專題40二次函數(shù)中的面積問題

【題型演練】

一、單選題

1.（2022.全國?九年級專題練習）如圖，已知拋物線yn-Y+px+q的對稱軸為x=—3,過其頂點M的一條

直線>=依+。與該拋物線的另一個交點為N（T,1）.點尸的坐標為（0,1）,則APAfN的面積為（）

A.2B.4C.5D.6

2.（2022?湖北.漢川市實驗中學九年級階段練習）如圖，拋物線4：y=/+6x+c（a#0）與尤軸只有一個公共

點A（2,0）,與y軸交于點3（0,4）,虛線為其對稱軸，若將拋物線向下平移4個單位長度得拋物線乙，則圖

中兩個陰影部分的面積和為（）

A.4B.2C.6D.8

3.（2022?廣東?江門市新會東方紅中學二模）如圖，拋物線y=-（x+m）?+4的頂點為尸，將拋物線向右平移

3個單位后得到新的拋物線，其頂點記為設(shè)兩條拋物線交于點C,則△尸MC的面積為（）

27

D.

。?方T

4.（2019?浙江湍安市安陽實驗中學九年級期中）如圖，拋物線產(chǎn)-爐+21+3與不軸交于A、5兩點（A在5

的左側(cè)），與V軸交于點C,點尸是拋物線上位于x軸上方的一點，連接AP、5P,分別以AP、5尸為邊向△A5尸

外部作正方形APE。、BPFG,連接瓦）、AG.點尸從點A運動到點B的過程中，△A8D與△ABG的面積和

的變化情況是（）

A.先增大后減小B.先減小后增大

C.始終不變D.一直增大

5.（2021.貴州銅仁.三模）如圖，拋物線y=-/+依+/?與直線>=區(qū)+6相交于4（4,-3）,3（°，5）兩點，點C

是拋物線的頂點.下列結(jié)論正確的個數(shù)（）

（1）AB=4>/5;（2）拋物線為：>=-尤2+2x+5；⑶當0<x<4時，代數(shù)式尤?-4x的值是負數(shù)；（4）AABC

的面積為6

A.4個B.3個C.2個D.1個

6.（2022?江蘇.九年級專題練習）如圖，點A是拋物線y=V圖象在第一象限內(nèi)的一個動點，且點A的橫坐

標大于1,點E的坐標是（0,1）,過點A作軸交拋物線于點8,過A、B作直線AE、BE分別交x軸

于點。、C,設(shè)陰影部分的面積為S,點A的橫坐標為加，貝US關(guān)于加的函數(shù)關(guān)系式為（）

C.S=2mD.S=m2—m

7.（2020.浙江臺州.九年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-7一以與1軸交于O,A兩點，

點B為x軸上一點且AB=3&,將AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45。得到AC,使得點C恰好落在拋物線上，點尸

為拋物線上一點，連接AP,PC,PCLAC,則ABAC的面積為（）

A.9B.3亞C.60D.3

2

8.（2020?浙江杭州?九年級專題練習）如圖，已知二次函數(shù)y=§（%+3）（X-1）的圖象與x軸交于點A、B,

與＞軸交于點。，頂點坐標為O.則二至。與△ABD的面積之比是（）.

247

A.B.C.D.

37

9.（2022?浙江溫州?九年級期中）如圖，拋物線y無2-2x+c與x軸交于點A,B兩點，與y軸負半軸交于

點C,其頂點為點。,E分別是的中點，若與,ACD的面積比為9：10,則c的值為（）

y

M

35

A.—B.—2C.—D.—3

22

10.（2021?河南省淮濱縣第一中學九年級期末）如圖，二次函數(shù)y=V—2x-3的圖象與x軸交于點A,B,交

27

y軸于點。，點。在該函數(shù)第四象限內(nèi)的圖象上，若△5CD的面積為k，則點。的橫坐標是（）.

O

33

A.1B.—C.—D.2

24

13

11.（2018?山東濟南三模）如圖,拋物線尸-萬/+苫+萬與坐標軸交于A,8兩點，與，軸交于點C.CDHAB,

如果直線丫=1?-2（］＜力（））平分四邊形0次）（7的面積，那么%的值為（）

二、填空題

12.（2022?北京市師達中學九年級階段練習）已知拋物線y=/-4與x軸交于A,8兩點，與y軸交于點C,

則ABC的面積為.

13.（2022.安徽合肥?九年級階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，。為坐標原點，拋物線y=a（x-3y+4

（fl<0）的頂點為A,與拋物線>="?+4交于x軸上方的點反

（1）點2的橫坐標是

（2）過點B作平行于x軸的直線，分別與兩條拋物線的另一個交點為。，C,連結(jié)A。，AC,OC,OD,則

四邊形ACOD的面積為

14.（2022?重慶一中九年級階段練習）如圖，已知A（1,1）,B（3,9）是拋物線y=/上的兩點，在y軸

上有一動點P,當小PAB的周長最小時，則此時△PAB的面積為.

15.（2022?福建?莆田擢英中學九年級階段練習）如圖，已知A,B,C是函數(shù)y=d圖象上的動點，且三點

的橫坐標依次為a+1,a,小華用軟件GeoGebra對△ABC的幾何特征進行了探究，發(fā)現(xiàn)△ABC的面

積是個定值，則這個定值為.

2

三、解答題

16.（2022.黑龍江?哈爾濱市第六十九中學校九年級階段練習）如圖，拋物線y="之一26+。與x軸交于點A、

點、B,與y軸交于點C,A點坐標為（T,。），連接AC,若tanZACO=g.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P為第一象限拋物線上一點，連接AP、BP,設(shè)點P的橫坐標為，，0的面積為S,求S與r的函數(shù)

解析式：

17.（2023?吉林省第二實驗學校九年級階段練習）如圖，地物線y=aY+bx+c與x軸交于A（-l,0）,3（3,0）兩

點，與y軸交于點C（0,-3）.

(1)求出該地物線的函數(shù)關(guān)系式；

⑵點尸是拋物線上的一個動點，設(shè)點尸的橫坐標為必0＜機＜3).直接寫出PCB的面積的最大值.

18.(2021?新疆.烏魯木齊市第十五中學九年級期中)已知拋物線y=加+版+3(。H0)與x軸交于4T0),

8(3,0)兩點，與y軸交于點C.

(1)求拋物線的表達式.

(2)連接AC,BC,求SABC.

2

(3)拋物線上是否存在一點E,使得S&BE=§SAABC?若存在，請求出點E的坐標；若不存在，請說明理由.

19.(2022?廣東?江東鎮(zhèn)初級中學九年級期中)如圖，己知二次函數(shù)＞的圖象經(jīng)過點4(2,0),

2(0,-6)兩點.

(1)求這個二次函數(shù)的解析式；

(2)設(shè)該二次函數(shù)的對稱軸與x軸交于點C,連接A4、BC,求△ABC的面積.

20.(2021.新疆?烏魯木齊市第五十四中學九年級階段練習)如圖，已知直線y=x+3與x軸交于點A,與y

軸交于點8,拋物線y=-Y+bx+c經(jīng)過A、8兩點，與x軸交于另一個點C,對稱軸與直線AB交于點E,

拋物線頂點為D

備用圖

(1)點A的坐標為，點B的坐標為.

(2)①求拋物線的解析式；

②點M是拋物線在第二象限圖象上的動點，是否存在點使得的面積最大?若存在，請求這個最

大值并求出點〃的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)點尸從點。出發(fā)，沿對稱軸向下以每秒1個單位長度的速度勻速運動，設(shè)運動的時間為t秒，當/為何值

時，以P、B、C為頂點的三角形是等腰三角形？直接寫出所有符合條件的“直.

21.(2022?山東淄博?九年級期中)如圖，拋物線丁=加+法+|與直線43交于點4(-1,0),《4,義.點。

是拋物線上A,8兩點間的一個動點(不與點A,8重合)，直線。。與y軸平行，交直線A3于點C,連接AD,3。.

備用圖備用圖

(1)求拋物線的解忻式;

(2)設(shè)點。的橫坐標為機，4)3的面積為S,求S關(guān)于機的函數(shù)關(guān)系式，并求出當S取最大值時的點C的

坐標；

(3)點。為拋物線的頂點，點尸是拋物線上的動點，點Q是直線上的動點.當以點P,Q,C,。為頂點

的四邊形是平行四邊形時，求出點。的坐標.

13

22.(2022?山東濟南?九年級期中)如圖，已知拋物線>=萬尤2+]X+c與無軸交于A(1,0),3Q,0),與y軸交

于點C.

⑴求c、f的值；

3

⑵若點P是拋物線第一象限內(nèi)的一個動點，且滿足SAABP=、SAMC，求點尸坐標.

23.(2022.河南洛陽?二模)如圖，拋物線y=d-2x+3的圖象與x軸交于A,5兩點，(點A在點B的左邊),

與>軸交于點C.

(1)直接寫出A,B,C的坐標；

(2)點M為線段A3上一點(點M與點A,點5不重合)，過點M作x軸的垂線，與直線AC交于點E,與拋

物線交于點P,過點P作尸?！ˋ3交拋物線于點Q,過點。作QN_Lx軸于點N,若點P在點。的左側(cè)，當

矩形加Q的周長最大時，求A4EM的面積.

3

24.(2022.全國?九年級專題練習)如圖，二次函數(shù)y=or-]X+c(awO)的圖象與x軸交于42兩點，與y

軸交于C點，已知點4-1,0),點CS,—2).

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；

(2)若點M是線段下方的拋物線上的一個動點，求AMBC面積的最大值以及此時點"的坐標.

25.(2020?新疆農(nóng)業(yè)大學附屬中學九年級階段練習)已知拋物線y=-f+bx+c(b、c為常數(shù))，若此拋物

線與某直線相交于C(2,3)兩點，與>軸交于點N,其頂點為。

(1)求拋物線的函數(shù)解析式和頂點D的坐標；

(2)若點P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求△心€?的面積的最大值及此時點尸的坐標；

(3)點為拋物線上的一個動點，H關(guān)于y軸的對稱點為乜，當點乜落在第二象限內(nèi)，且凡A?取得最

小值時，求”的值

26.(2022?甘肅?嘉峪關(guān)市明珠學校一模)如圖，已知拋物線y=-X?+〃與x軸交于A、8兩點，與y軸

交于點C,拋物線的對稱軸交無軸于點已知A(-l,0),C(0,3).

(1)求拋物線的表達式；

(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使..PCD是以。為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點的坐

標；如果不存在，請說明理由；

(3)點E是線段上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F當點￡運動到什么位置時，四

邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點的坐標.

13

27.(2022?全國?九年級專題練習)如圖，己知二次函數(shù)尸^^+汝-萬與x軸交于點A(-3,0)和點8,以

為邊在x軸上方作正方形ABCD,點P是x軸上一動點，連接以過點尸作的垂線與y軸交于點E.

(1)試求出二次函數(shù)的表達式和點B的坐標；

(2)是否存在這樣的點尸，使VPED是等腰三角形？若存在，請求出點尸的坐標及此時VPED與正方形ABCD

重疊部分的面積；若不存在，請說明理由.

專題40二次函數(shù)中的面積問題

【題型演練】

一、單選題

1.(2022.全國?九年級專題練習)如圖，已知拋物線y=-Y+px+4的對稱軸為x=-3,過

其頂點M的一條直線，=履+。與該拋物線的另一個交點為N(-1,1).點P的坐標為(0,1),

則APA/N的面積為()

A.2B.4C.5D.6

【答案】A

【分析】根據(jù)二次函數(shù)對稱軸公式和二次函數(shù)圖象上點的坐標特征求出拋物線的解析式，并

將解析式化為頂點式求出點M的坐標，然后利用三角形面積公式計算即可.

【詳解】解：：拋物線＞=-1+川+4的對稱軸為x=-3,點N(T,1)是拋物線上的一

點，

―――-—3,-]-p+q=l,

一2

解得：P=-6,q=-4,

y=-x2-6x-4=-(x+3)~+5,

AM(-3,5),

尸(0,1),

；.PN〃y軸，且PN=1,

；.△PMN的面積為：|xlx(5-l)=2,

故選：A.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)對稱軸公式，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及二次函數(shù)頂點

坐標的求法，熟練掌握基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵.

2.(2022?湖北?漢川市實驗中學九年級階段練習)如圖，拋物線4：y="+bx+c(a*0)與x

軸只有一個公共點A(2,0),與y軸交于點3(0,4),虛線為其對稱軸，若將拋物線向下平移4

個單位長度得拋物線4,則圖中兩個陰影部分的面積和為()

B.2C.6D.8

【答案】D

【分析】連接AB,OM,根據(jù)二次函數(shù)圖像的對稱性把陰影圖形的面積轉(zhuǎn)化為平行四邊形

面積求解即可.

【詳解】設(shè)平移后的拋物線與對稱軸所在的直線交于點M,連接

VA（l,0）,B（0,2）

/.OA=2.,OB=AM=4,

:拋物線是軸對稱圖形,

???圖中兩個陰影部分的面積和即為四邊形他的面積,

??AM//OB,AM=OB.

四邊形為平行四邊形,

S四邊形項0“=OB-OA=4x2=8

故選D.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖像的對稱性和陰影面積的求法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)

圖像的對稱性轉(zhuǎn)化陰影圖形的面積.

3.（2022?廣東.江門市新會東方紅中學二模）如圖，拋物線y=-（x+m）2+4的頂點為尸，將

拋物線向右平移3個單位后得到新的拋物線，其頂點記為設(shè)兩條拋物線交于點C,則

△PMC的面積為（）

【答案】c

【分析】根據(jù)題意過C作y軸的平行線，交PM于點H,交無軸于點D,進而依據(jù)兩條拋物

線交于點C,聯(lián)立方程得出C,最后利用即可求出答案.

【詳解】解：如圖過C作〉軸的平行線，交于點H交尤軸于點D

由題意可得，平移后拋物線的解析式為：y=-(x+m-3)2+4,

VP.M分別為兩個拋物線的頂點，

P(—m,4),M(—m+3,4),PM=3,HD=4,

??,兩條拋物線交于點C,

由-(x+m)2+4=-(x+m-3)2+4,可得,

779

ACD=-,CH=HD-CD=4——=-,

444

???HD//y軸，

：?HD工PM,即CH為△PMC的高，

11927

：.S^PMC=-PM-CH=-X3X-=-,

ZZ4o

故選：c.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)平移的性質(zhì)、靈活運用數(shù)形結(jié)

合思維分析是解題的關(guān)鍵.

4.(2019?浙江?瑞安市安陽實驗中學九年級期中)如圖，拋物線y=-f+2x+3與x軸交于4、

8兩點(A在8的左側(cè))，與丫軸交于點C,點尸是拋物線上位于尤軸上方的一點，連接AP、

BP,分別以AP、BP為邊向AABP外部作正方形APE。、BPFG,連接3。、AG.點P從點

A運動到點8的過程中，△A3。與△ABG的面積和的變化情況是（）

C.始終不變D.一直增大

【答案】C

【分析】令＞=-/+2工+3=0求出的長，過點。作。軸于M,過點P作尸軸于

N,過點G作GQLx軸于。利用一線三直角的全等模型證明DM=AN,GQ=BN.從而

利用三角形的面積公式得出2從而得解.

5AABD+5AABG=|AB,

【詳解】解：令y=-—+2x+3=0,

解得：石=-1,%2=3,

???A（—1,0）,5（3,0）,

??.AB=4.

過點。作。M，工軸于M,過點P作尸軸于N,過點G作GQLx軸于。，

：.AD=PA,ND4尸二90。，

???ZDAM-i-ZNAP=1800-ZDAP=90°,

又???Z)A/_Lx軸，

???ZDAM^-ZMDA=90°,

：.ZMDA=ZNAP,

u：ZAMD=ZPNA=90°,/MDA=/NAP,AD=PA,

/.AAMD^APNA,

：.DM=AN.

同理可得：GQ=BN.

SAABD=^AB-DM,SAABG=-AB-GQ

2

SAABD+SAABC=-AB-DM+-AB-GQ^-AB-AN+-AB-BN=-A13-（AN+BN）=-AB=8

AABD與4ABG的面積和始終不變.

故選：C.

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與無軸的交點,

三角形的面積公式等知識，涉及的模型是一線三直角的全等模型，構(gòu)造全等模型得出

DM=AN,GQ=BN是解題的關(guān)鍵.

5.（2021?貴州銅仁?三模）如圖，拋物線丁=一/+以+8與直線>=區(qū)+》相交于A（4,-3）,

3（0,5）兩點，點C是拋物線的頂點.下列結(jié)論正確的個數(shù)（）

（1）AB=4A/5;（2）拋物線為：y=-x2+2x+5；（3）當0<x<4時，代數(shù)式/一4工的值

是負數(shù)；（4）△ABC的面積為6

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】A

【分析】對于（1）,根據(jù)兩點之間距離公式判斷即可；對于（2）,根據(jù)待定系數(shù)法求出關(guān)系

式判斷即可；對于（3）,先求出直線的關(guān)系式，將兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立，觀察圖象可得答案；

對于（4）,先求出拋物線的對稱軸，進而求出點C,M的坐標，再將△ABC分成兩個三角形，

求出面積即可.

【詳解】「.N（4,-3）,B（0,5）,

AB=J（4-（J-+（-3-5）2=4唐.

所以（1）正確；

7點A（4,-3）,B（0,5）在拋物線y=-/+or+b的圖象上,

J-16+4〃+Z?=-3

[b=5

a=2

解得

b=5

.,?拋物線得關(guān)系式為y=-/+2x+5.

所以（2）正確；

?.?點A（4,-3）,B（0,5）在直線廣質(zhì)+b的圖象上，

,,心[4左=5+6=—3'

（k=-2

解得AV,

[6=5

一次函數(shù)的關(guān)系式為y=-2x+5.

I"%=—x2+2尤+5①

將兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立，得M_

[%=-2尤+5②

②-①，得>2-y/=/-4x,

當0<x<4時，直線在拋物線的下方，可知》<以，

?'?y2-yi<0>

即X2-4X<0.

所以（3）正確；

拋物線y=.2+2x+5的對稱軸是x=—2=°之=1,

一2a-2x（一1）

當x=l時，y=-l+2+5=6,

：.C(1,6).

當時，y=-2+5=3,

：.M(1,3),則CM=3,

：.SAABC=SABCM+SAACM

=6.

所以（4）正確.

正確的有4個.

故選：A.

【點睛】這是一道關(guān)于二次函數(shù)的綜合問題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的關(guān)

系式，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，兩點之間的距離公式，三角形面積的求法等.

6.（2022?江蘇?九年級專題練習）如圖，點A是拋物線y=x2圖象在第一象限內(nèi)的一個動點，

且點A的橫坐標大于1,點E的坐標是（0,1）,過點A作x軸交拋物線于點2,過人、

8作直線AE、BE分別交x軸于點。、C,設(shè)陰影部分的面積為S,點A的橫坐標為加，則S

關(guān)于機的函數(shù)關(guān)系式為（）

DOCx

A.S=m1B.S=mC.S=2mD.S=m2-m

【答案】c

【分析】根據(jù)題意可知AO，m2),m,m2),E(0,1),得出AB=2相，再由陰影部分

的面積為S—(S"BC-+(SAABD-SAABE)即可得解.

【詳解】解：由題意可知，A(m,m2),m,m2),E(0,1),AB=2m,

又A3〃x軸，且過A、8作直線AE、BE分別交x軸于點。、C,所以由

S~(^AABC—+('△ABD—

5=—x2mxm2-—x2mx(m2-11+—x2mxm2-—x2mx(m2-1)

22v722I

S=m3—m3+m+m3—m3+m

S=2m；

故選：c.

【點睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，坐標系中三角形面積求法，利用點的坐標表示

線段的長度是解題關(guān)鍵.

7.（2020?浙江臺州?九年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-N-4x與x軸交

于。，A兩點，點8為x軸上一點且AB=3應(yīng)，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45。得到AC,使

得點C恰好落在拋物線上，點尸為拋物線上一點，連接AP,PC,PC±AC,則4c的面

積為（）

C.672D.3

【答案】D

【分析】（1）先求出點A坐標，再根據(jù)三角函數(shù)求出點C坐標，進而得到△CAMACMP

為等腰直角三角形，設(shè)PM=CM=〃3求出點尸坐標，進而求出PC長，根據(jù)直角三角形面

積公式即可求解

【詳解】解:把y=0代入函數(shù)y=-/-4x,得-f-4x=0,

解得％=0,x2=4,

故點A(-4,0),

過點C作y軸的平行線交過點尸與x軸的平行線于點交x軸于點N,

在RtAACN中，CN=AC*sinZCAB=ABsin45°=372x=3=AN,

故點C（-1,3）,

：/CAN=45。，貝必ACN為等腰直角三角形,

VPC±AC,

???N尸CM=45。，

???△CMP為等腰直角三角形,

設(shè)尸M=CM=m，則點尸3+m）,

將點P的坐標代入y=-4x并解得：m=0（舍去）或1,

故點P的坐標為（-2,4）,

由點尸、。的坐標得：PC=JPM?+MC2=叵，

則AB4c的面積=IxAC?PC=；x30x0=3,

故選：D

【點睛】本題為二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)、三角函數(shù)、勾股定理等知識，根據(jù)題意

添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵.

2

8.（2020?浙江杭州?九年級專題練習）如圖，已知二次函數(shù)y=§（x+3）（x-l）的圖象與x軸

交于點A、B,與y軸交于點C,頂點坐標為O.則ABC與△■）的面積之比是（）.

A.-B.-C.-D.-

3458

【答案】B

【分析】首先求出C和D點坐標，然后根據(jù)三角形面積公式，可知SAABC：SAABD=BC邊上

的高之比，進而即可求解.

9242g

［詳解］1?,y=§（x+3）（無―1）=§/+§彳_2=,（尤+1）2_§,

Q

???C點坐標為（0,-2）,D點坐標為（-1,

Q

VAABC與^ABD的底相同，高線長分別為2和§,

.。8_3

??OcAABC：、AABD=Z:J=-?

故選B.

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與平面幾何的綜合，掌握二次函數(shù)圖象的頂點坐標以

及與y軸交點坐標的求法，是解題的關(guān)鍵.

9.（2022?浙江溫州?九年級期中）如圖，拋物線y尤2-2x+c與x軸交于點A,8兩點，與

y軸負半軸交于點C,其頂點為M,點E分別是的中點，若一DEB與.ACD的面

積比為9：10,則c的值為（）

y

M

35

A.—B.—2C.—D.—3

22

【答案】c

sAD

【分析】由題意可得S"EB=；8?|九|，ADC=^-\yc\＞由點。是AB的中點，—D￡B與

ACD的面積比為9：10,得到㈤=馬兒|，由中點坐標公式得，瓦卜”

1U乙乙

99

VM=|^=|C,Af為頂點，求得點M的橫坐標，代入解析式，由縱坐標相等得到關(guān)于C的

方程，解之即可得到答案.

【詳解】解：由題意可得，SDEB=^BD.\yE\,2.=,必見，

???點。是A5的中點，

???AD=DB,

與-ACD的面積比為9：10,

SADC;皿田|川1°’

?二帆|二而|先|，

???￡1是的中點，

???由中點坐標公式得，|%|="3=:“|,

2

當尤=0時，yc=^x-2x+c=c,

%=2|yJ=||c|,

yM<0,yc=c<0,

._9_9

??加=c，

=-yc~^

???〃為頂點,

將尤=2代入y=-2冗+0得，

19

y=-x292-2x2+c=2-4+c=c-2=—c

M25f

解得C=-|,

故選：C

99

【點睛】此題考查了二次函數(shù)的面積綜合題，求得W是解題的關(guān)鍵.

10.(2021.河南省淮濱縣第一中學九年級期末)如圖，二次函數(shù)產(chǎn)尤2-2彳-3的圖象與X軸

27

交于點A,B,交y軸于點C,點。在該函數(shù)第四象限內(nèi)的圖象上，若△BCD的面積為k，

O

33

A.1B.—C.—D.2

24

【答案】B

27

【分析】此題根據(jù)題意先求出B,C兩點坐標，再根據(jù)△3CD的面積為彳，利用分割法表

O

示出面積表達式，結(jié)合二次函數(shù)聯(lián)立方程求解即可.

【詳解】解：解方程X2-2X-3=0

解得：X1=-1,x2=3,

則A、B的坐標是(-1,0)和(3,0),

又y=x2-2x-3,

，C的坐標是(0,-3)

設(shè)D的坐標為(a,b),

作DM_LAB于M,如圖：

例

A\O\/1B/

1

27

貝”SgcD=SDMOC+S^BDM_S^BOC=

11127

即一a(3-b)--b(3-a)一一x3x3=——,

2228

又D在拋物線上，

??Q2—2a—3—Z??

聯(lián),立方程解得：a=：3，b=-915，

24

3

?,?點。的橫坐標是大

故選：B.

【點睛】此題考查二次函數(shù)問題中根據(jù)圖形面積求坐標，根據(jù)圖像性質(zhì)找出相關(guān)坐標，并利

用割補法表示面積是關(guān)鍵，計算量較大.

1Q

11.(2018?山東濟南?三模)如圖，拋物線y=-萬/+工+耳與坐標軸交于A］兩點，與＞軸

交于點C.CD//AB,如果直線y=kx-2(kw0)平分四邊形OBDC的面積，那么k的值為()

,1011-1213

A.—B.—C.—D.——

5555

【答案】B

【分析】設(shè)直線y=辰-2交X軸于點E,交線段CD于點F,利用一次函數(shù)函數(shù)圖象上點的

坐標特征及二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點A、B、C、D、E、F的坐標，由直線

丫=履-2(%二0)平分四邊形OBDC的面積，可得出關(guān)于k的分式方程，解出k值后經(jīng)檢驗

后即可得出結(jié)論.

【詳解】設(shè)直線丫=區(qū)-2交x軸于點E,交線段CD于點F,如圖所示，

13

???拋物線丁二-萬/+工+/與坐標軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,

3

?,?點A(-l,0),點B(3,0),點C(0,-),

當y=5時，有一5%+x+2=2f

解得：再=。，％2=2

...點D(2,I),

；.CD=2,

:直線>=丘-2交x軸于點E,交線段CD于點F,

273

???點E(7,0),點—),

k2k2

;直線y=h-2億w0)平分四邊形OBDC的面積，

.27CD+OB5

,?—I-=--------——,

k2k22

解得：k=g

經(jīng)檢驗，笈=《是原方程的解，符合題意.

故答案為：B.

【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)圖象上

點的坐標特征以及梯形的面積，由直線丫="-2億H0)平分四邊形OBDC的面積，找出關(guān)

于k的分式方程是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

12.(2022?北京市師達中學九年級階段練習)已知拋物線》=/一4與x軸交于A,B兩點,

與y軸交于點C,則ABC的面積為.

Bx

C\

【答案】8

【分析】利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出點A、3、C的坐標，再利用三角形的面

積公式即可求出AABC的面積.

【詳解】解：當x=0時，y=—-4=-4,

???點C的坐標為(0,T)；

當尸0時，有尤2一4=0,

解得：再=-2,x2=2,

二點A的坐標為(-2,0),點8的坐標為(2,0),(假設(shè)點A在點8的左側(cè))，

:.AB=4,

''-s^Bc=^AB^yc-

故答案為：8.

【點睛】本題考查了拋物線與無軸的交點、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及三角形的面積,

利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征求出點A、8、C的坐標是解題的關(guān)鍵.

13.(2022?安徽合肥?九年級階段練習)如圖，在平面直角坐標系中，。為坐標原點，拋物線

y=a(x-3)，4(ci<0)的頂點為A,與拋物線y=+4交于無軸上方的點8.

(1)點B的橫坐標是

(2)過點B作平行于x軸的直線，分別與兩條拋物線的另一個交點為。，C,連結(jié)ADAC,

OC,0D,則四邊形ACO。的面積為

3

【答案】|12

【分析】(1)拋物線>=。"-3)2+4是由拋物線、=辦2+4向右平移3個單位得到的，B點

橫坐標為兩條對稱軸距離的一半，即可得解；

(2)利用四邊形的面積=Sos+Sg),進行計算即可.

【詳解】解：(1)y=a(x-3)2+4的對稱軸為：x=3；y=以?+4對稱軸為：x=0,

由圖象得：拋物線y=a(x-3)2+4是由拋物線y=ax2+4向右平移3個單位得到的，

B點橫坐標為兩條對稱軸距離的一半，

_3

點橫坐標為：—;

2

(2)由題意得：4(3,4),

BC=BD=3,CD=6,

四邊形ACOD的面積=SAACD+SOCD=^CD-yA=1-x6x4=12.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的平移，圖象和性質(zhì).熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，從圖象

中獲取有效信息是解題的關(guān)鍵.

14.(2022?重慶一中九年級階段練習)如圖，已知A(1,1),B(3,9)是拋物線>=好上

的兩點，在y軸上有一動點P,當△朋8的周長最小時，則此時△B48的面積為.

【答案】6

【分析】根據(jù)拋物線>=/的性質(zhì)，作出2關(guān)于y軸的對稱點？，連接A&交y軸于尸，點

P即為所求，再求出的面積即可.

【詳解】解：如圖，作出8關(guān)于>軸的對稱點B',則BB'軸于點H,連接AQ交y軸于P,

則點尸就是使△PAB的周長最小時的位置.

???拋物線y=/的對稱軸是y軸，B、笈關(guān)于y軸對稱，

???點P在拋物線y=/上，且PB=PB',

:.PA+PB=PA+PB'=AB',

??.此時△以8的周長最小，

?；B(3,9),

：.Bf(-3,9),

，59=6,點”的坐標是(0,9),

VA(1,1),

???點A到班，的距離為9—1=8,

設(shè)直線AE的直線方程為y=kx+bf把點A和點&的坐標代入后得到，

.j-3k+b=9

\k+b=1，

[k=-2

解得La，

的=3

，直線4B'的解析式為y=-2x+3,

當x=0時，y=3,

點的坐標為(0,3),

：.PH=OH-OP=6,

此時SPAB=SABB'-SPBB,=；x6x8—gx6x6=6,

即4的面積為6,

故答案為：6.

【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，二次函數(shù)圖象上的點的坐標特征以及待定系數(shù)

法求解析式，作出B的對稱點是本題的關(guān)鍵.

15.(2022?福建.莆田擢英中學九年級階段練習)如圖，已知A,B,C是函數(shù)y=f圖象上

的動點，且三點的橫坐標依次為。+1,a,。一1.小華用軟件GeoGebnz對AABC的幾何特

征進行了探究，發(fā)現(xiàn)△ABC的面積是個定值，則這個定值為.

【分析】作軸于。，BE_Lx軸于E,CF_Lx軸于日求得A、B、C的坐標，即可求得

AD=(a+1)2=a2+2a+l,BE=a2,CF-(a-1)2=cz2-2a+l,然后根據(jù)S」ABC=S褶形A￡>PC-S翻形

ADEB-S梯形BEFC求得△ABC的面積是定值1.

【詳解】解:如圖，作AO_Lx軸于。，軸于E,CF_Lx軸于尸，

VA,B,C三點的橫坐標依次為a+1,a,a-1,

.,.AD=(a+1)"=a2+2a+\,BE=a2,CF=(a-1)2=a2-2a+l,

.".SAABC=S梯形ADFC-S梯彩ADEB-S梯形BEFC

=y(a2+2a+1+a2-2a+1)x2-y(o2+2a+l+a2)xl-y(a2+a2-2a+l)xl

=1;

.?.△ABC的面積是個定值，這個定值為1.

故答案為：1.

【點睛】此題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，梯形的性質(zhì)以及梯形的面積.此題難度

較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

三、解答題

16.(2022.黑龍江.哈爾濱市第六十九中學校九年級階段練習)如圖，拋物線y=幺2-2ax+c

與無軸交于點A、點8,與y軸交于點C,A點坐標為(-1,0),連接AC,若tanZACO=；.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P為第一象限拋物線上一點，連接AP、BP,設(shè)點P的橫坐標為乙一.尸的面積為S,

求S與/的函數(shù)解析式：

【答案】⑴y=d-2x-3

（2）S=2r-4r-6（r>3）

【分析】（1）根據(jù)A點坐標為（-1,0）,tanNACO=g求得點C的坐標，然后待定系數(shù)法求

解析式即可求解；

（2）令函數(shù)解析式中y=0,求得B點的坐標，進而根據(jù)三角形面積公式即可求解.

【詳解】（1）解：：A點坐標為（一1,0）,tanZACO=1,

AOA=1,OC=3,

.?.C（0,-3）,

將點A（-l,0），C（0,-3）,代入y=ax2-2ox+c得，

（a+2a+c=0

[c=-3

[a=l

解得a，

y=x2-2x-3；

（2）解：由y=/-2%-3,令y=。，即爐一2元一3二0,

解得：玉=-1,々=3,

???5（3,0）,

???AB=4f

依題意，點P的橫坐標為乙尸的面積為S,則2『-3）,

S=1x4x(?-2f-3)=2r-4r-6,

即S=2產(chǎn)一4—6(>3).

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，求拋物線與坐標軸交點問題，已知正切求邊長,

掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

17.(2023?吉林省第二實驗學校九年級階段練習)如圖，地物線>=以2+公+。與x軸交于

A(T,0),3(3,0)兩點，與y軸交于點。(0,-3).

(1)求出該地物線的函數(shù)關(guān)系式；

(2)點P是拋物線上的一個動點，設(shè)點P的橫坐標為枕(0<加<3).直接寫出PCB的面積的

最大值.

【答案】⑴y=d-2尤一3

【分析】(1)設(shè)拋物線解析式為y=a(x+i)(x-3),把點C(0,-3)代入即可求解；

(2)設(shè)Pm”，-2m-3),根據(jù)S耽=$POC+SPOB-$BOC即可求出SPCB與加的函數(shù)關(guān)系

式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)解：設(shè)拋物線解析式為y=a(x+l)(x—3),

???拋物線與y軸交于點C(0,-3),

/.-3=a(O+l)(O-3),

??a=1,

???拋物線解析式為丁=(x+l)(x—3)=f—2x—3；

(2)設(shè)尸(m,/-2m-3),

連接p。,

??SPCB=SpOC+SpOB—sBOC

=^xOCx\xp\+^xOBx\yp\--xO