PAGE3-課后限時(shí)集訓(xùn)(六十四)參數(shù)方程(建議用時(shí)：60分鐘)A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．已知P為半圓C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數(shù)，0≤θ≤π)上的點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M在射線OP上，線段OM與C的弧eq\x\to(AP)的長(zhǎng)度均為eq\f(π,3).(1)以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，求點(diǎn)M的極坐標(biāo)；(2)求直線AM的參數(shù)方程．[解](1)由已知，點(diǎn)M的極角為eq\f(π,3)，且點(diǎn)M的極徑等于eq\f(π,3)，故點(diǎn)M的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,3))).(2)由(1)知點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(\r(3)π,6)))，A(1,0)．故直線AM的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－1))t，,y＝\f(\r(3)π,6)t))(t為參數(shù))．2．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t,y＝2t＋6))(t是參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2eq\r(2)cosθ.(1)求直線l的一般方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)M(x，y)為曲線C上隨意一點(diǎn)，求x＋y的取值范圍．[解](1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝2t＋6))得y＝2x＋6，故直線l的一般方程為2x－y＋6＝0.由ρ＝2eq\r(2)cosθ，得ρ2＝2eq\r(2)ρcosθ，所以x2＋y2＝2eq\r(2)x，即(x－eq\r(2))2＋y2＝2，故曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x－eq\r(2))2＋y2＝2.(2)依據(jù)題意設(shè)點(diǎn)M(eq\r(2)＋eq\r(2)cosφ，eq\r(2)sinφ)，則x＋y＝eq\r(2)＋eq\r(2)cosφ＋eq\r(2)sinφ＝eq\r(2)＋2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(φ＋\f(π,4)))，所以x＋y的取值范圍是[－2＋eq\r(2)，2＋eq\r(2)]．3．(2024·新鄉(xiāng)模擬)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ，曲線M的直角坐標(biāo)方程為x－2y＋2＝0(x＞0)．(1)以曲線M上的點(diǎn)與點(diǎn)O連線的斜率k為參數(shù)，寫出曲線M的參數(shù)方程；(2)設(shè)曲線C與曲線M的兩個(gè)交點(diǎn)為A，B，求直線OA與直線OB的斜率之和．[解](1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋2＝0x＞0，,y＝kx))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,2k－1)，,y＝\f(2k,2k－1).))故曲線M的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,2k－1)，,y＝\f(2k,2k－1)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k為參數(shù)，且k＞\f(1,2))).(2)由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ，∴x2＋y2＝4x.將eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,2k－1)，,y＝\f(2k,2k－1)))代入x2＋y2＝4x整理得k2－4k＋3＝0，∴k1＋k2＝4.故直線OA與直線OB的斜率之和為4.4．以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線l的極坐標(biāo)方程為2ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))－3＝0，曲線C的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosφ,y＝2sinφ))(φ為參數(shù))．(1)求直線l和曲線C的一般方程；(2)直線l與x軸交于點(diǎn)P，與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|＋|PB|.[解](1)直線l的極坐標(biāo)方程為2ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))－3＝0，化為eq\r(3)ρsinθ＋ρcosθ－3＝0，即l的一般方程為x＋eq\r(3)y－3＝0，由曲線C的參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosφ,y＝2sinφ))消去φ，得C的一般方程為x2＋y2＝4.(2)在x＋eq\r(3)y－3＝0中令y＝0得P(3,0)，∵k＝－eq\f(\r(3),3)，∴傾斜角α＝eq\f(5π,6)，∴l(xiāng)的參數(shù)方程可設(shè)為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋tcos\f(5π,6)，,y＝0＋tsin\f(5π,6)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3－\f(\r(3),2)t，,y＝\f(1,2)t，))代入x2＋y2＝4得t2－3eq\r(3)t＋5＝0，Δ＝7＞0，∴方程有兩解，又t1＋t2＝3eq\r(3)，t1t2＝5＞0，∴t1，t2同號(hào)，故|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|＝3eq\r(3).5．已知曲線C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1，直線l：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝2－2t))(t為參數(shù))．(1)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的一般方程；(2)過曲線C上隨意一點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線，交l于點(diǎn)A，求|PA|的最大值與最小值．[解](1)曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝3sinθ))(θ為參數(shù))．直線l的一般方程為2x＋y－6＝0.(2)曲線C上隨意一點(diǎn)P(2cosθ，3sinθ)到l的距離為d＝eq\f(\r(5),5)|4cosθ＋3sinθ－6|＝eq\f(\r(5)|5sinθ＋a－6|,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tanα＝\f(4,3)))，則|PA|＝eq\f(d,sin30°)＝eq\f(2\r(5),5)|5sin(θ＋α)－6|，其中α為銳角，且tanα＝eq\f(4,3).當(dāng)sin(θ＋α)＝－1時(shí)，|PA|取得最大值，最大值為eq\f(22\r(5),5).當(dāng)sin(θ＋α)＝1時(shí)，|PA|取得最小值，最小值為eq\f(2\r(5),5).6．已知直線的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝m－\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t))(其中t為參數(shù)，m為常數(shù))．以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sinθ，直線與曲線C交于A，B兩點(diǎn)．(1)若|AB|＝eq\f(\r(15),2)，求實(shí)數(shù)m的值；(2)若m＝1，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0)，求eq\f(1,|PA|)＋eq\f(1,|PB|)的值．[解](1)曲線C的極坐標(biāo)方程可化為ρ2＝2ρsinθ，轉(zhuǎn)化為一般方程可得x2＋y2＝2y，即x2＋(y－1)2＝1.把eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝m－\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t))代入x2＋(y－1)2＝1并整理可得t2－(m＋eq\r(3))t＋m2＝0，(*)由條件可得Δ＝(m＋eq\r(3))2－4m2＞0，解得－eq\f(\r(3),3)＜m＜eq\r(3).設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1＋t2＝m＋eq\r(3)，t1t2＝m2≥0，|AB|＝|t1－t2|＝eq\r(t1＋t22－4t1t2)＝eq\r(m＋\r(3)2－4m2)＝eq\f(\r(15),2)，解得m＝eq\f(\r(3),2)或eq\f(\r(3),6).(2)當(dāng)m＝1時(shí)，(*)式變?yōu)閠2－(1＋eq\r(3))t＋1＝0，t1＋t2＝1＋eq\r(3)，t1t2＝1，由點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0)知P在直線上，可得eq\f(1,|PA|)＋eq\f(1,|PB|)＝eq\f(1,|t1|)＋eq\f(1,|t2|)＝eq\f(|t1|＋|t2|,|t1t2|)＝eq\f(|t1＋t2|,|t1t2|)＝1＋eq\r(3).B組實(shí)力提升1．已知曲線C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4＋cost，,y＝3＋sint))(t為參數(shù))，C2：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝8cosθ，,y＝3sinθ))(θ為參數(shù))．(1)化C1，C2的方程為一般方程，并說明它們分別表示什么曲線；(2)若C1上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t＝eq\f(π,2)，Q為C2上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ的中點(diǎn)M到直線C3：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋2t，,y＝－2＋t))(t為參數(shù))距離的最小值．[解](1)由C1消去參數(shù)t，得曲線C1的一般方程為(x＋4)2＋(y－3)2＝1.同理曲線C2的一般方程為eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,9)＝1.C1表示圓心是(－4,3)，半徑是1的圓，C2表示中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)是8，短半軸長(zhǎng)是3的橢圓．(2)當(dāng)t＝eq\f(π,2)時(shí)，P(－4,4)，又Q(8cosθ，3sinθ)．故Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2＋4cosθ，2＋\f(3,2)sinθ))，又C3的一般方程為x－2y－7＝0，則M到直線C3的距離d＝eq\f(\r(5),5)|4cosθ－3sinθ－13|＝eq\f(\r(5),5)|3sinθ－4cosθ＋13|＝eq\f(\r(5),5)|5sin(θ－φ)＋13|eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中φ滿意tanφ＝\f(4,3))).所以d的最小值為eq\f(8\r(5),5).2．平面直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t＋1，,y＝\r(3)t＋1))(t為參數(shù))．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝eq\f(2cosθ,1－cos2θ).(1)寫出直線l的極坐標(biāo)方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)已知與直線l平行的直線l′過點(diǎn)M(2,0)，且與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，試求|AB|.[解](1)由l的參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t＋1，,y＝\r(3)t＋1))得其一般方程為eq\r(3)x－y－eq\r(3)＋1＝0.將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入直線方程得eq\r(3)ρcosθ－ρsinθ－eq\r(3)＋1＝0.由ρ＝eq\f(2cosθ,1－cos2θ)可得ρ2(1－cos2θ)＝2ρcosθ，即ρ2sin2θ＝2ρcosθ，故曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2＝2x.(2)∵直線l的傾斜角為eq\f(π,3)，∴直線l′的傾斜角也為eq\f(π,3).又直線l′過點(diǎn)M(2,0)，∴直線l′的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4