西南大學(xué)附中高2025屆高三下二診模擬考試數(shù)學(xué)試題注意事項:1.答題前，考生先將自己的姓名、班級、考場/座位號、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.答選擇題時，必須使用2B鉛筆填涂;答非選擇題時，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書寫;必須在題號對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫無效；保持答卷清潔、完整.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回(試題卷學(xué)生留存，以備評講).一、單選題:本大題共8小題，每小題5分，共40分.1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先計算一元二次不等式得出集合A，再應(yīng)用對數(shù)函數(shù)的定義域得出集合B，最后應(yīng)用交集定義計算即可.【詳解】因集合，則.故選：B.2.已知向量，，，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接根據(jù)平面向量的坐標(biāo)化運(yùn)算和垂直的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.【詳解】∵向量，，，∴，∵，∴，即得，解得，故選：C．3.已知是關(guān)于的方程的一個根，，，則（）A. B.16 C. D.4【答案】B【解析】【分析】將代入方程，結(jié)合相等復(fù)數(shù)的概念求得，即可求解.【詳解】將代入方程，得，解得，，所以.故選：B4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用兩角差的余弦公式展開，即可求出，再由二倍角公式計算可得.【詳解】因為，則，即，所以.故選：B.5.已知圓，直線，則直線與圓相交弦長的最小值為（）A.4 B.2 C.6 D.【答案】A【解析】【分析】由題可得直線過定點，則定點到圓心距離等于圓心到直線距離時可得最小值.【詳解】圓，則直線過定點，因定點在圓內(nèi)，定點到圓心的距離為，所以直線與圓相交弦長的最小值為.故選：A.6.某學(xué)校擬派2名語文老師、3名數(shù)學(xué)老師和3名體育老師共8人組成兩個支教分隊，平均分到甲、乙兩個村進(jìn)行義務(wù)支教，其中每個分隊都必須有語文老師、數(shù)學(xué)老師和體育老師，則不同的分配方案有（）A.72種 B.36種 C.24種 D.18種【答案】B【解析】【分析】先分配語文老師，再把數(shù)學(xué)體育老師按1，2和2，1分配，或2，1和1，2分配即可求解；【詳解】兩名語文老師由種分配方程；數(shù)學(xué)老師按1，2分，則體育老師按2，1分，或數(shù)學(xué)老師按2，1分，則體育老師按1，2分，共有,所以不同的分配方案有，故選：B7.如圖，在三角形中，已知邊上的兩條中線相交于點，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】方法1，將作為與的夾角，利用向量知識結(jié)合題目數(shù)據(jù)可得答案；方法2，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量數(shù)量積坐標(biāo)表示完成運(yùn)算；方法3，利用余弦定理計算可得答案.【詳解】法一：分別是的中點，.與夾角等于，，則；法二：以為軸，過點作與垂直的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，則；法三：在中，由余弦定理，又因為P為的重心，則，在中再由余弦定理，在中由余弦定理，在中，由余弦定理，則.故選：D8.已知函數(shù)．若數(shù)列的前項和為，且滿足，，則的最大值為（）A.23 B.12 C.20 D.【答案】D【解析】【分析】先得到及遞推公式，要想最大，則分兩種情況，為負(fù)數(shù)且最小或為正數(shù)且最大，進(jìn)而求出最大值.【詳解】由題意可知：，當(dāng)時，；當(dāng)時，，兩式相減可得：，整理得：，所以，或，當(dāng)是公差為的等差數(shù)列，且時，最小，可能最大，此時，解得，此時；當(dāng)且是公差為的等差數(shù)列時，最大，可能最大，此時，解得，此時；綜上所述：的最大值為.故選：D.二、多選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.一組數(shù)5，7，9，11，3，13，15的第60百分位數(shù)是11B.若隨機(jī)變量，滿足，，則C.一組數(shù)據(jù)的線性回歸方程為，若，則D.某學(xué)校要從12名候選人（其中7名男生，5名女生）中，隨機(jī)選取5名候選人組成學(xué)生會，記選取的男生人數(shù)為，則服從超幾何分布【答案】ACD【解析】【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排列，根據(jù)百分位數(shù)的定義計算可判定A;根據(jù)方差的線性性質(zhì)計算可判定B；根據(jù)回歸方程必經(jīng)過樣本均值點，計算可判定C；根據(jù)超幾何分布的概念判定D.【詳解】數(shù)據(jù)組為5，7，9，11，3，13，15，排序后為3，5，7，9，11，13，15.計算第60百分位數(shù)：根據(jù)人教版教材方法，位置計算為

，向上取整到第5個位置，對應(yīng)數(shù)值11,因此選項A正確;選項分析：隨機(jī)變量，已知，根據(jù)方差性質(zhì)：方差線性變換公式為

，選項中錯誤;選項分析：線性回歸方程

必經(jīng)過樣本均值點,當(dāng)

時，代入方程得

，選項正確;選項分析：從12名候選人（7男5女）中不放回地抽取5人，男生人數(shù)X服從超幾何分布H(12,7,5)，選項D正確.故選：ACD.10.已知均為正數(shù)，且，則下列選項正確的有（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】利用基本不等式逐項判斷可得答案.【詳解】對于A，，于是，解得，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，故A正確；對于B，由得，得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，故B正確；對于C，由得，即，由于，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即等號成立，故C正確；對于D，，當(dāng)且僅當(dāng)即等號成立，故D錯誤故選：ABC.11.在直三棱柱中，，，點，分別是，的中點，則下列說法正確的是（）A.異面直線與所成的角為45°B.C.若點是的中點，則平面截直三棱柱所得截面的周長為D.點是底面三角形內(nèi)一動點（含邊界），若二面角的余弦值為，則動點的軌跡長度為【答案】BCD【解析】【分析】利用交線法找出截面，利用平行關(guān)系找出異面直線與所成的角，即可判斷A,利用直線和平面垂直的性質(zhì)定理證明平面，即可判斷B,延長，交和的延長線于點，，連接交于點，連接，，則四邊形為平面截直三棱柱所得的截面,可判斷C,過作的垂線，連接，過作的平行線交于點，則，所以截面為直三棱柱的截面，即可判斷D；【詳解】選項A，過點作的平行線，則為異面直線與所成的角，因為平面，且，所以平面，所以，所以，因為異面直線所成角，所以，故異面直線與所成的角為60°，故選項A不正確；選項B，由已知得為等腰直角三角形，是的中點，則，為直三棱柱，平面，平面，，，平面，，平面，，設(shè)與交于點，其中，，，，，，，，平面，，平面，故，選項B正確；選項C，延長，交和的延長線于點，，連接交于點，連接，，則四邊形為平面截直三棱柱所得的截面，由已知得，由，則，即，由，則，即，由余弦定理可知，解得，其周長為，故選項C正確；選項D，若上存在一點使二面角的余弦值為，連接和，因為平面，，，二面角的平面角為，即，設(shè)，則，，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，，解得，過作的垂線，連接，過作的平行線交于點，則，所以截面為直三棱柱的截面，所以符合題意的的軌跡長度為線段的長，所以，故選項D正確.故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第4小問的解決關(guān)鍵是利用二面角的定義求得，從而推得，進(jìn)而得到的軌跡長度為的長，從而得解.三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在的展開式中，的系數(shù)為80，則實數(shù)的值為___________.【答案】【解析】【分析】求得二項展開式的通項，結(jié)合題意，列出方程，即可求解.【詳解】由二項式的展開式的通項為，其中，因為展開式中的系數(shù)為，令，可得，解得.故答案為：.13.已知定義在上的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時，，函數(shù)，則與的圖象所有交點的橫坐標(biāo)之和為________________.【答案】5【解析】【分析】由題可得有對稱軸為軸，對稱中心，然后在同一坐標(biāo)系中畫出與圖象，即可得答案.【詳解】函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，對稱中心為.定義在上的偶函數(shù)滿足，則函數(shù)有對稱軸為軸，對稱中心；又當(dāng)時，，在同一坐標(biāo)系在內(nèi)作出與的圖象，當(dāng)，，令，則，且，所以存在，使得當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，即，結(jié)合圖象可得，與的圖象有5個交點，又均是與的圖象的對稱中心，則兩函數(shù)所有交點的橫坐標(biāo)之和為5.故答案為：514.項數(shù)為的數(shù)列滿足，當(dāng)且僅當(dāng)時（其中，規(guī)定：），稱為“好數(shù)列”．在項數(shù)為6且的所有中，隨機(jī)選取一個數(shù)列，該數(shù)列是“好數(shù)列”的概率為__________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)分布乘法求出所有的個數(shù)，由0出現(xiàn)的次數(shù)討論數(shù)列是“好數(shù)列”的個數(shù)，利用概率公式計算即可.【詳解】由題意，因為項數(shù)為6且，所以每一項都有兩種選擇，根據(jù)分布乘法計數(shù)原理，可構(gòu)成的數(shù)列個數(shù)為個，由題意，若為“好數(shù)列”，則意味著若，其前一項與后一項相等，①則若中沒有0，則數(shù)列為，不符合題意，②若中有1個0，不論0在那個位置，都會出現(xiàn)3個1相鄰，不符合題意，③若中有2個0，則，，符合“好數(shù)列”定義；④若中有3個及以上0，若0相鄰，根據(jù)定義，數(shù)列只能為，若0不相鄰，只能1和0間隔出現(xiàn)，會出現(xiàn)兩個0中間出現(xiàn)1，不符合題意，綜上，符合題意的“好數(shù)列”只有4個，所以數(shù)列是“好數(shù)列”的概率為.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是理解“好數(shù)列”的定義，根據(jù)題意能列出符合條件的數(shù)列.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程、演算步驟.15.為了了解高中學(xué)生語文與數(shù)學(xué)成績之間的聯(lián)系，從某學(xué)校獲取了名學(xué)生的成績樣本，并將他們的數(shù)學(xué)和語文成績整理如表：單位：人數(shù)學(xué)成績語文成績不優(yōu)秀優(yōu)秀不優(yōu)秀優(yōu)秀（1）依據(jù)的獨(dú)立性檢驗，能否認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與語文成績有關(guān)聯(lián)？（2）以頻率估計概率、從全市高中所有數(shù)學(xué)不優(yōu)秀的學(xué)生中隨機(jī)抽取5人，設(shè)其中恰有位學(xué)生的語文成績優(yōu)秀，求隨機(jī)變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望．附：【答案】（1）依據(jù)的獨(dú)立性檢驗，可認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與語文成績有關(guān)聯(lián)；（2）分布列見解析，.【解析】【分析】（1）提出零假設(shè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與語文無關(guān)，計算，比較其與臨界值的大小，由此確定結(jié)論；（2）確定的可能取值，結(jié)合二項分布定義判斷，根據(jù)二項分布概率公式求取各值的概率，由此可得其分布列，再由二項分布期望公式求期望.【小問1詳解】零假設(shè)為：學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與語文無關(guān)，由題，所以依據(jù)的獨(dú)立性檢驗，推斷零假設(shè)不成立，即認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與語文成績有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于.【小問2詳解】由題意可知數(shù)學(xué)不優(yōu)秀的學(xué)生中語文成績優(yōu)秀的概率為，隨機(jī)變量的取值有，由已知，則，，，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.16.在中，角、、所對的邊分別為、、，已知，．（1）求；（2）若的面積為，是上的點，且，求的長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知得出，利用余弦定理結(jié)合可得出，再利用余弦定理可求得的值；（2）利用三角形的面積公式結(jié)合（1）中的結(jié)論可求出、、的值，求出的值，利用正弦定理可求出的長.【小問1詳解】因為，所以，，即，因為，則，即，故，由余弦定理可得.【小問2詳解】因為，則，因為，可得，因，，故，，，是上的點，且，則，，所以，，在中，由正弦定理可得，故.17.如圖，在多面體中，四邊形與均為直角梯形，平面平面，，，，，，且.（1）已知點為上一點，且，證明：平面；（2）若平面與平面所成銳二面角的余弦值為，求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接交于點，取中點為，易證四邊形為平行四邊形，從而為中點，為中位線，，由平行關(guān)系的傳遞性得到且，從而四邊形為平行四邊形，得到，再利用線面平行的判定定理證明；（2）以點為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，，分別求得平面的一個法向量為，平面的法向量為，根據(jù)平面與平面所成銳二面角的余弦值為，由求得a，再由點C到平面的距離求解.【小問1詳解】證明：如圖，連接交于點，取中點為，連接，，，在四邊形中，，，故四邊形為平行四邊形.故為中點，所以在中，為中位線，則且，又且，故且，即四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，平面，即平面.【小問2詳解】因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面，以點為坐標(biāo)原點，分別以，，為，，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，則，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，，，設(shè)平面的法向量為，，取由平面與平面所成銳二面角的余弦值為，可得，解得或（舍去）故，又，所以點到平面的距離.18.在平面直角坐標(biāo)系中，點到定點的距離與點到直線：的距離之比為2，點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）已知點，，為曲線的左、右頂點．若直線與曲線的右支分別交于點.（?。┣髮崝?shù)的取值范圍；（ⅱ）求的最大值．【答案】（1）（2）（i）；(ⅱ)【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題意列出等式，化簡可得；（2）（i）設(shè)直線方程為，聯(lián)立可得，同理可得，由，可得；（ii）由及，可得，設(shè)，則，即得.【小問1詳解】設(shè)，由題意知，化簡得方程為【小問2詳解】設(shè)直線方程為，則，聯(lián)立，可得，故，因在右支上，故，得即，解得，設(shè)方程為，則，聯(lián)立，得，故，因在右支上，故得，即，解得，綜上可知，.（ii），，，故，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故的最大值為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問根據(jù)幾何性質(zhì)可得，結(jié)合，，代入后利用函數(shù)的性質(zhì)求最大值即可.19.定義：若函數(shù)圖象上恰好存在相異的兩點，滿足曲線在和處的切線重合，則稱，為曲線的“雙重切點”，直線為曲線的“雙重切線”．（1）直線是否為曲線的“雙重切線”，請說明理由；（2）已知函數(shù)求曲線的“雙重切線”的方程；（3）已知函數(shù)，直線為曲線的“雙重切線”，記直線的斜率所有可能的取值為，，…，，若（），證明：．【答案】（1）是，理由見解析；（2）；