第十章差錯(cuò)控制編碼10.1差錯(cuò)控制編碼的基本原理10.2常用的簡(jiǎn)單編碼10.3線性分組碼10.4循環(huán)碼2025/4/20信息與通信工程學(xué)院2數(shù)字通信系統(tǒng)模型信源編碼信道編碼加密信源譯碼信道譯碼解密信源編碼：提高系統(tǒng)的有效性。信道編碼：提高系統(tǒng)的可靠性。信道編碼又稱差錯(cuò)控制編碼、抗干擾編碼或糾錯(cuò)編碼10.1差錯(cuò)控制編碼的基本原理10.1差錯(cuò)控制編碼的基本原理系統(tǒng)特性不理想（乘性干擾），數(shù)字信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)時(shí)產(chǎn)生波形失真(碼間干擾)，在接收端判決時(shí)會(huì)產(chǎn)生判決錯(cuò)誤。發(fā)生誤碼原因：

取樣判決器

輸出輸入n(t)信道中的噪聲（加性干擾），這種干擾隨機(jī)地與信號(hào)

疊加，使信號(hào)波形產(chǎn)生失真，引起判決錯(cuò)誤。2025/4/20信息與通信工程學(xué)院410.1差錯(cuò)控制編碼的基本原理（1）適當(dāng)增加發(fā)送信號(hào)功率。

(2)選擇抗噪聲性能好的調(diào)制解調(diào)方式。

(3)采用最佳接收。（4）采用差錯(cuò)控制編碼。解決辦法：2025/4/20信息與通信工程學(xué)院510.1差錯(cuò)控制編碼的基本原理

發(fā)端按約定規(guī)則對(duì)信息碼元增加監(jiān)督碼元。

收端通過(guò)檢驗(yàn)監(jiān)督碼元與信息碼元之間關(guān)

系是否被破壞，以發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤或糾正錯(cuò)誤。人為地加入多余度。信號(hào)在一定的干擾條件下，具有檢測(cè)或糾

正錯(cuò)碼的能力。差錯(cuò)控制編碼方法：降低有效性，提高可靠性。2025/4/20信息與通信工程學(xué)院610.1差錯(cuò)控制編碼的基本原理常用的差錯(cuò)控制方式1.ARQ(AutomaticRepeatRequest)方式(自動(dòng)請(qǐng)求重發(fā)或檢錯(cuò)重發(fā))發(fā)端發(fā)送可以發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的碼字接收端譯碼后，如果發(fā)現(xiàn)沒(méi)有錯(cuò)誤，則輸出如果發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，自動(dòng)請(qǐng)求發(fā)端重發(fā)直到正確接收到碼字為止2025/4/20信息與通信工程學(xué)院710.1差錯(cuò)控制編碼的基本原理ARQ系統(tǒng)組成特點(diǎn)：設(shè)備簡(jiǎn)單、雙向信道、傳輸效率低。2025/4/20信息與通信工程學(xué)院810.1差錯(cuò)控制編碼的基本原理2.反饋校驗(yàn)方式收端收到碼字后，立即將收到的碼字返回發(fā)送端。發(fā)端將返回碼字與發(fā)端緩沖存儲(chǔ)器中相應(yīng)的碼字比較。若發(fā)現(xiàn)與發(fā)送碼不同，即認(rèn)為產(chǎn)生錯(cuò)誤，就重發(fā)上一次的碼字。特點(diǎn)：設(shè)備簡(jiǎn)單、雙向信道、傳輸效率低。2025/4/20信息與通信工程學(xué)院910.1差錯(cuò)控制編碼的基本原理發(fā)端發(fā)出碼字不僅能發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，且能夠糾正錯(cuò)誤。收端譯碼后，若沒(méi)有錯(cuò)誤則直接輸出。若有錯(cuò)誤，則在收端自動(dòng)糾正后，再輸出。

3.FEC（ForwardErrorControl，前向糾錯(cuò)）方式

不需要反向信道

實(shí)時(shí)性好

傳輸效率高糾錯(cuò)編譯碼方法復(fù)雜特點(diǎn)：2025/4/20信息與通信工程學(xué)院1010.1差錯(cuò)控制編碼的基本原理將ARQ方式和前向糾錯(cuò)方式結(jié)合使用。4.HEC（HybridErrorControl,混合糾錯(cuò)）方式錯(cuò)碼較多時(shí)：采用ARQ方式自動(dòng)請(qǐng)求重發(fā)。

錯(cuò)碼較少時(shí)：采用前向糾錯(cuò)方式，自動(dòng)糾正錯(cuò)碼。2025/4/20信息與通信工程學(xué)院1110.1差錯(cuò)控制編碼的基本原理有擾信道中，只要信息傳輸速率R小于信道容量C，總可以找一種編碼方法，使信息以任意小的差錯(cuò)概率Pe傳送，即Pe可以任意小，且R可以接近C。但若R>C，在傳輸過(guò)程中必定帶來(lái)不可糾正錯(cuò)誤，不存在使Pe任意小的編碼。香農(nóng)有擾信道編碼定理：編碼定理本身并未給出具體的糾錯(cuò)編碼方法。它為信道編碼奠定了理論基礎(chǔ)。從理論上指出了信道編碼的發(fā)展方向。2025/4/20信息與通信工程學(xué)院1210.1差錯(cuò)控制編碼的基本原理誤碼率：

Pe

=e

–nE(R)式中，n為編碼的碼字長(zhǎng)度(簡(jiǎn)稱碼長(zhǎng))；

E(R)為誤碼指數(shù)。2025/4/20信息與通信工程學(xué)院1310.1差錯(cuò)控制編碼的基本原理誤碼率：

Pe

=e

–nE(R)減小誤碼率Pe的兩種途徑：（1）n及R一定時(shí)，增加信道容量C。由圖可見(jiàn)，E(R)

隨C的增加而增大。由信道容量公式知，增加C，可通過(guò)增加S和B來(lái)實(shí)現(xiàn)；

（2）在C及R一定的情況下，增加n可以使Pe指數(shù)減小。1410.1差錯(cuò)控制編碼的基本原理重復(fù)編碼的例子：天氣預(yù)報(bào)消息發(fā)布晴雨糾檢錯(cuò)能力

第一種編碼方法許用碼(預(yù)先約定碼字)禁用碼（未約定碼字）最大似然準(zhǔn)則10無(wú)糾檢錯(cuò)能力

第二種編碼方法1100可檢1位錯(cuò)（01、10）、

無(wú)糾錯(cuò)能力

第三種編碼方法111000可檢2位錯(cuò)、可糾1位錯(cuò)（001、010、100011、101、110

）1110002025/4/20信息與通信工程學(xué)院1510.1差錯(cuò)控制編碼的基本原理碼間距離d及檢錯(cuò)糾錯(cuò)能力碼字：由信息位和監(jiān)督位組成的一組碼元。用C=(cn-1cn-2…c0

)表示。碼元：組成碼字的元素，用Ci表示。碼長(zhǎng)：碼字中碼元的個(gè)數(shù)，用n表示。（許用碼字、禁用碼字）碼組：由多個(gè)許用碼字構(gòu)成的一組碼字。重復(fù)編碼：000、1112025/4/20信息與通信工程學(xué)院16簡(jiǎn)稱碼距，又稱漢明距離，是碼組中任意兩個(gè)碼字之間對(duì)應(yīng)位上碼元取值不同的個(gè)數(shù)。等于兩個(gè)碼字對(duì)應(yīng)位模2相加后“1”的個(gè)數(shù)。碼間距離d（codedistances）例：11、00，d=2；111、000，d=3；101110

、

101011

，d=2

。

10.1差錯(cuò)控制編碼的基本原理2025/4/20信息與通信工程學(xué)院17碼間距離的幾何意義10.1差錯(cuò)控制編碼的基本原理最小碼間距離d0：碼組中各碼字之間最小的碼距。3位編碼碼字：三維幾何空間立方體頂點(diǎn)重復(fù)編碼：000、1112025/4/20信息與通信工程學(xué)院1810.1差錯(cuò)控制編碼的基本原理最小碼間距離d0與檢錯(cuò)糾錯(cuò)能力的關(guān)系(1)當(dāng)碼組僅用于檢測(cè)錯(cuò)誤時(shí)，若要求檢測(cè)e個(gè)錯(cuò)誤，則最小碼距為：d0≥e+1

2025/4/20信息與通信工程學(xué)院1910.1差錯(cuò)控制編碼的基本原理(2)當(dāng)碼組僅用于糾正錯(cuò)誤時(shí)，為糾正

t個(gè)錯(cuò)誤，要求最小碼距為：d0≥2t+1

2025/4/20信息與通信工程學(xué)院20(3)當(dāng)碼組既要檢錯(cuò)，又要糾錯(cuò)時(shí)，為糾正t

個(gè)錯(cuò)

誤，同時(shí)檢測(cè)e個(gè)錯(cuò)誤，則要求的最小碼距為d0≥e+t+1(e>t)10.1差錯(cuò)控制編碼的基本原理2025/4/20信息與通信工程學(xué)院2110.1差錯(cuò)控制編碼的基本原理編碼效率k：碼字中信息碼元的個(gè)數(shù)r：監(jiān)督碼元個(gè)數(shù)n:

碼元總的個(gè)數(shù)（總碼長(zhǎng)）2025/4/20信息與通信工程學(xué)院22糾錯(cuò)編碼的分類(lèi)

10.1差錯(cuò)控制編碼的基本原理2025/4/20信息與通信工程學(xué)院2310.2常用的簡(jiǎn)單編碼1.奇偶監(jiān)督碼2.二維奇偶監(jiān)督碼3.恒比碼（等重碼）2025/4/20信息與通信工程學(xué)院2410.2常用的簡(jiǎn)單編碼廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)傳輸中。偶監(jiān)督碼：給信息位后增加一位監(jiān)督位，使碼字中“1”

的數(shù)目為偶數(shù)。編碼規(guī)則：在每個(gè)分組的信息位后增加監(jiān)督位，無(wú)論信息位有多少位，監(jiān)督位只有一位。上式為偶監(jiān)督碼的監(jiān)督關(guān)系，也稱為校驗(yàn)方程。檢測(cè)能力：檢測(cè)奇數(shù)個(gè)錯(cuò)。1.奇偶監(jiān)督碼（奇偶校驗(yàn)碼）2025/4/202510.2常用的簡(jiǎn)單編碼奇監(jiān)督碼：給信息位后增加一位監(jiān)督位，使碼字中“1”的數(shù)目為奇數(shù)。其校驗(yàn)方程為

奇偶監(jiān)督碼的編碼效率η較高，尤其是當(dāng)碼長(zhǎng)n

較大時(shí)這一特點(diǎn)更為明顯。檢測(cè)能力：檢測(cè)奇數(shù)個(gè)錯(cuò)。2025/4/20信息與通信工程學(xué)院2610.2常用的簡(jiǎn)單編碼2.二維奇偶監(jiān)督碼（方陣碼、行列監(jiān)督碼或水平―垂直奇偶監(jiān)督碼）編碼方法：把m個(gè)信息碼字排列成一個(gè)方陣每個(gè)碼字構(gòu)成方陣的一行在每一行的最后按奇偶監(jiān)督規(guī)則

增加一位水平監(jiān)督位再按列的方向每列增加一位垂直

監(jiān)督位（包括行監(jiān)督位的列）2025/4/20信息與通信工程學(xué)院27可檢測(cè)每行的奇數(shù)個(gè)錯(cuò)和每列的奇數(shù)個(gè)錯(cuò)；行列交叉可以檢測(cè)每行或每列的偶數(shù)個(gè)錯(cuò)；但當(dāng)發(fā)生的錯(cuò)誤為剛好構(gòu)成矩形的四個(gè)錯(cuò)碼時(shí)，則不能檢測(cè)出錯(cuò)誤。檢測(cè)能力：10.2常用的簡(jiǎn)單編碼2025/4/20信息與通信工程學(xué)院2810.2常用的簡(jiǎn)單編碼只有一行出現(xiàn)奇數(shù)個(gè)錯(cuò)碼時(shí)，按行檢測(cè)可以判斷出錯(cuò)在那一行按列檢測(cè)可以確定該行的那一列發(fā)生了錯(cuò)誤行列交叉可以判斷錯(cuò)誤的位置，即可糾錯(cuò)糾錯(cuò)能力：2025/4/20信息與通信工程學(xué)院293.恒比碼（等重碼）每個(gè)許用碼含有相同數(shù)目的“1”。碼字中“1”與“0”的個(gè)數(shù)之比是恒定的，故稱恒比碼。碼字中“1”的個(gè)數(shù)稱為碼重，因此恒比碼又稱等重碼。對(duì)于某種特定的恒比碼，當(dāng)碼長(zhǎng)確定后，其“1”的個(gè)數(shù)就確定了。檢測(cè)中只要計(jì)算“1”的個(gè)數(shù)就可以確定是否發(fā)生錯(cuò)誤。恒比碼多用于電傳機(jī)中。10.2常用的簡(jiǎn)單編碼2025/4/20信息與通信工程學(xué)院303.恒比碼（等重碼）

我國(guó)電傳機(jī)傳輸漢字采用的是“5中取3”

恒比碼，

其碼長(zhǎng)為5，碼字中“1”的個(gè)數(shù)為3。這種碼我國(guó)稱為保護(hù)電碼。碼長(zhǎng)為5的二進(jìn)制數(shù)共有32種組合，選擇其中含有3個(gè)“1”的組合作為許用碼，為10個(gè)。10.2常用的簡(jiǎn)單編碼2025/4/20信息與通信工程學(xué)院31

我國(guó)的保護(hù)電碼與國(guó)際電碼阿拉伯?dāng)?shù)字保護(hù)電碼國(guó)際電碼阿拉伯?dāng)?shù)字保護(hù)電碼國(guó)際電碼00110101101500111000011010111110161010110101211001110017111001110031011010000801110011004110100101091001100011

10.2常用的簡(jiǎn)單編碼

漢字編碼：0000-9999西6007安13442025/4/20信息與通信工程學(xué)院3210.3線性分組碼一、線性分組碼概念線性分組碼是指信息位和監(jiān)督位滿足一組線性方程；其編碼規(guī)則可用一組線性方程來(lái)描述的分組碼。信息位k信息位k

監(jiān)督位r記為（n,k）n:碼元總的個(gè)數(shù)（總碼長(zhǎng)）2025/4/20信息與通信工程學(xué)院3310.3線性分組碼系統(tǒng)碼：碼字的前一部分是連續(xù)k

位信息碼元，后一部分是連續(xù)r位監(jiān)督碼元，具有這種結(jié)構(gòu)的線性分組碼稱為系統(tǒng)碼。否則稱為非系統(tǒng)碼。糾錯(cuò)原理n

位長(zhǎng)的二進(jìn)制碼共有碼字。當(dāng)出現(xiàn)禁用碼字時(shí)就可以發(fā)現(xiàn)或糾正錯(cuò)誤。k位長(zhǎng)的二進(jìn)制碼共有碼字。許用碼字：禁用碼字：2025/4/20信息與通信工程學(xué)院3410.3線性分組碼二、線性分組碼的一致檢驗(yàn)（監(jiān)督矩陣）矩陣[H][H]矩陣是用來(lái)說(shuō)明監(jiān)督碼元與信息碼元之間關(guān)系的矩陣。以（7，3）碼(k=3,r

=4,n=7)為例：碼字矢量

C=[c6c5c4c3c2c1c0]

信息碼元：c6c5c4

監(jiān)督碼元：c3c2c1c0監(jiān)督方程為：r行2025/4/20信息與通信工程學(xué)院3510.3線性分組碼將方程系數(shù)寫(xiě)為矩陣形式2025/4/20信息與通信工程學(xué)院3610.3線性分組碼令[H]=稱[H]為線性分組碼的一致檢驗(yàn)矩陣（監(jiān)督矩陣）。[H]=[PI4]由：轉(zhuǎn)置2025/4/20信息與通信工程學(xué)院3710.3線性分組碼[H]的性質(zhì)（一）：（1）[H]是階矩陣，即行數(shù)為監(jiān)督碼元個(gè)數(shù)，

列數(shù)為碼長(zhǎng)。[H]中每行元素表明監(jiān)督方程中線性相關(guān)的碼元系數(shù)。故若[H]已知，則碼元之間的監(jiān)督關(guān)系唯一確定。[H]=2025/4/20信息與通信工程學(xué)院3810.3線性分組碼[H]的性質(zhì)（二）：[H]=（2）[H]=[PI4]，即[H]由兩部分組成，前半部稱為[P]矩陣，后半部[I]稱為單位矩陣。此時(shí)，稱[H]為典型矩陣，只有系統(tǒng)碼才具有。2025/4/20信息與通信工程學(xué)院3910.3線性分組碼[H]的性質(zhì)（三）：（3）[H]是接收端檢錯(cuò)的依據(jù)。上節(jié)課程內(nèi)容（1）差錯(cuò)控制編碼的基本原理重復(fù)編碼的例子常用的差錯(cuò)控制方式降低有效性，提高可靠性。ARQ、反饋校驗(yàn)、FEC、HEC碼間距離d

(碼距、漢明距離）（碼組中任意兩個(gè)碼字之間對(duì)應(yīng)位上碼元取值不同的個(gè)數(shù)。)許用碼、禁用碼、最大似然準(zhǔn)則檢錯(cuò)，d0≥e+1;糾錯(cuò)，d0≥2t+1;既檢，又糾錯(cuò)，d0≥e+t+1最小碼間距離d0

及檢錯(cuò)糾錯(cuò)能力、編碼效率2025/4/20信息與通信工程學(xué)院41上節(jié)課程內(nèi)容（2）系統(tǒng)碼線性分組碼線性分組碼概念（n,k）線性分組碼的一致檢驗(yàn)（監(jiān)督矩陣）矩陣[H]性質(zhì)：（2）[H]=[PI4]；（3）[H]是接收端檢錯(cuò)的依據(jù)。（１）階矩陣；線性分組碼的生成矩陣[G]2025/4/20信息與通信工程學(xué)院4210.3線性分組碼三、線性分組碼的生成矩陣[G][G]矩陣是在給定信息位的條件下，如何生成碼字的矩陣。仍以（7，3）碼(k=3,

r

=4,n

=7)為例：碼字矢量

C=[c6c5c4c3c2c1c0]信息碼元：

c6c5c4；監(jiān)督碼元：c3c2c1c0在監(jiān)督方程基礎(chǔ)上，加上信息碼元方程。監(jiān)督方程2025/4/20信息與通信工程學(xué)院4310.3線性分組碼監(jiān)督方程矩陣形式2025/4/20信息與通信工程學(xué)院4410.3線性分組碼轉(zhuǎn)置生成矩陣[G]碼字矩陣故有：2025/4/20信息與通信工程學(xué)院4510.3線性分組碼[G]的性質(zhì)（一）：（1）[G]是階矩陣，即行數(shù)為信息碼元個(gè)數(shù)，

列數(shù)為碼長(zhǎng)。故若[G]給定，則在已知信息碼元的情況下，就可得到碼字（生成矩陣）。2025/4/20信息與通信工程學(xué)院4610.3線性分組碼[G]的性質(zhì)（二）：（2）[G]=[IKQ]為標(biāo)準(zhǔn)生成矩陣，[G]中每行是互相獨(dú)立的（線性不相關(guān)）。實(shí)際上，[G]中每行就是一個(gè)許用碼字。推論：由k互相獨(dú)立的碼字可構(gòu)成生成矩陣。2025/4/20信息與通信工程學(xué)院4710.3線性分組碼[G]的性質(zhì)（三）（3）[G]與[H]的關(guān)系[G]=[IK

Q][H]=[PIr]可以證明：或如上例中：2025/4/20信息與通信工程學(xué)院4810.3線性分組碼[G]的性質(zhì)（四）（4）對(duì)偶碼將一碼組（A）中的[H]當(dāng)作另一碼組（B）中的[G]，或反之，則稱B為A的對(duì)偶碼。如：則（7，4）為（7，3）的對(duì)偶碼。（5）封閉性

線性分組碼組中，任意兩個(gè)碼字之和仍是此碼組中的一個(gè)碼字。2025/4/20信息與通信工程學(xué)院4910.3線性分組碼四、線性分組碼伴隨式及譯碼發(fā)送碼字為許用碼，滿足下式接收碼字是否有誤，可由下式判斷定義為錯(cuò)誤圖樣，當(dāng)時(shí)，無(wú)誤碼。1.伴隨式滿足，無(wú)誤；不滿足，有誤2025/4/20信息與通信工程學(xué)院5010.3線性分組碼當(dāng)時(shí)，認(rèn)為第i位發(fā)生了誤碼。將代入中，得：稱為伴隨式，又稱校驗(yàn)子。當(dāng)時(shí)，無(wú)錯(cuò)誤出現(xiàn)。錯(cuò)誤圖樣2025/4/20信息與通信工程學(xué)院5110.3線性分組碼2.譯碼由接收碼字確定發(fā)送碼字進(jìn)而確定信息位的過(guò)程。若若無(wú)錯(cuò)誤出現(xiàn)發(fā)生誤碼10.3線性分組碼由確定的過(guò)程。以（7，3）碼為例：設(shè)碼字矢量

C=[1110100]若接收碼字矢量

R=[11100*00]

，則

E=[0000100]即是的第i列，確定。即由是的第幾列，判斷的位置。2025/4/20信息與通信工程學(xué)院5310.3線性分組碼由伴隨式可檢測(cè)個(gè)錯(cuò)誤。要糾正小于或等于t

個(gè)錯(cuò)，必須滿足或C

=(cn-1

cn-2…c0

)（t個(gè)錯(cuò)誤的可能位置數(shù)）當(dāng)時(shí)，無(wú)錯(cuò)誤出現(xiàn)。2025/4/20信息與通信工程學(xué)院5410.3線性分組碼編碼效率

漢明碼是一種可以糾正單個(gè)隨機(jī)錯(cuò)誤的線性分組碼。編碼效率很高。漢明碼2025/4/20信息與通信工程學(xué)院5510.3線性分組碼例：2025/4/20信息與通信工程學(xué)院5610.3線性分組碼（4）編碼效率高。

（1）漢明碼長(zhǎng)漢明碼特點(diǎn)（2）信息位（3）最小碼距，糾錯(cuò)能力為。2025/4/20信息與通信工程學(xué)院5710.4循環(huán)碼一、

循環(huán)碼的基本概念及碼多項(xiàng)式定義：具有循環(huán)性的線性分組碼。循環(huán)性：碼組中任一許用碼字（全“0”碼除外）循環(huán)左移（或循環(huán)右移）后所得到的碼字仍為該循環(huán)碼組中的另一許用碼字。2025/4/20信息與通信工程學(xué)院5810.4循環(huán)碼一種（7，3）循環(huán)碼序號(hào)移位次數(shù)信息位監(jiān)督位序號(hào)移位次數(shù)信息位監(jiān)督位0

00000004610011101000111015410100112501001116311010013101110107211101002025/4/20信息與通信工程學(xué)院5910.4循環(huán)碼碼多項(xiàng)式：把循環(huán)碼中的碼字用多項(xiàng)式來(lái)表示，碼字中各碼元的取值作為碼多項(xiàng)式的系數(shù)。例：對(duì)碼2025/4/20信息與通信工程學(xué)院6010.4循環(huán)碼碼多項(xiàng)式運(yùn)算：[定理10.4.1]

若T(x

)是長(zhǎng)為n

的循環(huán)碼中某個(gè)許用碼字的碼多項(xiàng)式，則xi·T(x)

在按模xn+1運(yùn)算下，也是該循環(huán)碼中一個(gè)許用碼字的碼多項(xiàng)式。如：（7，3）循環(huán)碼中許用碼字0011101的碼多項(xiàng)式為則（模運(yùn)算）2025/4/20信息與通信工程學(xué)院6110.4循環(huán)碼（模運(yùn)算）

對(duì)應(yīng)的碼字為1101001，它是該（7，3）循環(huán)碼中的另一許用碼字，它是循環(huán)碼0011101左移3次后形成的。2025/4/20信息與通信工程學(xué)院

6210.4循環(huán)碼[定理10.4.2]

在循環(huán)碼（n，k）中，n-k次冪的碼多項(xiàng)式有一個(gè)，且僅有一個(gè)，用g(x)表示。稱這唯一的n-k次多項(xiàng)式g(x)為循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式。g(x)的常數(shù)項(xiàng)不為零。生成多項(xiàng)式及生成矩陣

一旦g(x)確定，則該（n，k）循環(huán)碼就被確定了。g(x)是循環(huán)碼中冪次最低的碼多項(xiàng)式。由它左移就可產(chǎn)生其它碼多項(xiàng)式。如xg(x)、x2g(x)、x3g(x)等。

用k個(gè)互相獨(dú)立的碼多項(xiàng)式g(x)、xg(x)、x2g(x)…

xk-1g(x)可以構(gòu)造出循環(huán)碼的生成矩陣

G(x)為2025/4/20信息與通信工程學(xué)院6310.4循環(huán)碼生成矩陣2025/4/20信息與通信工程學(xué)院6410.4循環(huán)碼例如，（7，3）循環(huán)碼中最高次冪為n-k次的碼字為0010111，其生成多項(xiàng)式g(x)=x4+x2+x+1。則利用上式可得其生成矩陣G(x)為上式不符合典型生成矩陣的形式。不是典型生成矩陣，編出的碼字不是系統(tǒng)碼。但作線性變化可以變換成典型生成矩陣的形式。2025/4/20信息與通信工程學(xué)院6510.4循環(huán)碼設(shè)上例中信息碼為[c6c5c4]，由G(x)可寫(xiě)該循環(huán)碼的多項(xiàng)式為推論：所有的碼多項(xiàng)式都可以被g(x)整除。2025/4/20信息與通信工程學(xué)院6610.4循環(huán)碼[定理10.4.3]

循環(huán)碼（n，k）生成多項(xiàng)式g(x)是xn+1的一個(gè)因式。產(chǎn)生g(x)的方法：對(duì)（xn+1）進(jìn)行因式分解，從中找出一個(gè)最高次冪為（n-k）次且常數(shù)項(xiàng)不為零的因式，作為生成多項(xiàng)式g(x)。例如：對(duì)于（7，3）循環(huán)碼，g(x)的最高次冪為4。可從（x7+1）中分解得到g(x)。x7+1=（x+1）（x3+x2+1）（x3+x+1）生成多項(xiàng)式可選為g1(x)=（x+1）（x3+x2+1）=x4+x2+x+1或g2(x)=（x+1）（x3+x+1）=x4+x3+x2+12025/4/20信息與通信工程學(xué)院6710.4循環(huán)碼循環(huán)碼的編碼及解碼1.編碼思想（系統(tǒng)碼）設(shè)信息碼多項(xiàng)式為m(x)

m(x)=mk-1x

k-1+mk-2x

k-2+…+m1x+m0

m(x)的最高次冪為k-1。將m(x)左移n-k位成為xn-km(x)，其最高次冪為n-1。xn-km(x)的前一部分為