專題9.1分式【九大題型】【滬科版2024】TOC\o"1-3"\h\u【題型1分式的定義】 1【題型2根據(jù)分式有意義的條件求取值范圍】 3【題型3分式值為零的條件】 4【題型4列代數(shù)式（分式）】 5【題型5求分式的值】 7【題型6分式的規(guī)律性問題】 9【題型7根據(jù)分式的值為整數(shù)求未知數(shù)的值】 11【題型8按要求構(gòu)造分式】 14【題型9根據(jù)分式的值的正負(fù)求取值范圍】 15知識點1：分式的定義一般地，若A與B均是整式且B中含有字母，那么式子AB叫做分式。其中A叫做分子，B叫做分母。分式滿足的三個條件：①式子一定是AB簡單理解：分母中含有字母的式子就是分式?！绢}型1分式的定義】【解題方法】觀察式子的分母是否有字母，若有則是分式，若沒有則不是。【例1】（24-25七年級·山東淄博·階段練習(xí)）在式子3yx,aπ,A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題考查了分式的定義，掌握分式的定義是解題關(guān)鍵，注意π不是字母，是常數(shù)．根據(jù)分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式，據(jù)此即可得到答案．【詳解】解：式子3yx,a故選：B．【變式1-1】（24-25七年級·江蘇徐州·階段練習(xí)）下列各式xy、3xx+1、xπ【答案】x【分析】根據(jù)分式的定義：形如AB，B【詳解】解：xy、3xx+1、xπ、x?1x中：xπ故答案為：xπ【點睛】本題考查分式的定義，熟練掌握分式的定義是解題的關(guān)鍵【變式1-2】（24-25七年級·重慶江北·期中）下列式子是分式的是（

）A．23x2y B．x+1π 【答案】C【分析】本題考查分式的識別，涉及分式定義，根據(jù)分式的定義對各選項進(jìn)行分析即可得到答案．熟記分式定義是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、23B、x+1πC、1xD、?5ab是整式，不符合題意．故選：C．【變式1-3】（2024七年級·全國·專題練習(xí)）在①a?b2，②2a，③5+xπ，④a?ba+b，⑤【答案】②④⑤【分析】利用分式的定義，依次判斷，其中注意π是常數(shù)．【詳解】解：由分式的定義知a?b2不是分式；2a是分式；5+xπ不是分式；a?b故分式有：2a、a?ba+b、故答案是：②④⑤．【點睛】本題考查了分式的定義，解題的關(guān)鍵是：理解分式的定義，判斷的依據(jù)是看分母中是否含有字母．知識點2：分式有意義的條件即要求分式的分母不能為0。即AB【題型2根據(jù)分式有意義的條件求取值范圍】【解題方法】結(jié)合分母不能為0建立不等式求解，若式子中含有偶次根號，考慮被開方數(shù)大于等于0?！纠?】（24-25七年級·上?！て谥校┊?dāng)x滿足條件時，分式x2【答案】x≠4【分析】本題考查分式有意義的條件，要使分式有意義，則分式的分母不為0，據(jù)此即可解答．【詳解】解：當(dāng)2x?8≠0，即x≠4時，分式x2故答案為：x≠4【變式2-1】（24-25七年級·四川綿陽·期末）已知式子1x?1x?1有意義，則【答案】x≠0且x≠1【分析】本題考查了分式有意義的條件，掌握分式有意義的條件：分母不為0是解決此題的關(guān)鍵．利用使分式有意義的條件求解即可．【詳解】解：由題意，得x?1≠0且x≠0，解得x≠1且x≠0．故答案為：x≠1且x≠0．【變式2-2】（24-25七年級·廣東汕頭·期末）當(dāng)x=?1A．x+1x B．xx?1 C．x?1x【答案】D【分析】本題考查了分式無意義的條件，根據(jù)分式無意義的條件進(jìn)行判斷即可，解題的關(guān)鍵是理解分母為零即為分式無意義的條件．【詳解】解：當(dāng)x=?1時，x+1=0，∴當(dāng)x=?1故選：D．【變式2-3】（24-25七年級·河南鄭州·期末）若分式xx2?1有意義，請寫出一個滿足要求的x【答案】0（答案不唯一）【分析】本題考查分式有意義的條件．根據(jù)分母不為零的條件進(jìn)行解題即可．【詳解】解：要使分式有意義，即x2則x≠±1．故x=0時分式有意義．故答案為：0（答案不唯一）．知識點3：分式值為零的條件分式的值為0的條件為要求分子必須為0，同時要求分母不為0。即AB中，A＝0，B對能分解因式的分子分母進(jìn)行因式分解，讓分子里面的所有因式的值等于0，讓分母里面所有因式的值不等于0?！绢}型3分式值為零的條件】【解題方法】利用分子的式子等于0，分母的式子不等于0建立方程與不等式進(jìn)行計算即可。【例3】（24-25七年級·甘肅定西·期末）已知某個分式，當(dāng)x=?1時，分式無意義，當(dāng)x=2A．x?2x+1 B．x+2x+1 C．x+2x?1【答案】A【分析】本題考查了分式無意義，分式求值，解題的關(guān)鍵掌握分式代值的計算方法．先根據(jù)當(dāng)x=?1【詳解】解：當(dāng)x=?1時，x+1=0，則分式x?2x+1，x+2x+1無意義；x?1=?2≠0當(dāng)x=2時，x?2x+1=0，故選：A．【變式3-1】（24-25七年級·廣東茂名·期末）若分式m+2(m?2)(m+3)的值為零，則m=【答案】-2【分析】根據(jù)分式的值為零的條件(分子為零、分母不為零)可以求出m的值．【詳解】解：根據(jù)題意，得m+2=0，且m?2≠0、m+3≠0；解得m=?2；故答案是：?2．【點睛】本題考查了分式的值為零的條件．若分式的值為零，需同時具備兩個條件：①分子為0；②分母不為0.這兩個條件缺一不可，熟記分式值為0的條件是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（24-25七年級·安徽合肥·期末）當(dāng)x=3時，下列分式中，值為0的是（

）A．x?3x2?9 B．2x?6x+2 C．【答案】B【分析】本題考查求分式的值，將x=3分別代入各個選項，進(jìn)行運算，即可求解；理解分式無意義，正確計算是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A.當(dāng)x=3時，分式無意義，結(jié)論錯誤，不符合題意；B.當(dāng)x=3時，2x?6x+2C.當(dāng)x=3時，分式無意義，結(jié)論錯誤，不符合題意；D.當(dāng)x=3時，x+3x+1故選：B．【變式3-3】（24-25七年級·湖北襄陽·期末）當(dāng)x=時，分式|x|?1x【答案】?1【分析】本題考查了分式的值為零的條件，完全平方公式．熟練掌握分式的分子為零且分母不為零時，分式的值為零是解題的關(guān)鍵．由題意知|x|?1=0，【詳解】解：由題意知，|x|?1=0，解得，x=±1，x≠1，∴x=?1，故答案為：?1．【題型4列代數(shù)式（分式）】【例4】（24-25七年級·廣西賀州·期末）春秋季節(jié)，是病毒活躍期，某學(xué)校為了做好病毒消殺工作，從市場上購買了w瓶消毒液，原計劃每天用m瓶，后由于提高了消毒要求，每天多用了n瓶消毒液，則這些消毒液提前幾天用完？？（）A．wm+n B．wm C．wm【答案】C【分析】本題考查列代數(shù)式（分式），解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的代數(shù)式．求出原計劃用的天數(shù)，再求出實際用的天數(shù)，作差即可．【詳解】解：由題意得，原計劃用的天數(shù)為wm天，實際用的天數(shù)為w∴這些消毒液提前(w故選：C．【變式4-1】（24-25七年級·山西晉城·階段練習(xí)）已知A、B兩地相距50km，甲、乙兩人分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，速度分別為xkm/h、ykm【答案】50+a【分析】本題主要考查了列分式，解題的關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)速度、路程和時間的關(guān)系，列出分式即可．【詳解】解：根據(jù)題意可知，甲、乙兩人第二次相距akm時，兩人所行駛的路程之和為(50+a)∵兩人的速度之和為x+ykm∴行駛的時間為50+ax+y故答案為：50+ax+y【變式4-2】（24-25七年級·河北衡水·期中）在一次數(shù)學(xué)測驗中，甲班有a個人，平均分是m分，乙班有b個人，平均分是n分，則這兩個班的總平均成績?yōu)椋?/p>

）A．m+n2分 B．a(chǎn)+b2分 C．a(chǎn)m+bna+b分 【答案】C【分析】先求出兩班的總分，再運用求平均數(shù)公式即可求出平均成績．【詳解】解：∵甲班有a個人，平均分是m分，乙班有b個人，平均分是n分，∴兩班在這次測驗中的總分為：ma+nb分，∴兩班在這次測驗中的總平均分是am+bna+b故選：C．【點睛】本題考查的是加權(quán)平均數(shù)的求法．熟記公式是解決本題的關(guān)鍵．【變式4-3】（24-25七年級·河南鄭州·期末）某班組織了綠博園一日游活動，他們共x人租了一輛大巴車，租金為1000元．出發(fā)時又增加了兩人，如果租金不變，那么實際平均每人需分?jǐn)偟能囐M比計劃平均每人需分?jǐn)偟能囐M少元．【答案】1000【分析】本題考查列分式，根據(jù)題意列出代數(shù)式可求得結(jié)果，準(zhǔn)確理解題意是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：計劃平均每人需分?jǐn)偟能囐M是：1000x當(dāng)增加了兩人時，實際平均每人需分?jǐn)偟能囐M是：1000x+2則實際平均每人需分?jǐn)偟能囐M比計劃平均每人需分?jǐn)偟能囐M少：1000x故答案為：1000x【題型5求分式的值】【解題方法】根據(jù)已知條件變形，或用一個字母來表示所有的字母然后帶入求解?！纠?】（24-25七年級·貴州畢節(jié)·期末）已知m2?3m?2=0，則A．10 B．11 C．15 D．16【答案】C【分析】本題主要考查了分式的求值，根據(jù)已知變形得到m2?3m=2，進(jìn)而可得m?2【詳解】解：∵m2?3m?2=0，且根據(jù)題意有：∴m2?3m=2，即∴m?2∴m2∴m2∴2==2+13=15故選：C．【變式5-1】（24-25七年級·遼寧大連·期末）已知x2=y3【答案】1【分析】設(shè)x2=y3=z4=k，則有x=2k，【詳解】設(shè)x2=y則有x=2k，y=3k，z=4k，即xy?x故答案為：16【點睛】本題考查為了分式的求值，設(shè)x2【變式5-2】（24-25七年級·福建廈門·期末）已知非零實數(shù)x，y滿足y=x2x?1，則2x+xy+2yxy【答案】5【分析】本題考查分式的求值，根據(jù)y=x2x?1，得到【詳解】解：∵y=x∴x+y=2xy，∴2x+xy+2yxy故答案為：5．【變式5-3】（24-25七年級·山東日照·期末）若1x+x=3，則A．8 B．18 C．8或18【答案】B【分析】由1x+x=3可得x2+1【詳解】解：∵1x∴1x整理得，x2∴x2x4故選：B【點睛】本題主要考查了分式的基本性質(zhì)及求代數(shù)式值，把1x+x=3和【題型6分式的規(guī)律性問題】【例6】（24-25七年級·貴州銅仁·期末）按一定規(guī)律排列的一列分式依次為：?2a，5a4，?10a7，17a10【答案】?1【分析】本題考查分式的規(guī)律性問題，根據(jù)前四個分式總結(jié)出規(guī)律是解題關(guān)鍵．根據(jù)題意寫出前四個分式的變形分別為?11×12+1a3×1?2，?1【詳解】解：第1個數(shù)為?2第2個數(shù)為5a第3個數(shù)為?10第4個數(shù)為17a……，∴第n個數(shù)為?1n故答案為：?1n【變式6-1】（24-25七年級·天津·期末）觀察給定的分式，探索規(guī)律：（1）1x，2x2，3x3（2）x2y，?x4y3，（3）?b2a，b5a2，?b【答案】6x6?【分析】（1）分子是連續(xù)正整數(shù)，分母是以x為底，指數(shù)是連續(xù)正整數(shù)，第六個分式的分子是6，分母是x6（2）分子是以x為底，指數(shù)是連續(xù)偶數(shù)，分母是以y為底，指數(shù)是連續(xù)奇數(shù)，第奇數(shù)個分式符號是正，第偶數(shù)個分式符號為負(fù)，第六個分式是負(fù)號，分子是x12，分母是y11,（3）分子是以b為底，第一個指數(shù)是2，以后依次加3，所以第n個指數(shù)是3n-1；分母是以a為底，指數(shù)是連續(xù)正整數(shù)，第奇數(shù)個分式符號是負(fù)，第偶數(shù)個分式符號為正，第n個分式的符號是（-1）n,分子是b3n-1，分母是an,【詳解】解：（1）分子是連續(xù)正整數(shù)，分母是以x為底，指數(shù)是連續(xù)正整數(shù)，所以，第六個分式是6x（2）分子是以x為底，指數(shù)是連續(xù)偶數(shù)，分母是以y為底，指數(shù)是連續(xù)奇數(shù)，第奇數(shù)個分式符號是正，第偶數(shù)個分式符號為負(fù)，所以，第六個分式是?x（3）分子是以b為底，第一個指數(shù)是2，以后依次加3，所以第n個指數(shù)是3n-1；分母是以a為底，指數(shù)是連續(xù)正整數(shù)，第奇數(shù)個分式符號是負(fù)，第偶數(shù)個分式符號為正，第n個符號為（-1）n，所以，第六個分式是(?1)【點睛】本題考查了數(shù)字之間的規(guī)律，連續(xù)正整數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)和依次遞增3的數(shù)字規(guī)律，包括符號依次變化規(guī)律，熟練掌握特殊數(shù)字之間的規(guī)律是解題關(guān)鍵【變式6-2】（24-25七年級·黑龍江哈爾濱·期末）觀察下列一組分式：ab，?2a3b2，3a【答案】?【分析】本題考查代數(shù)式規(guī)律，對于分式規(guī)律，從三個方面：符號、分子和分母分別尋找，最終得到這組分式的規(guī)律是?1n+1na2n?1【詳解】解：首先觀察符號：奇數(shù)項為正、偶數(shù)項為負(fù)，則符號規(guī)律是?1n+1觀察分子a,2a,3a,4a,?，則分子規(guī)律為na；觀察分母b,3b2,5∴這組分式的規(guī)律是?1n+1∴當(dāng)n=8時，?1n+1故答案為：?8a【變式6-3】（24-25七年級·云南文山·期末）給定一列分式：xy，x32y2，x54y3，x78A．x2n+12nyn B．x2n?1【答案】C【分析】本題考查分式規(guī)律問題，確定分別找準(zhǔn)分母系數(shù)和次數(shù)的規(guī)律、分子次數(shù)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．分別判斷系數(shù)，字母之間的關(guān)系，即可找出答案．【詳解】解：第一個分式為：xy第二個分式為：x3第三個分式為：x5第四個分式為：x7第五個分式為：x2×5?1……，按此規(guī)律，那么這列分式中的第n個分式為x2n?1故選：C．【題型7根據(jù)分式的值為整數(shù)求未知數(shù)的值】【例7】（24-25七年級·江蘇揚州·期末）能使分式6x+212x?3值為整數(shù)的整數(shù)x有（

A．0 B．1 C．2 D．8【答案】D【分析】此題主要考查了分式的值，正確化簡分式是解題關(guān)鍵．將6x+212x?3轉(zhuǎn)化為3+【詳解】解：6x+212x?3∵分式的值為整數(shù)，∴302x?3∴2x?3=±1,±2,±3,±5,±6,±10,±15,±30，∵x也是整數(shù)，∴2x?3=±1,±3,±5,±15，解得：x=2,x=1,x=3,x=0,x=4,x=?1,x=9,x=?6；故選D．【變式7-1】（24-25七年級·黑龍江牡丹江·期末）若分式6m+1的值是整數(shù)，則滿足條件的所有正整數(shù)mA．9 B．8 C．7 D．5【答案】B【分析】本題考查了分式的值，根據(jù)分式6m+1的值是整數(shù)得m+1=1或2或3或6，求得m的值即可求解，根據(jù)題意得m+1=1【詳解】解：∵分式6m+1∴m+1是6的約數(shù)，即m+1=1或2或3或6，解得：m=0（舍去）或1或2或5，則滿足條件的所有正整數(shù)m的和為1+2+5=8．故選：B．【變式7-2】（24-25七年級·浙江寧波·期末）若x及x+82x+1都是正整數(shù)，則所有滿足條件的x的值的和是【答案】10【分析】本題考查了使分式值為整數(shù)時未知數(shù)的整數(shù)值，一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)題意建立不等式并求解是解題關(guān)鍵．根據(jù)x為整數(shù)，且x+82x+1的值也為正整數(shù)，列出不等式，求出x的取值范圍，再枚舉求出符合題意的x【詳解】解：∵x及x+82x+1∴x+82x+1即x+8≥2x+1，解得：x≤7，故當(dāng)x=1時，x+82x+1當(dāng)x=2時，x+82x+1當(dāng)x=3時，x+82x+1當(dāng)x=4時，x+82x+1當(dāng)x=5時，x+82x+1當(dāng)x=6時，x+82x+1當(dāng)x=7時，x+82x+1故所有滿足條件的x的值有：1、2、7，∴所有滿足條件的x的值的和是1+2+7=10．故答案為：10．【變式7-3】（24-25七年級·四川成都·階段練習(xí)）已知x為整數(shù)，且分式9x?73x+1的值也為整數(shù)，則滿足條件的所有x的值之和為【答案】0【分析】根據(jù)x為整數(shù)，分式的意義一一分析可能成立的情況，選出x的值再求和即可．【詳解】解：9x?73x+1=9x+3?10=3?10∵x為整數(shù)，分式9x?73x+1∴當(dāng)x=0時，分式=?7，符合題意；當(dāng)x=?1時，分式值=8，符合題意；當(dāng)x=?2時，分式值=5，符合題意；當(dāng)x=3時，分式值=2，符合題意；∴滿足條件的x的值為0、?1、?2、3，所有滿足條件的數(shù)的和為0?1?2+3=0，故答案為：0．【點睛】本題考查了分式的值，解題的關(guān)鍵是讀懂題意能按要求分情況討論分式的值．【題型8按要求構(gòu)造分式】【例8】（24-25七年級·上海·期中）請寫出一個同時滿足下列條件的分式：（1）分式的值不可能為零；（2）分式有意義時，a的取值范圍是a≠?3；（3）當(dāng)a=0時，分式的值為?1．你所寫的分式為【答案】?3a+3【分析】根據(jù)所滿足的條件解答即可：（1）分式的分母不為零、分子不為零；（2）分式有意義，分母不等于零；（3）將a=0代入后，分式的分子、分母互為相反數(shù)．【詳解】解：根據(jù)（1）分式的值不可能為零，可得分式的分子不等于零；根據(jù)（2）分式有意義時，a的取值范圍是a≠?3，可知當(dāng)a=?3時，分式的分母等于零；根據(jù)（3）當(dāng)a=0時，分式的值為?1，可知把x=0代入后，分式的分子、分母互為相反數(shù)．綜上可知，滿足條件的分式可以是：?3a+3故答案為：?3a+3（答案不唯一）【點睛】本題考查了分式的值、分式有意義的條件、分式的值不為零的條件等，掌握分式的分母不能為0是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】（24-25七年級·江蘇南京·期中）請你寫出一個值恒為正數(shù)的分式．【答案】1x【分析】根據(jù)條件寫出分式即可．【詳解】解：一個值恒為正數(shù)的分式為：1x故答案為：1x【點睛】本題主要考查了分式，解題的關(guān)鍵是注意兩個條件：①值恒為正數(shù)；②是分式．【變式8-2】（24-25七年級·上海浦東新·期末）從整式π，2，a+3，a?3中，任選兩個構(gòu)造一個分式．【答案】2a+2【分析】本題考查分式的定義．分式的定義：如果A，B表示兩個整式，且B中含有字母，則AB【詳解】解：2和a+3可構(gòu)造分式2a+3，答案不唯一，以a+3或a?3故答案為：2a+2【變式8-3】（24-25七年級·安徽安慶·期中）有一個分式，三位同學(xué)分別說出了它的一些特點，甲：分式的值不可能為0；乙：分式有意義時的取值范圍是x≠±1；丙：當(dāng)x=-2時，分式的值為1．請你寫出滿足上述全部特點的一個分式：．【答案】3x2?1，【詳解】根據(jù)分式的值為0的條件，由甲的敘述可知此分式的分子一定不等于0；根據(jù)分式有意義的條件，由乙的敘述可知此分式