2024-2025學年湖南省三湘名校教育聯(lián)盟高二下學期期中考試數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(-→),a)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(-→),a)3.已知直線Y=x是雙曲線=1(a>0,b>0)的一條漸近線，則C的離心率為()4.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，C，已知A=，a=2，b+C=3a，則△ABC的面積為(5.已知函數(shù)f(x)=x3+x，且f(m2—2m+1)+f(—m—5)>0，則m的取值范圍是()6.如圖，在圓錐PO中，AB是底面圓的直徑，C在底面圓周上，AB=4，匕BAC=30。，M是BC的中點，PM與圓錐底面所成角的大小為60。，則圓錐PO的體積為()7.曲線IYI=cosx+1(0≤x≤π)和曲線x2+(IYI—1)2=1(x≤0)組合圍成“心形圖”(如下圖所示)，記“心形圖”為曲線C，曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積等于()8.如果對于正整數(shù)集A={x=a+i,a∈NIi=1,2,3,…,48}，將集合A拆分成16個三元子集(子集有三個元素)，且拆分的16個集合兩兩交集為空集，則稱集合A是“三元可拆集”.若存在一種拆分法，使得集合A是“三元可拆集”，且每個三元子集中都有一個數(shù)等于其他兩數(shù)之和，則a的最大值為()二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.早在1733年,法國數(shù)學家棣莫弗在研究二項概率的近似計算時,提出了正態(tài)密度函數(shù)的形式,其解析式為∈R,其中μ∈R,σ>0為參數(shù).若隨機變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x),則稱隨機變量X服從正態(tài)分布,則下列說法正確的是()(參考數(shù)據(jù):若隨機變量X~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)A.曲線y=f(x)關于直線x=μ對稱B.曲線y=f(x)在x=μ處達到峰值C.當σ較小時,正態(tài)曲線“矮胖”,當σ較大時,正態(tài)曲線“瘦高”D.若σ2=4,μ=60,則P(62≤X≤64)=0.135910.已知函數(shù)f(x)=2sin(2x—)，則下列說法正確的是()A.f(x)的最小正周期為2πB.若f(x)在區(qū)間(0,m)恰有兩個零點，則m的取值范圍為D.若f(x)在區(qū)間(0,m)恰有兩個極值點，則m的取值范圍為(,]11.已知函數(shù)f(x)=2x3—3ax2+1，則下列說法正確的是()A.若f(x)在x=1處取得極小值，則a=1B.a<0，x1>x2>1，則f(x1)<f(x2)C.若a=2，則曲線y=f(x)關于點(1,—3)中心對稱D.若a>1，則f(x)有3個零點三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知(3—2x)n的展開式中，只有第7項的二項式系數(shù)最大，則n的值為．13.設M是拋物線y2=6x上一點，F(xiàn)是拋物線的焦點，O為坐標原點，匕OFM=120。，則IFMI=．14.已知函數(shù)f(x)=(x+a)lnx(a>0).若當x>e時，存在過坐標原點O的直線l與曲線y=f(x)相切，則實數(shù)a的取值范圍為．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，M是BC的中點，A1B=A1C.16.(本小題15分)已知等差數(shù)列{an}滿足a2=4，a1+a3+a5=18，等比數(shù)列{(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式;(2)若數(shù)列{cn}滿足cn=an.bn，求數(shù)列{cn}的前n項和sn．17.(本小題15分)2025年春節(jié)聯(lián)歡晚會中的創(chuàng)意融合舞蹈《秧BOT》轟動全球，標志著中國的服務機器人技術達到世界一流水平.某人工智能企業(yè)的服務機器人研發(fā)部，自2018年至2024年投入巨資進行服務機器人技術研究開發(fā)，取得了巨大的成就.該企業(yè)試產(chǎn)了三類不同型號的服務機器人H1，H2，H3，對其進行兩次智能模仿成年人活動檢測．(1)若H1型服務機器人第一次仿成年人拿水杯檢測成功，則第二次檢測成功的概率為;若第一次檢測不成功，則第二次檢測成功的概率為.已知H1型服務機器人第一次檢測成功的概率為，求H1型服務機器人第二次檢測成功的概率;(2)試產(chǎn)H1，H2，H3型服務機器人進行兩次仿成年人綜合試驗檢測，已知第一次檢測時，H1，H2，H3型合格的概率分別為第二次檢測時，H1，H2，H3型合格的概率分別為.兩次檢測相互獨立，設經(jīng)過兩次檢測后，H1，H2，H3型服務機器人合格的種類數(shù)為隨機變量X，求X的分布列和數(shù)學期望。18.(本小題17分)已知函數(shù)f(x)=axex+1．(1)當a=—1時，求f(x)在區(qū)間[—2,0]上的最大值和最小值;(2)當a=1時，證明：f(x)≥lnx+x+2;若求實數(shù)a的取值范圍．19.(本小題17分)已知橢圓)的左，右焦點分別F1，F(xiàn)2，M為橢圓C上任意一點，IF1F2I=2，IMF1I+(1)求橢圓C的方程;(2)若N為圓C1:(x—5)2+(y—2)2=5上任(3)已知直線l:y=kx+1，(k≠0)與y軸交于點D，且與橢圓C交于A，B兩點，E為坐標平面內(nèi)不在直線l上的動點，若直線AE，DE，BE斜率的倒數(shù)成等差數(shù)列，證明：動點E在定直線L上，并求直線L的方程．2.C3.B4.C7.C9.ADAC,ABC平面ABC以AB，AC，AA1所在直線分別為x軸，y軸，Z軸建立如圖所示的空間直角坐標系A—xyZ，所以設平面A1BC1的法向量為EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up0(-→),n)=(x,y,Z)，則可得EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up0(-→),n)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up0(-),m)由圖知θ為銳角，則16.解：(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d，因為a1+a3+a5=3a3=18，所以a3=6，sn=17.解：(1)記A=“H1型服務機器人第一次仿成年人拿水杯檢測成功”，B=“H1型服務機器人第二次仿成年人拿水杯檢測成功”，則P(A)=，P(A)=，P(BIA)=，P(BIA)=．因為P(BIA)=，所以P(AB)=P(A).P(BIA)=×=， 因為P(BIA)=，所以P(AB)=P(A).P(BIA)=×=，則P(B)=P(AB)+P(AB)=+=．(2)三類不同型號的服務機器人檢測合格的概率分別為：由題意隨機變量X的可能取值為0，1，2，3，P(X=1)=×(1—)×(1—)+(1—).×(1—)+(1—)×(1—)×=，P(X=2)=××(1—)+(1—)××+×(1—)×=，P(X=3)=××=．隨機變量X的分布列為所以E(X)=0×+1×+2×+3×=．18.解：(1)當a=—1時，f(x)=—xex+1，所以f′(x)=—(1+x)ex，當x∈(—2,—1)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增;當x∈(—1,0)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，所以f(x)在區(qū)間[—2,0]上的最大值為f(—1)=+1．又所以f在區(qū)間[—2,0]上的最小值為f(0)=1．所以f(x)在區(qū)間[—2,0]上的最大值為，最小值為1．(2)證明：當a=1時，令g(x)=xex—lnx—x—1，其定義域為(0,+∞)，因為g(x)=xex—ln(xex)—1，令t=xex>0，得?(t)=t—lnt—所以當0<t<1時，?′(t)<0，?(t)單調(diào)遞減;當t>1時，?′(t)>0，?(t)單調(diào)遞增，所以?(t)≥?(1)=0.故f(x)≥lnx+x+2．(3)由?x∈[,+∞)，f(x)≤x2lnx—x3+x2+1，得?x∈[,+∞)，axex+1≤x2lnx—x3+x2+1，令令φ(x)=lnx—x+2，則φ′(x)=，所以當<x<1時，φ′(x)>0;當x>1時，φ′(x)<0，所以φ(x)在(,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減，又φ()=1—>0，φ(1)=1>0，φ(e2)=4—e2<0，所以當x∈[,+∞)時，φ(x)在(1,e2)內(nèi)存在唯一的零點x0，所以當x∈(,1)時，φ(x)>0，F(xiàn)′(x)>0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增，當x∈(1,x0)時，φ(x)>0，F(xiàn)′(x)<0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞減，當x∈(x0,+∞)時，φ(x)<0，F(xiàn)′(x)>0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增，所以F(x)min={F(x0),F()}，因為F()=—e—2—，因為φ(x0)=lnx0—x0+2=0，所以lnx0—x0+1=—1，x0=ex0—2，所以F(x0)=====—，>—e—2，所以?()>?(x0)，所以?(x)min=?(x0)=—，所以實數(shù)a的取值范圍為.19.解：(1)設橢圓的半焦距為C，因為IF1F2I=2C=2，所以C=1，由橢圓的定義IMF1I+IMF2I=2a=4，所以a=2，所以b=a2—C2=22—12=3，所以C的方程為+=1．(2)因為C:+=1的右焦點F2(1,0)，圓C1:(x—5)2+(y—2)2=5的圓心C1(5,2)，半徑r=5，顯然橢圓C與圓C1沒有交點，因為點N在圓C1上，所以IMNImin=IMC1I—5，于是IMNI+IMF2I≥IMC1I—5+IMF2I≥IC1F2I—5=(5—1)2+22—5=5，當且僅當M，N分別是線段C1F2與橢圓C、圓C1的交點時取等號，所以IMNI+IMF2I的最小值為5．(3)設E(x0,y0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，因為直線l:y=kx+1，所以點D(0,1)，聯(lián)立消去y得(3+4k2)x2+8kx—8=0，Δ=96(2k2+1)>0．:x1+x2=—，x1x2=，因為kEA=，kED=，kEB=，且直線A