高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1山東省部分學(xué)校2025屆高三下學(xué)期4月份模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】當(dāng)時，，即，則，又，故.故選：B.2.已知，i為虛數(shù)單位，則的虛部為（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】，故，所以的虛部為，故選：D.3.已知，則的最小值是（）A. B.4 C. D.8【答案】D【解析】由可得，即，故，由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即當(dāng)時，取得最小值為8.故選：D.4若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故選：C.5.在等差數(shù)列中，公差，，下列說法正確的是（）A.是與的等比中項(xiàng) B.是與的等比中項(xiàng)C.是與的等比中項(xiàng) D.是與的等比中項(xiàng)【答案】A【解析】因?yàn)椋玫?，所以對于選項(xiàng)A，因?yàn)?，，，又，所以，則，，構(gòu)成等比數(shù)列，故選項(xiàng)A正確，對于選項(xiàng)B，因，，，又，但，所以選項(xiàng)B錯誤，對于選項(xiàng)C，因?yàn)?，，，所以，，不?gòu)成等比數(shù)列，故選項(xiàng)C錯誤，對于選項(xiàng)D，因?yàn)?，，，又，但，所以選項(xiàng)D錯誤，故選：A.6.已知圓與圓有三條公切線，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題知，兩圓外切，由圓方程得，半徑，由圓方程得，半徑，則，解得.故選：D7.中項(xiàng)的系數(shù)為（）A.56 B.69 C.70 D.55【答案】B【解析】由題意得：項(xiàng)系數(shù)為：，故選：B.8.已知，為橢圓與雙曲線的公共左，右焦點(diǎn)，為它們的一個公共點(diǎn)，且，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，分別為橢圓和雙曲線的離心率，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可設(shè)橢圓和雙曲線的方程分別為因?yàn)槎吖步裹c(diǎn)，所以，如圖，設(shè)，由橢圓和雙曲線的定義可知，由此解得，由題意知，所以，故在中，由勾股定理可知，代入的表達(dá)式可得，由離心率的定義可得，設(shè)，則，問題轉(zhuǎn)化為求的最大值，設(shè)，由可得，當(dāng)且僅當(dāng)兩向量同向共線時即取等號，所以最大值為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.現(xiàn)有一組樣本量為10的樣本數(shù)據(jù)如下：37，39，45，48，49，51，52，55，61，63，則（）A.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為49 B.這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為8C.這組數(shù)據(jù)的第20百分位數(shù)為42 D.這組數(shù)據(jù)的極差為25【答案】BC【解析】平均數(shù)為，故A錯誤；方差，則標(biāo)準(zhǔn)差，故B正確；，則第20百分位數(shù)為，故C正確；極差為，故D錯誤.故選：BC10.已知函數(shù)，將的圖象先向右平移個單位，再把橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)圖象，則（）A.B.和在上都是增函數(shù)C.和的圖象都關(guān)于直線對稱D.將的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象與的圖象重合【答案】ABD【解析】由題知，對于選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以選項(xiàng)A正確，對于選項(xiàng)B，當(dāng)時，，，由的性質(zhì)知，和在上都是增函數(shù)，所以選項(xiàng)B正確，對于選項(xiàng)C，因?yàn)?，，所以和的圖象均不關(guān)于直線對稱，故選項(xiàng)C錯誤，對于選項(xiàng)D，因?yàn)椋蛴移揭苽€單位長度后得到，又，所以選項(xiàng)D正確，故選：ABD.11.是定義在上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，下列命題中正確的是（）A.若為偶函數(shù)，則為奇函數(shù)B.若的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則的圖象關(guān)于直線軸對稱C.若的周期為T，則的周期也為TD.若，為奇函數(shù)，則【答案】ABD【解析】對A，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，都有，兩邊同時求導(dǎo)，，即，則為奇函數(shù)，A正確；對B，因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，故，兩邊對求導(dǎo)可得，，即，所以的圖象關(guān)于直線軸對稱，B正確；對C，因?yàn)榈闹芷跒門，則，故，（為常數(shù)），所以當(dāng)時，不是的周期，C錯誤；對D，由可得，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，因是定義在上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，故，又為奇函數(shù)，則的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，即，故，D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，為的焦點(diǎn)，則________.【答案】【解析】將代入拋物線中，得到，解得，則拋物線方程為，，故.故答案為：13.已知單位向量，滿足，且，則________.【答案】【解析】，，，所以，因，則，所以，所以.故答案為：14.數(shù)列滿足，且，的前項(xiàng)和為，則滿足不等式的的最大值是________.【答案】4【解析】由，則，又，所以數(shù)列為首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，則，即，所以，由，則，則，又，，所以，即，則滿足不等式的的最大值是4.故答案為：4.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知向量，向量，與垂直，，B，C為的內(nèi)角，且A，B，C的對邊分別為a，b，c.（1）求A；（2）若角A的平分線交BC于點(diǎn)D，，求AD的最大值.解：（1）因?yàn)榕c垂直，所以，由正弦定理得，整理得，由余弦定理得，且，所以.（2）因?yàn)闉榈慕瞧椒志€，則，由可得整理得，又因?yàn)?，可得，?dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最大值為.16.斜四棱柱中，底面為平行四邊形，，，，.（1）求四棱柱的體積；（2）求平面與平面的夾角的正切值.解：（1）如圖，連接交于，連接，，在中，由余弦定理可得，因，故，即，，故為等邊三角形，，由題意，，則，由題意可得，整理可得，得，則為等邊三角形，故，又，故為等邊三角形，故，又，在中，由余弦定理可得,，因，故平行四邊形為菱形，故，又，，平面，故平面，作，由平面，則，由，平面，則平面，即為斜四棱柱的高，在直角三角形中，，（2）取的中點(diǎn)，連接，由（1）可知為等邊三角形，則，，故為平面與平面所成角的一個平面角，在中，由余弦定理可得，17.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的焦距為，過點(diǎn)的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)軸時，的面積為.（1）求C的方程；（2）證明：為鈍角三角形.（1）解：由題意可知，則，又，則，故，將點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線的方程中得，又，解得（負(fù)值舍去），則C的方程為（2）證明：由題意可知直線的斜率存在，故設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，，設(shè)，則，得且，若直線與雙曲線的兩支相交，則，則，則，則為鈍角；若直線與雙曲線的一支相交，由于雙曲線的對稱性，不妨設(shè)直線與雙曲線的左支相交，且在點(diǎn)上方，設(shè)，因，則，則為銳角，則為鈍角，綜上可知，始終為鈍角三角形.18.某市推行垃圾分類后，環(huán)保部門對居民分類準(zhǔn)確率進(jìn)行抽樣調(diào)查.已知該市有甲，乙兩個人口數(shù)量相等的社區(qū)，甲社區(qū)開展過多次分類培訓(xùn)，乙社區(qū)未開展.現(xiàn)從甲社區(qū)隨機(jī)抽取100人，乙社區(qū)隨機(jī)抽取150人，統(tǒng)計(jì)正確分類人數(shù)如下：甲社區(qū)：80人正確分類；乙社區(qū)：90人正確分類.假設(shè)各社區(qū)中每位居民的分類行為相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率.（1）若從甲社區(qū)中任選3人，求恰好2人正確分類的概率；（2）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析兩個社區(qū)居民對垃圾分類的準(zhǔn)確率是否有差異？（3）環(huán)保部門從兩社區(qū)抽取居民的樣本中，對不能正確分類的樣本，按照分層抽樣抽取8人，再從這8人中選擇3人進(jìn)行深度訪談.設(shè)X為3人中來自甲社區(qū)的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828參考公式：，其中.解：（1）已知甲社區(qū)正確分類概率的估計(jì)值，則恰好人正確分類的概率.（2）提出零假設(shè)：兩個社區(qū)居民對垃圾分類的準(zhǔn)確率沒有差異.整理列聯(lián)表：根據(jù)題目所給信息，整理得到兩個社區(qū)居民對垃圾分類的準(zhǔn)確率的列聯(lián)表，其中甲社區(qū)正確分類80人，不正確分類20人，合計(jì)100人；乙社區(qū)正確分類90人，不正確分類60人，合計(jì)150人；總計(jì)正確分類170人，不正確分類80人，總?cè)藬?shù)250人.根據(jù)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算公式（其中是樣本容量，、、、分別是列聯(lián)表中的四個數(shù)據(jù)），在本題列聯(lián)表中，，，，，則.已知小概率值對應(yīng)的臨界值，因?yàn)?，根?jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為兩個社區(qū)居民對垃圾分類的準(zhǔn)確率有差異.（3）甲社區(qū)不能正確分類的有20人，乙社區(qū)不能正確分類的有60人，共人.按照分層抽樣抽取人，則從甲社區(qū)抽取人，從乙社區(qū)抽取人.為人中來自甲社區(qū)的人數(shù)，則的可能取值為，，.所以的分布列為：X012可得：19.已知函數(shù).（1）若的圖象在處的切線l過點(diǎn)，求a的值及l(fā)的方程；（2）若有兩個不同的極值點(diǎn)，，且當(dāng)時恒有，求a的取值范圍.解：（1）因?yàn)椋裕?，得到切點(diǎn)為，設(shè)切線斜率為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，則切線方程為，而切線l過點(diǎn)，得到，解得，此