高考仿真重難點(diǎn)訓(xùn)練07立體幾何初步

一、選擇題

1.下列命題中正確的是()

A.三點(diǎn)確定一個(gè)平面

B.兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面

C.圓的一條直徑與圓上一點(diǎn)可確定一個(gè)平面

D.四邊形可確定一個(gè)平面

【答案】B

【分析】根據(jù)確定平面的依據(jù)，判斷選項(xiàng).

【解析】A.由確定平面的依據(jù)可知，不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故錯(cuò)誤；

B.兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面，故正確；

C.根據(jù)確定平面的依據(jù)，直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面，所以應(yīng)改為圓的一條直徑和圓上除直徑端點(diǎn)外的

一點(diǎn)，可確定一個(gè)平面，故錯(cuò)誤；

D.空間四邊形，四點(diǎn)不在同一個(gè)平面，故錯(cuò)誤；

故選：B

2.已知a,/3,7是平面，a,b,c是直線，ac/3=a,p[\y=b,/Aa=c,若。口6=尸，貝l]()

A.PecB.Pic

C.ma=0D.cc￡=0

【答案】A

【分析】根據(jù)空間中點(diǎn)線面之間的位置關(guān)系結(jié)合平面的基本性質(zhì)逐一判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤，即可得正確選

項(xiàng).

【解析】因?yàn)?a,0Cy=b,所以aua,buy,

由Qp|b=尸，可得尸￡4且PEZ),

所以尸且尸E7,

因?yàn)?。。=。，所以PEC,故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B不正確；

因?yàn)镻EC,Pea,所以。、〃有公共點(diǎn)尸，故選項(xiàng)C不正確；

因?yàn)閎u/3,所以尸￡尸，因?yàn)槭?,所以。與夕有公共點(diǎn)。，故選項(xiàng)D不正確；

故選：A.

3.水平放置的。3c的斜二測直觀圖如圖所示，已知/'C'=3,B'C'=2,則AA8C的面積是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)直觀圖與斜二測畫法的定義求解.

【解析】由題可知，小BC為直角三角形，

S.ACLBC,AC=A'C'=3,BC^2B'C'^4,

4.已知底面邊長為2的正四棱柱48CD-4耳GA的體積為16,則直線NC與48所成角的余弦值為（）

.2>/5DV5「Mc3屈

A?D.C.--------U.-----------

551010

【答案】C

【分析】如圖，確定人（或其補(bǔ)角）為直線/C與48所成的角，求出CG，進(jìn)而求解.

【解析】如圖，連接/D，C2,則48〃，C,取ZC的中點(diǎn)O,連接?？?，則CRLZC,

所以ZACR（或其補(bǔ)角）為直線/C與4?所成的角，

又正四棱柱的體積為16,則該棱柱的高為CG=2=4,

又AC=2后,AD、=CD]+爰=2/5,

lAC

所以c0s43=

10

即直線AC與AXB所成角的余弦值為巫.

10

故選：C

5.已知/、加是不重合的兩條直線，。、用是不重合的兩個(gè)平面，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若mua,H/m,則加//￡

B.若/ua,mu/3,alip,則〃/加

C.若mcza,mil,則a_L￡

D.若/_L〃z,mlla,貝！J/_La

【答案】A

【分析】對于A,先判斷〃?<Z￡,然后由線面平行判定定理可判斷；對于BCD,通過正方體模型舉反例即可

判斷

【解析】對于A,因?yàn)榧覷tz,所以加（z￡,

又〃/加，/u￡,所以〃?//〃，A正確;

對于B,在正方體48co-4片。百中,

記平面48CD為a,平面/4CQ1為尸，AB為I,AQ、為m,

貝U/ua,mu0,all/3,但/與加不平行，B錯(cuò)誤；

對于C,記平面/8G2為二，平面48co為尸，AB為I,為加，

由正方體性質(zhì)可知，/平面ADDXAX,gu平面ADDXAX,所以4鼻_LAB,

則?？谑?/,mua,m_Ll,但a,A不垂直，C錯(cuò)誤;

對于D,記4D1為/,AB為m,平面為a,

貝！mlla,但/與a不垂直，D錯(cuò)誤.

故選：A

6.漏刻是中國古代的一種計(jì)時(shí)系統(tǒng)，"漏"是指計(jì)時(shí)器一一漏壺，"亥U”是指時(shí)間，《說文解字》中記載：“漏以

銅壺盛水，刻節(jié)，晝夜百刻.”某展覽館根據(jù)史書記載，復(fù)原唐代四級漏壺計(jì)時(shí)器，如圖，計(jì)時(shí)器由三個(gè)圓臺(tái)

形漏水壺和一個(gè)圓柱形受水壺組成，當(dāng)最上層漏水壺盛滿水時(shí)，漂浮在最底層受水壺中的浮箭刻度為0,當(dāng)

最上層漏水壺中水全部漏完時(shí)，浮箭刻度為100.已知最上層漏水壺口徑與底徑之比為5:3,則當(dāng)最上層漏水

壺水面下降到其高度的一半時(shí)，浮箭刻度約為（）（四舍五入精確到個(gè)位）

A.38B.60C.61D.62

【答案】D

【分析】根據(jù)題意結(jié)合臺(tái)體體積公式運(yùn)算求解.

【解析】由題意可知：最上層漏水壺所漏水的體積與浮箭刻度成正比，

設(shè)最上層漏水壺的口徑與底徑分別為5a,3a,高為h,

則體積為廠=g[兀(5Q)?+7i(3tz)2+小冗&丫XTIQ!卜二^-ju2h,

當(dāng)最上層漏水壺水面下降到高度的一半時(shí)，設(shè)此時(shí)浮箭刻度為X,

因?yàn)橐崖┧w積匕=耳兀(54+兀(4了+J兀，X7i(4z?卜—=in2h,

3L」26

-Tia2h6]

可得仁二擊,解得戶/1叱62，

——Tian

3

所以浮箭刻度約為62.

故選：D.

7.如圖是一個(gè)四棱錐的平面展開圖，其中四邊形/BCD為正方形，四個(gè)三角形為正三角形，分別

是尸8c的中點(diǎn)，在此四棱錐中，則()

A.BE與CF是異面直線，且3E//平面

B.BE與CF是相交直線，且2E//平面尸尸〃

C.3E與CF是異面直線，且8￡_L平面

D.BE與CF是相交直線，且BE_L平面尸

【答案】B

【分析】畫出幾何體尸-證得四邊形BCFE為梯形，得到BE與C尸為相交直線，再由線面平行的

判定定理，證得8￡7/平面

【解析】根據(jù)題意，畫出幾何體尸-/BCD,如圖所示，

因?yàn)镋,尸分別是尸4的中點(diǎn)，可得跖///。且跖=工/D,

2

又因?yàn)?。//3c且/O=8C,所以EF//BC且好，

2

所以四邊形8a花為梯形，所以8E與CF為相交直線，

因?yàn)镸為3c的中點(diǎn)，可得斯//3”且的=瓦0,

所以四邊形5MFE為平行四邊形，可得BE//MF,

又因?yàn)锽EU平面PEA/,MFu平面所以BE〃平面PEM.

故選：B.

8.如圖，將邊長為1的正“BC以邊為軸逆時(shí)針翻轉(zhuǎn)?；《鹊玫健?8U,其中。e[o，Tj，構(gòu)成一個(gè)三

棱錐C'-48C.若該三棱錐的外接球半徑不超過姮，則6的取值范圍為（）

【答案】C

【分析】作輔助線，則。即為三棱錐的外接球球心，翻折的角。即為/CDC的大小，設(shè)OC=R,結(jié)合題意

1

分析可知"42。，結(jié)合題意分析求解即可.

12cos—

2

【解析】取線段45的中點(diǎn)。，線段CD上靠近點(diǎn)。的三等分點(diǎn)G,CC'的中點(diǎn)E,

連接CD,UD,D￡,則G為正"8C的外心，CD=C<b,可知DE為線段CO的中垂線,

在平面C'CD內(nèi)過G作CD的垂線交即于。，連接。C,

c

則。即為三棱錐的外接球球心，翻折的角。即為/CDC'的大小.

設(shè)OC=A,貝|oc=oc，=",DE=—cos-,DG=立,CG^—，EC=EC=^-sm^,

2226322

心

可得"cos?=OE=00+OE=^^+y/0C2-EC2=—

22

cos—0cosd—

22

化簡得A一4”2。，

12cos—

2

/7T=11<13

又因?yàn)镋wXU,即一436,解得8$2彳2;，

612cos-24

結(jié)合Oe[o，M，可得cos外且，則0<gW，所以0<"9

I2；22263

故選：C.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：多面體與球切、接問題的求解方法

1.涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí)，一般過球心及多面體的特殊點(diǎn)（一般為接、切點(diǎn)）或線作截面，把

空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解;

2.利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置,

弄清球的半徑（直徑）與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程（組）求解.

二、多選題

9.已知空間兩條異面直線所成的角等于60。，過點(diǎn)尸與6所成的角均為。的直線有且只有一條，則。的

值可以等于（）

A.30°B.45°C.75°D.90°

【答案】AD

ITTTITIT

【分析】過點(diǎn)尸作。'//。,6'//6,求得直線/與必6所成角的范圍為Oe或,結(jié)合選項(xiàng)，即

_62J|_32_

可求解.

【解析】過點(diǎn)尸作。'〃。,6'//6,

從兩對角的角平分線開始，直線/與必〃所成角的范圍為三5或,

62」|_32_

而均為。的直線有且僅有一條，根據(jù)對稱性，可得。=30?；?。=90。.

故選：AD.

10.阿基米德多面體是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，截角四面體是阿基米德多面體其中

的一種.如圖所示，將棱長為3a的正四面體沿棱的三等分點(diǎn)作平行于底面的截面得到所有棱長均為。的截

角四面體，則下列說法中正確的是（）

B.直線DE與平面/8C所成角的正切值為2

C.該截角四面體的表面積為76a2

D.該截角四面體存在內(nèi)切球

【答案】AC

【分析】如圖，將該截角四面體補(bǔ)成正四面體尸-肱VQ.對于A：由平面43C〃平面"N0可知點(diǎn)E到平面

A8C的距離即為點(diǎn)S到平面/8C的距離，運(yùn)算求解即可；對于B：蟲DE〃PN,可知直線與平面A8C

所成角即為尸N與平面"N0所成角NPNS,運(yùn)算求解即可；對于C：根據(jù)正三角的面積結(jié)合比例關(guān)系運(yùn)算求

解；對于D：假設(shè)存在內(nèi)切球根據(jù)對稱性可知該球心為正四面體尸-MN。的中心。，求點(diǎn)。到平面/3C的

距離即可判斷.

【解析】如圖，將該截角四面體補(bǔ)成正四面體尸-"N0,取底面的中心S,連接PS,NS,

對于選項(xiàng)A：由題意可知：平面48c〃平面

則點(diǎn)E到平面ABC的距離即為點(diǎn)S到平面ABC的距離d=-PS=ma,故A正確;

33

對于選項(xiàng)B：由題意可知：DE//PN,

則直線DE與平面ABC所成角即為PN與平面MNQ所成角ZPNS,

1—

可得=—=y/2,

SN

所以直線。E與平面45。所成角的正切值為后，故B錯(cuò)誤；

2

對于選項(xiàng)C：由題意可知：SAMNO=9S.nEF^9x-xaxax—=,

|J]|Irr_rr_求_3~\/^2

人'〉EFHILK—、bMNQ~AQEF——1

所以該截角四面體的表面積為3$跖印公+3s△°EF=4X空/+4x—d=吏]，故C正確；

tllLhZA24,

對于選項(xiàng)D：若該截角四面體存在內(nèi)切球，根據(jù)對稱性可知該球心為正四面體尸-MNQ的中心。,

可知OP=ON=瓜-05，

因?yàn)镺N?=g2+。$2,即=3/+OS2,解得。5=手。，

由選項(xiàng)A可知：點(diǎn)S到平面48C的距離=,

33

則點(diǎn)。到平面ABC的距離為d-OS=—a豐OS,

12

所以該截角四面體不存在內(nèi)切球，故D錯(cuò)誤；

故選：AC.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是將該截角四面體補(bǔ)成正四面體P-MNQ,結(jié)合正四面體的性質(zhì)分析

求解.

ii.(多選)如圖，在棱長為1的正方體48co-44GA中，點(diǎn)尸是線段4。上的動(dòng)點(diǎn)，則()

B.三棱錐片的體積為工

6

C.存在點(diǎn)P,使得尸G

D.存在點(diǎn)尸，使得NQ_L平面P2G

【答案】BD

【分析】選項(xiàng)A：當(dāng)點(diǎn)P與4重合，4尸8￡為邊長是應(yīng)的等邊三角形，求出三角形面積，即可判斷；選項(xiàng)

B：利用等體積轉(zhuǎn)化法求解即可；選項(xiàng)C：以BG為直徑的球面與直線沒有公共點(diǎn)，即可判斷；選項(xiàng)D：當(dāng)尸

為4。的中點(diǎn)時(shí)，根據(jù)線面垂直的判定定理即可得證.

【解析】A選項(xiàng)，在棱長為I的正方體48co-44GA中，

點(diǎn)尸是線段4。上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)尸與4重合時(shí)，APBC;為等邊三角形，

邊長為百，

故^明的面積為興閭二碗/呼，故A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，因?yàn)槠摺癇q=-P-B[BG=§SAB'BCI，'

其中。g=；4C「3=；xlxiq，

”表示點(diǎn)P到平面318cl的距離，故%=1,

所以三棱錐耳-P8Q的體積為：x1xl=3,故B正確；

C選項(xiàng)：在正方體工58-4片GA中，以8G為直徑的球面，半徑尺=正＜1,

2

則直線4。與該球面沒有公共點(diǎn)，故不存在點(diǎn)尸，故c錯(cuò)誤;

D選項(xiàng)：取8G的中點(diǎn)“，連接

當(dāng)尸為4。的中點(diǎn)時(shí)，即P為ADX,AXD的交點(diǎn)時(shí)，

因?yàn)镈G//48,Dg=AB,所以四邊形QC//為平行四邊形,

悔D\P//C\M,

又DF=QM,

所以四邊形D.PMQ為平行四邊形，

所以尸河//。?,

因?yàn)槠矫婀??？?，

易知尸M_L平面NDD/i，

因?yàn)锳XDu平面ADDH,

所以PM_L4。，

又因?yàn)樵谡襟w中，AD±BC,,

而尸所以4。，平面PBG，故D正確.

故選：BD.

三、填空題

12.已知底面半徑為2的圓錐的側(cè)面積為46兀，則該圓錐的外接球的表面積為

【答案】257c

【分析】求出圓錐的母線/=2若，求出圓錐的高，設(shè)圓錐外接球的半徑，列出方程，求出半徑，得到表面

積.

【解析】設(shè)圓錐的母線為/,又廠=2,故?！?2/兀=4君兀，

解得7=2行,

圓錐的高為〃==4,

設(shè)該圓錐的外接球的半徑為R,

故/O=OC=R,故。尸=4一尺，

由勾股定理得OC?=OP2+r2,即笈=(4一+4,

解得R=g,

故該圓錐的外接球的表面積為4位?2=25兀.

故答案為：25兀

13.已知正四面體/一BCD的棱長為6,P是四面體4一BCD外接球球面上的動(dòng)點(diǎn)，。是四面體/一BCD

內(nèi)切球球面上的動(dòng)點(diǎn)，則P。的取值范圍是.

【答案】[灰,2&]

【分析】依據(jù)題意作出圖形，再求出外接球半徑，再求目標(biāo)式范圍即可.

【解析】

如圖，NE是正四面體N—5co的高，由對稱性知其外接球與內(nèi)切球的球心重合，為O,且在4E上,

則￡是底面正三角形的中心，BE=3義與義6=2仙,AE=46?-(26)2=2&>,

設(shè)外接球的半徑為上^OA=OB=R,由OB?=0石2+8￡2,得R。=Q娓-RY+(26丫，解得及=孚，

因止匕內(nèi)切球的半徑為r=OE=4,\OP-OQ\<PQ<OP+OQ,即R-rVPQVA+r,

又R+r=2瓜”―n,所以而VPQV2而.

故答案為：[C,2C]

14.如圖，在四棱柱48cz5-48|GA中，底面/BCD為正方形，AB=4,AiB=BCl,BBXLBDt,且二面

角4-AD1-G的正切值為應(yīng).若點(diǎn)尸在底面/BCD上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。在四棱柱A8CD-44G2內(nèi)運(yùn)動(dòng)，

='，則PB\+PQ的最小值為.

【分析】

先求得B到平面44GA的距離，然后利用對稱法以及三點(diǎn)共線等知識(shí)求得尸4+PQ的最小值.

【解析】連接4。，交B、D1于E,設(shè)廠是3。的中點(diǎn)，連接M，GF.

由于48=BG，E是4G的中點(diǎn)，所以4GL8E,

由于4C]_LBXDX,BEcB}DX=E,BE,BQu平面BBR,

所以4cl1平面BB}D},由于8〃,u平面BBR,所以/￡_L區(qū)鼻，AlCl1EF,

由于E,尸分別是42,2。的中點(diǎn)，所以EF〃BB「

由于8所以跖，3，，由于4Gc￡b=￡，4G，E尸u平面跖￡,

所以平面EFCi，由于C^u平面EFQ,所以臺(tái)鼻，。/，

所以/廢。是二面角B]-BDX-G的平面角,

所以tan/EFG=—=^-=V2,￡T=2,

所以84=4,

EFEF

由于耳，=472,所以ADj="4后)2-42=4=BB『

所以三角形郎也是等腰直角三角形，所以2EL4A，

由于4GcBQ]=E，4G耳D[U平面43]C[Z>[,

所以BE,平面4片。。1，旦BE=；BR=2C.

由于22=*,所以。點(diǎn)的軌跡是以2為球心，

半徑為正的球面在四棱柱群co-481GA內(nèi)的部分,

2

B]關(guān)于平面ABCD的對稱點(diǎn)為況BB'=242x2=442，

連接B'A，交平面48。于產(chǎn),

所以咫+PQ的最小值為B，D「4=44拒『+(4行『-2^=8-^.

故答案為：8-變

【點(diǎn)睛】求解二面角有關(guān)問題，關(guān)鍵是找到二面角的平面角，二面角的平面角的定義是：在二面角的交線

上任取一點(diǎn)，然后在兩個(gè)半平面內(nèi)作交線的垂線，所得角也即是二面角的平面角.

四、解答題

15.如圖，在四棱錐尸-48CD中，尸/_L平面/BCD,AB//CD,PA=AB=2CD=2,PC=a,ZADC=90°,

E,尸分別為PB,的中點(diǎn).

⑴求三棱錐E-PCF的體積；

⑵求直線CE與平面PCF所成線面角的正弦值.

【答案】⑴

6

（2）巫.

10

【分析】⑴根據(jù)人小"“小卜…’再根據(jù)棱錐的體積計(jì)算公式，求解即可；

（2）根據(jù)（1）中所求棱錐E-尸C尸的體積，求得點(diǎn)E到平面尸CF的距離，結(jié)合CE的長度，利用公式，直

接求解即可.

【解析】（1）尸4_1面45。。,/。1面/3。。，故尸4_L/C,故AC=[PC?-pH=也，

又在直角梯形/as中，AD=^JAC2-CD2=7^1=1^CB=YIAD2+BF2=4i>

又E為PB中點(diǎn)，故嚷…g%PCF=第一BCF=｝洛CFX"

=LxLxBFxCFxPA=—Xlxlx2=

62126

（2）因?yàn)镃F7/4D,故CFJ.AB,又尸N_L面/BCD,C尸u面/BCD,故CF_LP4,

又4BcPA=A,4B,PAu面P4B,

故CF,面尸/瓦尸尸u面尸/B,則C/，刊"則為直角三角形；

易知C尸=/D=\,PF=NPA'AF、后，

故S「m=』xWxH=」xlxV5=—,

“CFP222

設(shè)點(diǎn)E到面PCF的距離為d,

由（1）可得/uJswXdnJx好xd=,，解得d=好；

33265

因?yàn)镋,尸分別為尸8,N8的中點(diǎn)，故EF”PA,

貝IJEBJL面N8CD,又C尸u面/BCD,則EF_LFC,

故△EFC為直角三角形，則EC=NEF+CF?712=6，

設(shè)直線CE與平面尸CF所成角為。，則sin6=』-="、巫=

CE52"uT

16.如圖，三棱柱/8C-44。所有棱長都為2,NB1BC=60。,。為4c與/￡交點(diǎn).

⑴證明：平面BCD,平面/4G；

⑵若。4=理,求二面角4-c^-c,的余弦值.

【答案】⑴證明見解析

噓

【分析】(1)由面面垂直判定定理證明，即先證明48]，平面3cD,再證明面BCD，平面/qq.

(2)先建系，然后求解出平面4cg的一個(gè)法向量亢和平面GC4的一個(gè)法向量應(yīng)，代入公式

I玩.司

COSe=Icosm,n\='1即可.

\m\-\n\

【解析】(])取8C中點(diǎn)O,取/片中點(diǎn)E,連接BE,OE,

因?yàn)槿庵?3C-44。所有棱長都為2,NB&C=60。,

有AO=BQ=6,4B=BB[,E為的中點(diǎn)，BCDE四點(diǎn)共面，

所以0E_L4B],且BE、OEu平面BCD,OE^BE=E,

所以4用_1平面5a),又平面Z4G，故平面BCO_L平面A81G.

(2)因?yàn)锽C7/B1G，所以51G~L平面/。用，4及(=平面4。4，

所以所以及G為直角三角形，所以4G=2。4=屈，

所以典=JAC；-BC=3,在ANOB1中，cosN/O四=3；3；9=_；.

以。為原點(diǎn)，作。2_1_平面8。。4，以礪，OBX,反方向?yàn)閄,y,Z軸正方向,

建H空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

則c(-i,o,o),4(o,￡o),q(-2,V3,o),A

由國=可,所以4,所以*=0,手],西=",0}

CB,n=0

設(shè)平面4c4的一個(gè)法向量為元=(x,y,z),貝!],，即＜

C4?萬=0

令z=l,解得方=(3,-6,1),所以平面CC4的一個(gè)法向量為應(yīng)=(0,0,1),

記二面角的大小為凡且。為銳角,

\m-n\_V13

則cos3=\cosm,n\=

|玩H司13，

即二面角49-c的平面角的余弦值為黨

B^1^

'x

17.如圖,在四棱錐尸-48。中，底面/BCD是邊長為2的正方形，￡為8C的中點(diǎn)，且

(1)求證：NPAD=NPDA；

(2)若四棱錐尸-/ED的體積為述，直線48與PE所成角為30。，求二面角尸-4D-E的正切值.

3

【答案】⑴證明見解析

(2)-^3

【分析】（1）利用線線垂直證明線面垂直，再證線線垂直，利用等腰三角形的三線合一證明即可;

（2）利用垂直關(guān)系，易得線面角和二面角的平面角，即可計(jì)算求解.

【解析】（1）取/。的中點(diǎn)。，因?yàn)樗倪呅蜰3CD是正方形，.

QADLPE,EOcPE=E,EO,PEu平面尸OE,AD1POE.

又POu平面尸O￡,ADIPO,

又因?yàn)?。是ND的中點(diǎn)，所以可得尸N=即/尸=

（2）作于點(diǎn)。，

平面尸OE,尸Qu平面PO￡,，PQ_L4D.

又￡0|"|40=。，￡0,2。（=平面45。，；.尸。，平面48。.

由%皿=?△曲.尸尸0=若"，得尸。=6

因?yàn)镋O//4B,所以所成角為NPEQ=30。，

故tan/PEQ=-^-=^,解得。。=1.

2+003

因?yàn)?DLEO,AD1PO,所以/尸OE為二面角尸-NO-E的平面角.

tan/POE=-tanZPOQ==^3.

即所求二面角尸的正切值為一JL

18.如圖，在四棱錐尸-4BCD中，AB=BC=DC=DA=AP=PD,PC=PB=y/2AB.

（1）證明：平面尸/￡>_L平面48CD；

⑵在棱PC上是否存在點(diǎn)E,使得平面月E3與平面8CE夾角的正弦值為亞？若存在，求名的值；若不

7EC

存在，請說明理由.

【答案】⑴證明見解析

PF

⑵存在，-=1.

EC

【分析】(1)通過。CJ.PD,DC_L4P證。C_L平面尸4D,即可證面面平行；

PF

(2)通過建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算各點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)==2(2>0)得E點(diǎn)坐標(biāo)，并計(jì)算平面和平面BCE

EC

的法向量，根據(jù)向量垂直確定，再根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算即可.

【解析】(1)證明：^^)AB=BC=DC=DA=AP=PD,PC=PB=^2AB

PD2+DC1=PC2,AP2+AB2=PB2.

所以DCJ_P。，ABLAP,

又AB=BC=DC=DA,

所以四邊形/BCD為菱形，

所以AB//DC,DCYAP,

又4P,PDu平面P4D,

APC\PD=P,

所以DC_L平面尸/D,

又。Cu平面/BCD,

所以平面PAD1平面ABCD.

(2)由(1)得DC_L平面尸/D,

因?yàn)镈/u平面尸4D,

所以

故四邊形/BCD為正方形.

不妨設(shè)正方形ABCD的邊長為2,

4。的中點(diǎn)為O,連接尸0.

因?yàn)锳P/O為等邊三角形，

所以POL4D,

又POu平面尸，

又平面PADc平面ABCD=AD,

且平面PAD1平面ABCD,

所以尸01平面4BCD.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，DC，麗的方向分別為x,了，z軸的正方向,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則尸（0,0,6）,"（1,0,0）,5（1,2,0）,C（一1,2,0）.

假設(shè)存在點(diǎn)E,使得平面AEB與平面3CE夾角的正弦值為變,

7

PF/、

且言=2（幾＞0），￡（%,%/0）,

AC

PF

由』二%，得而=屈，

即(xo/o/o-百)=4(-1-％o,2--z0),

2_22

解得/=-ITT%=匯

222拒、

所以￡

l+A^+A'l+l>

"-1-2226'

所以通=（0,2,0）,5C=(-2,0,0),PS=(1,2,-A/3),BE=

1+2,1+/L4+2

\7

設(shè)平面4EB的法向量為力=（無i，%zj,

n-AB=2y1=0,

則焉礪=(一1一22凡一2凹=()

I1+2

可取力=(后,0,1+24).

設(shè)平面3CE的法向量為所=（%,%/2）,

mBC=-2X=0,

則2

m?PB=%+2為一A/3Z2=0

可取〃?=（0,魚2b

則小昨鼠不|而2+42兩|

2

解得2=1或2=-2（舍去）,

所以在棱PC上存在點(diǎn)E,使得平面AEB與平面3CE夾角的正弦值為文,

1

H—=1.

EC

19.在棱長均為2的正三棱柱48c-4BG中，E為3G的中點(diǎn).過/￡的截面與棱BB、,4G分別交

（1）若尸為AB,的中點(diǎn)，求三棱柱被截面4G即分成上下兩部分的體積比2；

“2

⑵若四棱錐4-NGE下的體積為逋,求截面AGEF與底面A8C所成二面角的正弦值;

12

⑶設(shè)截面4月乙5的面積為So，a/￡G面積為面積為S2,當(dāng)點(diǎn)尸在棱58上變動(dòng)時(shí)，求走的取

值范圍.

【答案】⑴113

(2)i

「“9

(3)4,-

【分析】（I）可以連接EF,并延長，通過三角形相似得出G為4?？拷麲的三等分點(diǎn)，然后將要求的幾

何體分割成幾個(gè)錐體，轉(zhuǎn)換底面計(jì)算即可；

（2）先求出點(diǎn)G到平面陽￡的距離，得到G為4G靠近￡的四等分點(diǎn).然后通過平面與平面垂直的性質(zhì)

證所做出的角是二面角的平面角，在直角三角形中用三邊關(guān)系求解即可;

先表示S1與邑的關(guān)系，再用［表示圣.

(3)可以設(shè)GG=冽,me[0,1]

J23?

【解析】（1）連接E尸，并延長