2025屆高三數(shù)學(xué)“8+3+3”小題期末專(zhuān)項(xiàng)練（16）橢圓方程及其性質(zhì)一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.不選、多選、錯(cuò)選均不得分.1．已知橢圓，則下列結(jié)論正確的是（）A.的焦點(diǎn)在軸上B.的焦距為4C.的離心率D.的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍【答案】C【解析】在橢圓中，，，，對(duì)于A選項(xiàng)，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，橢圓的焦距，B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，橢圓的離心率為，C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，橢圓的短軸長(zhǎng)為，的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，D錯(cuò)誤.故選：C.2．設(shè)為實(shí)數(shù)，若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C． D．【答案】D【解析】表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，可得，解得.故選：D3．已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，A是C上一點(diǎn)，，則的最大值為（）A．7 B．8 C．9 D．11【答案】A【解析】設(shè)橢圓的半焦距為，則，，如圖，連接，則，而，當(dāng)且僅當(dāng)共線且在中間時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為.故選：A.4．如圖所示，用一個(gè)與圓柱底面成的平面截圓柱，截面是一個(gè)橢圓.若圓柱的底面圓半徑為，，則下列結(jié)論正確的是（）A.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于2B.橢圓的離心率為C.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以是D.橢圓上的點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離的最小值為【答案】C【解析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，短半軸長(zhǎng)為，半焦距為，橢圓長(zhǎng)軸在圓柱底面上的投影為圓柱底面圓直徑，則由截面與圓柱底面所成銳二面角得，解得，故A不正確；顯然，則，離心率，故B不正確；當(dāng)以橢圓長(zhǎng)軸所在直線為軸，短軸所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故C正確；橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為，故D不正確.故選：C5．已知橢圓，為橢圓上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作與直線和平行的直線，分別交、交于、兩點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)過(guò)點(diǎn)分別與直線、平行的直線為、，如圖：設(shè)、、Px0,y0，則，顯然四邊形為平行四邊形，故的中點(diǎn)與的中點(diǎn)重合，則，即，又因?yàn)闄E圓上任意一點(diǎn)，所以，即，即，而，所以當(dāng)時(shí)，.故選：A.6．已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，若C上存在一點(diǎn)P，使得，則橢圓C的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據(jù)橢圓定義可得，又，故，因此，故，故，故選：D7．已知橢圓，過(guò)原點(diǎn)斜率不為0的直線交E于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A作x軸的垂線，垂足為M，直線BM交橢圓E于另一點(diǎn)D，記直線AB，AD的斜率分別為，，若，則E的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，則，所以，又，所以，又點(diǎn)在上，所以，所以，即，由，故選:D．8．已知，，，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足與的斜率之積為，動(dòng)點(diǎn)的軌跡記為，過(guò)點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，且，的中點(diǎn)為，則下列說(shuō)法不正確的是（）A．的軌跡方程為B．的最小值為1C．若為坐標(biāo)原點(diǎn)，則面積的最大值為D．若線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)是點(diǎn)的橫坐標(biāo)的倍【答案】A【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，設(shè)Mx,y，因?yàn)锳?2,0，，所以，化簡(jiǎn)得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，則，，則，所以為橢圓的右焦點(diǎn)，則，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，設(shè)的方程，代入橢圓方程，得，設(shè)，則，，所以，令，則，令，則，在為增函數(shù)，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)即等號(hào)成立，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)椋?，，所以，則，設(shè)，則，則，所以，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)是點(diǎn)的橫坐標(biāo)的倍，故D正確.故選：A二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9．已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.橢圓C的離心率為 B.的最大值為6C.的周長(zhǎng)為10 D.存在點(diǎn)P，使得為等邊三角形【答案】ABD【解析】由橢圓C：，可得，，則，對(duì)于選項(xiàng)A，橢圓C的離心率，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)點(diǎn)P為橢圓C的右頂點(diǎn)時(shí)，可得，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，周長(zhǎng)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)點(diǎn)P為橢圓C的短軸的端點(diǎn)時(shí)，可得，，此時(shí)為等邊三角形，故D正確．故選：ABD10．已知橢圓的離心率為，上下焦點(diǎn)分別為，，M為橢圓上一點(diǎn)（不與橢圓的頂點(diǎn)重合），下列說(shuō)法正確的是（）A.B.C.若為直角三角形，則D.若，則的面積為【答案】AC【解析】對(duì)于AB，橢圓半焦距，由離心率為，得，，A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由知，以線段為直徑的圓在橢圓內(nèi)，即不可能是直角，由為直角三角形，得或，由橢圓對(duì)稱(chēng)性不妨令，直線，由，得，即，則，所以，C正確；對(duì)于D，由橢圓定義得，而，解得，而，則是邊長(zhǎng)為2的正三角形，其面積為，D錯(cuò)誤.故選：AC11．若矩形的所有頂點(diǎn)都在橢圓上，且，，點(diǎn)是上與不重合的動(dòng)點(diǎn)，則（）A．的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4 B．存在點(diǎn)，使得C．直線的斜率之積恒為 D．直線的斜率之積恒為【答案】ABD【解析】因?yàn)榫匦蔚捻旤c(diǎn)都在橢圓上，根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性可得關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，由，，可得，即橢圓焦點(diǎn)在軸上，如圖所示，又，，易得，，，.對(duì)于A，將點(diǎn)代入橢圓方程可得，解得，橢圓的方程為，所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，故A正確；對(duì)于B，設(shè)點(diǎn)Px,y，且，，則，，所以，又，即當(dāng)時(shí)，，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)點(diǎn)是左頂點(diǎn)時(shí)，，則，，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)點(diǎn)Px,y，且，，則，，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知，是圓上一動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.【答案】【解析】由題意，可知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為6．∵線段的垂直平分線交于點(diǎn)，如圖，∴，∴，∴點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，∴，，，∴其軌跡方程為．故答案為：．13.定義離心率的橢圓為“西瓜橢圓”.已知橢圓是“西瓜橢圓”，則.若“西瓜橢圓”的右焦點(diǎn)為，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，則．【答案】36【解析】橢圓是"西瓜橢圓"，離心率，解得.設(shè)，聯(lián)立消去并整理得，，即，，，易知，以線段AB為直經(jīng)的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，，，又，代入上式并化簡(jiǎn)得，解得.故答案為