專題2.8函數(shù)模型及其應(yīng)用【六大題型】

【新高考專用】

?熱點題型歸納

【題型1利用函數(shù)圖象刻畫實際問題的變化過程】...................................................2

【題型2已知函數(shù)模型解決實際問題】..............................................................4

【題型3構(gòu)造二次函數(shù)模型】......................................................................5

【題型4構(gòu)造指數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型】...............................................................7

【題型5構(gòu)造分段函數(shù)模型】......................................................................8

【題型6函數(shù)模型的選擇問題】....................................................................9

?考情分析

1、函數(shù)模型及其應(yīng)用

考點要求真題統(tǒng)計考情分析

（1）了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函

數(shù)與一次函數(shù)增長速度的

差異函數(shù)模型是高考數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之

⑵理解“指數(shù)爆炸”“對數(shù)2020年新高考全國I卷：第6一，從近幾年的高考形勢來看，高考對

增長”“直線上升”等術(shù)語題，5分函數(shù)模型的考查相對穩(wěn)定，一般以選擇

的含義2020年全國in卷:第4題，題與填空題的形式出現(xiàn)，難度不大；學(xué)

⑶會選擇合適的函數(shù)模5分生在復(fù)習(xí)中要加強對建模能力和應(yīng)用能

型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)力的培養(yǎng).

律，了解函數(shù)模型在社會

生活中的廣泛應(yīng)用

?知識梳理

【知識點1幾種常見的函數(shù)模型】

1.一次函數(shù)模型

一次函數(shù)模型：兀0=依+6（左力為常數(shù)，際0）.

一次函數(shù)是常見的一種函數(shù)模型，在初中就已接觸過.

2.二次函數(shù)模型

二次函數(shù)模型：7（x）=ax2+fcv+c（a,6,c為常數(shù)，存0）.

二次函數(shù)為生活中常見的一種數(shù)學(xué)模型，因二次函數(shù)可求其最大值（或最小值），故最優(yōu)、最省等最值

問題常用到二次函數(shù)模型.

3.塞函數(shù)模型

幕函數(shù)模型應(yīng)用的求解策略

(1)給出含參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，利用待定系數(shù)法求出參數(shù)，確定函數(shù)關(guān)系式.

(2)根據(jù)題意，直接列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.

4.指數(shù)函數(shù)模型

指數(shù)函數(shù)模型:/(x)=6a*+c(a,6,c為常數(shù)，a>0,且*1,厚0).

4.對數(shù)函數(shù)模型

對數(shù)函數(shù)模型：/'(x)=61og“x+c(a,仇c為常數(shù),a>0,且存1，—0).

6.分段函數(shù)模型

由于分段函數(shù)在不同區(qū)間上具有不同的解析式，因此分段函數(shù)在研究條件變化前后的實際問題中具有

廣泛的應(yīng)用.

7.“對勾”函數(shù)模型

對勾函數(shù)模型是?？嫉哪Ｐ?，要牢記此類函數(shù)的性質(zhì)，尤其是單調(diào)性：產(chǎn)ar+g(a>0,b>0),當(dāng)x>0時,

在1d上遞減'在(1，+8)上遞增?另外'還要注意換元法的運用.

【知識點2判斷函數(shù)圖象與實際問題變化過程的解題策略】

1.判斷函數(shù)圖象與實際問題變化過程相吻合的兩種方法

(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象.

(2)驗證法：根據(jù)實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結(jié)合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排

除不符合實際的情況，選出符合實際的情況.

【知識點3實際問題中函數(shù)建模的基本步驟】

1.構(gòu)造函數(shù)模型解決實際問題的基本步驟

(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理清數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型.

(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的函數(shù)模型.

(3)求解：根據(jù)實際問題所需要解決的目標(biāo)及函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征正確求得函數(shù)模型的解.

(4)還原：應(yīng)用問題不是單純的數(shù)學(xué)問題，既要符合數(shù)學(xué)學(xué)科背景又要符合實際背景，因此解出的結(jié)果

要代入原問題中進(jìn)行檢驗、評判，最后得出結(jié)論，作出回答.

?舉一反三

【題型1利用函數(shù)圖象刻畫實際問題的變化過程】

【例1】(2024?海南?模擬預(yù)測)下列四個圖象中，與所給三個事件吻合最好的順序為()

①我離開家不久，發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作業(yè)本再上學(xué);

②我騎著車一路以常速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時間；

③我出發(fā)后，心情輕松，緩緩行進(jìn)，后來為了趕時間開始加速.

A.④①②B.③①②C.②①④D.③②①

【變式1-1]（2024?全國?模擬預(yù)測）某公司在30天內(nèi)4商品的銷售價格P（元）與時間t（天）的關(guān)系滿足

下方圖象所示的函數(shù)，4商品的銷售量Q（萬件）與時間t的關(guān)系是Q=40-a則下列說法正確的是（）

③最大日銷售額為120萬元④最大日銷售額為125萬元

A.①③B.①④C.②③D.②④

【變式1-2]（2023?北京門頭溝?一模）在聲學(xué)中，音量被定義為：Lp=201g*,其中J是音量（單位為流?），

P。是基準(zhǔn)聲壓為2x10-5Pa,P是實際聲音壓強.人耳能聽到的最小音量稱為聽覺下限閾值.經(jīng)過研究表明，

人耳對于不同頻率的聲音有不同的聽覺下限閾值，如下圖所示，其中240Hz對應(yīng)的聽覺下限閾值為20dB,

1000Hz對應(yīng)的聽覺下限閾值為OdB,則下列結(jié)論正確的是（）

A.音量同為20dB的聲音，30~100Hz的低頻比1000~10000Hz的高頻更容易被人們聽到.

B.聽覺下限閾值隨聲音頻率的增大而減小.

C.240Hz的聽覺下限閾值的實際聲壓為0.002Pa.

D.240Hz的聽覺下限閾值的實際聲壓為1000Hz的聽覺下限閾值實際聲壓的10倍.

【變式1-3]（2024?全國?模擬預(yù)測）如圖所示為某池塘中野生水葫蘆的面積與時間的函數(shù)關(guān)系的圖象，假

設(shè)其函數(shù)關(guān)系為指數(shù)函數(shù)，現(xiàn)給出下列說法，其中正確的說法有（）

A.野生水葫蘆的面積每月增長量相等

B.野生水葫蘆從9m2蔓延到36m2歷時超過1個月

C.設(shè)野生水葫蘆蔓延到9m2,20m2,40m2所需的時間分別為匕，打，則有G+匕＜2^

D.野生水葫蘆在第1個月到第3個月之間蔓延的平均速度等于在第2個月到第4個月之間蔓延的平均

速度

【題型2已知函數(shù)模型解決實際問題】

【例2】（2024?廣東茂名?一模）Go〃驢e〃z曲線用于預(yù)測生長曲線的回歸預(yù)測，常見的應(yīng)用有：代謝預(yù)測，

腫瘤生長預(yù)測，有限區(qū)域內(nèi)生物種群數(shù)量預(yù)測，工業(yè)產(chǎn)品的市場預(yù)測等，其公式為：f（x）=kabT（其中人＞

0,6＞0,a為參數(shù)）.某研究員打算利用該函數(shù)模型預(yù)測公司新產(chǎn)品未來的銷售量增長情況，發(fā)現(xiàn)a=e.若久=

1表示該新產(chǎn)品今年的年產(chǎn)量，估計明年0=2）的產(chǎn)量將是今年的e倍，那么b的值為（e為自然數(shù)對數(shù)的底

數(shù)）（）

A.—B.—C.V5-1D.V5+1

22

【變式2-1］（23-24高三上.北京通州?階段練習(xí)）被譽為信息論之父的香農(nóng)提出了一個著名的公式：C=

仞og2（l+§，其中C為最大數(shù)據(jù)傳輸速率，單位為bit/s；W為信道帶寬，單位為Hz；灑信噪比.香農(nóng)公

式在5G技術(shù)中發(fā)揮著舉足輕重的作用.當(dāng)J=99,W=2000Hz時，最大數(shù)據(jù)傳輸速率記為6；當(dāng)］=9999,

加=3000Hz時，最大數(shù)據(jù)傳輸速率記為。2，則合為（）

C1

A.-B.-C.—D.3

324

【變式2-2］（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）若一段河流的蓄水量為。立方米，每天水流量為k立方米，每天往

這段河流排水r立方米的污水，貝狂天后河水的污染指數(shù)機(jī)⑴=（+（如-。e與（如為初始值,領(lǐng)＞0）.現(xiàn)

有一條被污染的河流，其蓄水量是每天水流量的60倍，以當(dāng)前的污染指數(shù)為初始值，若從現(xiàn)在開始停止排

污水，要使河水的污染指數(shù)下降到初始值的點需要的天數(shù)大約是（參考數(shù)據(jù)：ln7=1.95）（）

A.98B.105C.117D.130

【變式2-3］（2024.四川.模擬預(yù)測）2023年6月22日，由中國幫助印尼修建的雅萬高鐵測試成功，高鐵實

現(xiàn)時速350km自動駕駛，不僅速度比普通列車快，而且車內(nèi)噪聲更小.如果用聲強/（單位：W/m2）表示

聲音在傳播途徑中每平方米上的聲能流密度，聲強級L（單位：dB）與聲強/的函數(shù)關(guān)系式為L=L0lg（a/）,

其中為基準(zhǔn)聲強級，。為常數(shù)，當(dāng)聲強/=日時，聲強級L=20dB.下表為不同列車聲源在距離20m處的

聲強級：

聲源與聲源的距離（單位：m）聲強級范圍

內(nèi)燃列車20[50,80]

電力列車20[20,50]

高速列車20{10}

設(shè)在離內(nèi)燃列車、電力列車、高速列車20m處測得的實際聲強分別為/I//，則下列結(jié)論正確的是（）

A.Lo=30B.>I2C.I2>10/3D.<100/2

【題型3構(gòu)造二次函數(shù)模型】

【例3】（2023?江西九江?模擬預(yù)測）隨著新冠病毒的暴發(fā)，感染人數(shù)越來越多，醫(yī)療資料受到極大的挑戰(zhàn),

某地政府開始建立方艙醫(yī)院，建筑公司為某方艙醫(yī)院一病區(qū)預(yù)備的建筑材料總長為158米，計劃建立24間

病房，分為兩排，過道的寬為1米，病房的長為x米，如圖所示，如何設(shè)計病房的長、寬才能使單間病房面

積最大？

【變式3-1］（2024?上海青浦?一模）考慮到高速公路行車安全需要，一般要求高速公路的車速u（公里/小時）

控制在[60,120]范圍內(nèi).已知汽車以0公里/小時的速度在高速公路上勻速行駛時，每小時的油耗(所需要的汽

油量)為2("—左+等)升，其中卜為常數(shù)，不同型號汽車k值不同，且滿足60WkW120.

(1)若某型號汽車以120公里/小時的速度行駛時，每小時的油耗為11.5升，欲使這種型號的汽車每小時的油

耗不超過9升，求車速"的取值范圍；

(2)求不同型號汽車行駛100千米的油耗的最小值.

【變式3-2](2022?上海虹口?一模)某地政府決定向當(dāng)?shù)丶{稅額在4萬元至8萬元(包括4萬元和8萬元)

的小微企業(yè)發(fā)放補助款，發(fā)放方案規(guī)定：補助款隨企業(yè)納稅額的增加而增加，且補助款不低于納稅額的50%.

設(shè)企業(yè)納稅額為x(單位：萬元)，補助款為f(x)=；/一族(單位：萬元)，其中人為常數(shù).

42

(1)分別判斷6=0,6=1時，f(x)是否符合發(fā)放方案規(guī)定，并說明理由；

(2)若函數(shù)/(%)符合發(fā)放方案規(guī)定，求b的取值范圍.

【變式3-3](2023?上海嘉定?二模)某村共有100戶農(nóng)民，且都從事蔬菜種植，平均每戶的年收入為2萬

元.為了調(diào)整產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，該鎮(zhèn)政府決定動員部分農(nóng)民從事蔬菜加工.據(jù)估計，若能動員x(x€N*)戶農(nóng)民從

事蔬菜加工，則剩下的繼續(xù)從事蔬菜種植的農(nóng)民平均每戶的年收入比上一年提高2x%,而從事蔬菜加工的

農(nóng)民平均每戶的年收入為2(a—。％)(a>0)萬元.

(1)在動員x戶農(nóng)民從事蔬菜加工后，要使從事蔬菜種植的農(nóng)民的總年收入不低于動員前100戶農(nóng)民的總

年收入，求久的取值范圍；

(2)在(1)的條件下，要使這100戶農(nóng)民中從事蔬菜加工的農(nóng)民的總年收入始終不高于從事蔬菜種植的

農(nóng)民的總年收入，求a的最大值.

【題型4構(gòu)造指數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型】

[例4]（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）2023年10月31日，國務(wù)院新聞辦舉行“權(quán)威部門話開局”系列主題新

聞發(fā)布會的第28場發(fā)布會.會上提出蒙古國、中國，包括東北亞的日本、韓國，都是沙漠化的受害者，所以防

沙治沙、植樹造林符合本地區(qū)各國和人民當(dāng)前及長遠(yuǎn)利益.根據(jù)對中國國家整理的中國沙塵暴資料的分析，發(fā)

現(xiàn)持續(xù)時間大于t的沙塵暴次數(shù)N滿足N=a-10-tb,目前經(jīng)測驗4地情況氣象局發(fā)現(xiàn)，t=300時，次數(shù)N=

5j=600時，次數(shù)N=3,據(jù)此計算N=4時對應(yīng)的持續(xù)時間t約為（）

（參考數(shù)據(jù)：lg2x0.301,lg3-0.477）

A.389B.358C.423D.431

【變式4-1]（2024.寧夏銀川?一模）鋰電池在存放過程中會發(fā)生自放電現(xiàn)象，其電容量損失量隨時間的變

化規(guī)律為、=卜嚴(yán)，其中。（單位mAh）為電池容量損失量，p是時間f的指數(shù)項，反映了時間趨勢由反應(yīng)

級數(shù)決定，上是方程剩余項未知參數(shù)的組合，與溫度T和電池初始荷電狀態(tài)M等自放電影響因素有關(guān).以某

種品牌鋰電池為研究對象，經(jīng)實驗采集數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合后獲得p=0.5,相關(guān)統(tǒng)計學(xué)參數(shù)R2>0.995,且預(yù)

測值與實際值誤差很小.在研究M對。的影響時，其他參量可通過控制視為常數(shù)，電池自放電容量損失量

隨時間的變化規(guī)律為Q=ktp=e（?BM）tP,經(jīng)實驗采集數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合后獲得4=2.228,8=1.3,相關(guān)統(tǒng)計

學(xué)參數(shù)#=0.999,且預(yù)測值與實際值誤差很小.若該品牌電池初始荷電狀態(tài)為80%,存放16天后，電容

量損失量約為（）

（參考數(shù)據(jù)為：e322~25.08,e3232?25.33,e3265~26.26,e3628?37.64）

A.100.32B.101.32C.105.04D.150.56

【變式4-2]（2024?湖南長沙?三模）地震震級通常是用來衡量地震釋放能量大小的數(shù)值，里氏震級最早是

由查爾斯?里克特提出的，其計算基于地震波的振幅，計算公式為M=lg2-IgA。，其中M表示某地地震的里

氏震級，4表示該地地震臺測振儀記錄的地震波的最大振幅，4。表示這次地震中的標(biāo)準(zhǔn)地震振幅.假設(shè)在一

次地震中，某地地震臺測振儀記錄的地震波的最大振幅為5000,且這次地震的標(biāo)準(zhǔn)地震振幅為0.002,則該

地這次地震的里氏震級約為（）（參考數(shù)據(jù)：0.3）

A.6.3級B.6.4級C.7.4級D.7.6級

【變式4-3]（2023?陜西咸陽?模擬預(yù)測）陜西榆林神木石期遺址發(fā)現(xiàn)于1976,經(jīng)過數(shù)十年的發(fā)掘研究，已

證實是中國已發(fā)現(xiàn)的龍山晚期到夏早期規(guī)模最大的城址，出土了大量玉器、陶器、壁畫、房屋、城池、人

體骨骼等遺跡，2019年科技人員對遺跡中發(fā)現(xiàn)的某具人婁骨骼化石進(jìn)行碳14測定年代，公式為：t=

57301n(—)+0.693(其中t為樣本距今年代，出為現(xiàn)代活體中碳14放射性豐度，4為測定樣本中碳14放射

性豐度)，已知現(xiàn)代活體中碳14放射性豐度40=1.2XICT%該人類骨骼碳14放射性豐度2=7.4xIO-%

則該骨骼化石距今的年份大約為()(附：lnl.6216=0.4834,lnl.7=0.5306,Ini.5=0.4055)

A.3353B.3997C.4125D.4387

【題型5構(gòu)造分段函數(shù)模型】

【例5】(2023?上海普陀?模擬預(yù)測)某公司按銷售額給銷售員提成作獎金，每月的基本銷售額為20萬元，

超額中的第一個5萬元(含5萬元以下)，按超額部分的2%提成作獎金；超額中的第二個5萬元，按超額

部分的4%提成作獎金；……后每增加5萬元，其提成比例也增加一個2%.如銷售員某月銷售額為27萬元,

則按照合約，他可得獎金為50000x2%+(70000-50000)x4%=1800元.試求：

(1)銷售員某月獲得獎金7200元，則他該月的銷售額為多少？

(2)若某銷售員7、8月份的總銷售額為60萬元，且兩月都完成基本銷售額，那么他這兩個月的總獎金的最大、

最小值分別是多少？

【變式5-1](2023?上海浦東新?三模)某晚報曾刊登過一則生活趣事，某市民唐某乘坐出租車時，在半途

中罵罵咧咧要求司機(jī)臨時停靠，打表計價結(jié)賬，然后重新計價，繼續(xù)前行，該市民解釋說，根據(jù)經(jīng)驗，這

樣分開支付車費比一次性付費便宜一些，他的這一說法有道理嗎？確實，由于出租車運價上調(diào)，有些人出

行時會估計一下可能的價格，再決定是否乘坐出租車.據(jù)了解，2018年上海出租車在5時到23時之間起租

價為14元/3千米，超起租里程單價為2.50元/千米，總里程超過15千米(不含15千米)部分按超起租里

程單價加50%.此外，相關(guān)部門還規(guī)定了低速等候費和其他時段的計價辦法，以及適合其他車型的計價辦法.

你乘坐過出租車嗎？你會仿效那位市民唐某的做法嗎？為什么？

(1)根據(jù)上述情境你能提出什么數(shù)學(xué)問題？為了解決你的問題，你能否作出一些合理假設(shè)？

(2)你能否根據(jù)你的假設(shè)建立數(shù)學(xué)模型，并回答你所提出的問題.

【變式5-2]（2024.江蘇南通.二模）某單位購入了一種新型的空氣消毒劑用于環(huán)境消毒，已知在一定范圍

內(nèi)，每噴灑1個單位的消毒劑，空氣中釋放的濃度y（單位：毫米/立方米）隨著時間x（單位：小時）變化

的關(guān)系如下：當(dāng)0WXW4時，y=蕓一1；當(dāng)4〈久W10時，y=5-^x.若多次噴灑，則某一時刻空氣中

的消毒劑濃度為每次投放的消毒劑在相應(yīng)時刻所釋放的濃度之和.由實驗知，當(dāng)空氣中消毒劑的濃度不低

于4（毫克/立方米）時，它才能起到殺滅空氣中的病毒的作用.

（1）若一次噴灑4個單位的消毒劑，則有效殺滅時間可達(dá)幾小時？

（2）若第一次噴灑2個單位的消毒劑，6小時后再噴灑a（l<a<4）個單位的消毒劑，要使接下來的4小時中

能夠持續(xù)有效消毒，試求a的最小值（精確到01，參考數(shù)據(jù)：/取1.4）

【變式5-3]（2024.上海寶山?模擬預(yù)測）自2017年起，上海市開展中小河道綜合整治，全面推進(jìn)“人水相

依，延續(xù)風(fēng)貌，豐富設(shè)施，精彩活動”的整治目標(biāo).某科學(xué)研究所針對河道整治問題研發(fā)了一種生物復(fù)合劑.這

種生物復(fù)合劑入水后每1個單位的活性隨時間x（單位：小時）變化的函數(shù)為u=

/256,.?.

------%+64，0V%v4

，+4—，已知當(dāng)x=4時，a的值為28,且只有在活性不低于3.5時才能產(chǎn)生有效作

、a（12—x）/4<%<12

用.

（1）試計算每1個單位生物復(fù)合劑入水后產(chǎn)生有效作用的時間；（結(jié)果精確到0.1小時）

（2）由于環(huán)境影響，每1個單位生物復(fù)合劑入水后會產(chǎn)生損耗，設(shè)損耗剩余量。關(guān)于時間x的函數(shù)為u=

0<%<12,記aw為每1個單位生物復(fù)合劑的實際活性，求出U2的最大值.（結(jié)果精確到0.1）

【題型6函數(shù)模型的選擇問題】

【例6】（2024.上海崇明.二模）環(huán)保生活，低碳出行，電動汽車正成為人們購車的熱門選擇.某型號的電

動汽車在國道上進(jìn)行測試，國道限速80km/h.經(jīng)多次測試得到該汽車每小時耗電量M（單位：Wh）與速度

v（單位：km/h）的數(shù)據(jù)如下表所示:

V0104060

M0132544007200

為了描述國道上該汽車每小時耗電量〃與速度口的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：

32

①Mi（u）=—v+bv+cv；②M2（U）=1000?+a；③M3（u）=3001ogav+b.

（1）當(dāng)時，請選出你認(rèn)為最符合表格中所列數(shù)據(jù)的函數(shù)模型（需說明理由），并求出相應(yīng)的函數(shù)

解析式；

（2）現(xiàn)有一輛同型號電動汽車從A地行駛到8地，其中高速上行駛200km,國道上行駛30km,若高速路上該

汽車每小時耗電量N（單位：Wh）與速度v（單位：km/h）的關(guān)系滿足N3）=2v2-10v+200（80<v<

120）,則如何行駛才能使得總耗電量最少，最少為多少？

【變式6-1］（2024?全國?模擬預(yù)測）某養(yǎng)殖場隨著技術(shù)的進(jìn)步和規(guī)模的擴(kuò)張，肉雞產(chǎn)量在不斷增加.我們

收集到2020年前10個月該養(yǎng)殖場上市的肉雞產(chǎn)量如下:

月份（m）12345678910

產(chǎn)量（W）1.02072.00002.57822.99743.31393.57893.80414.00004.17364.3294

產(chǎn)量W（萬只）和月份m之間可能存在以下四種函數(shù)關(guān)系：①W=b?aq②W=6?機(jī)氣③皿=b+logam；

@W=a+-.（各式中均有a>0,b>0）.

m

（I）請你從這四個函數(shù)模型中去掉一個與表格數(shù)據(jù)不吻合的函數(shù)模型，并說明理由；

（II）請你從表格數(shù)據(jù)中選擇2月份和8月份，再從第一問剩下的三種模型中任選兩個函數(shù)模型進(jìn)行建模,

求出這兩種函數(shù)表達(dá)式再分別求出兩種模型下4月份的產(chǎn)量，并說明哪個函數(shù)模型更好.

【變式6-2］（23-24高一上?浙江湖州?期末）隨著電動汽車研發(fā)技術(shù)的日益成熟，電動汽車的普及率越來越

高.某型號電動汽車在封閉路段進(jìn)行測試，限速80km/h（不含80km/h）.經(jīng)多次測試得到，該汽車每小

時耗電量M（單位：Wh）與速度u（單位：km/h）的數(shù)據(jù)如下表所示.

V0103070

M0132533759275

為了描述國道上該汽車每小時耗電量與速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：

32

M（v）=v+bv+cv,M（u）=1000?修）+a,M（u）=3001ogav+b.

（1）當(dāng)0<u<80時，請選出你認(rèn)為最符合表格所列數(shù)據(jù)實際的函數(shù)模型，并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；

（2）在本次測試報告中，該電動汽車的最長續(xù)航里程為400km.若測試過程為勻速運動，請計算本次測試時

的車速為何值時，該電動汽車電池所需的容量（單位：Wh）最小？并計算出該最小值.

【變式6-3］（23-24高一上.上海.期末）浦東某購物中心開業(yè)便吸引了市民紛紛來打卡（觀光或消費），某

校數(shù)學(xué)建模社團(tuán)根據(jù)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該購物中心開業(yè)一個月內(nèi)（以30天計），每天打卡人數(shù)PQ）與第x天近似地

滿足函數(shù)POO=8+：（萬人），k為正常數(shù),且第8天的打卡人數(shù)為9萬人.

工+從請你根據(jù)上表中

的數(shù)據(jù)，從中選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)來描述打卡市民（含觀光）的人均消費CQ）（元）與第x天的關(guān)

系，并求出該函數(shù)的解析式;

（2）確定k的值，并在問題（1）的基礎(chǔ)上，求出該購物中心日營業(yè)收入f（x）（1W久W30,x為正整數(shù)）的最

小值（單位：萬元）.

（注：日營業(yè)收入=日打卡人數(shù)P（x）x人均消費CO））.

?過關(guān)測試

一、單選題

1.（2024.青海海西?模擬預(yù)測）北京時間2020年11月24日4時30分，中國在文昌航天發(fā)射場用長征五

號遙五運載火箭，成功將嫦娥五號月球探測器送入地月轉(zhuǎn)移軌道，發(fā)射取得圓滿成功.在不考慮空氣阻力

的情況下，火箭的最大速度。（km/s）和燃料的質(zhì)量M（kg）、火箭（除燃料外）的質(zhì)量?n（kg）的函數(shù)關(guān)系是u=

20001n（l+\）.按照這個規(guī)律，當(dāng)1000M=8m時，火箭的最大速度為女；當(dāng)1000M=4m時，火箭的最

大速度為攻.則丹-%（參考數(shù)據(jù)：ln|||=0.004）（）

A.8.0km/sB.8.4km/sC.8.8km/sD.9.0km/s

2.（2024.寧夏吳忠.模擬預(yù)測）從甲地到乙地的距離約為240km,經(jīng)多次實驗得到一輛汽車每小時耗油量Q

（單位：L）與速度u（單位：km/h）（0<v<120）的下列數(shù)據(jù)：

V0406080120

Q0.0006.6678.12510.00020.000

為描述汽車每小時耗油量與速度的關(guān)系，則下列四個函數(shù)模型中，最符合實際情況的函數(shù)模型是（）

A.Q=0.5"+aB.Q=avb

32

C.Q=av+bv+cvD.Q=k\ogav+b

3.（2024.內(nèi)蒙古赤峰.一模）在下列四個圖形中，點P從點。出發(fā)，按逆時針方向沿周長為/的圖形運動

一周，0、尸兩點連線的距離y與點尸走過的路程x的函數(shù)關(guān)系如圖，那么點尸所走的圖形是（）

必

OIX

T

4.（2024?全國?模擬預(yù)測）近年來，“共享單車”的出現(xiàn)為市民“綠色出行”提供了極大方便.某共享單車公司

計劃在甲、乙兩座城市共投資120萬元，根據(jù)行業(yè)規(guī)定，每座城市至少要投資40萬元.由前期市場調(diào)研可知：

甲城市收益P（單位：萬元）與投入a（單位：萬元）滿足P=3后-6,乙城市收益Q（單位：萬元）與投入4（單

位：萬元）滿足Q=；A+2,則投資這兩座城市收益的最大值為（）

4

A.26萬元B.44萬元C.48萬元D.72萬元

5.（2024.北京通州.二模）某池塘里原有一塊浮萍，浮萍蔓延后的面積S（單位：平方米）與時間t（單位:

月）的關(guān)系式為S=M+i（a>0,且aRl）,圖象如圖所示.則下列結(jié)論正確的個數(shù)為（）

①浮萍每個月增長的面積都相等；

②浮萍蔓延4個月后，面積超過30平方米；

③浮萍面積每個月的增長率均為50%；

④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所經(jīng)過的時間分別是t2,t3-則ti+t2=t3.

6.（2024?北京懷柔?模擬預(yù)測）“綠水青山就是金山銀山”的理念已經(jīng)提出18年，我國城鄉(xiāng)深化河道生態(tài)環(huán)

境治理，科學(xué)治污.現(xiàn)有某鄉(xiāng)村一條污染河道的蓄水量為v立方米，每天的進(jìn)出水量為左立方米，已知污染

源以每天廠個單位污染河水，某一時段M單位：天）河水污染質(zhì)量指數(shù)爪（t）（每立方米河水所含的污染物）

滿足機(jī)（t）=*+（爪0-。0-宗（爪0為初始質(zhì)量指數(shù)），經(jīng)測算，河道蓄水量是每天進(jìn)出水量的50倍.若從現(xiàn)

在開始停止污染源，要使河水的污染水平下降到初始時的；，需要的時間大約是（參考數(shù)據(jù)：ln5=1.61,

6

ln6?1.79）（）

A.1個月B.3個月C.半年D.1年

7.（2023?北京?模擬預(yù)測）血藥濃度（PlasmaConcentration^）是指藥物吸收后在血漿內(nèi)的總濃度.藥物在

人體內(nèi)發(fā)揮治療作用時，該藥物的血藥濃度應(yīng)介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間.已知成人單次服用1

單位某藥物后，體內(nèi)血藥濃度及相關(guān)信息如圖所示：

J

U

I不

一最低中毒濃度（MTC）

安

ohU峰濃度

I

)全

幽

范

理

圍

名&

目-----最低有效濃度（MEC）

,

疝、時）

O12345^6―7—7rli

——持續(xù)期------J殘留期

根據(jù)圖中提供的信息，下列關(guān)于成人使用該藥物的說法中:

①首次服用該藥物1單位約10分鐘后，藥物發(fā)揮治療作用；

②每次服用該藥物1單位，兩次服藥間隔小于2小時，一定會產(chǎn)生藥物中毒；

③每向隔5.5小時服用該藥物1單位，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用；

④首次服用該藥物1單位3小時后，再次服用該藥物1單位，不會發(fā)生藥物中毒.

其中正確說法的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

8.（2023?江西南昌?二模）為了預(yù)防某種病毒，某學(xué)校需要通過噴灑藥物對教室進(jìn)行全面消毒.出于對學(xué)

生身體健康的考慮，相關(guān)部門規(guī)定空氣中這種藥物的濃度不超過0.25毫克/立方米時，學(xué)生方可進(jìn)入教室.已

知從噴灑藥物開始，教室內(nèi)部的藥物濃度y（毫克/立方米）與時間f（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系為y=

0.1t,0<t<10

，函數(shù)的圖像如圖所示.如果早上7：30就有學(xué)生進(jìn)入教室，那么開始噴灑藥物的時間最

遲是（）

A.7：00B.6：40C.6：30D.6：00

二、多選題

9.（2024.河南?模擬預(yù)測）1889年瑞典的阿倫尼烏斯提出了阿倫尼烏斯公式：k=Ae-^（R和4均為大于0

的常數(shù)），k為反應(yīng)速率常數(shù)（與反應(yīng)速率成正比），T為熱力學(xué)溫度（T>0）,在同一個化學(xué)反應(yīng)過程中

以為大于0的定值.已知對于某一化學(xué)反應(yīng)，若熱力學(xué)溫度分別為A和72時，反應(yīng)速率常數(shù)分別為七和B（此

過程中力，R與％的值保持不變），貝U（）

A.右則七>七

B.若丁>12，則七<々2

C.若T2=3T「一黑=加，則ln?=|"

D.若72=371，——M,則In答=|M

10.（2023?全國?模擬預(yù)測）小菲在學(xué)校選修課中了解了艾賓浩斯遺忘曲線.為了解自己記憶一組單詞的情

況，她記錄了隨后一個月的有關(guān)數(shù)據(jù)，繪制圖象，擬合了記憶保持量y與時間x（單位：天）之間的函數(shù)關(guān)

（7

-----X+1,0<%<1

系霽x.則下列說法中正確的是（）

”（劫EK3。

A.隨著時間的增加：小菲的單詞記憶保持量降低

B.第一天小菲的單詞記憶保持量下降最多

C.9天后，小菲的單詞記憶保持量不低于40%

D.26天后，小菲的單詞記憶保持量不足20%

11.（2024.全國.模擬預(yù)測）某地下車庫在排氣扇發(fā)生故障的情況下測得空氣中一氧化碳含量達(dá)到了危險狀

態(tài)，經(jīng)搶修排氣扇恢復(fù)正常，排氣4分鐘后測得車庫內(nèi)的一氧化碳濃度為64ppm,繼續(xù)排氣4分鐘后又測

得濃度為32ppm.由檢驗知該地下車庫一氧化碳濃度y（單位：ppm）與排氣時間t（單位：分鐘）之間滿

足函數(shù)關(guān)系y=aeRt（a,R為常數(shù),e是自然對數(shù)的底數(shù)）.若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5ppm,人就可

以安全進(jìn)入車庫了，則下列說法正確的是（）

A.a=128

B.R=-\n2

4

C.排氣12分鐘后濃度為16Ppm

D.排氣32分鐘后，人可以安全進(jìn)入車庫

三、填空題

12.（2024.廣東廣州.模擬預(yù)測）“阿托秒”是一種時間的國際單位，“阿托秒，等于10T8秒，原子核內(nèi)部作用

過程的持續(xù)時間可用“阿托秒”表示.《莊子?天下》中提到，“一尺之例，日取其半，萬世不竭”，如果把“一

尺之?！钡拈L度看成1米，按照此法，至少需要經(jīng)過天才能使剩下“梗”的長度小于光在2“阿托秒”內(nèi)

走過的距離.（參考數(shù)據(jù)：光速為3x108米/秒，［g2yo.3,lg3=0.48）

13.（2024?上海長寧?二模）甲、乙、丙三輛出租車2023年運營的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：

甲乙丙

接單量f（單）783182258338

油費S（元）107150110264110376

平均每單里程左（公里）151515

平均每公里油費a（元）0.70.70.7

出租車空駛率=鱉給需鬻警；依據(jù)以上數(shù)據(jù)，小明建立了求解三輛車的空駛率的模型a=

出租車仃駛的總里程

f（s,t,k,a）,并求得甲、乙、丙的空駛率分別為23.26%、21.68%、x%,貝卜=.（精確到0.01）

14.（2024.北京.模擬預(yù)測）農(nóng)業(yè)技術(shù)員進(jìn)行某種作物的種植密度試驗，把一塊試驗田劃分為8塊面積相等

的區(qū)域（除了種植密度，其它影響作物生長的因素都保持一致），種植密度和單株產(chǎn)量統(tǒng)計如下：

種植密度（株數(shù)/n?）

5

45

4

3

Z4

2

1

區(qū)域代號

O

根據(jù)上表所提供信息，第號區(qū)域的總產(chǎn)量最大.

四、解答題

15.（2024?貴州六盤水?模擬預(yù)測）中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān).水城春茶

因富含有機(jī)茶硒和十余種人體必需的微量元素而享譽貴州省內(nèi)外.經(jīng)驗表明，水城春茶用85K的水泡制，再

等到茶水溫度降至60久時，飲用口感最佳.為方便控制水溫，某研究小組采用了物體在常溫環(huán)境下溫度變化

的冷卻模型：若物體的初始溫度是%。c,室溫是品久，則經(jīng)過時間單位：分鐘)后物體的溫度e(單位:

℃)滿足。=。0+(的-/)?e-kt,其中々為正常數(shù).該研究小組在19K的室溫下，通過多次測量取平均值的

方法，測得200mL初始溫度為98汽的水的溫度降至相應(yīng)溫度所需時間如下表所示：

從98冤降至85久所需時間3.4分鐘

從98久降至80久所需時間5.0分鐘

(1)從上表中選取一組數(shù)據(jù)求出發(fā)的值(精確到0.01),并根據(jù)上述冷卻模型寫出冷卻時間f關(guān)于冷卻后水溫

。的函數(shù)解析式；

(2)在(1)的條件下，現(xiàn)用200mL水在19久的室溫下泡制水城春茶，從泡制到獲得最佳飲用口感約需要多

少分鐘？(精確到0.1分鐘)

(參考數(shù)據(jù)：ln79?4.369,ln66?4.190,ln61?4.111,ln41?3.714)

16.(2023?上海楊浦?一模)企業(yè)經(jīng)營一款節(jié)能環(huán)保產(chǎn)品，其成本由研發(fā)成本與生產(chǎn)成本兩部分構(gòu)成.生產(chǎn)

成本固定為每臺130元.根據(jù)市場調(diào)研，若該產(chǎn)品產(chǎn)量為x萬臺時，每萬臺產(chǎn)品的銷售收入為/(x)萬元.兩

者滿足關(guān)系：/(%)=220-x(0<%<220)

(1)甲企業(yè)獨家經(jīng)營，其研發(fā)成本為60萬元.求甲企業(yè)能獲得利潤的最大值；

(2)乙企業(yè)見有利可圖，也經(jīng)營該產(chǎn)品，其研發(fā)成本為40萬元.問：乙企業(yè)產(chǎn)量多少萬臺時獲得的利潤最大;

(假定甲企業(yè)按照原先最大利潤生產(chǎn)，并未因乙的加入而改變)

(3)由于乙企業(yè)參與，甲企業(yè)將不能得到預(yù)期的最大收益、因此會作相應(yīng)調(diào)整，之后乙企業(yè)也會隨之作出調(diào)

整，最終雙方達(dá)到動態(tài)平衡(在對方當(dāng)前產(chǎn)量不變的情況下，己方達(dá)到利潤最大)求動態(tài)平衡時，兩企業(yè)

各自的產(chǎn)量和利潤分別是多少.

17.(2024?浙江金華?模擬預(yù)測)太陽能板供電是節(jié)約能源的體現(xiàn)，其中包含電池板和蓄電池兩個重要組件,

太陽能板通過電池板將太陽能轉(zhuǎn)換為電能，再將電能儲存于蓄電池中.已知在一定條件下，入射光功率密

度p=9(E為入射光能量且E>0,S為入射光入射有效面積)，電池板轉(zhuǎn)換效率〃(0<r]<100%)與入射光

功率密度p成反比，且比例系數(shù)為4.

⑴若k=2,S=1.5平方米，求蓄電池電能儲存量。與E的關(guān)系式；

(2)現(xiàn)有鉛酸蓄電池和鋰離子蓄電池兩種蓄電池可供選擇，且鉛酸蓄電池的放電量/=Q+E-i,鋰離子蓄電

池的放電量/=及+".設(shè)SNl,k>1,給定不同的Q,請分析并討論為了使得太陽能板供電效果更好,

應(yīng)該選擇哪種蓄電池？

注：①蓄電池電能儲存量Q=/E；

②當(dāng)S,k,。一定時，蓄電池的放電量越大，太陽能板供電效果越好.

18.(2023?上海嘉定?一模)李先生屬于一年工作250天的上班族，計劃購置一輛新車用以通勤.大致推斷每

天早八點從家出發(fā)，晚上六點回家，往返總距離為40公里.考慮從48兩款車型中選擇其一，A款車是燃油

車，B款車是電動車，售價均為30萬元.現(xiàn)提供關(guān)于兩種車型的相關(guān)信息：

4款車的油耗為6升/百公里，油價為每升8至9元.車險費用4000元/年.購置稅為售價的10%.購車后，車價每年

折舊率為12%.保養(yǎng)費用平均2000元/萬公里；

B款車的電耗為20度/百公里，電費為每度0.6至0.7元.車險費用6000元/年.國務(wù)院2022年出臺文件，宣布保持

免除購置稅政策.電池使用壽命為5年，更換費用為10萬元.購車后，車價每年折舊率為15%.保養(yǎng)費用平均

1000元/萬公里.

(1)除了上述了解到的情況，還有哪些因素可能需要考慮?寫出這些因素(至少3個，不超過5個)；

(2)為了簡化問題，請對相關(guān)因素做出合情假設(shè)，由此為李先生作出買車的決策，并說明理由.

19.（2024?北京?二模）為響應(yīng)國家“降碳減排”號召，新能源汽車得到蓬勃發(fā)展，而電池是新能源汽車最核

心的部件之一.湖南某企業(yè)為抓住新能源汽車發(fā)展帶來的歷史性機(jī)遇，決定開發(fā)生產(chǎn)一款新能源電池設(shè)備.生

產(chǎn)這款設(shè)備的年固定成本為200萬元，每生產(chǎn)x臺（xeN+）需要另投入成本以久）（萬元），當(dāng)年產(chǎn)量久不足

45臺時，a（x）=工久2+30%―300萬元，當(dāng)年產(chǎn)量%不少于45臺時，a（久）=61久+至U-900萬元.若每臺設(shè)

2x+1

備的售價與銷售量的關(guān)系式為（60+詈）萬元，經(jīng)過市場分析，該企業(yè)生產(chǎn)新能源電池設(shè)備能全部售完.

（1）求年利潤y（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量%（臺）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）年產(chǎn)量x為多少臺時，該企業(yè)在這一款新能源電池設(shè)備的生產(chǎn)中獲利最大？最大利潤是多少萬元？

專題2.8函數(shù)模型及其應(yīng)用【六大題型】

【新高考專用】

?熱點題型歸納

【題型1利用函數(shù)圖象刻畫實際問題的變化過程】...................................................2

【題型2已知函數(shù)模型解決實際問題】..............................................................4

【題型3構(gòu)造二次函數(shù)模型】......................................................................5

【題型4構(gòu)造指數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型】...............................................................7

【題型5構(gòu)造分段函數(shù)模型】......................................................................8

【題型6函數(shù)模型的選擇問題】....................................................................9

?考情分析

1、函數(shù)模型及其應(yīng)用

考點要求真題統(tǒng)計考情分析

(1)了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函

數(shù)與一次函數(shù)增長速度的

差異函數(shù)模型是高考數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之

⑵理解“指數(shù)爆炸”“對數(shù)2020年新高考全國I卷：第6一，從近幾年的高考形勢來看，高考對

增長”“直線上升”等術(shù)語題，5分函數(shù)模型的考查相對穩(wěn)定，一般以選擇

的含義2020年全國in卷:第4題,題與填空題的形式出現(xiàn)，難度不大；學(xué)

⑶會選擇合適的函數(shù)模5分生在復(fù)習(xí)中要加強對建模能力和應(yīng)用能

型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)力的培養(yǎng).

律，了解函數(shù)模型在社會

生活中的廣泛應(yīng)用

?知識梳理

【知識點1幾種常見的函數(shù)模型】

1.一次函數(shù)模型

一次函數(shù)模型：式x)=fcc+b/力為常數(shù)，片0).

一次函數(shù)是常見的一種函數(shù)模型，在初中就已接觸過.

2.二次函數(shù)模型

二次函數(shù)模型：為常數(shù)，

二次函數(shù)為生活中常見的一種數(shù)學(xué)模型，因二次函數(shù)可求其最大值(或最小值)，故最優(yōu)、最省等最值

問題常用到二次函數(shù)模型.

3.塞函數(shù)模型

幕函數(shù)模型應(yīng)用的求解策略

(1)給出含參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，利用待定系數(shù)法求出參數(shù)，確定函數(shù)關(guān)系式.

(2)根據(jù)題意，直接列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.

4.指數(shù)函數(shù)模型

指數(shù)函數(shù)模型：/'(x)=ba，+c(a,6,c為常數(shù)，a>0,且存1,厚0).

4.對數(shù)函數(shù)模型

對數(shù)函數(shù)模型：/■(工)=6108/十，3力,亡為常數(shù),a>0,且分1,厚0).

6.分段函數(shù)模型

由于分段函數(shù)在不同區(qū)間上具有不同的解析式，因此分段函數(shù)在研究條件變化前后的實際問題中具有

廣泛的應(yīng)用.

7.“對勾”函數(shù)模型

對勾函數(shù)模型是?？嫉哪Ｐ?，要牢記此類函數(shù)的性質(zhì)，尤其是單調(diào)性：y=ax+^(a>Q,b>0),當(dāng)x>0時,

在?J1d上遞減'在(\W，+8)上遞增.另外'還要注意換元法的運用.

【知識點2判斷函數(shù)圖象與實際問題變化過程的解題策略】

1.判斷函數(shù)圖象與實際問題變化過程相吻合的兩種方法

(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象.

(2)驗證法：根據(jù)實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結(jié)合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排

除不符合實際的情況，選出符合實際的情況.

【知識點3實際問題中函數(shù)建模的基本步驟】

1.構(gòu)造函數(shù)模型解決實際問題的基本步驟

(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理清數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型.

(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的函數(shù)模型.

(3)求解：根據(jù)實際問題所需要解決的目標(biāo)及函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征正確求得函數(shù)模型的解.

(4)還原：應(yīng)用問題不是單純的數(shù)學(xué)問題，既要符合數(shù)學(xué)學(xué)科背景又要符合實際背景，因此解出的結(jié)果

要代入原問題中進(jìn)行檢驗、評判，最后得出結(jié)論，作出回答.

?舉一反三

【題型1利用函數(shù)圖象刻畫實際問題的變化過程】

【例1】(2024?海南?模擬預(yù)測)下列四個圖象中，與所給三個事件吻合最好的順序為()

①我離開家不久，發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作業(yè)本再上學(xué);

②我騎著車一路以常速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時間;

③我出發(fā)后，心情輕松，緩緩行進(jìn)，后來為了趕時間開始加速.

A.④①②B.③①②C.②①④D.③②①

【解題思路】根據(jù)三個事件的特征，分析離家距離的變化情況，選出符合事件的圖像.

【解答過程】對于事件①，中途返回家，離家距離為0,故圖像④符合；

對于事件②，堵車中途耽擱了一些時間，中間有段時間離家距離不變，故圖像①符合;

對于事件③，前面速度慢，后面趕時間加快速度，故圖像②符合；

故選：A.

【變式1-1]（2024?全國?模擬預(yù)測）某公