2023級“貴百河”3月高二年級新高考月考測試數(shù)學(xué)（考試時間：120分鐘滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.3．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式結(jié)合集合的補(bǔ)集及交集定義計算即可.【詳解】集合，則，則.故選：C.2.若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)除法化簡復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的幾何意義可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)椋蕪?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第二象限.故選：B.3.在電影《哪吒之魔童鬧海》中，哪吒、敖丙、太乙真人、申公豹、鹿童五人參加一場仙法比試，需要站成一排拍照留念.哪吒和敖丙要求必須相鄰，且太乙真人不能站在兩端，那么共有多少種不同的站法（）A.18 B.12 C.28 D.24【答案】D【解析】【分析】利用捆綁法結(jié)合分類計數(shù)原理計算即可.【詳解】若哪吒和敖丙站第1，2位置，則太乙真人在第3或4位置，余下兩人站余下位置，此時有種站法，同理，若哪吒和敖丙站第4，5位置，亦有8種站法；若哪吒和敖丙站第2，3位置，則太乙真人在第4位置，余下兩人站余下位置，此時有種站法，同理若哪吒和敖丙在第3，4位置，亦有4種站法；合計有24種站法.故選：D4.曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，然后利用點(diǎn)斜式可得所求切線的方程.【詳解】點(diǎn)在曲線上，由題意，，切線斜率為，因此，所求方程為，即．故選：A．5.如果實(shí)數(shù)、滿足，那么的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先將題干方程轉(zhuǎn)化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，則是圓上一點(diǎn)與所在直線的斜率，當(dāng)直線越陡，斜率越大，即當(dāng)與圓相切于第一象限時，斜率取得最大值，由此可算出的最大值.【詳解】將滿足的方程轉(zhuǎn)化為，發(fā)現(xiàn)其是一個圓心在，半徑為的圓，而可看作是圓上一點(diǎn)與所在直線的斜率，易知當(dāng)與圓相切于第一象限時，斜率取得最大值，設(shè)切線所在直線的傾斜角為，則，由同角的三角函數(shù)關(guān)系可得，即斜率最大為，所以的最大值為.故選：D.6.“總把新桃換舊符”（王安石）、“燈前小草寫桃符"（陸游），春節(jié)是中華民族的傳統(tǒng)節(jié)日，在宋代人們用寫“桃符”的方式來祈福避禍，而現(xiàn)代人們通過貼“?！弊?、貼春聯(lián)、掛燈籠等方式來表達(dá)對新年的美好祝愿，某商家在春節(jié)前開展商品促銷活動，顧客凡購物金額滿50元，則可以從“?！弊?、春聯(lián)和燈籠這三類禮品中任意免費(fèi)領(lǐng)取一件，若有3名顧客都領(lǐng)取一件禮品，則他們?nèi)祟I(lǐng)取的禮品種類都不相同的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，共有種不同領(lǐng)取方案，其中們?nèi)祟I(lǐng)取的禮品種類都不相同的有種，進(jìn)而根據(jù)古典概型即可得答案.【詳解】根據(jù)題意，3名顧客都領(lǐng)取一件禮品，基本事件總數(shù)共有：種，他們?nèi)祟I(lǐng)取的禮品種類都不相同的基本事件有種，故根據(jù)古典概型公式得他們?nèi)祟I(lǐng)取的禮品種類都不相同的概率是故選：A7.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，為的右支上一點(diǎn)，，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理得出，利用連比定理結(jié)合雙曲線的定義可求得雙曲線的離心率的值.【詳解】如下圖所示：由正弦定理可得，因?yàn)?，由雙曲線的定義可得，由連比定理可得，即，因此，雙曲線的離心率為.故選：B.8.設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用常用的切線放縮即可判定大小.【詳解】令，則，易知時，在上單調(diào)遞增，時，在上單調(diào)遞減，則，即，在時取得等號，所以，顯然，.故選：A二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知等差數(shù)列前項(xiàng)和為，，公差，則下列說法正確的是（）A.是遞增數(shù)列 B.1是數(shù)列中的項(xiàng)C.數(shù)列中的最小項(xiàng)為 D.數(shù)列是等差數(shù)列【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及性質(zhì)即可判斷AB，由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式以及性質(zhì)即可判斷CD.【詳解】對于A，因?yàn)?，公差，則，所以是遞增數(shù)列，故A正確；對于B，令，解得，故1不是數(shù)列中的項(xiàng)，故B錯誤；對于C，令，解得，即，所以數(shù)列中的最小項(xiàng)為或，故C錯誤；對于D，因?yàn)椋瑒t，所以數(shù)列是等差數(shù)列，故D正確；故選：AD10.對于函數(shù)和，下列說法中正確的有（）A.與有相同的最小值B.與的圖象有相同的對稱中心C.與有相同最小正周期D.當(dāng)時，與的圖象有個交點(diǎn)【答案】ACD【解析】【分析】利用正弦型函數(shù)的最值可判斷A選項(xiàng)；利用正弦型函數(shù)的對稱性可判斷B選項(xiàng)；利用正弦型函數(shù)的周期公式可判斷C選項(xiàng)；當(dāng)時，解方程，可得出的值，數(shù)形結(jié)合可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，函數(shù)和的最小值都為，A對；對于B選項(xiàng)，對于函數(shù)，由，可得，故函數(shù)的對稱中心為，對于函數(shù)，由，可得，所以，函數(shù)的對稱中心為，故與的圖象沒有相同的對稱中心，B錯；對于C選項(xiàng)，與的最小正周期都為，C對；對于D選項(xiàng)，由，整理可得，因?yàn)?，則，作出函數(shù)與直線的圖象如下圖所示：由圖象可知，當(dāng)時，方程有個解，D對.故選：ACD.11.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，其一條漸近線方程為，點(diǎn)為的左支上任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.B.到漸近線的距離是C.若，則的最小值為D.若點(diǎn)為的左支上一點(diǎn)，則的內(nèi)切圓的半徑為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)漸近線方程得，即可判斷A；根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式計算，即可判斷B；應(yīng)用雙曲線定義結(jié)合距離和最小判斷C；利用三角形的面積兩種求法得方程計算，即可判斷D.【詳解】由，得，由其一條漸近線方程為，則，故A正確；又，則，所以到漸近線的距離是，故B正確；根據(jù)雙曲線定義可得，所以，又，，因此，當(dāng)A是線段與C的交點(diǎn)時，滿足題意，此時的最小值為，故C錯誤；由點(diǎn)為C的左支上一點(diǎn)，得，由，得，則，又，因此的周長為，知的面積為，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，則，解得，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.如果，，，則的值是________．【答案】1【解析】【分析】由題干條件可以算出，從而得出的值.【詳解】由數(shù)量積的運(yùn)算律可得，所以.故答案為：1.13.在二項(xiàng)式的展開式中，只有第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的系數(shù)為________．（用數(shù)字作答）【答案】112【解析】【分析】先由展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，可得展開式共9項(xiàng)，從而可得以，再由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式得到答案.【詳解】因?yàn)橹挥械谖屙?xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以故的展開式通項(xiàng)為令解得所以展開式中x的系數(shù)為.故答案為：112.14.若函數(shù)在區(qū)間上有兩個極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】由題意，即在區(qū)間上有兩個異號零點(diǎn)，令g(x)=lnx+1xx>0，利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系判斷單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合即可求解．【詳解】由題意，令，即在區(qū)間上有兩個異號零點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)g(x)=lnx+1x令，得，令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又時，，時，，且，如下圖：所以，即，所以的范圍．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，，為銳角．（1）求；（2）若，求的周長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)余弦定理計算得出，再計算得出再結(jié)合角的范圍得出；（2）先根據(jù)正弦定理得出，再由余弦定理求出，即可得到的周長.【小問1詳解】因?yàn)椋?，由余弦定理得，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)闉殇J角，所以.【小問2詳解】由（1）知，，又，由正弦定理得，由余弦定理，則，即，解得或（舍去），所以的周長為.16.如圖，正三棱柱中，是棱的中點(diǎn)，，點(diǎn)在上，且．（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算代入計算，即可證明；（2）根據(jù)題意，由點(diǎn)到面的距離公式代入計算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸所在直線，在平面內(nèi)過作的垂線為軸所在直線，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，因?yàn)椋芍?，且平面，所以平?【小問2詳解】由（1）可知，，平面的法向量，則點(diǎn)到平面的距離為，所以點(diǎn)到平面的距離為.17.已知，函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，若對任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．【答案】（1）當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）【解析】【分析】（1）直接利用導(dǎo)數(shù)，通過討論求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）先分離參數(shù)得到對任意，恒成立，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值即可得解.試題解析：【小問1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，由，得，在單調(diào)遞減，由，得，在單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】因?yàn)?，則，，因此，對任意，恒成立，即對任意，恒成立，令，，則，令，得，則當(dāng)時，，在單調(diào)遞減，則當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，即，故實(shí)數(shù)b的最大值是.18.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知曲線上任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到直線的距離少1．（1）求曲線的方程；（2）點(diǎn)在曲線上，若直線斜率存在并與拋物線交于、兩點(diǎn)（、異于點(diǎn)）．若，證明：直線過定點(diǎn)．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由題意可知曲線上任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于到直線的距離，利用拋物線的定義可知焦點(diǎn)即為點(diǎn)，在軸正半軸，由此可以寫出曲線的方程；（2）設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立，因?yàn)?，則，代入化簡可得關(guān)于的方程，因式分解找出定點(diǎn)坐標(biāo)即可證明.【小問1詳解】由題干條件曲線上任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到直線的距離少，即曲線上任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于到直線的距離，此即拋物線的定義，且焦點(diǎn)為點(diǎn)，在軸正半軸，所以，所以曲線的方程為；【小問2詳解】將點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線的方程，可得，所以，因?yàn)橹本€斜率存在并與拋物線交于、兩點(diǎn)，所以設(shè)直線，且，設(shè)，聯(lián)立直線和拋物線方程，可得，由韋達(dá)定理可知，所以，，因?yàn)?，所以，代入化簡得，注意到前三?xiàng)可以因式分解，即，最后兩項(xiàng)不含，所以將分解為，原式可以進(jìn)一步因式分解為，解得或，即直線分別過定點(diǎn)或，因?yàn)椤愑邳c(diǎn)，所以舍去，故直線過定點(diǎn).19.定義：若無窮數(shù)列滿足是公比為的等比數(shù)列，則稱數(shù)列為“數(shù)列”．設(shè)數(shù)列中，．（1）若，且數(shù)列是“數(shù)列”，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，請判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”，并說明理由；（3）若數(shù)列是“數(shù)列”，是否存在正整數(shù)，，使，若存在，請求出所有滿足條件的正整數(shù)，；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）數(shù)列不是為“數(shù)列”（3）存在滿足條件的正整數(shù)，，且【解析】【分析】（1）根據(jù)“數(shù)列”定義推導(dǎo)出數(shù)列是等差數(shù)列，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)的遞推關(guān)系