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文檔簡介
第十一章不等式與不等式組11.1.2節(jié)不等式的性質(zhì)人教版數(shù)學(xué)(七年級下)老師:孫老師授課時(shí)間:2025(第一課時(shí))1.理解并掌握不等式的性質(zhì).2.在探索不等式的性質(zhì)的過程中,體會(huì)所應(yīng)用到的歸納和類比方法.對于某些簡單的不等式,我們可以直接得出它的解集.例如:不等式x+3>6的解集是x>3,不等式2x<8的解集是x<4.
與解方程需要依據(jù)等式的性質(zhì)一樣,解不等式需要依據(jù)不等式的性質(zhì).與等式類似,關(guān)于不等式,有以下兩個(gè)基本事實(shí).(1)交換不等式兩邊,不等號的方向改變:如果a>b,那么b<a.例如,由5>x,可得x<5.知識(shí)點(diǎn)
不等式的性質(zhì)(2)不等關(guān)系可以傳遞:如果a>b,b>c,那么a>c.例如,由y>x,x>-3,可得y>-3.知識(shí)點(diǎn)
不等式的性質(zhì)類比等式的性質(zhì),你能猜想不等式有哪些性質(zhì)嗎?知識(shí)點(diǎn)
不等式的性質(zhì)等式的性質(zhì)1
等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子),結(jié)果仍相等.等式的性質(zhì)2
等式兩邊乘同一個(gè)數(shù),或除以同一個(gè)不為0的數(shù),結(jié)果仍相等.不等式是否也有類似的性質(zhì)呢?先考慮不等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)的情況.知識(shí)點(diǎn)
不等式的性質(zhì)探究用“>”或“<”填空,并觀察不等號的方向是否改變,總結(jié)其中的規(guī)律:知識(shí)點(diǎn)
不等式的性質(zhì)①5>35+2
3+2,
5+0
3+0,
5+(-2)
3+(-2),;②-1<3
-1+4
3+4,-1+0
3+0,-1+(-7)
3+(-7).>>><<<規(guī)律:當(dāng)不等式兩邊加或減同一個(gè)數(shù)時(shí),不等號的方向不變.由于減法可以轉(zhuǎn)化為加法,因而這個(gè)規(guī)律對于不等式兩邊減去同一個(gè)數(shù)的情形仍然成立.知識(shí)點(diǎn)
不等式的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)
不等式的性質(zhì)一般地,不等式有如下性質(zhì):不等式的性質(zhì)1
不等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子),不等號的方向不變.符號語言:如果a>b,那么a±c>b±c.接下來,考慮不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)不為0的數(shù)的情況.知識(shí)點(diǎn)
不等式的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)
不等式的性質(zhì)探究
①6>26×4
2×4,6÷2
2÷2;②-2<4
-2×2
4×2,-2÷2
4÷2;③-4<-2
-4×2
-2×2,-4÷2
-2÷2.>><<<<規(guī)律:當(dāng)不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)正數(shù)時(shí),不等號的方向不變.知識(shí)點(diǎn)
不等式的性質(zhì)
知識(shí)點(diǎn)
不等式的性質(zhì)探究
①6>26×(-4)
2×(-4),6÷(-2)
2÷(-2);②-2<4
-2×(-2)
4×(-2),-2÷(-2)
4÷(-2);③-4<-2
-4×(-2)
-2×(-2),-4÷(-2)
-2÷(-2).<<>>>>規(guī)律:當(dāng)不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí),不等號的方向改變.知識(shí)點(diǎn)
不等式的性質(zhì)
注意:兩邊同乘的數(shù)不能是0,若兩邊同乘0,則不等式變?yōu)榈仁?=0;兩邊同時(shí)除以的數(shù)也不能是0,因?yàn)?作為除數(shù)無意義.比較不等式的性質(zhì)和等式的性質(zhì),它們有什么異同?知識(shí)點(diǎn)
不等式的性質(zhì)類別不同點(diǎn)相同點(diǎn)不等式等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號的方向要改變.兩邊乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù),等式仍然成立.(1)兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子),不等式和等式仍成立;(2)兩邊乘(或除以)同一個(gè)正數(shù),不等式和等式仍成立.例1已知a>b,比較下列兩個(gè)式子的大小,并說明依據(jù).(1)a+3與b+3;(2)-2a與-2b.解:(1)因?yàn)閍>b,所以a+3>b+3(不等式的性質(zhì)1).(2)因?yàn)閍>b,所以-2a<-2b(不等式的性質(zhì)3).知識(shí)點(diǎn)
不等式的性質(zhì)
>><>加同一個(gè)數(shù),不等號方向不變減同一個(gè)數(shù),不等號方向不變乘同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號方向改變除以同一個(gè)正數(shù),不等號方向不變
C除以同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號方向改變
解:∵不等式的兩邊都除以(1-a)后不等號的方向發(fā)生了改變,∴1-a<0,∴a>1,∴|a-1|+|a+2|=a-1+a+2=2a+1.不等式的性質(zhì)對稱性:如果a>b,那么b<a傳遞性:如果a>b,b>c,那么a>c性質(zhì)1:如果a>b,那么a±c>b±c
基本事實(shí)第十一章不等式與不等式組11.1.2節(jié)不等式的性質(zhì)人教版數(shù)學(xué)(七年級下)老師:孫老師授課時(shí)間:2025(第二課時(shí))1.進(jìn)一步理解不等式的性質(zhì),會(huì)用不等式的性質(zhì)解簡單的不等式.2.會(huì)在數(shù)軸上表示不等式的解集,體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想.問題
不等式的性質(zhì)有哪些?1.不等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子),不等號的方向不變.2.不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)正數(shù),不等號的方向不變.3.不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號的方向改變.解方程需要依據(jù)等式的性質(zhì),同樣解不等式也需要依據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行.本節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)怎樣利用不等式的性質(zhì)解不等式.思考解不等式的最終目標(biāo)是把不等式轉(zhuǎn)化成什么形式?與解方程類似,解不等式要借助不等式的性質(zhì),將不等式逐步化為x>m或x<m(m為常數(shù))的形式.知識(shí)點(diǎn)
不等式性質(zhì)的應(yīng)用
知識(shí)點(diǎn)
不等式性質(zhì)的應(yīng)用分析:解不等式,就是要借助不等式的性質(zhì)使不等式逐步化為x>m
或x<m(m
為常數(shù))的形式.例1(1)x-7>26;知識(shí)點(diǎn)
不等式性質(zhì)的應(yīng)用解:(1)根據(jù)不等式的性質(zhì)1,不等式兩邊加7,不等號的方向不變,所以x-7+7>26+7,即x>33.這個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上的表示如圖所示.
033例1(2)3x<2x+1;知識(shí)點(diǎn)
不等式性質(zhì)的應(yīng)用01解:(2)根據(jù)不等式的性質(zhì)1,不等式兩邊減2x,不等號的方向不變,所以3x-2x<2x+1-2x,即x<1.這個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上的表示如圖所示.
知識(shí)點(diǎn)
不等式性質(zhì)的應(yīng)用075
例1(4)-4x>3.
知識(shí)點(diǎn)
不等式性質(zhì)的應(yīng)用
0除了含有<,>,≠的不等式,像a≥b或a≤b這樣的式子,也經(jīng)常用來表示兩個(gè)數(shù)量的大小關(guān)系,它們也是不等式.知識(shí)點(diǎn)
不等式性質(zhì)的應(yīng)用“≥”“≤”這兩個(gè)符號表示什么意思?x≥3:x>3或x=3,即x可以取3和大于3的所有值.符號“≥”讀作“大于或等于”也可以說是“不小于”;符號“≤”讀作“小于或等于”,也可以說是“不大于”.知識(shí)點(diǎn)
不等式性質(zhì)的應(yīng)用符號“≥”與“>”的含義有什么區(qū)別?“≤”與“<”呢?知識(shí)點(diǎn)
不等式性質(zhì)的應(yīng)用>大于≥大于或等于<小于≤小于或等于a≥b或a≤b形式的不等式,具有與前面所說的不等式的性質(zhì)類似的性質(zhì).例如:如果a≥b,那么-2a≤-2b.知識(shí)點(diǎn)
不等式性質(zhì)的應(yīng)用你能想到生活中在哪里見到過“≥”“≤”這兩個(gè)符號嗎?知識(shí)點(diǎn)
不等式性質(zhì)的應(yīng)用高速公路的限速標(biāo)志表示在此道路上行駛的汽車的最低車速應(yīng)為80km/h,最高車速應(yīng)為100km/h.如果用v(單位:km/h)表示汽車的速度,則v應(yīng)滿足:v≥80且v≤100,或表示為80≤v≤100.知識(shí)點(diǎn)
不等式性質(zhì)的應(yīng)用思考如果汽車所行駛道路的最高限速是120km/h,那么車速x應(yīng)滿足什么條件?知識(shí)點(diǎn)
不等式性質(zhì)的應(yīng)用x≤120例2如圖,一個(gè)長方體形狀的魚缸長10dm,寬3.5dm,高7dm.若魚缸內(nèi)已有水的高度為1dm,現(xiàn)準(zhǔn)備向魚缸內(nèi)繼續(xù)注水.用V(單位:dm3)表示新注入水的體積,寫出V的取值范圍并在數(shù)軸上表示.知識(shí)點(diǎn)
不等式性質(zhì)的應(yīng)用10dm3.5dm7dm分析:問題中的不等關(guān)系是:已有水的體積與新注入水的體積之和不能超過魚缸的容積.知識(shí)點(diǎn)
不等式性質(zhì)的應(yīng)用解:因?yàn)椤耙延兴捏w積+新注入水的體積V≤魚缸的容積”,所以10×3.5×1+V≤10×3.5×7,解得V≤210.又由于新注入水的體積V不能是負(fù)數(shù),所以V的取值范圍是0≤V≤210.在數(shù)軸上表示V的取值范圍如圖所示.0210在表示0和210的點(diǎn)上畫實(shí)心圓點(diǎn),表示取值范圍包含這兩個(gè)點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù).利用數(shù)軸表示不等式的解集通常有以下四種情況(設(shè)a>0):常見不等式的解集在數(shù)軸上的表示:知識(shí)點(diǎn)
不等式性質(zhì)的應(yīng)用不等式的解集x>ax<ax≥ax≤a數(shù)軸表示0a0a0a0a知識(shí)點(diǎn)
不等式性質(zhì)的應(yīng)用用數(shù)軸表示不等式的解集的步驟:1.定邊界點(diǎn):在數(shù)軸上要標(biāo)出原點(diǎn)和邊界點(diǎn),有等號邊界點(diǎn)處畫實(shí)心圓點(diǎn)(表示包括這一點(diǎn)),無等號邊界點(diǎn)處畫空心圓圈(表示不包括這一點(diǎn)).2.定方向:大于向右,小于向左.
20
解:(2)根據(jù)不等式的性質(zhì)1,不等式兩邊減7x,不等號的方向不變,所以5x-6-7x≤7x-4-7x,即-2x-6≤-4.根據(jù)不等式的性質(zhì)1,不等式兩邊加6,不等號的方向不變,所以-2x-6+6≤-4+6,即-2x≤2.
0-12.
(1)如圖1,此不等式的解集為
,非正整數(shù)解為
;
(2)如圖2,此不等式的解集為
,最大整數(shù)解為
.
x>-2-1,0x<0-1圖1圖23.“春種一粒粟,秋收萬顆子”,唐代詩人李紳這句詩中的“粟”即谷子(去皮后則稱為“小米”),被譽(yù)為中華民族的哺育作物.2024年,某省谷子種植面積已達(dá)324萬畝,平均
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