專題13解直角三角形實際問題分類訓(xùn)練

（4種類型40道）

目錄

【題型1計算誰先到達1.....................................................................................................1

【題型2判斷能否按時到達1..............................................................................................18

【題型3選擇哪條道路更短】...................................................................33

【題型4坡度相關(guān)計算】.......................................................................49

【題型1計算誰先到達】

1.如圖所示，小林周末去山頂看日出.小林先從點3出發(fā)，沿BE方向爬420米至點E再從E出發(fā)沿瓦4方向

爬210米至點小林在點E處測得點2的俯角為30。，測得點/的仰角為45。.（參考數(shù)據(jù)：五=1.41,

西二1.73,sin25°?0.42,cos25°?0.91,tan25°?0.47）

（1）求山頂/到地面BC的距離（保留一位小數(shù)）；

⑵若小林從點￡出發(fā)的同時，小李從點C坐纜車沿C4方向前往點aC4的坡角為25。，若小林爬坡速度為

0.7m/s,小李坐纜車的速度為2.5m/s,請通過計算說明誰先到達山頂.

【答案】（1）山頂/到地面BC的距離為358.1米

⑵小林先到達山頂

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握仰角俯角定義.

（1）由已知得乙3=30。,Z.AEF=45°,求出EG=癡=210米，”=爭《=105五米，F(xiàn)D=EG=210

米，即可求出4D的長度，

（2）在RtaACD中，根據(jù)sin/C=就，求出=852.6米，再求出小李坐纜車的時間和小林爬坡的時間即

可判斷.

【詳解】（［）解：如圖，作AD1BC于點D,EF14D于點F,EG1BC于點G,

由已知得NB=30°,N4￡T=45°,

...EG=：BE=210米，4尸=學(xué)E=105五米，

FD=EG=210米，

AD=AF+FD=105V2+210?358.1米，

答：山頂4到地面BC的距離為358.1米.

An

（2）解：在RtzXACD中，Sinzc=—,

???sin25°=1056+210?042,

AC

???"《852.6米，

二小李坐纜車的時間為警=341秒，

小林爬坡的時間為言=300秒，

.-.341>300

???小林先到達山頂.

2.春天是踏青的好季節(jié).小明和小華決定去公園出游踏青.如圖，已知/為公園入口，景點8位于/點東

北方向400匹米處，景點￡位于/點南偏東30。方向，景點8在景點￡的正北方向.景點C既位于景點8

正東方向310米處，又位于景點。的北偏西37.5。方向.景點/既位于景點￡的正東方向，又位于景點。

的正南方向.DF=400米.

QAQ

（參考數(shù)據(jù)：sin37.5°?cos37.5°?tan37.5°?五21.41,西21.73）

554

（1）求BE的長.（精確到個位）

（2）小明選擇了游覽路線①：4—B-C-。，小明行駛的平均速度是1.2米/秒.小明在景點2、C處各停留了

10分鐘、5分鐘.小華選擇了游覽路線②：2-E-F-D,小華行駛的平均速度為1.6米/秒.小華在景點￡、

下處各停留了9分鐘、8分鐘.請通過計算說明：小明和小華誰先到達景點。處.（數(shù)值精確到1）

【答案】（1）2E的長約為1092米

(2)小華先到達景點。處，理由見解析

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用一一方位角問題，矩形的判定和性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造直角三角形，

靈活運算銳角三角函數(shù)是解題關(guān)鍵.

(1)過點4作于點H,由題意可知，48=400匹米，Z.BAH=45°,NE4H=90。-30。=60。，貝！|△力

是等腰直角三角形，求出4H=BH=400米，再利用銳角三角函數(shù)值，求出石//=400百米，即可得出8E

的長；

(2)過點C作CN1EF于點N,過點。作DM1BE于點M,交CN于點G,則四邊形BCNE和四邊形DFNG都是

矩形，得出CG=CN-GN=400百米，利用銳角三角函數(shù)值，求出CD=865米，￡>G=519米，4E=800米,

再分別求出小明和小華的游覽時間，即可得到答案.

【詳解】(1)解：如圖，過點4作4H1BE于點H,

景點B位于A點東北方向400五米處,景點E位于A點南偏東30。方

向

???48=400匹米，Z5AH=45°,/.EAH=90°-30°=60°,

是等腰直角三角形，

AB=JAH2+BH2=近AH=&BH=400五米,

AH=BH=400米，

在RtzXAHE中，tanNE4H=整，

An

：.EH=AH-tan60°=400xV3=400百米,

BE=BH+EH=400+400百?1092米,

即BE的長約為1092米；

(2)解：小華先到達景點。處，理由如下:

如圖，過點C作CNLEF于點N,過點。作DM，BE于點M,交CN于點G,

則四邊形BCNE和四邊形DFNG都是矩形，

???BC=EN,8岳=?？?（400+400場米，GN=DF=400米，DG=NF,

CG=CN-GN=400百米，

"景點C既位于景點B正東方向310米處，又位于景點D的北偏西37.5。方向.

.??BC=310（米），4DCN=37.5。,

rr

在中，cosADCN=—,tanADCN=—,

RtC.UCG

CG400V31—3

CD=——=「—七865米，DG=CG,tan37.5°=40073x-?519米，

cos37.5-4

5

EF=EN+NF=BC+DGx829米，

???小明選擇了游覽路線①：a-B-C-D,小明行駛的平均速度是1.2米/秒.小明在景點8、C處各停留了

10分鐘、5分鐘，

交

小明的游覽時間為40°+31°+865+10+5?39分鐘,

1.2x60

在RtZkAEH中，4"=400米，Z.EAH=60°

AH4。。

???4/=^^=丁=800米,

???小華選擇了游覽路線②：a-E-F-。，小華行駛的平均速度為1.6米/秒.小華在景點E、尸處各停留了9

分鐘、8分鐘,

800+310+519+400

二小華的游覽時間為分鐘,

~1.6X60~+9+8=38

二小華的游覽時間更短，先到達景點D處.

3.周六，小李和小張相約到圖書館去看書.如圖，小李家在點4處，小張家在小李家的正南方向300米的

點B處，圖書館在小張家的南偏東60。方向的點C處.小李騎自行車從家向正東方向前進到路口0,再沿D的

南偏東45。方向前行1000加米到圖書館C；小張從家跑步到圖書館C.

⑴小李家到路口。的路程是多少米？（結(jié)果保留根號）

⑵若小李騎自行車的速度是300米/分鐘，小張跑步的速度是240米/分鐘，請通過計算說明他們誰先到達

圖書館C?（參考數(shù)據(jù)：V3?1-73,72?1.41）

【答案】⑴（700百-1000）米

⑵小李先到達圖書館c

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，矩形的性質(zhì)，正確地找出輔助線構(gòu)造直角三角形

是解題的關(guān)鍵.

（1）過C作CEJ.4B交的延長線于￡,過。作DF1CE于凡根據(jù)矩形的性質(zhì)得到。尸=HE,EF=AD,

解直角三角形即可得到結(jié)論；

（2）由（1）知，BE=700米，求得BC=2BE=1400米，根據(jù)時間=路程+速度即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）解：過C作交4B的延長線于E,過。作DF1CE于尸，

則四邊形力EFD是矩形，

：.DF^AE,EF^AD,

由題意得，ADCF=4CDF=45。，

DF^CF^^CD^x1000V2=1000（米）,

.?.4E=DF=1000米，

???AB=300米，

???BE=AE-AB^700（:米），

???NEBC=60°,

CE=回石=700百（米）,

AD=EF=CE-CF=（700西一1000）米，

答：小李家到路口D的路程是（700百-1000）米；

（2）解：由（1）知，BE=700米，

BC=2BE=1400米，

???小李騎自行車的速度是300米/分鐘，小張跑步的速度是240米/分鐘，

.,.小李所用時間為700回1黑+iooo合25.4（分鐘），

小張所用時間為1400+240=5.8（分鐘），

答：小李先到達圖書館C.

4.重慶有六座矗立百年的文峰塔，其中位于江北區(qū)塔子山的文峰塔被稱為是重慶的“航標”.小宇與小航準

備測量塔子山文峰塔的高度，如圖，小宇在點4處觀測到文峰塔最高點P的仰角為45。，再沿正對文峰塔的方

向前進10m至8處測得最高點P的仰角為60。，小航先在點C處豎立長為2.6m標桿FC,再后退至其眼睛所在位

置點標桿頂尸、最高點P在一條直線上，此時測得最高點P的仰角為30。，已知兩人身高均為1.6m（頭頂

到眼睛的距離忽略不計）.

（1）求文峰塔PQ的高度.（結(jié)果保留一位小數(shù)）；

（2）測量結(jié)束時小宇站在點E處（點E在點B的正下方），小航站在點C處，兩人相約在塔底見面，小宇的速度

為1.5m/s,小航速度是其2倍，誰先到達塔底？請說明理由.（參考數(shù)據(jù)：其71.732）

【答案】⑴文峰塔PQ的高度約為25.3m；

（2）小宇先到達塔底.

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助

線是解題的關(guān)鍵.

（1）設(shè)PQ與40相交于點G,設(shè)8G=x,貝MG=（無+10）,在Rt^BPG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出PG

的長，再在Rt^TlPG中，利用銳角三角函數(shù)的定義可得AG=PG,從而列出關(guān)于x的方程，進而求出PG的長,

最后進行計算即可解答；

（2）設(shè)FC與4D相交于點H,根據(jù)題意可得：CH=BE=1.6m,則FH=1m,然后在Rt^PGD中，利用含

30度角的直角三角形的性質(zhì)求出DG的長，再在RtADFH中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出的

長，從而求出GH的長，最后分別求出他們所用的時間，進行比較即可解答.

【詳解】（1）解：設(shè)PQ與4。相交于點G,

由題意得：

AB=10m,BE=GQ=1.6m,

設(shè)BG=xm,

AG=AB+BG=(%+10)m,

在RtZ\BPG中，^PBG=60°,

PG—BG-tan60°=百x,

在RtZkAPG中，NP4G=45。，

tan45°=^=1,

PG—AG,

=x+10,

???x=5V3+5,

???PG=V3x=(15+5百)m,

PQ=PG+GQ=15+5V3+1,6?25,3(m),

■■■文峰塔PQ的高度約為25.3m；

(2)解：小宇先到達塔底，

理由：設(shè)FC與4。相交于點H,

EQC

由題意得：

CH=BE=1.6m,

vFC=2.6m,

??.FH=FC-CH=l(jn)f

在RtaPGO中，PG=(15+5V3)m,Z-PDG=30°,

.?.DG=回G=(15V3+15)m,

在Rt^DFH中，DH=V^F"=.(m),

???GH=DG-DH=(14V3+I5)m,

...小宇的速度為1.5m/s,小航速度是其2倍，

二小航的速度為3m/s,

黑=也-9.1(s),"=14百+15=I3.1(S),

L51.533

V9,1<13.1,

二小宇先到達塔底.

5.如圖，一艘漁船位于小島8的北偏東30。方向的點力處，它沿著點力的正南方向以每小時10千米的速度

航行6小時到達點C處，此時點C位于點B的北偏東75。，

(1)求/、3兩點間的距離(結(jié)果保留一位小數(shù))；

⑵漁船到達點C后，按原航線繼續(xù)航行一段時間后，船長發(fā)現(xiàn)生活物資未帶，于是立即向小島8的工作人

員求救，小島3立即派快快艇前去支援，已知快艇的速度為每小時20千米，他們相約在位于小島8正東方

向的小島D處匯合，且小島。位于漁船的正南方向，請問誰先到達點。？(參考數(shù)據(jù)：72^1.414,V3

~1.732)

【答案】(1)/、8兩點間的距離約為82.0千米;

(2)漁船先到達點D.

【分析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，準確應(yīng)用特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

（1）過C作CE14B于E,求出CE和2E,證明BE=CE,即可得到答案；

（2）求出BD,4D的長度，再求出CD,根據(jù)路程除以速度得到時間，進行比較即可.

【詳解】（1）解：過C作CE1AB于E,

B\I

在Rt2\ACE中，乙4=30。

???NAEC=90。，4C=10X6=60（千米），

.?.CE=4Csin30°=30（千米），2E=4Ccos30。=孚4c=30?

?.2CBE=75°-30°=45°,乙CEB=90°,

=CE=30千米，

.-.AB=AE+BE=30+30百?82.0（千米）；

答：/、2兩點間的距離約為82.0千米；

（2）過5作8D14C于O,

由（1）知，48=4E+BE=（30+30百）千米，

.-.BD-ABsm30°=^AB=（15+15百）,AD=ABcos30°=^-AB=（15西+45）千米,

.■.CD=AD-AC=15V3+45-60=（15百一15）千米,

???漁船的速度是每小時10千米，快艇的速度為每小時20千米，

.15+15百、15―-15

20~~10~，

二漁船先到達點D.

6.今年校慶期間，小南和小開相約從宿舍大門2出發(fā)去參觀學(xué)校的津之南美術(shù)館M.如圖，小南選擇路線

1：小開選擇路線2:4一。一經(jīng)勘測，A,D,￡三點共線，且點。，點E在點4的北偏東45。

方向上，點B在點。的正西方向，且在點4的北偏西30。方向；點C在點8的正北方向，且在點E的正東方向，

所有點N,B,C,M,D,E都在同一平面內(nèi).測量得知，點M恰好為CE中點，BC=80米，BD=300米.

（1）求/,E兩地之間的距離（結(jié)果保留根號）；

（2）已知小南的速度為每分鐘50米，小開的速度為每分鐘60米，小南和小開同時從宿舍大門A出發(fā)沿著各

自選擇的路線勻速前往津之南美術(shù)館請通過計算時間說明他們倆誰先到達“（時間精確到0.1）?（參

考數(shù)據(jù)：V2?1,41,73~1.73,76~2.45）

【答案】（1）（530衣-150幅米

⑵小開先到達M

【分析】本題考查解直角三角形的實際應(yīng)用，矩形的判定和性質(zhì)：

（1）作AN_LCE于N,交BD于H,先證四邊形BCNH是矩形，推出NH=BC=80.設(shè)BH=x,貝!|

DH=BD-BH=300-x,利用銳角三角函數(shù)解Rt△和Rt△D/M求出x的值，進而求出力N,再解Rt

△4NE即可；

（2）通過解直角三角形分別計算出4B+BC+CM和4E+EM的長度，再結(jié)合二人速度求出二人所用時間,

比較大小即可.

【詳解】（1）解：如圖，作AN1CE于N,交BD于H,

由題意知CEII8D,

???ANLBD,

???^BHN=^CNH=ZC=90°,

四邊形BCNH是矩形，

???NH=BC=80.

設(shè)BH=x,貝IJDH=BD-BH=300T,

在力中，4”=而能=1=西%,

在RtzXDHA中，AH=-^―==300-x,

tan451

???V3X=300—%,

解得％=150百-150,即B”=150百一150,

???AH=300-（15073-150）=450-150V3.

???AN=AH+NH=450-150V3+80=530-150百，

AN530-150百「l

在Rt^ANE中，AE=^^=—亙—=530丘-150痣，

~2

■■A,E兩地之間的距離為（530加-150順米；

DU

（2）解：在RtaB/M中，AB=—=2BH=300V3-300,

由（1）知四邊形BCNH是矩形，

CN=BH=150—一150,

在等腰Rt△4NE中，NE=2N=530—150百，

???CE=CN+NE=150百-150+530-150q=380,

???CM=FM=|CF=190,

???AB+BC+CM=300V3-300+80+190=300V3-30（米），

AE+EM=530V2-150V6+190（:米），

二小南所用時間為：（300百一30）+50=（300x1.73-30）+50仁9.8（分鐘）,

小開所用時間為：（530五一150痣+190）+60=10.4075=9.5（分鐘），

9,5<9.8,

二小開先到達

7.某公園沿河兩岸修建了AB,CD兩條跑道，AB\\CD,EF,DG為河上的兩座石橋（橋面為水平地面，上橋

和下橋的臺階忽略不計），經(jīng)測量，點。在點E正東方向，點廠在點E的北偏東45。方向，點G在點。的

北偏東30。方向，河寬為60米，￡。=130米.(參考數(shù)據(jù)：V2-1-41,西=1.73)

(1)求石橋EF的長度；(精確到個位)

⑵小聰和小明一起在河邊跑步，兩人沿CE方向到達點E時，兩人約定小聰沿路線E-F-G到達點G,小明沿

路線E-D-G到達點G,假設(shè)兩人都是勻速跑步且速度相同，請計算說明他們兩人誰先到達點G?

【答案】①石橋EF的長度約為85米

⑵小聰先到達點G

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線

是解題的關(guān)鍵.

(1)過點/作FM,CD,垂足為根據(jù)題意可得：FM=60米，然后在中，利用銳角三角函數(shù)

的定義進行計算，即可解答；

(2)過點G作GN1CD,垂足為N,根據(jù)題意可得：尸M=GN=60米，F(xiàn)G=MN,然后分別在RtaEFM

和Rt^GDN中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出EM、DG和DN的長，從而利用線段的和差關(guān)系進行計算，最

后進行計算比較，即可解答.

【詳解】(1)解：過點尸作尸MlCD,垂足為

二匕

八

A東

由題意得：FM=60米，

在Rtz\EFM中，Z.FEM=90°-45o=45°,

60

??.EF=/=而=6085（米），

sin45—

.??石橋EF的長度約為85米;

（2）解：小聰先到達點G,

理由：過點G作GN1CD,垂足為N,

二匕

八

一-A東

由題意得：FM=GN=60米，F(xiàn)G=MN,

在RtZiEFM中，ZFFM=45°,

FM

.-.EM==60（米）,

tan45°

在Rt2\GON中，zGD^V=90o-30o=60°,

GN6°GN60.-,

?初=由=彥=40百（米），DN=G^=^=2°百（米），

■:ED=130米，

■.FG=MN=ED+DN-EM=130+20省-60=（70+20場米，

；?小聰?shù)目偮烦?EF+FG=60V2+70+20V3~189.2（米），

小明的總路程=ED+DG=130+40V3"199.2（米），

???兩人都是勻速跑步且速度相同，189.2米＜199.2米，

二小聰先到達點G.

8.旅游旺季，某沙漠景區(qū)吸引了大量游客，為了更好的參觀，特繪制了沙漠線路的平面示意圖.景點2在

入口/的正西方向，景點C在景點2的正北方向，景點。在入口/的北偏西30。方向1000米處,景點。

在景點C的東南方向1800米處.（參考數(shù)據(jù)：V2?1.41,西=1.73）

B

⑴求4B的長度；(結(jié)果精確到個位)

(2)小明和小華從入口/處進入，約定一起到景點C處看日落.小明選擇步行①4D-C,步行速度為90米/

分鐘，在景點。處停留5分鐘觀賞沙漠中的泉水景觀，然后按原速繼續(xù)向景點C前進.小華選擇騎駱駝

?A-B-C,在景點2處不停留，駱駝隊伍速度為110米/分鐘，若兩人同時從入口/出發(fā)，請計算說明小

明和小華誰先到達景點C?(結(jié)果精確到0.1)

【答案】⑴AB的長度約為1769米

(2)小華先到達景點C

【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用：

(1)過點。作DEIAB于點E,DF18C于點尸，在RtaADE中，求出4日在RtaCDF中，求出。尸，即可

解決問題；

(2)求出DE,CF,進而求出2C,根據(jù)線路求出小明和小華各自到達景點C的時間，比較即可解決問題.

【詳解】(1)解：。)過點。作。48于點E,DF18C于點尸，如圖，

由題意，可知四邊形BEDF是矩形，^ADE=30°,Z.DCF=45°,4。=1000米，CD=1800米,

在RtZMDE中，AE=AD-sin300=1000x1=500（米），

在RtZkCOF中，OF=CO-sin45o=1800x9=900底=1269（米），

.-.AB=AE+BE=AE+DF=500+1269?1769（米），

答：的長度約為1769米；

（2）解：在RtzXADE中，DE=AD-cos300=1000x?866（米），

在RtZkCOF中，CF=CD-cos450=1800X2^=90072?1272.6（米），

:.BC=BF+CF=DE+CE=866+1272.6=2138.6（米），

小明選擇步行①A-D-C需要的時間為：管段+5=1°曙^+5*36.1（分鐘），

小華選擇騎駱駝②a-B—C,需要的時間為：^￡=1/6常38.6-35.5（分鐘），

,?,36.1>35.5,

???小華先到達景點C.

9.五邊形力BCDE是圍繞河CE修建的步道，小依和爸爸從/前往。處，有兩條線路，如圖：①4-E-D；

@A-B-C-D.經(jīng)勘測，點8在點/的正南方向，4B=150米，點C在點8的正東方向，BC=300米，

點。在點C的北偏東60。，點￡在點/的東北方向，點￡在點C的正北方向，點。在點￡的正東方向.（參

考數(shù)據(jù)：衣?1.414,百~1.732）

⑴求4E的長度（結(jié)果精確到1米）；

（2）小依選擇線路①，爸爸選擇線路②，小依步行速度是80米/分鐘，爸爸步行速度是95米/分鐘，小依和

爸爸同時從/處出發(fā)且始終保持勻速前進，請計算說明小依和爸爸誰先到達。處？

【答案】⑴424米

（2）爸爸先到達。處

【分析】本題考查了與方向角有關(guān)的解直角三角形的應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.

（1）過點/作4H1CE于點X,易得是等腰直角三角形，由勾股定理即可求解；

（2）由（1）求得CE的長，從而在RtZiECD中，利用解三角形知識分別求得OC、DE,分別計算出力E+DE

及4B+8C+DC,即可計算出到達終點的時間，比較時間即可.

【詳解】（1）解：如圖，過點/作4H1CE于點X；

貝此4HC=Z.AHE=90。；

由題意知，乙B=KBCH=9?！?

即NB=4BCH=4AHe=90°,

故四邊形4BCH是矩形，

AH=BC=300^,ABAH=90°；

???^EAH=4AEH=45°,

即△4HE是等腰直角三角形，

.?.￡77=4"=300米,

由勾股定理得：AE=SJAH2+EH2=300V2?424（米）；

（2）解：由（1）知，四邊形力是矩形，

CH=48=150米，

?！?=。"+"￡1=450米；

??,點E在點C的正北方向，點。在點E的正東方向，

??"EC=90。；

在Rt△￡1（?￡>中，Z.ECD=60°,

則DC=CE+cos60°=2CE=900米，DE=CE-tan60°=450百米；

???AE+DE=424+450X1.732?1203（米），

AB+BC+DC=150+300+900=1350（:米），

則小依到達終點的時間為:1203-80?15.0（分），

小依爸爸到達終點的時間為：13504-95?14.2（分）；

綜上，小依爸爸先到達。處.

10.星期天早上，小明和小華在人民公園晨跑，相約在D處見面.小明從A入口進入公園，并向正北方向

跑200m后到達E處，再從E處沿著東北方向跑步一段距離后到達D處.入口B在入口A的正東方向，小華

從B入口進入公園后，沿著正北方向跑步100m后到達C處，然后從C處沿著北偏西37。的方向跑400m到達D

處.（參考數(shù)據(jù)：V2?1-41,sin37°3cos37°3tan37°?4

北

（1）求DE的長度；（結(jié)果精確到lm）

（2）小明和小華在D處見面后，約定繼續(xù)晨跑，同時出發(fā)前往A處，小明以200m/min的速度沿D-C-B-4線

跑步，小華以100m/min的速度沿D-E-4路線跑步；請通過計算說明他們誰先到達A處？（結(jié)果精確到

O.lmin）

【答案】⑴308m

⑵小明先到達A處

【分析】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用；理解題意，作輔助線構(gòu)造直角三角形是解

題的關(guān)鍵.

（1）過。作GHII4B交4E的延長線于G,交BC的延長線于，，得四邊形48HG是矩形；在RtaOHC中，由

余弦函數(shù)求得CH,進而求得AG=8H、EG,在RtaOGE中，^EDG=/.DEG=45°,由勾股定理即可求解；

（2）分別計算出小華、小明跑到A點所用的時間，比較時間即可.

【詳解】（1）解：如圖，過。作GHIL4B交4E的延長線于G,交的延長線于〃，

則四邊形4BHG是矩形，

在Rt中，cos乙DCG=

CH4

COS37=而，

.，.CH=320m,

??.AG=BH=BC+CH=100+320=420(m),

AG=BH=420m,

EG=AG-AE=220m,

vZDEG=45°,4G=90。,

???乙EDG=乙DEG=45°,

DE=近GE=220V^mx308m,

答:DE的長度約為308m；

(2)解：由(1)知，DE=308m,AE=200m,

.?.小華跑了308+200=508(m),

小華用了508+10025.l(min),

3

DH=CDxsin37°-400x-=240(m),

?,?小明跑了400+1004-240+220=960(m),

二小明用了960+200=4.8(min),

4.8<5.1,

二小明先到達A處.

北

11.如圖，M為沙坪壩區(qū)物流中心，N,P,Q為三個菜鳥驛站，N在M的正南方向4.3km處，Q在M的正東方

向，P在Q的南偏西37。方向2.5km處，N在P南偏西64。方向.(sin37°?0.60,cos37°~0.80,tan

37°70.75,sin64°?0.90,cos64°?0.44,tan64°?2.05)

N

⑴求驛站P,驛站N之間的距離(結(jié)果精確到0.1km)；

(2廣雙11”期間，派送員從沙坪壩區(qū)物流中心M出發(fā)，以30km/h的速度沿著M—N—P—Q的路線派送快遞到

各個驛站，派送員途徑N,P兩個驛站各停留6min存放快遞，請計算說明派送員能否在40min內(nèi)到達驛站Q?

【答案】(l)5.2km

(2)能，理由見解析

【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，將實際問題轉(zhuǎn)化成解直角三角形的問題，利用解直角三角形的知

識求解是解題的關(guān)鍵.

(1)過點尸作P41MN于/,PB1MQ于5,先解RtaPBQ,求得PB=2km,再證明AM=PB=2km,從

而得出AN=2.3km,然后解及△PAN,即可求解.

(2)求出派送員所需總時間，再與40min比較即可得出答案.

【詳解】(1)解：過點尸作P41MN于/,PB1MQ于2,如圖，

根據(jù)題意，得乙BPQ=，PQD=37°,^PNA=/.NPC=64°,MN=4.3km,PQ=2.5km,

..PB

在Rt△PBQ中,?；cos乙BPQ=—,

.,.PB=PQ-cosZ-BPQ=2.5xcos37°?2,5x0.80=2(km)，

-PA1MN,PBLMQ,^LNMQ=90°,

???四邊形AM"是矩形，

：.AM=PB=2km,

；,AN=MN-AM=4.3-2=2.3(km)，

A1\I

在Rt△PAN中，-.-cosZ-PNA=募，

AN2.32.3_?

???PN=忘2麗=而？"H5.2(km)，

答：驛站P,驛站N之間的距離約為5.2km.

(2)解：,??30km/h=0.5km/min,

???(4.3+5.2+2.5)+0.5+6x2=36(min)，

?.,36min<40min,

二派送員能在40min內(nèi)到達驛站Q.

12.如圖，小琳和幾個同學(xué)相約周末到公園游玩，他們計劃在入口A處集合后，先去位于人口A西南方向

的中央廣場B,然后去位于中央廣場B南偏西30。方向的雕塑園C,最后再去桂花山茶園D,已知桂花山茶

園位于雕塑園C的正東方向，入口A的正南方向，BC=300米,CD=500米.(參考數(shù)據(jù):百~1.73,加71.41,

結(jié)果精確到個位)

⑴求中央廣場B到路線的距離；

⑵小言因有事耽誤晚到了15分鐘，計劃沿著路線力。與小琳他們在桂花山茶園D處會合，若小琳他們行走

的平均速度為50米/分鐘，小言行走的平均速度為70米/分鐘，請計算說明小言能否趕在小琳他們之前到達

桂花山茶園.

【答案】(1)中央廣場B到路線4D的距離為350米

⑵小言能趕在小琳他們之前到達桂花山茶園

【分析】本題考查解直角三角形：

(1)過點B作BE1422F1CD,易得BE=DF,在RtZkCFB中，求出CF的長，進而求出。F的長即可；

(2)求出4D的長，利用路程等于速度乘以時間，求出相同時間內(nèi)小言通過的路程，4。的長進行比較即可.

【詳解】(1)解：過點B作BEL4DBF1CD,

由題意，得：/-BAD=45°,zCBF=30°,AD1CD,

.??四邊形BEDF為矩形，/.ABE=45°,

：.BE=DF,BF=DE,BE=AE,

在RtZkCBF中，BC=300,"BF=30。，

.-.CF=BC-sin30°=150,BF=BC-cos30°=150百,

.-.BE=DF=CD-CF=350,

即：中央廣場B到路線AD的距離為350米；

(2)由(1)可知：AE=BE=350,DF=BF=150V3-260,

：.AD=350+260=610,AB=短BE=350底?494,

?,?小琳他們到達桂花山茶園所需時間為：（494+300+500）+50=25.88（分鐘），

二小言在相同時間內(nèi)行走的路程為：70x（25.88-15）=761.6米，

?■?761.6>610,

二小言能趕在小琳他們之前到達桂花山茶園.

13.如圖，海上有一座小島C,一艘漁船在海中自西向東航行，速度為80海里/小時，船在N處測得小島C

在北偏東45。方向，1小時后漁船到達3處，測得小島C在北偏東30。方向.（參考數(shù)據(jù)：V2-1.41,V3

?1.73,V6-2.45）

AB

⑴求BC的距離；（結(jié)果保留整數(shù)）

（2）漁船在3處改變航行線路，沿北偏東75。方向繼續(xù)航行，此航行路線記為，但此時發(fā)現(xiàn)剩余油量不足,

于是當漁船航行到L上與小島C最近的。處時，立即沿DC方向前往小島C加油，加油時間為18分鐘，在

小島C加油后，再沿南偏東75。方向航行至工上的點E處.若小船在。處時恰好是上午11點，問漁船能否

在下午5點之前到達￡處？請說明理由（結(jié)果精確到0.001）.

【答案】（1）BC的距離約為218海里

（2）漁船不能在下午5點之前到達E處，見解析

【分析】（1）由題意先得到NC4F=45。，ABCF=30°,設(shè)=貝|BC=2x,CF=?,根據(jù)2F=CF求

出未知數(shù)的值，即可求解；

（2）根據(jù)NCBD=乙BCD=45?？傻肅D的長度，禾!|用4ECF=75。和三角形內(nèi)角和定理即可求出“ED=30°,

從而求得CE的長度，計算出時間進行比較即可.

【詳解】（1）解：如圖，作CF14B于點尸，CD1BE于點。，

由已知得力B=80海里，NC4F=45。，Z.BCF=30°,

設(shè)BF=x，則8C=2x,CF=信,

???AF=CF,

???80+X=y[^X,

80l

.?.刀=^^=40(百+1)，

.?.BC=80(73+1)?218(海里)，

???BC的距離約為218海里；

(2)由已知得NCBD=NBCD=45。，

CD=*BC=40(76+V2)，

?:乙ECF=75°,

???ACED=180o-45°-30°-75o=30°,

CE=2CD=80(V6+V2)，

從。到E用的時間為/彩+霽=1。嗯218人+霽-6.063>6,

???漁船不能在下午5點之前到達E處.

【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用一方向角問題，涉及三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，利用

銳角三角函數(shù)值求線段長，含30。的直角三角形的性質(zhì)等知識點，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

14.去年，第9號臺風(fēng)"蘇拉"登陸我國沿海地區(qū)，風(fēng)力強、影響范圍廣，有極強的破壞力.如圖，臺風(fēng)中心

從/地由南向北移動，1小時后到達3地.已知點C為一海港，在C港測得：/地在C地南偏東37。方向、

距離為300千米處；2地在C地東南方向上.(參考數(shù)據(jù)：sin37。=|,cos37°V2-1.41,V6~2.45)

⑴當臺風(fēng)中心到達3地時距海港C還有多遠？(結(jié)果保留根號)

(2)當臺風(fēng)中心到達3地后方向立即發(fā)生了改變，沿北偏西15。方向快速移動，風(fēng)速比之前增強了50%,影響

范圍進一步擴大，以臺風(fēng)中心為圓心，周圍150匹千米以內(nèi)為受影響區(qū)域，此時C港接到緊急通知：要求

所有人員在30分鐘內(nèi)撤離海港.請通過計算說明C港人員能否在受臺風(fēng)影響前及時撤離？

【答案】(1)18072

(2)能在受臺風(fēng)影響前及時撤離

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用在實際生活中的運用，正確理解題意，添加輔助線是解決本題的

關(guān)鍵.

(1)過點C作CD14B于。，在RtZXACD中，求出CD=180,AD=240,

在RtZiBCD中，即可求出BC；

(2)假設(shè)30分鐘臺風(fēng)行駛到點尸處，過點尸作FH1BC于點打，連接CF,在RtaFBH中，F(xiàn)H=%F=

BH=^V3,CH=18072-^/3.

最后對Rt△FCH運用勾股定理求解即可.

【詳解】(1)解：過點C作CD14B于D,

由題意得：/-ACE=/.CAD=37°,/.BCD=45°,AC=300,

在RtZiACD中，CD=4C-sin37°=180,ADAC-cos37°=240,

r-n

在Rt^BCD中，F(xiàn)C=—^=18072(千米)，

答：當臺風(fēng)中心到達8地時距海港C還有180匹千米.

(2)解：過點尸作FHLBC于點H,連接CF.

在RtZkBCD,/BCD=45。,.-.ADBC=45°,

.?.B。=DC=180,

.-.AB=240-180=60,

???臺風(fēng)速度為60+1=60(km/h)，

???現(xiàn)在臺風(fēng)在直線I上的速度為60+60X50%=90(km/h)

假設(shè)30分鐘臺風(fēng)行駛到點F處，則BF=90x：=45,

MFBH=45°-15°=30°,

.?.在中,FH=^BF=^-,BH=^3,

.■.CH=180V2-^/3，

.?.在中，CF2=CH2+HF2=(180&—苧百丫+(募丫?46984.1,

而(150煙之=450oo,

???46984.1>45000,

???不會收到影響，能及時撤離.

15.如圖，樂樂從地鐵站/出發(fā)，沿北偏東30。方向走1000米到達博物館2處，參觀后又從2處沿正南方

向行走一段距離，到達位于地鐵站南偏東45。方向的圖書館C處.

⑴求樂樂從博物館走到圖書館的途中與地鐵站/之間的最短距離；

(2)如果樂樂以80米/分的速度從圖書館C沿C4回到地鐵站/,那么她在10分鐘內(nèi)能否到達地鐵站/?

(五=1.414,省=1.732).

【答案】⑴500米

(2)能

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：

(1)過點/作于。，在Rt△力BD中，利用余弦定義求出即可求解；

(2)在Rt△力CD中，利用余弦定義求出AC,然后利用時間=路程+速度求解即可.

【詳解】（1）解：過點/作2D，8c于。,

由題意，得4B=1000米，ABAD=60°,ADAC=45°,

在RtA7BD中,AD=AB-cos^BAD=1000Xcos60°=500米，

答：樂樂從博物館走到圖書館的途中與地鐵站/之間的最短距離為500米；

（2）解：在RtaACD中，4。=^^=白=500加。707，

二樂樂回到地鐵站/的時間為707+80=8.8375分鐘，

而8.8375<10,

??.她在10分鐘內(nèi)能到達地鐵站A.

16.如圖，車站/在車站3的正西方向，它們之間的距離為100千米，修理廠C在車站8的正東方向.現(xiàn)

有一輛客車從車站3出發(fā)，沿北偏東45。方向行駛到達。處，已知。在N的北偏東60。方向，。在C的北偏

西30。方向.

（1）求車站2到目的地。的距離（結(jié)果保留根號）

⑵客車在。處準備返回時發(fā)生了故障，司機在D處撥打了救援電話并在原地等待，一輛救援車從修理廠C

出發(fā)以35千米每小時的速度沿CD方向前往救援，同時一輛應(yīng)急車從車站/以60千米每小時的速度沿4D方

向前往接送滯留乘客，請通過計算說明救援車能否在應(yīng)急車到達之前趕到。處.（參考數(shù)據(jù)：V2?1,41,73

x1.73,76?2.45）

【答案】（1）（506+50傷千米

(2)能

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題：

(1)過點。作DELAC于點E,得出BE=DE,BD=?DE,設(shè)BE=DE=x千米，則引)=迎萬千米，在

RtZ\4DE中，力E=V^x千米，根據(jù)=+列方程求出％=50百+50,從而可求出2。；

(2)分別求出40,CD的長，再求出應(yīng)急車和救援車從出發(fā)地到目的地行駛時間，再進行比較即可得出答案

【詳解】(1)解：過點。作DEJ.4C于點E,如圖，

貝此DEB=90°,

由題意知，^ADE=60°,z￡)BE=90°-45°=45°,

.?.△DBE是等腰直角三角形，

:.DE=BE,BD=yp2,DE,

設(shè)8E=DE=x千米，貝招0=岳千米，

在RtZiAOE中，tan乙40E=需=tan600=百，

.■.AE-值DE=后x,

'：AB+BE=AE,

.,.100+x=百%,

解得：x=50V3+50,

■■BD=岳=72(5073+50)=(5076+50煙千米，

即車站B到目的地。的距離為(50后+50加)千米；

(2)解：根據(jù)題意得，/-CDE=30°,

又COSNEDC=a=9，

-'-CD=^=DE=仁X(50V3+50)=(100+千米,

又=30°,

■-AD=2DE=2x(50V3+50)=(100V3+100)千米,

救援車所用時間為：(100+野)+35=4.5(時)；

應(yīng)急車所用時間為：（100百+100）+6024.55（時）

v4.5<4.55,

救援車能在應(yīng)急車到達之前趕到D處.

17.如圖，一艘巡邏船以每小時50海里的速度從正北向正南方向進行巡邏，在點力處測得碼頭C在其南偏

東60。方向上，繼續(xù)向正南方向航行2小時到達點B處，測得碼頭C在其北偏東30。方向上.

⑴求此時巡邏船所在點B處與碼頭C的距離；（結(jié)果保留根號）

⑵巡邏船在點B處發(fā)現(xiàn)其南偏東75。方向上的點D處有一只正在非法捕魚的漁船，于是立即調(diào)整方向以原

速朝著點。處行駛，同時，巡邏船與?？吭诖a頭C的海監(jiān)船取得聯(lián)系，漁船在碼頭C的南偏東15。方向上,

海監(jiān)船得到命令后整理裝備用時10分鐘，然后以每小時80海里的速度朝漁船行駛.求海監(jiān)船從碼頭C到

達漁船所在的點。處的時間；并據(jù)此判斷海監(jiān)船能否比巡邏船提前到達。處.（結(jié)果精確到百分