課程基本信息

課例編號(hào)2020QJ11SXRA020學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高二學(xué)期上

課題2.2.2直線的兩點(diǎn)式方程

書(shū)名：普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)A版

教科書(shū)

出版社：人民教育出版社出版日期：2020年5月

教學(xué)人員

姓名單位

授課教師傅靖北京市第二中學(xué)

指導(dǎo)教師雷曉莉北京東城區(qū)教師研修中心

教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)目標(biāo)：

1．知識(shí)與技能：

（1）推導(dǎo)并掌握直線的兩點(diǎn)式、截距式方程；

（2）能正確利用直線的兩點(diǎn)式、截距式求直線的方程.

2．過(guò)程與方法：通過(guò)已知直線上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，借助方程思想和解析思想探究直線的

兩點(diǎn)式方程，并進(jìn)一步探究直線的截距式方程，深化直線的幾何特征與方程之間的關(guān)系.

3．情態(tài)與價(jià)值觀：從學(xué)生熟悉的問(wèn)題與思路入手，深化直線的幾何特征與代數(shù)表達(dá)之

間的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生利用幾何與代數(shù)轉(zhuǎn)化的解析思想，滲透數(shù)學(xué)中普遍存在相互

聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化等觀點(diǎn)，使學(xué)生能用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問(wèn)題.

教學(xué)重點(diǎn)：推導(dǎo)直線的兩點(diǎn)式、截距式方程.

教學(xué)難點(diǎn)：理解直線上點(diǎn)的幾何特征與直線上點(diǎn)坐標(biāo)滿足的直線方程間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

教學(xué)過(guò)程

教

時(shí)學(xué)

主要師生活動(dòng)

間環(huán)

節(jié)

問(wèn)題1如何表示出經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1,y1)，P2(x2,y2)的直線的方程？

引導(dǎo)學(xué)生明確探究思路：利用兩點(diǎn)，求出斜率，代入其中一點(diǎn)求直線的點(diǎn)斜式

方程.

探

究

解：已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，（x1x2），求出直線l的斜率

新

知y2y1

k，將點(diǎn)P1(x1,y1)及斜率k代入直線l的點(diǎn)斜式方程，得

x2x1

y2y1

yy1(xx1).

x2x1

意圖：梳理探究思路，探究經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的方程.

y2y1

追問(wèn)1：是否可以將yy1(xx1)進(jìn)行變形？

x2x1

引導(dǎo)學(xué)生討論：若直線上的兩點(diǎn)橫縱坐標(biāo)均不相同，則x1x2，y1y2，直

y2y1

線的斜率存在且不為0，可將yy1(xx1)兩側(cè)同時(shí)除以y2y1，

x2x1

yyxx

得到直線l方程可表示為11.

y2y1x2x1

yyxx

小結(jié)：可利用方程11將直線的幾何特征進(jìn)行代數(shù)表示，這就是

y2y1x2x1

經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，（其中x1x2，且y1y2）的直線的兩點(diǎn)

式方程，簡(jiǎn)稱兩點(diǎn)式.

意圖：完善思考過(guò)程，推導(dǎo)直線的兩點(diǎn)式方程.

問(wèn)題2能否說(shuō)明直線的兩點(diǎn)式的幾何意義？

引導(dǎo)學(xué)生思考：過(guò)已知橫縱坐標(biāo)均不相同的兩點(diǎn)的直線，其幾何特征為直線上

任意點(diǎn)到與已知兩點(diǎn)連線的斜率，都等于這兩點(diǎn)連線的斜率，即這條直線的斜

率.

梳理探究過(guò)程：已知直線l上的兩個(gè)點(diǎn)P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，（其中x1x2，

且yy），在直線l上任取一點(diǎn)，則需要滿足kk；其中，

12P(x,y)P1PP1P2

yyyyyyyy

k1，k21，即121.即點(diǎn)需要滿足的

P1PP1P2P(x,y)

xx1x2x1xx1x2x1

方程；但該式中x1x2且xx1，只能表示直線上除去點(diǎn)P1(x1,y1)之外的其

yy1xx1

他點(diǎn)；而由于y1y2，將該式進(jìn)行變形，得到，即可表示直

y2y1x2x1

線l.進(jìn)一步說(shuō)明直線兩點(diǎn)式方程的記憶方式.

意圖：深化直線的兩點(diǎn)式方程的研究思路及形式的認(rèn)識(shí).

追問(wèn)1：直線的兩點(diǎn)式方程能表示什么樣的直線？

引導(dǎo)學(xué)生明確：直線的兩點(diǎn)式方程需滿足x1x2，且y1y2，其中，x1x2

表示直線的傾斜角90，即直線不能垂直于x軸；y1y2表示直線的傾斜

角0，即直線不能平行于x軸，換言之，直線的兩點(diǎn)式方程只能表示除了

平行或垂直于x軸之外的其他直線.

意圖：說(shuō)明直線的兩點(diǎn)式方程的適用范圍.

問(wèn)題3如果已知直線l上的兩點(diǎn)分別落在x軸、y軸上，即已知點(diǎn)

A(a,0),B(0,b)，其中a0,b0，如何表示這條直線l？

引導(dǎo)學(xué)生思考并討論：將點(diǎn)A(a,0)，B(0,b)其中a0,b0代入直線的兩點(diǎn)

yyxxy0xayxax

式方程：11，即，1，也就是

y2y1x2x1b00abaa

xy

1；

ab

意圖：借助直線的兩點(diǎn)式方程，利用特殊點(diǎn)，探究直線的截距式方程.

xy

追問(wèn)1：如何理解1？

ab

引導(dǎo)學(xué)生明確推導(dǎo)過(guò)程：該式由已知直線過(guò)特殊的兩個(gè)點(diǎn)，即x軸與y軸上的

兩個(gè)點(diǎn)，利用直線的兩點(diǎn)式方程推導(dǎo)而來(lái).式子中的a,b為直線與x軸交點(diǎn)的橫

坐標(biāo)和直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)；

小結(jié)：b叫做直線l在y軸上的截距；a叫做直線l在x軸上的截距

我們將該式稱為直線的截距式方程，簡(jiǎn)稱截距式，因此直線的截距式方程也是

特殊的兩點(diǎn)式方程.

意圖：完善思考過(guò)程，明確直線的截距式方程及其常數(shù)的幾何意義.

xy

追問(wèn)2：如何記憶并應(yīng)用直線的截距式方程1？

ab

引導(dǎo)學(xué)生深化：截距式的形式簡(jiǎn)潔，等式左側(cè)為直線上任意點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)分別

于直線在x軸，y軸上的截距的比值的和，右側(cè)是常數(shù)1.

在應(yīng)用時(shí)，只需通過(guò)直線的截距，即可表示直線的方程，其中，由題意與等式

形式可知，直線在x軸，y軸上的截距均不能為0，即a0,b0，由此可知：

截距式方程作為特殊的兩點(diǎn)式方程，除了不能表示平行于x軸和y軸的直線外，

當(dāng)a，b都不為0，直線不能過(guò)原點(diǎn).

意圖：掌握直線的截距式方程的形式特點(diǎn)和適用范圍.

小結(jié)：已知直線上的兩個(gè)點(diǎn)，表示直線的方程.

引導(dǎo)學(xué)生思考：已知直線過(guò)兩點(diǎn)，若想利用直線的兩點(diǎn)式方程表示直線，關(guān)鍵

要考慮兩點(diǎn)橫縱坐標(biāo)之間的關(guān)系：

知若兩點(diǎn)橫縱坐標(biāo)均不相等，則可用直線的點(diǎn)斜式方程來(lái)表示直線；

識(shí)若兩點(diǎn)是直線與橫縱坐標(biāo)的交點(diǎn)，且截距都不為0，則可用直線的截距式方程

小來(lái)表示直線；

結(jié)

若兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，無(wú)法應(yīng)用兩點(diǎn)式方程，直線的方程表示為xx1.

若兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，無(wú)法應(yīng)用兩點(diǎn)式方程，直線的方程表示為yy1.

意圖：小結(jié)核心知識(shí)，強(qiáng)化直線的兩點(diǎn)式方程和截距式方程的適用條件.

例1已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(5,0)，B(3,3)，C(0,2)，求邊BC、邊AC

所在直線的方程，以及邊BC上的中線AM所在的直線的方程.

引導(dǎo)學(xué)生明確解題思路：已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，求其中兩條邊和一條邊上中

線所在直線的方程，各自均需要通過(guò)兩個(gè)點(diǎn)來(lái)確定，在檢驗(yàn)點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系滿足

條件后，可利用直線的兩點(diǎn)式方程來(lái)求解，因此只需利用三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，再

利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)M即可.

y2x0

梳理解題過(guò)程：解：如圖，過(guò)B(3,3)，C(0,2)的兩點(diǎn)式方程為，

3230

5

例可整理得yx2，這就是邊BC所在直線的方程.

題3

解

xy2

過(guò)A(5,0)，C(0,2)的截距式方程為1，可整理得yx2，這

析525

就是邊AC所在直線的方程.

邊BC上的中線是頂點(diǎn)A與邊BC中點(diǎn)M所連線段，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得點(diǎn)

303231

M的坐標(biāo)為(,)，即M(,).

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