初中數(shù)學(xué)經(jīng)典幾何模型

專題04角平分線模型在三角形中的應(yīng)用

在初.中幾何證明中，常會(huì)遇到與角平分線有關(guān)的問.題。不少同學(xué)遇.到這類問題時(shí)，不清楚應(yīng)該怎樣去作輔

助線。實(shí)際上這類問題是有章可循的，其策略是:明確輔助線作用，記清相應(yīng)模型輔助線作法，理解作輔助

線以后的目的。能做到這三點(diǎn)，就能在解題時(shí)得心應(yīng)手。

【知識(shí)總結(jié)】【模型】一、角平分線垂兩邊

角平分線+外垂直

當(dāng)已知條件中出現(xiàn)。尸為NQA3的角平分線、于點(diǎn)”時(shí)，輔助線的作法大都為過點(diǎn)P作

尸即可.即有PM=PN、'OMP9bONP等,利用相關(guān)結(jié)論解決問題.

NB

【模型】二、角平分線垂中間

角平分線+內(nèi)垂直

當(dāng)已知條件中出現(xiàn)OP為ZAOB的角平分線,PMVOP于點(diǎn)P時(shí)，輔助線的作法大都為延長(zhǎng)MP交OB

于點(diǎn)N即可.即有是等腰三角形、。尸是三線等，利用相關(guān)結(jié)論解決問題.

【模型】三、角平分線構(gòu)造軸對(duì)稱

角平分線+截線段等

當(dāng).己知.條件中出現(xiàn)。尸為NAO5的角平分線、9不具備特殊位置時(shí)，輔助線的作法大都為在08上截取

ON=OM,連結(jié)PN即可.即有AOMP0AONP,利用相關(guān)結(jié)論解.決問題.

ONB

【模型】四、角平分線加平行線等腰現(xiàn)

角平分線+平行線

當(dāng)已知條件中出現(xiàn)0P為NAO5的角平分線，點(diǎn)P角平分線上任一點(diǎn)時(shí)，輔助線的作法大都為過點(diǎn)尸作

PM//08或？M〃04即可.即有NOMP是等腰三角形，利用相關(guān)結(jié)論解決問題.

1、如圖，ZABN=ZCBN,P為BN上的一點(diǎn)，并且尸于點(diǎn)鉆+3。=2瓦）,求證:

ZBAP+ZBCP=1SO0.

2、如圖，在AABC中，CD是NACB的平分線，AOLCD于點(diǎn)石〃5c交A3于點(diǎn)￡,求證:E4=￡B.

3、已知:如圖7,AB=2ACNR4O=NC4r),DA=D3,求證:。AC.

D

B

4、如圖,AB〃C￡>,AE、DE分別平分NBA。和NADC.探究在線段AD上是否存在點(diǎn)M,使得

AD=2EM.

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

-1、如圖所示，在四，邊形A8CZ）中，DC//AB,ZDAB=90°,AC1BC,AC=BC,/ABC的平分線交AD,

AC于點(diǎn)E、F,則蕓BF的值是

EF

2、如圖，。是-△ABC的8C邊的中點(diǎn)，AE平分/BAC,AE1CE于點(diǎn)E,且A8=10,AC=16,則。E的

長(zhǎng)度為一

3、如圖所示，在,△A8C中，BC=6,E、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸在射線上，BP交CE于D,

■ZCBP的平分線交CE于Q,當(dāng)C。=；CE時(shí)，EP+BP=.

【鞏固提升】

1、如圖，F(xiàn),G是04上兩點(diǎn)，M,N是。2上兩點(diǎn)，且PG=MN,SAPFG=SAPMN,試問點(diǎn)尸是否在NA。。

的平分線上？

2、已知：在△ABC中，的平分線和外角/ACE的平分線相交于DDG//BC,交AC于尸，交A8于G,

求證：GF=BG-CF.

3、在四邊形ABC。中，/ABC是鈍角，ZABC+ZADC=180°，對(duì)角線AC平分NBAD

(1)?求證：BC=CD；

(2)AB+AD=AC,求NBC。的度數(shù);

4、如圖，在△ABC中，D、E、F分別為三邊的中點(diǎn)，G點(diǎn)在邊AB上，△BOG與四邊形ACDG的周長(zhǎng)相

等，設(shè)BC=服AC=b、AB=c.

(1)求線段BG的長(zhǎng)

(2)求證：DG平分NEDF.

5、如圖，BA1MN,垂足為A,BA=4,點(diǎn)尸是射線AN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合），ZBPC=ZBR\,

BC1BP,過點(diǎn)C作垂足為。，設(shè)AP=x.C。的長(zhǎng)度是否隨著x的變化而變化？若變化，請(qǐng)用含

x的代數(shù)式表示CD的長(zhǎng)度；若不變化，請(qǐng)求出線段CZ）的長(zhǎng)度.

6、已知：平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點(diǎn)分別為0(0,0)、A(5,0)、B(m,2)、C(m-5,2).

(1)問：是否存在這樣的〃2,使得在邊上總存在點(diǎn)P,使/O朋=90°?若存在，求出機(jī)的取值范圍；

若不存在，請(qǐng)說明理由.

(2)當(dāng)/AOC與的平分線的交點(diǎn)。在邊上時(shí)，求機(jī)的值.

7、我們把由不平行于底邊的直線截等腰三角形的兩腰所得的四邊形稱為“準(zhǔn)等腰梯形”。如圖1,四邊形

A8C。即為“準(zhǔn)等腰梯形”。其中/B=/C。

(1)在圖1所示的“準(zhǔn)等腰梯形”A3。中，選擇合適的一個(gè)頂點(diǎn)引一條直線將四邊形ABCD分割成一個(gè)

等腰梯形和一個(gè)三角形或分割成一個(gè)等腰.三角形和一個(gè)梯形(畫出一種示意圖即可)；

(2)如圖2,在“?準(zhǔn)等腰梯形”A8CD中/B=/C,E為邊上一點(diǎn)，若4B〃QE,A￡ZDC,求證：絲=型；

DCEC

(3)在由不平行于BC的直線4。截△PBC所得的四邊形ABC。中，NBA。與N4OC的平分線交于點(diǎn)E。

若EB=EC,請(qǐng)問當(dāng)點(diǎn)E在四邊形ABC。內(nèi)部時(shí)(即圖3所示情形)，四邊形ABCD是不是“準(zhǔn)等腰梯形”，

為什么？若點(diǎn)E不在四邊形ABC。內(nèi)部時(shí)，情況又將如何？寫出你的結(jié)論。(不必說明理由)

專題04角平分線模型在三角形中的應(yīng)用

在初.中幾何證明中，常會(huì)遇到與角平分線有關(guān)的問.題。不少同學(xué)遇倒這類問題時(shí)，不清楚應(yīng)該怎樣去作輔

助線。實(shí)際上這類問題是有章可循的，其策略是:明確輔助線作用，記清相應(yīng)模型輔助線作法，理解作輔助

線以后的目的。能做到這三點(diǎn)，就能在解題時(shí)得心應(yīng)手。

【知識(shí)總結(jié)】

【模型】一、角平分線垂兩邊

角平分線+外垂直

當(dāng)已知條件中出現(xiàn)OP為/。鉆的角平分線、于點(diǎn)M時(shí)，輔助線的作法大都為過點(diǎn)尸作

尸即可.即有PA/=PN、bOMP空bONP等,利用相關(guān)結(jié)論解決問題.

【模型】二、角平分線垂中間

角平分線+內(nèi)垂直

當(dāng)已知條件中出現(xiàn)。尸為ZAOB的角平分線,9，O尸于點(diǎn)P時(shí)，輔助線的作法大都為延長(zhǎng)MP交OB

于點(diǎn)N即可.即有是等腰三角形、。尸是三線等，利用相關(guān)結(jié)論解決問題.

【模型】三、角平分線構(gòu)造軸對(duì)稱

角平分線+截線段等

當(dāng).已知.條件中出現(xiàn)。尸為NAO5的角平分線、不具備特殊位置時(shí)，輔助線的作法大都為在上截

取ON=OM,連結(jié)PN即可.即有AQWP會(huì)AONP,利用相關(guān)結(jié)論解.決問題.

ONB

【模型】四、角平分線加平行線等腰現(xiàn)

角平分線+平行線

當(dāng)已知條件中出現(xiàn)0P為NAO5的角平分線，點(diǎn)P角平分線上任一點(diǎn)時(shí)，輔助線的作法大都為過點(diǎn)尸作

PM//08或？M〃CA即可.即有AOMP是等腰.三角形，利用相關(guān)結(jié)論解決問題.

1、如圖，ZABN=NCBN,P為BN上的一點(diǎn)，并且于點(diǎn)，鉆+3。=2瓦）,求證:

ZBAP+ZBCP=180°.

分析:條件中出現(xiàn)3P為NABC的角平分線...尸￡＞，于點(diǎn)。，屬于角.平分線基本模型一.輔助線的作法.可

嘗試過點(diǎn)P作尸ELA3,即有FE=?D.ABPEqABPD等,利用相關(guān)結(jié)論解決問題.

證明：過點(diǎn)P作PE_LAB于點(diǎn)E.

?，AB,PD，BC,且ZABP=ZCBP,

:.PE=PD.

BP=BP

在.HfAPBE和HfAPBC中，＜Rt^PBE咨Rt/^PBC,:.BE=BD.

PE=PD

AB+BC=2BD,BC=CD+BD,AB=BE-AE,:.AE=CD.

PE±AB,PD±BC,Z.PEB=NPDB=90°

PE=PD

在APAE和RtAPCD中，＜NPEB=NPDC,RtAPAE四RtAPCDZPCB=NEAP.

AE=DC

ZBAP+ZEAP=180°,:.ZBAP+ZBCP=18Q°.

2、如圖，在AABC中，CD是NACfi的平分線，ADLCD于點(diǎn)，￡＞石〃交于點(diǎn)E,求證:E4=EB.

分析：已知條件中出現(xiàn)CD為NACfi的平分線，ADLCD于點(diǎn)。，屬于角平分線基本模型二.輔助線的作

法可嘗試延長(zhǎng)AD交3C于點(diǎn)/，即有AC4E是等腰三角形、CD是三線，利用相關(guān)結(jié)論解決問題.

證明：延AD交于點(diǎn)E.

???C￡)平分NACF,:.ZACD=ZFCD.

又咨

ADLCD,CD=CD9:.MDCkFDC，:.AD=FD..

又,：DE〃BC,:.EA=EB.

3、已知:如圖7,AB=2AC,N瓦10=/。10,m=03,求證:。CLAC.

分析：已知條件中出現(xiàn)AD為NBAC的角平分線，DC不具備特殊位置，屬于

角平分線基本模型三.輔助線的.作法可嘗試在AB上截取AE=AC,連結(jié)DE.即有AACD

^AAED,利用相關(guān)結(jié)論解決問題.

證明：上截取AE=AC,連結(jié)DE

AB=2AC,且AE=AC,:.EA=EB.

又?.?JDA=JD3,，ED，AB.

又-.-ZBAD=ZCAD,AE=AC,AD=AD,

AACD絲AA￡Z)ZAED=NACO,即有DC±AC

4、如圖,AB〃C￡>,AE、DE分別平分NBA。和NADC.探究在線段AD上是否存在點(diǎn)“，使得

AD=2EM.

分析：已知.條件中出現(xiàn)AE、DE分別平分NB4D和NADC,點(diǎn)E為角平分線上任一點(diǎn)時(shí)，猜側(cè)屬于角

平分線基本模型四.輔助線的作法可嘗試過點(diǎn)E作或EM〃C。.即有AMD￡(AM4E)是等腰三

角形，利用相關(guān)結(jié)論解決問題..

解析：點(diǎn)E作石M//AB.

-,-EM//AB,:.ZMEA=ZBAE..

又?「AE平分/BAD,:.ZMAE=ZBAE

即ZMEA=ZMAE,:.AM=EM.

又：AB//CD,:.EM//CD,

同,理可得=

又AM+OM=AD,..AD=2EM.

.??線段AD上存在點(diǎn)河，使得AD=2EM.

以上四個(gè)例題并不復(fù)雜，但對(duì)研究含有角平分線的幾何證明題具有指導(dǎo)意義.在教學(xué)過程中，要利用基本模

型將復(fù)雜的幾何證明簡(jiǎn)單化，要真正看透問題的本質(zhì)，并將課本知識(shí)內(nèi)化為自己的知識(shí)，從而提高自己探

究問題的能力和數(shù)學(xué)繪合素養(yǎng).

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

-1、如圖所示，在四邊形ABC。中，DC//AB,ZDAB=90°,ACLBC,AC=BC,/ABC的平分線交AD,

AC于點(diǎn)及F,則蕓BF的值是

EF

分析：要求B算F的值，一般來說-不會(huì)直接把2尸和跖都求出來，所以需要轉(zhuǎn)化B其F，當(dāng)過點(diǎn)尸作尸GLAB

EFEF

時(shí)，即可將署轉(zhuǎn)化為器，又會(huì)出現(xiàn)模型1,所以這個(gè)輔助線與思路值得一試.

解析：尸G142于點(diǎn)G

90°,:.FG/AD,----=

EFAG

■■AC1BC,：.ZACB=90°

又,?,2/平分/ABC,：FG=FC

BF=BF

在Rt/\BGF和RtABCF中,CF=GF':ZGF/ABCF(HL),「BC=BG

AC=BC,ZCBA-=45。，；.AB二叵BC

BF_BG_BCBC_1fl

EFAGAB-BG^2BC-BC0-1

2、如圖，。是-△ABC的8C邊的中點(diǎn)，AE平分/B4C,AE1CE于點(diǎn)E,且48=10,=16,則DE的

長(zhǎng)度為

分析：有AE平分N5AC,且AE^EC,套用模型2,即可解決該題.

解析：如圖，延長(zhǎng)CE,A8交于點(diǎn)F

??,AE平?分N3AC,AE1EC

：.AFAE=ZCAE,ZAEF=ZAEC=90°

ZEAF=ZEAC

在△APE和△ACE中，\AE=AE,:./\AFE^ACE(ASA)O：.AF=AC=16,=EC,

NAEF=ZAEC

：.BF=6

又?.?。是3c的中點(diǎn)，.一。二⑺

是△C8E的中位線

：.DE=-BF-=3

2

故答案為：3.

3、如圖所示，在-△ABC中，BC=6,E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在射線EF上，BP交CE于D,

■ZCBP的平分線交CE于。，當(dāng)CQ=1CE時(shí)，EP+BP=.

分析：這里出現(xiàn)角平分線，又有平行，應(yīng)該想到模型3,即可構(gòu)造出等腰三角形，結(jié)合相似模型，即可解出

答案.

解析：如圖，?延長(zhǎng)8。交射線EF于點(diǎn)

-E,尸分別是A3、AC的中點(diǎn),

EF//BC

：.NCBM=ZEMB

??,8M平分NABC,:./ABM=/CBM

：.ZEMB=ZEBM,：.EB=EM

EP+BP=EP+PM=EM

-：CQ=1c￡,:.EQ=2CQ

由EF//BC得，AEMQs叢CBQ

—=^=2:.EM=2BC=nEP+BP=12

...BCCQ

【鞏固提升】

1、如圖，F(xiàn),G是04上兩點(diǎn)，M,N是。2上兩點(diǎn)，且FG=MN,SAPFG二SAPMN,試問點(diǎn)尸是否在/4。2

的平分線上？

解析：過點(diǎn)P分別向。4、作垂線，

SAFG=-PG-PE,SAPMN=-MN-PH,FG=MN

22

PH=PE

■■點(diǎn)尸在ZAOB的平分線上.

2、已知：在aABC中，的平分線和外角NACE的平分線相交于D,DG//BC,交AC于尸，交A8于G,

求證：GF=BG-CF.

證明：???2。平分/ABC,AZ1=Z2,

DF//BC,：.Z2=Z3,

Z1=Z3,:.BF=DE

同理：DE=CE.

；EF=DF—DF,

：.EF=BF-CE.

3、在四邊形AB。中，/ABC是鈍角，ZABC+ZADC=180°，對(duì)角線AC平分NBAD

(1)求證：BC=CD；

(2)AB+AD=AC,求N8CD的度數(shù)；

解析：(1)如圖，過點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)作CNLAD垂足為N,

「AC平分//MB,ACM=CN

又：NABC+NAZ)C=180°,ZMBC+ZADC=180°

2DNC=/BMC

ZNDC=ZMBC,在△NDC馬AMBC中,</NDC=ZMBC,BC二DC

CN=CM

(2)如圖，延長(zhǎng)A3到2,使BB=AZ)

-AB+AD=AC,：.AB=AC

由(1)?知NA￡?C=/BBC;在△AOC與△BBC中

'DC=BC

<ZADC=ZEBC

AD=BE

AAADC^/\EBC,故AO=EC

^■■■AE=AC,：.AE=AC^EC

故△ABC為等邊三角形，：.ZCAB^60°;

：.ZBAD=120°,ZBCD=360°-180°-120°=60°

即NBCD=60°

4、如圖，在△ABC中，。、￡、戶分別為三邊的中點(diǎn)，G點(diǎn)在邊A8上，△BOG與四邊形ACDG的周長(zhǎng)相

等，設(shè)2C=0、AC=b、AB=c.

（1）求線段BG的長(zhǎng)

（2）求證：DG平分/EDF.

解析：(1):△BOG與四邊形ACDG的周長(zhǎng)相等，

/.BD+BG+DG=AC+CD+DG+AG

??,。是的中點(diǎn)

：.BD=CD

：.BG=AC+AG

■■■BG+(AC+AG)+AC,

：.BG=-(AB+AC)=-(b+c)

22

(2)證明：?.?點(diǎn)D.尸分別是BC、AB的中點(diǎn)

：.DF=-AC=-b,BF^-AB^-c

2222

又；FG=BG-BF=L(b+c)--c--b

222

：.DF=FG

：.ZFDG=ZFGD

???點(diǎn)D.E分別是BC、AC的中點(diǎn)，

：.DB//AB,：.ZEDG=ZFGD,：.ZFDG=ZBDG,即DG平?分NEO尸

5、如圖，BALMN,垂足為A,BA=4,點(diǎn)尸是射線AN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合），ZBPC=ZBPA,

BC1BP,過點(diǎn)C作CD1MN,垂足為D設(shè)AP=x.CD的長(zhǎng)度是否隨著x的變化而變化？若變化，請(qǐng)用含

x的代數(shù)式表示。的長(zhǎng)度；若不變化，請(qǐng)求出線段的長(zhǎng)度.

解：C。的長(zhǎng)度不變

理由如下：

如圖，延長(zhǎng)CB和B4,記交點(diǎn)為點(diǎn)。

VZBPC=ZBPA,BCYBP

...QB=BC（等腰三角形“三合一"的性質(zhì)）

■■BALMN,CDLMM

J.AB//CD,

C./XQAB^AAgDC

AB/CD^QB/QC=l/2

；.CO=2AB=2X4=8

即CD=8

6、已知：平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點(diǎn)分別為0(0,0)、A(5,0)、B(m,2)、C(m-5,2).

(1)問：是否存在這樣的加，使得在邊BC上總存在點(diǎn)尸，使/。以=90°?若存在，求出機(jī)的取值范圍；

若不存在，請(qǐng)說明理由.

(2)當(dāng)NAOC與的平分線的交點(diǎn)。在邊上時(shí)，求機(jī)的值.

解析：(1)存在.

■??0(0,0)、A(5,0)、BGn,2)、C(m-5,2),0A=8C=5,BC//OA,

以。4為直徑作。，與直線BC分別交于點(diǎn)E.R則NOEA=N。陰=90°,如圖1

作OG_LEF于G,連DB,貝U08=00=2.5,DG=2,EG=GF

22

：.DE=^DE-DG=1.5,AEd,2),尸(4,2),

Im-5<4

.，.當(dāng)，即lWmW9時(shí)，邊BC上總存在這樣的點(diǎn)尸，使/。以=90

[m>l

⑵如圖2,

■BC=OA=5,BC//OA,.,.四邊形。42c是平行四邊形

J.OC//AB,：.ZAOC+ZOAB=180a,

OQ^ZAOC,AQ^ZOAB,

：.ZAOQ=0.5ZAOC,ZOAQ=0.5ZOAB,

：.ZAOQ+ZOAQ^90°

：.ZAQO=90a,

以04為直徑作。，與直線BC分別交于點(diǎn)EE則NOEA=/OE4=90°,

二點(diǎn)。只能是點(diǎn)E或點(diǎn)入

當(dāng)。在f點(diǎn)時(shí)，OF.AF分別是NAOC與。43的平分線，BC//OA

：.ZCFO=ZFOA=ZFOC,NBFA=NFAO=NFAB,：.CF=OC,BF=AB

而OC=AB,CF=BF,即尸是BC的中點(diǎn)。

而廠點(diǎn)為(4,2),此時(shí)機(jī)的值為6.5,

當(dāng)在E點(diǎn)時(shí)，同理可求得此時(shí)機(jī)的值為3.5,

綜上所述，的值為3.5或6.5.

7、我們把由不平行于底邊的直線截等腰三角形的兩腰所得的四邊形稱為“準(zhǔn)等腰梯形”。如圖1,四邊形

ABC￡＞即為“準(zhǔn)等腰梯形”。其中NB=NC。

(1)在圖1所示的“準(zhǔn)等腰梯形”ABC。中，選擇合適的一個(gè)頂點(diǎn)引一條直線將四邊形A3。分割成一個(gè)

等腰梯形和一個(gè)三角形或分割成一個(gè)等腰.三角形和一個(gè)梯形(畫出一種示意圖即可)；

(2)如圖2,在“.準(zhǔn)等腰梯形”ABC。中為邊上一點(diǎn)，若4B〃DE,AE/￡)C,求證：—；