結(jié)構(gòu)立體幾何解答題中與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的問(wèn)題考點(diǎn)一：求直線和平面所成的角如圖，設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有．（易錯(cuò)點(diǎn)）考點(diǎn)二：求二面角如圖，若于于，平面交于，則為二面角的平面角，.若分別為面的法向量，，則二面角的平面角或，即二面角等于它的兩個(gè)面的法向量的夾角或夾角的補(bǔ)角．①當(dāng)法向量與的方向分別指向二面角的內(nèi)側(cè)與外側(cè)時(shí)，二面角的大小等于的夾角的大小．②當(dāng)法向量的方向同時(shí)指向二面角的內(nèi)側(cè)或外側(cè)時(shí)，二面角的大小等于的夾角的補(bǔ)角的大?。垡阎头謩e是二面角的半平面的法向量，記二面角的大小為，若半平面，半平面（），則當(dāng)與同號(hào)時(shí)，二面角的大小等于的夾角的大小．當(dāng)與異號(hào)時(shí)，二面角的大小等于的夾角的補(bǔ)角的大?。揪x例題】【例1】如圖，四邊形是圓柱的軸截面，圓柱的側(cè)面積為，點(diǎn)在圓柱的底面圓周上，且是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【詳解】（1）點(diǎn)在圓柱的底面圓周上，，四邊形是圓柱的軸截面，平面，因平面平面，平面，而平面①.是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，.圓柱的側(cè)面積為，即，則，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，②.又平面，由①②可得平面.（2）

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以及過(guò)點(diǎn)與平行的直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則.設(shè)平面的法向量為，則令，得.由（1）知，平面，故是平面的一個(gè)法向量.由圖知二面角為銳角，設(shè)為，則，，即二面角的正弦值為.【例2】如右圖，已知Rt△ABC的直角邊AB=6，BC=4，點(diǎn)F1,F2是BC從左到右的四等分點(diǎn)（非中點(diǎn)）．已知橢圓Γ所在的平面⊥平面ABC，且其左右頂點(diǎn)為B,C，左右焦點(diǎn)為F（1）求三棱錐A?F（2）證明：二面角F取BC中點(diǎn)O，在AC上取一點(diǎn)Q使得OQ⊥BC，【詳解】以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC為x正方向，BC的中垂線l的方向向量u為y軸正方向，OQ為z（1）設(shè)點(diǎn)Px0,y0．橢圓Γ的方程為x2a2+y2V故三棱錐A?F1F（2）易知A?2,0,3，F(xiàn)10,?1,0則AF1=0,1,?3，F(xiàn)n令y=3cosθ，則x=?32sinθ+1，z=cosθ，所以平面（I）當(dāng)t∈0,54時(shí)，則83?32t23>0，所以?4t4?16t3+12t2+73t+27<?4t4?803t3+12（II）當(dāng)t∈54,2時(shí)，令gt=?4t4?16t3+12t2+73t+27，g't=?16t3?48t【例3】如圖所示，圓臺(tái)的上、下底面圓半徑分別為和，為圓臺(tái)的兩條不同的母線.(1)求證：；(2)截面與下底面所成的夾角大小為，且截面截得圓臺(tái)上底面圓的劣弧的長(zhǎng)度為，求截面的面積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【詳解】（1）因?yàn)閳A臺(tái)可以看做是由平行于圓錐底面的平面去截圓錐而得到，所以圓臺(tái)的母線也就是生成這個(gè)圓臺(tái)的圓錐相應(yīng)母線的一部分.可知母線與母線的延長(zhǎng)線必交于一點(diǎn)，即四點(diǎn)共面，又因?yàn)閳A面∥圓面，且平面圓面，平面圓面，所以∥.（2）解法一：因?yàn)榱踊〉拈L(zhǎng)度為，則，由，可得.如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，可得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，可得，由題意可知：底面的一個(gè)法向量，因?yàn)榻孛媾c下底面所成的夾角大小為，則，解得，即，可得，在等腰梯形中，，可得等腰梯形的高，所以.解法二：如圖，分別取的中點(diǎn)為，連結(jié)，，由題意可得：，所以為截面與底面所成夾角，即，

過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由，得，則（即梯形的高），所以.【例4】已知橢圓C：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為（）的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在x軸上方），的周長(zhǎng)為8．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)如圖，將平面xOy沿x軸折疊，使y軸正半軸和x軸所確定的半平面（平面）與y軸負(fù)半軸和x軸所確定的半平面（平面）互相垂直．①若，求三棱錐的體積，②若，異面直線和所成角的余弦值；③是否存在（），使得折疊后的周長(zhǎng)為與折疊前的周長(zhǎng)之比為？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)①；②；③存在，【詳解】（1）由橢圓的定義知：，，所以的周長(zhǎng)，所以，又橢圓離心率為，所以，所以，，由題意，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）①由直線l：與，由得或，所以（因?yàn)辄c(diǎn)A在x軸上方）以及，，，②O為坐標(biāo)原點(diǎn)，折疊后原y軸負(fù)半軸，原x軸，原y軸正半軸所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

，，，，，．記異面直線和所成角為，則；③設(shè)折疊前，，折疊后A，B在新圖形中對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為，，，折疊前周長(zhǎng)是8，則折疊后周長(zhǎng)是，由，，故，設(shè)方程為，由，得，，，在折疊后的圖形中建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系（原x軸仍然為x軸，原y軸正半軸為y軸，原y軸負(fù)半軸為z軸）；

，，所以，（ⅰ）又，所以，（ⅱ）由（?。áⅲ┛傻?，因?yàn)?，所以，即，所以，解得，因?yàn)?，所以．【?】如圖，在圓錐中，是圓的直徑，且是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，為圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，是的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接.因?yàn)闉閳A弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以.因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，則，從而四邊形為平行四邊形，故.因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，所以，，則.設(shè)平面的法向量為，則令，得.設(shè)平面的法向量為，則令，得.設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則.故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【例6】如圖，AB是半球O的直徑，，依次是底面上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，P是半球面上一點(diǎn)，且．(1)證明：；(2)若點(diǎn)在底面圓上的射影為中點(diǎn)，求直線與平面所成的角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【詳解】（1）連接，因?yàn)橐来问堑酌嫔系膬蓚€(gè)三等分點(diǎn)，所以四邊形是菱形，設(shè)，則為中點(diǎn)，且，又因?yàn)?，故是等邊三角形，連接，則，又因?yàn)槊妫?，所以面，因?yàn)槊?，所以，因?yàn)橐来问堑酌嫔系膬蓚€(gè)三等分點(diǎn)，所以，所以，又因?yàn)锳B是半球O的直徑，P是半球面上一點(diǎn)，所以，因?yàn)槊?，，所以面，又因?yàn)槊?，所以?）因?yàn)辄c(diǎn)在底面圓上的射影為中點(diǎn)，所以面，因?yàn)槊妫?，又因?yàn)椋砸詾檎换捉⑷鐖D所示的空間直角坐標(biāo)系，所以，所以，設(shè)平面的法向量，則，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則所以直線與平面所成角的正弦值為【跟蹤訓(xùn)練】1．如圖所示，用平面表示圓柱的軸截面，是圓柱底面的直徑，為底面圓心，為母線的中點(diǎn)，已知為一條母線，且．

(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【詳解】（1）依題意可知，則是等腰直角三角形，故，由圓柱的特征可知平面，又平面，，因?yàn)槠矫?，則平面，而平面，則，因?yàn)?，則，，所以，因?yàn)?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?；?）由題意及（1）知易知兩兩垂直，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，由（1）知是平面的一個(gè)法向量，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則有，取，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，所以.即平面與平面夾角的余弦值為.2．如圖，四邊形是圓柱的軸截面，圓柱的側(cè)面積為，點(diǎn)在圓柱的底面圓周上，且是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【詳解】（1）點(diǎn)在圓柱的底面圓周上，，四邊形是圓柱的軸截面，平面，因平面平面，平面，而平面①.是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，.圓柱的側(cè)面積為，即，則，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，②.又平面，由①②可得平面.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以及過(guò)點(diǎn)與平行的直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，.設(shè)平面的法向量為，則令，得.由（1）知，平面，故是平面的一個(gè)法向量.由圖知二面角為銳角，設(shè)為，則，，即二面角的正弦值為.3．如圖所示的幾何體是由一個(gè)直三棱柱和半個(gè)圓柱拼接而成.其中，，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，且四點(diǎn)共面.(1)證明：四點(diǎn)共面；(2)若平面與平面夾角的余弦值為，求長(zhǎng).【答案】(1)證明見(jiàn)解析；；(2).【詳解】（1）連接，因?yàn)?，所以直棱柱的底面為等腰直角三角形，，在半圓上，是弧中點(diǎn)，所以，所以，又，所以，所以四點(diǎn)共面.（2）法1：直棱柱中，以為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，設(shè)面的法向量為，則，取，所以，，設(shè)面的法向量為，則，取，所以，平面與平面所成夾角，即與夾角或其補(bǔ)角，所以，解得，所以法2：設(shè)，由（1）知四點(diǎn)共面，則面面.

取中點(diǎn)，連接，則，而面，面，故，，面，則平面，過(guò)作于，又平面，所以平面，過(guò)作于，連接，則，又是銳角.所以是平面與平面所成的夾角，則，所以在Rt中，，在中，根據(jù)等面積法，在中，.所以.所以，解得，即，所以.4．如圖，矩形是圓柱的一個(gè)軸截面，、分別為上下底面的圓心，為的中點(diǎn)，，．

(1)當(dāng)點(diǎn)為弧的中點(diǎn)時(shí)，求證：平面；(2)若點(diǎn)為弧的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【詳解】（1）結(jié)合題意:易知底面是以為圓心，以為直徑的半圓，因?yàn)辄c(diǎn)為弧的中點(diǎn)，所以，因?yàn)榫匦问菆A柱的一個(gè)軸截面，所以面,因?yàn)槊?所以,因?yàn)?且平面，所以平面.（2）取弧的中點(diǎn)連接,由（1）問(wèn)可知：平面，且易得，,,故以坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：因?yàn)?，，點(diǎn)為弧的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，所以,所以因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以,設(shè)平面的法向量為，則,即，令，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.5．如圖所示，圓臺(tái)的上?下底面圓半徑分別為和為圓臺(tái)的兩條不同的母線.分別為圓臺(tái)的上?下底面圓的圓心，且為等邊三角形.(1)求證：；(2)截面與下底面所成的夾角大小為，求異面直線與所成角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【詳解】（1）證明圓臺(tái)可以看做是由平行于圓錐底面的平面去截圓錐而得到，所以圓臺(tái)的母線也就是生成這個(gè)圓臺(tái)的圓錐相應(yīng)母線的一部分.母線與母線的延長(zhǎng)線必交于一點(diǎn)，四點(diǎn)共面.圓面圓面，且平面圓面，平面圓面..（2）為等邊三角形，，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)..，設(shè)平面的一個(gè)法向量.則有：，令，則.底面的一個(gè)法向量，因?yàn)榻孛媾c下底面所成的夾角大小為，所以，，，又坐標(biāo)為.，.異面直線與所成角的余弦是.6．如圖，線段是圓柱的母線，BC是圓柱下底面圓的直徑．(1)弦AB上是否存在點(diǎn)，使得平面，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若，，，求二面角的余弦值．【答案】(1)存在，當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，理由見(jiàn)解析.(2)【詳解】（1）當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，平面，證明如下：取的中點(diǎn)，連接，∵分別為的中點(diǎn)，則，又平面，平面，∴平面，又∵，平面，平面，∴平面，，平面，∴平面平面，由于平面，故平面；

（2）∵是的直徑，可得，即，且，，故，，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，得，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，令，則，可得，因?yàn)檩S平面，則可取平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角為，則，所以二面角的余弦值為.7．如圖，圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形為底面圓周上異于的點(diǎn)(1)若是線段的中點(diǎn)，求證：平面(2)若，設(shè)直線為平面與平