第第頁浙江省嘉興市2024-2025學年高三上學期9月基礎測試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知集合U={x∣1<x<9,x∈N},?A．2∈A B．3?A C．6∈A D．7?A2．在復平面內，復數(shù)z1對應的點和復數(shù)z2=1+2iA．?3+4i B．?3?4i C．5 D．53．已知向量a=1,2,b=A．?2 B．?1 C．0 D．14．嘉興河流眾多，許多河邊設有如圖所示的護欄，護欄與護欄之間用一條鐵鏈相連.數(shù)學中把這種兩端固定的一條均勻?柔軟的鏈條，在重力的作用下所具有的曲線形狀稱為懸鏈線（Catenary）.已知函數(shù)fxA．fx為奇函數(shù) B．fxC．fx在?∞,+∞上單調遞增5．已知sinα+β=3cosα?βA．?15 B．?5 C．126．已知四面體P?ABC的每條棱長都為2，若球O與它的每條棱都相切，則球O的體積為（）A．26π B．23π C．7．將數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9隨機填入3×3的正方形格子中，則每一橫行?每一豎列以及兩條斜對角線上的三個數(shù)字之和都相等的概率為（）A．89! B．129! C．249!8．《測圓海鏡》是金元之際李冶所著中國古代數(shù)學著作，這是中國古代論述容圓的一部專著，也是論述天元術的代表作.天元術與現(xiàn)代數(shù)學中列方程的方法基本一致，先立“天元一”為…，相當于“設x為…”，再根據(jù)問題的已知條件列出兩個相等的多項式，最后通過合并同類項得到方程a0xn+a1xA．3n2+4n2 B．3n2二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9．下列說法正確的是（）A．樣本數(shù)據(jù)20,19,17,16,22,24,26的下四分位數(shù)是17B．在比例分配的分層隨機抽樣中，若第一層的樣本量為10，平均值為9，第二層的樣本量為20，平均值為12，則所抽樣本的平均值為11C．若隨機變量X～B5,1D．若隨機變量X～N4,σ2σ>010．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦點分別是F1?c,0,FA．QF2+PFC．橢圓C的離心率為53 D．直線QF11．定義在0,+∞上的函數(shù)fx滿足fx=f3axx2+a，其值域是A．14 B．12 C．3三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．若(x?1)5=a013．已知直線y=2x?m與圓C:(x?m)2+y2=4交于A,B兩點，寫出滿足“14．在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=2,AD=AA1=1，點M滿足A1M=λA1C1四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15．記△ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，已知b+c?ab+c+a（1）求A；（2）若D為BC邊上一點，∠BAD=3∠CAD,AC=4,AD=3，求sinB16．如圖，已知四棱錐P?ABCD的底面ABCD是邊長為6的正方形，側面PCD⊥底面ABCD,PC=PD=5，點E,G分別是DC,DP的中點，點F在棱AB上且AF=3FB.（1）求證：FG∥平面BPE；（2）求直線FG與平面PBC所成的角的正弦值.17．已知函數(shù)fx（1）討論fx（2）若存在x∈1,+∞，使得函數(shù)fx參考數(shù)據(jù)：7.3<e18．已知拋物線C:y2=2pxp>0的焦點為F，點Mt,2（1）求拋物線C的方程；（2）設點Ax1,y1,Bx2,y2（其中x1<（i）求證：點N在定直線上；（ii）若△MAB的面積為6，求點A的坐標.19．當n1,n2,?,nk∈N?，且n1<n2<?<nk時，我們把an1,an2（1）寫出數(shù)列b1（2）數(shù)列bn（3）記數(shù)列bn的3階和4階等差子數(shù)列個數(shù)分別為A,B，求證：A≤2B

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】U={x∣1<x<9,x∈N}=2,3,4,5,6,7,8又?UA={4,5,6}，所以所以2∈A，3∈A，6?A，7∈A，故選：A【分析】本題考查集合的補集運算.先根據(jù)集合的定義，求出全集U=2,3,4,5,6,7,8，再根據(jù)集合補集的定義可求出集合A，利用元素與集合的關系進行判斷可得：2∈A，3∈A，6?A，7∈A2．【答案】C【解析】【解答】因為復數(shù)z1對應的點和復數(shù)z所以z1所以z故選：C【分析】本題考查復數(shù)的幾何意義，復數(shù)的乘法運算.根據(jù)復數(shù)z1對應的點和復數(shù)z2=1+2i對應的點關于實軸對稱，利用復數(shù)的幾何意義可求出z3．【答案】B【解析】【解答】由條件可得a因為a+所以?所以λ+μ=?1故選：B

【分析】本題考查平面向量平行的坐標運算.先利用平面向量平行的坐標運算可求出a+c=4．【答案】D【解析】【解答】A，∵f(?x)=a2eC，又∵f'(x)=12ex則在f'(x)在R上單調遞增，且則當x>0時，則f'(x)>0，當x<0時，則∴f(x)的單調遞減區(qū)間為(?∞,0)，單調遞增區(qū)間為B.則fx≥f0=a，即D，法一：因為f(x)為偶函數(shù)，且最小值為a，2a>a>0，并且根據(jù)C中f(x)的單調遞減區(qū)間為(?∞,0)，單調遞增區(qū)間為(0,+∞)，且所以fx法二：令∵f(x)=2a,∴a2e再結合指數(shù)函數(shù)性質知方程f(x)=2a有2個實數(shù)根，D正確.，故選：D

【分析】本題考查函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的最值，函數(shù)的單調性，函數(shù)與方程的綜合應用.先求出f(?x)，進而可得f(?x)=fx，利用函數(shù)的奇偶性可判斷A選項；先求出導函數(shù)可得f'(x)=12exa?e?xa，利用指數(shù)函數(shù)的性質可得f'(x)在R上單調遞增，進而可推出當x>0時，則f'(x)>05．【答案】C【解析】【解答】因為tanαtanβ=?15，所以sin又sin所以sin所以tanα+tanβ=sin故選：C

【分析】本題考查三角函數(shù)的恒等變換.先利用正切的定義可將tanαtanβ=?15化簡為sinαsinβ=?156．【答案】B【解析】【解答】將正四面體P?ABC補成一個正方體球O與正四面體的棱都相切．

則球O與正方體的內切球，正方體邊長為a，∴故選：B.

【分析】本題考查球的內接幾何體問題.先將正四面體P?ABC補成一個正方體球O與正四面體的棱都相切．設正方體邊長為a，利用勾股定理可列出方程a27．【答案】A【解析】【解答】符合題意的填寫方法有如下8種：

而9個數(shù)填入9個格子有9!種方法所以所求概率為P=8故選：A．

【分析】本題考查古典型概率.先根據(jù)題意的填寫方法的種數(shù)，據(jù)此可得9個數(shù)填入9個格子有9!種方法，利用古典型概率計算公式寫出計算式子可求出答案.8．【答案】D【解析】【解答】令Tn當n≥1時，2T兩式相減可得Tn?2當n=0時，T0=a所以f1故選：D.

【分析】本題考查數(shù)列求和.令Tn=f2，進而可得：Tn=f2=a09．【答案】A,B,D【解析】【解答】A.從小到大排序得：16，17，19，20，22，24，26，由7×25%B，10×9+20×1230C，由二項分布可得：PX=2D，由正態(tài)分布的對稱性可得：Px>6故選：ABD

【分析】本題考查百分位數(shù)的定義，加權平均數(shù)，二項分布，正態(tài)分布.先求出數(shù)的位置為：7×25%=74=1.75，進而可求出下四分位數(shù)，據(jù)此可判斷A選項；利用加權平均數(shù)的定義可列出式子10×9+20×1210．【答案】A,C,D【解析】【解答】A，由橢圓的定義可得，PF1+PF2=2aB，如圖，連接QF1，PF1，設QF因為PF1+所以PF1=2a?2x因為F1F2為圓的直徑，所以∠F1即2a?2x2+3x所以S△PQC，在Rt△PF1F2所以PF12解得；e2=cD，在Rt△PF在Rt△PF所以tan∠所以直線QF1的斜率為故選：ACD

【分析】本題考查橢圓的定義，橢圓的簡單幾何性質.利用橢圓的定義可得PF1+PF2=2a，QF1+QF2=2a，利用線段的運算可得QF2+PF1=QF1，據(jù)此可判斷A選項；設11．【答案】A,B,C,D【解析】【解答】因為y∣y=fx,x∈0,1=M，設當x∈1,+A.當a=14時，fx=f3x4xB.當a=12時，fx=f3xtxC和D.當a=34或a=1時，對x∈[0,1],設即對于x∈故f(x)=f(y)∈M，而對于z∈3故存在x∈0,32故f(z)∈M，C正確.D正確.故選：ABCD

【分析】本題考查函數(shù)的定義域和值域.當a=14時，再結合x∈1,+∞，通過計算可得：tx=34x+1x∈0,35?0,1，據(jù)此可判斷A選項；當a=12時，再結合12．【答案】?10【解析】【解答】(x?1)5的展開式通項是：C依題意得，5?k=2，即k=3，所以a2故答案為：?10

【分析】本題考查二項式的通項.利用二項式的通項可得：(x?1)5的展開式通項是：C5kx5?k13．【答案】?5或5【解析】【解答】圓心為C(m,0)，C到直線y=2x?m的距離為d=2m?0?m又AB=23，圓半徑為2，則m2故答案為：5或?5．【分析】本題考查直線與圓的位置關系.先利用點到直線的距離公式進行計算可得圓心為C(m,0)，C到直線y=2x?m的距離為d=2m?0?m5=14．【答案】2?【解析】【解答】作MN⊥AC，垂足N，則MN⊥底面ABC，再作NE⊥AB,NF⊥BC，垂足分別為E,F，則α=∠MEN,β=∠MFN，又正方體中AB=2,AD=AA設NE=x，0≤x≤1，則當x=0，易知α=π2，tanβ=12，此時當x=1，易知β=π2，tanα=1，此時α+β=3π當x≠0且x≠1時，tanα=1所以tanα+β設t=2?x∈1,2，則tan當且僅當t=102，即x=2?10t=1時tan(α+β)=?1，t=2時tan且t∈[1,102)時tan(α+β)遞減，綜上，tan(α+β)<0恒成立，即π所以當x=2?102時，α+β取到最小，此時綜上可知當x=2?102時，故答案為：2?10【分析】本題考查二面角的定義，利用基本不等式求最值.作MN⊥AC，垂足N，則MN⊥底面ABC，再作NE⊥AB,NF⊥BC，垂足分別為E,F，則α=∠MEN,β=∠MFN，設NE=x，0≤x≤1，則NF=21?x，分三種情況：當x=0，當x=1；可依次求出λ的值，當x≠0且x≠1時，利用正切的定義可得tanα=1x,tanβ=121?x，利用兩角和的正切公式可得：tanα+β=2?x?2x2+2x?1，設15．【答案】（1）因為b+c?ab+c+a=(b+c)所以cosA=b因為0<A<π，所以A=2π??????（2）法①：由（1）得，A=2π3，因為∠BAD=3∠CAD，所以如圖在△ACD中，由余弦定理C=3+16?23×4×3在△ACD中由正弦定理CDsin∠DAC=ADsinC，即因為0<C<π3，故在△ABC中sinB=sinA+C法②：同解法①CD=7，在△ACD中由正弦定理CD即712=又因為∠ADC=∠BAD+∠B=B+π2，即cosB+法③同上CD=7，在直角△ABD中BD=c2由（1）問知a2=b2+c2+bc，所以c2+3+法④如圖由（1）知A=2π3，則因為S△ABC12×4csin2π3=12×3在△ABC中，由正弦定理asinA=bsinB，即【解析】【分析】本題考查利用正弦定理和余弦定理解三角形.（1）將式子b+c?ab+c+a=bc.利用平方差公式進行展開化簡可得；b2（2）法①：根據(jù)∠BAD=3∠CAD，可求出∠CAD=π6，利用余弦定理可列出方程CD2=AD2+AC2?2AD?ACcos∠DAC，據(jù)此可求出CD=7，利用正弦定理可列出方程CDsin∠DAC=ADsinC，通過化簡可求出sinC=327，進而可求出cosC，再根據(jù)sinB=sinA+C，利用兩角和的正弦公式進行展開可求出答案；

法②：由法①得CD=7，在△ACD中利用正弦定理可列出式子CDsin∠DAC=ACsin∠ADC，化簡后可求出sin∠ADC=27，進而可求出cos∠ADC，再根據(jù)∠ADC=B+π2，利用誘導公式可求出BD=7，利用正弦的定義可求出sinB=217；

法③：由法①得CD=7（1）b+c?ab+c+a=(b+c)所以cosA=b因為0<A<π，所以A=2π（2）法①：由（1）得，A=2π3，因為∠BAD=3∠CAD，所以如圖在△ACD中，由余弦定理C=3+16?23×4×3在△ACD中由正弦定理CDsin∠DAC=ADsinC，即因為0<C<π3，故在△ABC中sinB=sinA+C法②：同解法①CD=7，在△ACD中由正弦定理CD即712=又因為∠ADC=∠BAD+∠B=B+π2，即cosB+法③同上CD=7，在直角△ABD中BD=c2由（1）問知a2=b2+c2+bc，所以c2+3+法④如圖由（1）知A=2π3，則因為S△ABC12×4csin2π3=12×3在△ABC中，由正弦定理asinA=bsinB，即16．【答案】（1）解法一：取PE的中點H，連接GH,BH，因為點G是DP的中點，

所以GH∥DE，且GH=1正方形中，點E是CD的中點，AF=3FB，所以BF=14AB=所以GH∥BF，且GH=BF，所以四邊形BHGF是平行四邊形，所以GF∥BH，又GF?平面BPE,BH?平面BPE，所以FG∥平面BPE.解法二：PC=PD=5，點E是DC的中點，所以PE⊥CD，又側面PCD⊥底面ABCD，側面PCD∩底面ABCD=CD,PE?平面PCD，所以PE⊥平面ABCD，如圖以點E為坐標原點，直線EC,EP為y軸和z軸建立空間直角坐標系，則E所以G0,?3設平面BPE的一個法向量為m=x,y,z，則取y=2得x=?1,z=0，所以n=?1,2,0，所以FG?n=?1×?6+2×?3=0，即FG⊥（2）解法一：過點H作HK⊥PC，垂足為K，連接BK，由題意知BC⊥DC，又側面PCD⊥底面ABCD，側面PCD∩底面ABCD=DC,BC?平面ABCD，所以BC⊥底面PCD，又HK?平面PCD，所以BC⊥HK，又BC∩PC=C,BC,PC?平面PBC，所以HK⊥底面PBC，所以∠HBK為直線BH與平面PBC所成的角，記直線FG與平面PBC所成的角為θ，由（1）知GF∥BH，所以θ=∠HBK，又由題意知，EH=PH=12PE=2又BE=BC2所以sinθ=sin∠HBK=HK所以直線FG與平面PBC所成的角的正弦值為635解法二：由（1）知FG設n=x,y,z是平面PBC的一個法向量，則取z=3得x=0,y=4，所以n=所以cos<n設直線FG與平面PBC所成的角為θ，則sinθ=cos<所以直線FG與平面PBC所成的角的正弦值為635??????【解析】【分析】本題考查直線與平面平行的判定，直線與平面所成的角.（1）解法一：取PE的中點H，連接GH,BH，證明四邊形BHGF是平行四邊形，利用平行四邊形的性質可得GF∥BH，利用直線與平面平行的判定定理可證明結論；解法二：利用直線與平面垂直的判定定理可證明PE⊥平面ABCD，以點E為坐標原點，直線EC,EP為y軸和z軸建立空間直角坐標系，求出FG=?6,?3,2,EP=0,0,4,（2）解法一：過點H作HK⊥PC，垂足為K，連接BK，利用直線與平面垂直的定義可證明HK⊥底面PBC，利用直線與平面所成角的定義可得∠HBK為直線BH與平面PBC所成的角，記直線FG與平面PBC所成的角為θ，利用正弦的定義可求出HK，利用勾股定理可求出BE和BH，利用正弦的定義可得：sinθ=sin∠HBK=HK解法二：利用空間向量的定義可得FG=?6,?3,2,BP=?6,?3,4,BC=?6,0,0，設n=（1）解法一：取PE的中點H，連接GH,BH，因為點G是DP的中點，所以GH∥DE，且GH=1正方形中，點E是CD的中點，AF=3FB，所以BF=14AB=所以GH∥BF，且GH=BF，所以四邊形BHGF是平行四邊形，所以GF∥BH，又GF?平面BPE,BH?平面BPE，所以FG∥平面BPE.解法二：PC=PD=5，點E是DC的中點，所以PE⊥CD，又側面PCD⊥底面ABCD，側面PCD∩底面ABCD=CD,PE?平面PCD，所以PE⊥平面ABCD，如圖以點E為坐標原點，直線EC,EP為y軸和z軸建立空間直角坐標系，則E所以G0,?3設平面BPE的一個法向量為m=x,y,z，則取y=2得x=?1,z=0，所以n=?1,2,0，所以FG?n=?1×?6+2×?3=0，即FG⊥（2）解法一：過點H作HK⊥PC，垂足為K，連接BK，由題意知BC⊥DC，又側面PCD⊥底面ABCD，側面PCD∩底面ABCD=DC,BC?平面ABCD，所以BC⊥底面PCD，又HK?平面PCD，所以BC⊥HK，又BC∩PC=C,BC,PC?平面PBC，所以HK⊥底面PBC，所以∠HBK為直線BH與平面PBC所成的角，記直線FG與平面PBC所成的角為θ，由（1）知GF∥BH，所以θ=∠HBK，又由題意知，EH=PH=12PE=2又BE=BC2所以sinθ=sin∠HBK=HK所以直線FG與平面PBC所成的角的正弦值為635解法二：由（1）知FG設n=x,y,z是平面PBC的一個法向量，則取z=3得x=0,y=4，所以n=所以cos<n設直線FG與平面PBC所成的角為θ，則sinθ=cos<所以直線FG與平面PBC所成的角的正弦值為63517．【答案】（1）函數(shù)fx=2x?alnx的定義域為0,+當a≤0時，f'x=2?ax>0，所以當a>0時，令f'x=2?ax<0，又x>0，解得令f'x=2?ax>0，解得綜上所述，當a≤0時，fx在0,+當a>0時，fx在0,a2（2）方法一：由fx≤gx得2x?alnx≤?因為x∈1,+∞，所以a≥x記函數(shù)rx=x記px=2x+3lnx?所以函數(shù)px=2x+3又pe因為27=128,所以存在x0∈2,e，使得px0所以當x∈0,x0時，r'x所以r(x)所以a≥r(x)方法二：存在x∈1,+∞，使得函數(shù)?存在x∈1,+∞，使得函數(shù)記?x=alnx?x當a≤5時，?'x≤0，所以?當a>5時，存在x0∈1,+所以?x在區(qū)間1,x0所以?x所以?'x0又?2=14ln2?10=2ln2所以a=2x【解析】【分析】本題考查利用導函數(shù)研究函數(shù)的單調性，函數(shù)的恒成立問題.（1）先求函數(shù)的定義域可得：函數(shù)fx=2x?alnx的定義域為0,+∞，再求出導函數(shù)可得：f'x=2?ax，分兩種情況：當（2）法一：先進行參變量分離可得：a≥x2+3xlnx，將問題轉化為最值問題可得：a≥x2+3xlnxmin，構造函數(shù)rx=x2+3xlnxx>1，求導可得：r'x=法二：通過變形可將問題轉化為：存在x∈1,+∞，使得函數(shù)alnx?x2?3x≥0成立，構造函數(shù)?x=alnx?x2?3xx≥1，求導可得：?'x=a?2（1）函數(shù)fx=2x?alnx的定義域為0,+當a≤0時，f'x=2?ax>0，所以當a>0時，令f'x=2?ax<0，又x>0，解得令f'x=2?ax>0，解得綜上所述，當a≤0時，fx在0,+當a>0時，fx在0,a2（2）方法一：由fx≤gx得2x?alnx≤?因為x∈1,+∞，所以a≥x記函數(shù)rx=x記px=2x+3lnx?所以函數(shù)px=2x+3又pe因為27=128,所以存在x0∈2,e，使得px0所以當x∈0,x0時，r'x所以r(x)所以a≥r(x)方法二：存在x∈1,+∞，使得函數(shù)?存在x∈1,+∞，使得函數(shù)記?x=alnx?x當a≤5時，?'x≤0，所以?當a>5時，存在x0∈1,+所以?x在區(qū)間1,x0所以?x所以?'x0又?2=14ln2?10=2ln2所以a=2x18．【答案】（1）因為MF=2，由拋物線的定義得t+p2=2，又因此2p+p2=2，即p?????（2）（i）由（1）知點M的坐標為M1,2，因為∠AMB的角平分線與x所以可知MA,MB的傾斜角互補，即MA,MB的斜率互為相反數(shù)，kMA同理kMB=4化簡得y1+y所以點N在定直線y=?2上.（ii）kAB=y即x+y?線段AB的長度：AB=2y1?y2可得△MAB的面積為S△MAB因為y1+yS△MAB令t=y1+2∈0,4，則解得t=2或t=?1±13由t=y1+2∈0,4知t=2或t=?1+所求點A的坐標為A0,0，或者A【解析】【分析】本題考查拋物線的簡單幾何性質，直線與拋物線的位置關系.（1）根據(jù)MF=2，利用焦半徑公式計算可得：t+p2=2，再再根據(jù)點M在拋物線上可得：2pt=4，據(jù)此可列出方程（2）（i）根據(jù)題意利用斜率公式計算可得：kMA=4y1+2，kMB=4y2+2，再根據(jù)（ii）寫出AB直線方程為：x+y?y1?y124=0，利用點到線的距離公式可求出點M1,2到直線AB的距離d=（1）因為MF=2，由拋物線的定義得t+p2=2，又因此2p+p2=2，即p（2）（i）由（1）知點M的坐標為M1,2，因為∠AMB的角平分線與x所以可知MA,MB的傾斜角互補，即MA,MB的斜率互為相反數(shù)，kM