重難點(diǎn)突破03陰影部分面積求解問(wèn)題

目錄

方法一直接公式法

方法二和差法

題型01直接和差法

題型02構(gòu)造和差法

題型03割補(bǔ)法

類(lèi)型一全等法

類(lèi)型二等面積法

類(lèi)型三平移法、旋轉(zhuǎn)法

類(lèi)型四對(duì)稱(chēng)法

題型04容斥原理

【基礎(chǔ)】設(shè)。0的半徑為R,n°圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)為I,n為弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)，則

扇形弧長(zhǎng)公式[=噤（弧長(zhǎng)的長(zhǎng)度和圓心角大小和半徑的取值有關(guān)，且n表

lol）

示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位.）

nnR21,

扇形面積公式Sc扇形=360=2ZR

圓錐側(cè)面積公式S圓錐側(cè)=Tirl（其中1是圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)，r是圓錐的底面半徑）

圓錐全面積公式S圓錐全=nrl+nr2（圓錐的表面積=扇形面積+底面圓面積）

圓錐的高h(yuǎn),圓r2+h2=I2

錐的底面半徑r

【方法技巧】

1）利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算弧長(zhǎng)時(shí)，應(yīng)先確定弧所對(duì)的圓心角的度和半徑，再利用公式求得結(jié)果.在弧長(zhǎng)公式

[=峭中，已知1,必R中的任意兩個(gè)量，都可以求出第三個(gè)量.

180

2）在利用扇形面積公式求面積時(shí)，關(guān)鍵是明確扇形所在圓的半徑、扇形的圓心角的度數(shù)或扇形的弧長(zhǎng)，然

后直接代入公式S扇形=嘿或S扇形=中求解即可.

3602

3）扇形面積公式S扇形=|ZR與三角形面積公式十分類(lèi)似為了便于記憶，只要把扇形看成一個(gè)曲邊三角形、

把弧長(zhǎng)1看成底，R看成底邊上的高即可.

4）根據(jù)扇形面積公式和弧長(zhǎng)公式，已知S扇形，1,n,R中的任意兩個(gè)量，都可以求出另外兩個(gè)量.

5）在解決有關(guān)圓錐及其側(cè)面展開(kāi)圖的計(jì)算題時(shí)，常借助圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)，即

27TL寢，來(lái)建立圓錐底面圓的半徑r、圓錐母線(xiàn)R和側(cè)面展開(kāi)圖扇形圓心角n。之間的關(guān)系，有時(shí)也根據(jù)圓

錐的側(cè)面積計(jì)算公式來(lái)解決問(wèn)題.

6）求弧長(zhǎng)或扇形的面積問(wèn)題常結(jié)合圓錐考查，解這類(lèi)問(wèn)題只要抓住圓錐側(cè)面展開(kāi)即為扇形，而這個(gè)扇形的

弧長(zhǎng)等于原圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于原圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng).注意不要混淆圓錐的底面半徑和圓錐展開(kāi)

后的扇形半徑兩個(gè)概念.

【陰影部分面積求解問(wèn)題簡(jiǎn)介】求陰影部分面積時(shí)，最基本的思想就是轉(zhuǎn)化思想，即把所求的不規(guī)則的圖

形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積.常用的方法有：

直接公式法

常

用直接和差法

方構(gòu)造和差法

法全等法

等面積法

和差法割補(bǔ)法平移法

旋轉(zhuǎn)法

對(duì)稱(chēng)法

容斥原理

1）直接用公式求解.

圖形公式

S陰影=S扇形ABC

A)c

VB

S陰影=SAABC

4

B

S陰影=S四邊形ABCD=ab

B壬

C

2）和差法：所求面積的圖形是一個(gè)不規(guī)則圖形，可將其轉(zhuǎn)化變成多個(gè)規(guī)則圖形面積的和或差，進(jìn)行求解.

①直接和差法.（陰影部分是幾個(gè)常見(jiàn)圖形組合而成，即S陰影=S常見(jiàn)圖形士S常見(jiàn)圖形）

圖形面積計(jì)算方法圖形面積計(jì)算方法

AS陰影=S、ACB-S扇0S陰影一S扇形AOB—

形ABDSAAOB

BXc

S陰影=SaAOB-S扇,4,^______,DS陰影=S扇形BAD-

形COD以S半圓AB

S陰影=S半圓AB-CLs陰影=s扇形之和

_nnR2_TIR2

SAAOB

3602

ABJvJ

S陰影=S扇形EAF-

SAADE

巨l

,4^---------R

②構(gòu)造和差法（所求陰影部分面積需要添加輔助線(xiàn)構(gòu)造扇形、三角形或特殊四邊形，然后進(jìn)行相加減。）

圖形公式

國(guó)心S陰影=S扇形AOC+SABOC

S陰影=SAODC-S扇形DOE

S陰影二S扇形AOB-S^AOB

S陰影=S扇形BOE+SAOCE-S扇形COD

3）割補(bǔ)法：直接求面積較復(fù)雜或無(wú)法計(jì)算時(shí)，可通過(guò)旋轉(zhuǎn)、平移、割補(bǔ)等方法，對(duì)圖形進(jìn)行轉(zhuǎn)化，為利用

公式法或和差法創(chuàng)造條件，從而求解.

①全等法

圖形公式

S陰影=SAAOB

r

a，心%S陰影=S扇形BOC

eD,

S陰影=S矩形ACDF

力士A

0LCA()c

S陰影=S正方形PCQE

②等面積法

圖形公式

S陰影=S扇形COD

圖形公式

當(dāng)陰影部分是由幾個(gè)圖形疊加形成時(shí),

1）需先找出疊加前的幾個(gè)圖形；

2）然后理清圖形之間的重疊關(guān)系.

圖形（舉例）公式

S陰影=S扇形BAB，+S半圓AB-S半圓AB

11

AB

B

S陰影=S半圓AC+S半圓BC-SAACB

CA

CS陰影=S扇形AEC+S扇形BCD-SAACB

ADEB

方法一直接公式法

1.（2022?湖北武漢?校考三模）如圖，4B是半圓的直徑，點(diǎn)C在直徑上，以C為圓心、CA為半徑向內(nèi)作直角

扇形，再以。為圓心、DC為半徑向內(nèi)作直角扇形，使點(diǎn)E剛好落到半圓上，若4B=10,則陰影部分的面積

為（）

A.167rB.127rC.87rD.47r

2.（2023?四川成者B?校考三模）如圖，在矩形ABC。中，AB=1,BC=2,以8為圓心，BC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，

交4。于點(diǎn)E若將一骰子（看成一個(gè)點(diǎn)）投到矩形ABCD中，則骰子落在陰影部分的概率為

3.（2023?吉林長(zhǎng)春?吉林大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在RtAZBC中，^BAC=90°,BC=6,點(diǎn)。是

BC的中點(diǎn)，將力。繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。得4）.那么圖中陰影部分的面積為

D'

A

D

方法二和差法

題型01直接和差法

4.（2019上?河北石家莊?九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)C在以48為直徑的半圓上，連接AC、BC,AB=10,

5.（2023?青海?統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)是4,分別以點(diǎn)A,B,C,。為圓心，2為半徑

作圓，則圖中陰影部分的面積是（結(jié)果保留兀）.

6.（2023?湖南婁底?統(tǒng)考一模）如圖，在等腰直角三角形4BC中，ZC=90°,AC=V2,以點(diǎn)C為圓心畫(huà)弧

與斜邊力B相切于點(diǎn)D,交力C于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,則圖中陰影部分的面積是.

7.（2023?山東濟(jì)南?統(tǒng)考中考真題）如圖，正五邊形48CDE的邊長(zhǎng)為2,以4為圓心，以AB為半徑作弧BE,

則陰影部分的面積為（結(jié)果保留兀）.

A

B、E

題型02構(gòu)造和差法

8.（2023?四川瀘州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,。。為RtAABC的

內(nèi)切圓，則圖中陰影部分的面積為（結(jié)果保留n）（）

A

b\

CB

A-TB.6一￥C.5—胡D.3+與

9.（2022?湖北恩施?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行四邊形4BCD中，AD=2,AB=4,乙4=30。，以點(diǎn)4為

圓心，4D的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交力B于點(diǎn)E,連接CE,則陰影部分的面積是（）

D/

AEB

A.3fB.3n-jC.|nD.*3

10.（2023?安徽?模擬預(yù)測(cè)）如圖，。。的半徑為2,AB=2<3,則陰影部分的面積是.（結(jié)果保留兀）

11.（2023上?安徽六安?九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在RtAABC中，乙C=90°,乙4=60°,AC=2.點(diǎn)、D為BC邊

的中點(diǎn)，以點(diǎn)。為圓心，CB長(zhǎng)為直徑畫(huà)半圓，交AB于點(diǎn)E,則圖中陰影部分的面積為.（結(jié)

果保留兀）

12.（2022?廣東江門(mén)?鶴山市沙坪中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在半徑為花，圓心角等于45。的扇形40B內(nèi)部作

一個(gè)正方形CDEF,使點(diǎn)C在。力上，點(diǎn)D、E在OB上，點(diǎn)F在上，則陰影部分的面積為.

13.（2022?福建?一模）如圖，在平行四邊形紙板4BCD中，點(diǎn)E,F,。分別為力B,CD,BD的中點(diǎn)，連接

DE,OF,BF.將一飛鏢隨機(jī)投擲到平行四邊形紙板上，則飛鏢落在陰影部分的概率為.

14.（2023?廣東梅州?校考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。，與x軸、y軸分別交于

A、8兩點(diǎn)，點(diǎn)8坐標(biāo)為（0,2百），OC與。D交于點(diǎn)C,AOCA=30°,則圓中陰影部分的面積

為.

15.（2023?河南周口?淮陽(yáng)第一高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，扇形力MB的圓心角=60。，將扇形4MB

沿射線(xiàn)MB平移得到扇形CMD,已知線(xiàn)段CN經(jīng)過(guò)48的中點(diǎn)E,若=2g，則陰影部分的周長(zhǎng)為.

16.（2024?西藏拉薩?統(tǒng)考一模）如圖，等腰△力BC的頂點(diǎn)A,C在O。上，BC邊經(jīng)過(guò)圓心0且與。。交

于。點(diǎn)，乙B=30°.

(1)求證：4B是O。的切線(xiàn)；

(2)若A8=6,求陰影部分的面積

17.(2023?山西長(zhǎng)治?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))如圖，在AZBC中,CA=CB,AB=4,點(diǎn)。是4B的中點(diǎn)，分別以點(diǎn)4、

B、C為圓心，4D的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交線(xiàn)段2C、BC于點(diǎn)、E、F、(；、H,若點(diǎn)E、F是線(xiàn)段力C的三等分點(diǎn)時(shí)，

圖中陰影部分的面積為()

C

A

M

A.8V2-2TTB.16V2-4TTC.8/一4nD.16V2-2TT

18.(2022?湖北武漢??？寄M預(yù)測(cè))己知AB是。。的直徑,D4D1入BC是。。的三條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為4、E、

B,連接0E.

ADAD

BCBC

圖1圖2

(1)如圖1,求證：0E2=DE-CE；

(2)如圖2,AD=1,BC=3,求圖中陰影部分的面積.

題型03割補(bǔ)法

類(lèi)型一全等法

19.（2022上?安徽阜陽(yáng)?九年級(jí)?？计谀┦?。。的直徑，弦6148,“=30。，CD=4百，則S陰影=

C.-71D.4兀

3

20.（2023?山西晉城?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，AB=1,以點(diǎn)4為圓心，矩形的長(zhǎng)4。為半徑畫(huà)弧,

交BC于點(diǎn)E,交48的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F,若力E恰好平分NBA。，則陰影部分的面積為（）

7T-V2-1C2V2+7T

A.1D.V2-1

.4

21.（2023?內(nèi)蒙古?統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形4BCD的邊長(zhǎng)為2,對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)。，以點(diǎn)8為圓心,

對(duì)角線(xiàn)BD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,則圖中陰影部分的面積為.

22.（2022?青海?統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形力BCD的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。的直線(xiàn)交4。，BC于點(diǎn)E,F,

若48=3,BC=4,則圖中陰影部分的面積為

23.（2022上?江西南昌?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，半徑為10的扇形04B中，AAOB=90°,C為弧4B上一點(diǎn),

CD1OA,CE1OB,垂足分別為D,E.若NCDE=40。，則圖中陰影部分的面積為（）

.40_110_100r

A.—ITB.—nC.—TCD.10TT

399

類(lèi)型二等面積法

24.（2023?遼寧錦州?統(tǒng)考二模）如圖，在A4BC中,AB=AC,以■為直徑的。。與ZB,BC分別交于點(diǎn)

E,連接AE,DE,若NBED=45。，AB=2,則陰影部分的面積為（）

25.（2023?山西大同?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）閱讀與思考

下面是小明的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)：

通過(guò)構(gòu)造全等三角形來(lái)解決圖形與幾何中的問(wèn)題

在圖形與幾何的學(xué)習(xí)中常常會(huì)遇到一些問(wèn)題無(wú)法直接解答，需要作輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形才能得到解決，

比如下面的題目中出現(xiàn)了角平分線(xiàn)和垂線(xiàn)段，我們可以通過(guò)延長(zhǎng)垂線(xiàn)段與三角形的一邊相交，構(gòu)造全等三

角形，再運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)解決此問(wèn)題.

例：如圖1,。是A/IBC內(nèi)的點(diǎn)，且2D平分NB4C,CD1AD,連接BD.若AABC的面積是10,求圖中陰影

部分的面積.

A

圖1

該問(wèn)題的解答過(guò)程如下：

解：如圖2,延長(zhǎng)CD交于點(diǎn)E

〈AO平分NR4C,

/.DAB=乙DAC.

*：AD1CD,

：./-ADC=乙ADE=90°.

在△ADE和△ADC中，

\LDAB=乙DAC

AD=AD

/ADC=Z-ADE

：.△ADEADC(ASA).

^^ADE=S^ADC(依據(jù)*)，ED=DC.

任務(wù)：

(1)上述解答過(guò)程中的“依據(jù)*”是指」

(2)請(qǐng)將上述解答過(guò)程的剩余部分補(bǔ)充完整；

(3)如圖3,在△ABC中，^ABC=90°,AB=BC,2。平分NB4C交BC于點(diǎn)Z),CE1力。交4。的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)

E,連接BE.若BE=5,請(qǐng)直接寫(xiě)出力D的長(zhǎng).

A

圖3

26.（2023上?遼寧撫順?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖,C,。是以AB為直徑的半圓上的兩點(diǎn)，連接8C,CD,AC,BD,

BC=CD,^ACD=30°,AB=12,則圖中陰影部分的面積為.

類(lèi)型三平移法、旋轉(zhuǎn)法

27.（2023?山西大同?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，正六邊形A8CDEF內(nèi)接于半徑為8cm的O。中，連接CE,4C,

AE,沿直線(xiàn)CE折疊，使得點(diǎn)。與點(diǎn)。重合，則圖中陰影部分的面積為（）

A.32V5cm2B.8V5cm2C.8Tlem2

28.（2023?浙江?模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ABC是直角邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，直角邊力B是半圓內(nèi)的直徑,

半圓。2過(guò)C點(diǎn)且與半圓?！肯嗲?，則圖中陰影部分的面積（）

29.（2018?山西?統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABC。內(nèi)接于。。，。。的半徑為2,以點(diǎn)A為圓心，以AC

長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交A5的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)肛交A。的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)R則圖中陰影部分的面積為（）

C.8K-4D.8兀一8

類(lèi)型四對(duì)稱(chēng)法

30.（2017上?山東東營(yíng)?九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，以4B為直徑，點(diǎn)。為圓心的半圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,若2C=BC=

V2,則圖中陰影部分的面積是

31.（2023?廣西北海?統(tǒng)考三模）如圖，在平行四邊形4BCD中，對(duì)角線(xiàn)AC,BD相交于點(diǎn)。，EF過(guò)點(diǎn)O,交

4D于點(diǎn)尸，交BC于點(diǎn)E.若力B=3,AC=4,AD=5,則圖中陰影部分的面積是（）

A.1.5B.3C.6D.4

32.（2023?河北保定?統(tǒng)考一模）如圖，在正方形力BCD中，AC和BD交于點(diǎn)0,過(guò)點(diǎn)。的直線(xiàn)EF交力B于點(diǎn)E（E

不與2,B重合），交CD于點(diǎn)F.以點(diǎn)。為圓心，OC為半徑的圓交直線(xiàn)EF于點(diǎn)M,N.若4B=1,則圖中陰影

部分的面積為（）

33.（2022?山東荷澤?統(tǒng)考二模）如圖，等邊三角形4BC內(nèi)接于。0,半徑。4=3,則圖中陰影部分的面積

是，（結(jié)果保留it）

A

34.（2023?江蘇南通?統(tǒng)考二模）如圖，在。。中，弦4B垂直于半徑。C,垂足為。，點(diǎn)E在。C的延長(zhǎng)線(xiàn)上,

且NEAC=乙CAB.

（1）求證：直線(xiàn)4E是。。的切線(xiàn)；

（2）若。E=6,sinzF=求圖中陰影部分的面積.

題型04容斥原理

35.（2022上?重慶?九年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)校考期末）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,分別以AB、BC、AC邊

為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學(xué)史上稱(chēng)為“希波克拉底月牙”.當(dāng)AB=8,8c=4時(shí)，則陰影部分的面

積為_(kāi)_______

36.（2021?廣東江門(mén).?？既＃┤鐖D，28是半圓。的直徑，以。為圓心，OC長(zhǎng)為半徑的半圓交4B于C,。兩

點(diǎn)，弦4F切小半圓于點(diǎn)E.已知4B=4,Z.BAF=30°,則圖中陰影部分的面積是（）

ACODB

Av3.71

A.——I--C.六D.AW

23

37.（2023?廣東肇慶?統(tǒng)考三模）如圖，在RtAABC中，乙4c8=90。，NB=30。，AC=2,以點(diǎn)C為圓心,

CA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交BC于點(diǎn)。，交4B于點(diǎn)E,則圖中陰影部分的面積是.（結(jié)果保留萬(wàn)）

38.（2022?河南?統(tǒng)考中考真題）如圖，將扇形AOB沿方向平移，使點(diǎn)。移到。8的中點(diǎn)O處，得到扇

形若/O=90。，OA=2,則陰影部分的面積為

39.（2023?河南信陽(yáng)??？既＃┤鐖D，在扇形。48中，^AOB=150°,將扇形OA8繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到

扇形。%夕，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。'恰好落在4B上，若。4=2,則圖中陰影部分的面積為.

40.（2023?山西忻州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，將直徑為4的半圓形分別沿CD,EF折疊使得直徑兩端點(diǎn)4B的

對(duì)應(yīng)點(diǎn)都與圓心。重合，則圖中陰影部分的面積為（）

2

n2

A-28一”3-V3C.2V3-inD.-n-V3

41.（2023?江蘇泰州??？既＃┰赗tAABC中，/ABC=90。，以△ABC的三邊為直徑在BC同側(cè)作半圓，得

兩個(gè)月牙（圖中陰影），過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線(xiàn)，分別和以4B、BC為直徑的半圓交于。、E兩點(diǎn)，若AD=

4,AE=5,則陰影部分的面積和為

42.（2022?山西長(zhǎng)治?統(tǒng)考一模）已知：如圖，在Rt△力BC中，AABC=90°,AC=12,BC=6,以4B為直

徑的圓與以BC為直徑的圓交AC于點(diǎn)D,則圖中陰影部分的面積為.

43.（2023?吉林長(zhǎng)春?吉林省第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？级＃┤鐖D，RtAABC中，N4CB=90°,AC=60°,AC=4,

以4為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交力B于點(diǎn)E,以B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交2B于點(diǎn)0.則圖中陰影部分

的面積為（結(jié)果保留兀）.

重難點(diǎn)突破03陰影部分面積求解問(wèn)題

目錄

方法一直接公式法

方法二和差法

題型01直接和差法

題型02構(gòu)造和差法

題型03割補(bǔ)法

類(lèi)型一全等法

類(lèi)型二等面積法

類(lèi)型三平移法、旋轉(zhuǎn)法

類(lèi)型四對(duì)稱(chēng)法

題型04容斥原理

【基礎(chǔ)】設(shè)。0的半徑為R,n°圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)為I,n為弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)，則

扇形弧長(zhǎng)公式[=噤（弧長(zhǎng)的長(zhǎng)度和圓心角大小和半徑的取值有關(guān)，且n表

lol）

示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位.）

nnR21,

扇形面積公式Sc扇形=360=2ZR

圓錐側(cè)面積公式S圓錐側(cè)=Tirl（其中1是圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)，r是圓錐的底面半徑）

圓錐全面積公式S圓錐全=nrl+nr2（圓錐的表面積=扇形面積+底面圓面積）

圓錐的高h(yuǎn),圓r2+h2=I2

錐的底面半徑r

【方法技巧】

1）利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算弧長(zhǎng)時(shí)，應(yīng)先確定弧所對(duì)的圓心角的度和半徑，再利用公式求得結(jié)果.在弧長(zhǎng)公式

[=峭中，已知1,必R中的任意兩個(gè)量，都可以求出第三個(gè)量.

180

2）在利用扇形面積公式求面積時(shí)，關(guān)鍵是明確扇形所在圓的半徑、扇形的圓心角的度數(shù)或扇形的弧長(zhǎng)，然

后直接代入公式S扇形=嘿或S扇形=中求解即可.

3602

3）扇形面積公式S扇形=|ZR與三角形面積公式十分類(lèi)似為了便于記憶，只要把扇形看成一個(gè)曲邊三角形、

把弧長(zhǎng)1看成底，R看成底邊上的高即可.

4）根據(jù)扇形面積公式和弧長(zhǎng)公式，已知S扇形，1,n,R中的任意兩個(gè)量，都可以求出另外兩個(gè)量.

5）在解決有關(guān)圓錐及其側(cè)面展開(kāi)圖的計(jì)算題時(shí)，常借助圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)，即

27TL寢，來(lái)建立圓錐底面圓的半徑r、圓錐母線(xiàn)R和側(cè)面展開(kāi)圖扇形圓心角n。之間的關(guān)系，有時(shí)也根據(jù)圓

錐的側(cè)面積計(jì)算公式來(lái)解決問(wèn)題.

6）求弧長(zhǎng)或扇形的面積問(wèn)題常結(jié)合圓錐考查，解這類(lèi)問(wèn)題只要抓住圓錐側(cè)面展開(kāi)即為扇形，而這個(gè)扇形的

弧長(zhǎng)等于原圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于原圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng).注意不要混淆圓錐的底面半徑和圓錐展開(kāi)

后的扇形半徑兩個(gè)概念.

【陰影部分面積求解問(wèn)題簡(jiǎn)介】求陰影部分面積時(shí)，最基本的思想就是轉(zhuǎn)化思想，即把所求的不規(guī)則的圖

形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積.常用的方法有：

直接公式法

常

用直接和差法

方構(gòu)造和差法

法全等法

等面枳法

和差法割補(bǔ)法平移法

旋轉(zhuǎn)法

對(duì)稱(chēng)法

容斥原理

1）直接用公式求解.

圖形公式

S陰影=S扇形ABC

A)c

VB

S陰影=SAABC

4

B

S陰影=S四邊形ABCD=ab

B壬

C

2）和差法：所求面積的圖形是一個(gè)不規(guī)則圖形，可將其轉(zhuǎn)化變成多個(gè)規(guī)則圖形面積的和或差，進(jìn)行求解.

①直接和差法.（陰影部分是幾個(gè)常見(jiàn)圖形組合而成，即S陰影=S常見(jiàn)圖形士S常見(jiàn)圖形）

圖形面積計(jì)算方法圖形面積計(jì)算方法

AS陰影=S、ACB-S扇0S陰影一S扇形AOB—

形ABDSAAOB

BXc

S陰影=SaAOB-S扇S陰影=S扇形BAD-

形CODS半圓AB

4區(qū)k------'（：i

S陰影=S半圓AB-s陰影=s扇形之和

C_nnR2_TIR2

SAAOB

ABL3602

S陰影=S扇形EAF-

SAADE

巨4^---------嗚

②構(gòu)造和差法（所求陰影部分面積需要添加輔助線(xiàn)構(gòu)造扇形、三角形或特殊四邊形，然后進(jìn)行相加減。）

圖形公式

國(guó)心S陰影=S扇形AOC+SABOC

S陰影=SAODC-S扇形DOE

S陰影二S扇形AOB-S^AOB

S陰影=S扇形BOE+SAOCE-S扇形COD

3）割補(bǔ)法：直接求面積較復(fù)雜或無(wú)法計(jì)算時(shí)，可通過(guò)旋轉(zhuǎn)、平移、割補(bǔ)等方法，對(duì)圖形進(jìn)行轉(zhuǎn)化，為利用

公式法或和差法創(chuàng)造條件，從而求解.

①全等法

圖形公式

S陰影=SAAOB

S陰影=S扇形BOC

D,

S陰影=S矩形ACDF

0（：A0c1

S陰影=S正方形PCQE

②等面積法

圖形公式

S陰影=S扇形COD

圖形公式

4）容斥原理

當(dāng)陰影部分是由幾個(gè)圖形疊加形成時(shí),

1）需先找出疊加前的幾個(gè)圖形；

2）然后理清圖形之間的重疊關(guān)系.

圖形（舉例）公式

S陰影=S扇形BAB，+S半圓AB-S半圓AB

11

AB

B

S陰影=S半圓AC+S半圓BC-SAACB

CA

CS陰影=S扇形AEC+S扇形BCD-SAACB

\

ADEB

方法一直接公式法

1.（2022?湖北武漢??？既＃┤鐖D，4B是半圓的直徑，點(diǎn)C在直徑上，以C為圓心、C4為半徑向內(nèi)作直角

扇形，再以。為圓心、DC為半徑向內(nèi)作直角扇形，使點(diǎn)E剛好落到半圓上，若4B=10,則陰影部分的面積

為（）

A.167rB.127rC.87rD.47r

【答案】c

【分析】過(guò)點(diǎn)E作EF14B于點(diǎn)F,連接4E,BE,首先證明△4E尸?△E8F,設(shè)4C=為則4F=2x,BF=

10-2%,EF=x,利用相似三角形的性質(zhì)列方程即可求出工的值，再利用扇形面積公式計(jì)算即可.

【詳解】解:如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF14B于點(diǎn)F,連接4E,BE,

?MB是半圓的直徑，

：./.AEB=90°,即NEAB+Z.EBA=90°,

?-EF1AB,

...乙4FE=乙EFB=90°,

+^AEF=90°,

'-Z-EBA=Z-AEF9

AEF—△EBF,

BPEF2=AF-BF,

EFBF

設(shè)AC=X,

?；EF1AB,且由作圖可知陰影部分是兩個(gè)半徑相等的半圓,

???四邊形DCFE是正方形，

-'-CD=DE=EF=CF=AC=x,

-'-AF=2x,

■■.BF=10—2x,

■■x2=2x(10—2x),

=0(舍去)，x2=4,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形和扇形的面積，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)以及扇形的面積公式是

解題的關(guān)鍵.

2.（2023?四川成都??？既＃┤鐖D，在矩形4BCD中，=1,BC=2,以B為圓心，BC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，

交4。于點(diǎn)E.若將一骰子（看成一個(gè)點(diǎn)）投到矩形2BCD中，則骰子落在陰影部分的概率為.

【分析】本題考查了幾何概率，先根據(jù)銳角三角函數(shù)求出入4￡8=30。，再根據(jù)扇形面積公式求出陰影部分

的面積，最后根據(jù)幾何概率的求法解答即可.

【詳解】解：?以8為圓心，BC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交4D于點(diǎn)E,

：.BE=BC=2,

在矩形4BCD中，Z/1=^ABC=90°,AB=1,BC=2,

AB

???.sixiZ4-lAnEB=—=1一,

BE2

J.Z-AEB=30°,

：.Z.EBA=60°,

:?乙EBC=30°,

...陰影部分的面積：S=§箸

???矩形的面積為2,

1

.??將一骰子（看成一個(gè)點(diǎn)）投到矩形ABCD中，則骰子落在陰影部分的概率為弓=；TT,

26

故答案為：

3.（2023?吉林長(zhǎng)春?吉林大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在RtAABC中，Z.BAC=90°,BC=6,點(diǎn)。是

BC的中點(diǎn)，將力D繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。得力那么圖中陰影部分的面積為.

【答案】v

4

【分析】先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出力D的長(zhǎng)，再由扇形的面積公式即可得出結(jié)論.

【詳解】解：；在RtAABC中，/.BAC=90°,BC=6,點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，

：.AD—BC=3,

2

.?_90°TTX32_97r

??3扇形=360。=7，

故答案為：V-

4

【點(diǎn)睛】本題考查的是扇形面積的計(jì)算，熟記扇形的面積公式是解答此題的關(guān)鍵.

方法二和差法

題型01直接和差法

4.(2019上?河北石家莊?九年級(jí)統(tǒng)考期中)已知點(diǎn)C在以4B為直徑的半圓上，連接AC、BC,AB=10,

BC\AC=3:4,陰影部分的面積為.

【答案】fit-24

【分析】要求陰影部分的面積即是半圓的面積減去直角三角形的面積，根據(jù)48=10,BC-.AC=3-.4,可以

求得4C,BC的長(zhǎng)，再根據(jù)半圓的面積公式和直角三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算.

【詳解】解：???4B為直徑，

.-./.ACB=90°,

BC-.AC=3:4,

設(shè)=3a,AC=4a(a>0),

AC2+BC2=AB2,即(4a)2+(3a)2=102,

解得：a=2,

BC=6,AC=8,

S陰影—S半圓一^LABC=5X11x52—3X8x6=511—24.

故答案為：§n—24.

【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的面積的計(jì)算，勾股定理，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵.

5.(2023?青海?統(tǒng)考中考真題)如圖，正方形A8CQ的邊長(zhǎng)是4,分別以點(diǎn)A,B,C,。為圓心，2為半徑

作圓，則圖中陰影部分的面積是(結(jié)果保留兀).

【答案】16—4兀/—4兀+16

【分析】分析出陰影面積=正方形面積-圓的面積，再利用相應(yīng)的面積公式計(jì)算即可.

【詳解】解：由圖得，陰影面積=正方形面積-4個(gè)扇形面積，

即陰影面積=正方形面積一圓的面積，

S陰影=42-7T,22=16—47r.

故答案為：16-4兀.

【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的求法，正方形面積及圓的面積的求法是解題關(guān)鍵.

6.（2023?湖南婁底?統(tǒng)考一模）如圖，在等腰直角三角形ABC中，4。=90。，AC=&,以點(diǎn)C為圓心畫(huà)弧

與斜邊力B相切于點(diǎn)D,交2C于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)尸，則圖中陰影部分的面積是.

【答案】1-J

4

【分析】連接CD,利用等腰直角三角形的性質(zhì)求得扇形的半徑，再利用圖中陰影部分的面積=SA.C-

S扇形CE押可解答?

【詳解】解：連接CD,如圖，

???以點(diǎn)C為圓心畫(huà)弧與斜邊相切于點(diǎn)。,

???CD1AB,

???△4CB為等腰直角三角形，

???CD=4D=BD=-AB.

2

AB=y[2AC=V2-V2=2,

??.CD=1,

二?陰影部分的面積=S—BC—S扇形CEF

=ixV2xV2-^

24

=1--.

4

故答案為：1-不

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、圓的切線(xiàn)的性質(zhì)定理、扇形、三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)，

連接經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解決此類(lèi)問(wèn)題常添加的輔助線(xiàn).

7.（2023?山東濟(jì)南?統(tǒng)考中考真題）如圖，正五邊形4BCDE的邊長(zhǎng)為2,以力為圓心，以4B為半徑作弧BE,

則陰影部分的面積為（結(jié)果保留兀）.

D

【答案】Y

【分析】根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式求出正五邊形的內(nèi)角和，再求出入4的度數(shù)，利用扇形面積公式計(jì)算即可.

【詳解】解:正五邊形的內(nèi)角和=（5-2）X180°=540°,

.?.乙/=詈540°=108°,

.r_1087T22_67r

扇形—360-5'

故答案為：y.

【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積和正多邊形內(nèi)角和的計(jì)算，熟練掌握扇形面積公式和正多邊形內(nèi)角和公式是

解答本題的關(guān)鍵.

題型02構(gòu)造和差法

8.（2023.四川瀘州.統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖,在RtAABC中,Z.C=90°,AC=4,BC=3,。。為RtAABC的

內(nèi)切圓，則圖中陰影部分的面積為（結(jié)果保留m（）

A.—B.6--C.5D.3+—

4444

【答案】c

【分析】本題考查了三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)；勾股定理求得48=5,進(jìn)而根據(jù)等面積法求得，三角形的內(nèi)切

半徑，根據(jù)S陰影=S—BC—[S圓一S正方形，即可求解?

【詳解】解：RtzkZBC中，AC=4,BC=3,

AB=V32+42=5,

^LABC=54c,BC=6,C^ABC~“0+BC+AB=12,

???內(nèi)切圓半徑7=￡=1,

2

**?S圓=TIT=719

設(shè)。。與ZC切于點(diǎn)。，與BC切于點(diǎn)E,連接。。、OE,

CEB

則四邊形ODCE為正方形,

,,1S陰影=SAABC一1S圓一S正方形=6--TT-1=5--n.

故選：C.

9.（2022?湖北恩施?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行四邊形48CD中，力。=2,AB=4,乙4=30。，以點(diǎn)2為

圓心，4D的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交2B于點(diǎn)E,連接CE,則陰影部分的面積是（）

D____________

AEB

iiii

A.3—/B.3n--C.-nD.-it-3

【答案】A

【分析】利用平行四邊形的面積減去扇形面積和三角形面積即可求解.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)。作DF14B于凡

：.DF=-AD=1.

2

???以點(diǎn)A為圓心，ZO的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交于點(diǎn)E,

??AE=AD=2,

又???4B=4,

：.BE=2,

??S陰影=SgUBCO一S扇形40E-S^BCE

30nS"1

=AB-DF-----------------BE-DF

3602

30兀x221

=4x1--------------------x2x1

3602

=3/

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查含30。角的直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形和三角形的面積公式，扇形的面積公式，不規(guī)

則圖形面積的求法，掌握相關(guān)面積公式和定理是解題的關(guān)鍵.

10.（2023?安徽?模擬預(yù)測(cè)）如圖，。。的半徑為2,AB=2V3,則陰影部分的面積是.（結(jié)果保留兀）

【分析】過(guò)點(diǎn)。作。H148于點(diǎn)m連接。B,求出。H的長(zhǎng)和乙4。8的度數(shù)，根據(jù)S^A0B-SMOB即可求

出答案.

.".sinzXOH=-=—,4AOH=^BOH=L^AOB,OH=VXO2-AH2-22-（V3）2-1,

2022\v7

：.Z.AOH=60°,

：.^AOB=2Z.AOH=120°,

.?.圖中陰影部分的面積為S扇曲WB—sAAOB=12°^Z2-Ix2V3x1=i7T-V3,

360Z3

故答案為：^7T—V3.

【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理、扇形面積、解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，

求出。H的長(zhǎng)和N40B的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

11.（2023上