2025屆廣西桂林、北海、崇左招生全國(guó)統(tǒng)一考試4月(二診)調(diào)研測(cè)試(康德版)數(shù)學(xué)試題_第1頁(yè)
2025屆廣西桂林、北海、崇左招生全國(guó)統(tǒng)一考試4月(二診)調(diào)研測(cè)試(康德版)數(shù)學(xué)試題_第2頁(yè)
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2025屆廣西桂林、北海、崇左招生全國(guó)統(tǒng)一考試4月(二診)調(diào)研測(cè)試(康德版)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知三點(diǎn)A(1,0),B(0,),C(2,),則△ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為()A. B.C. D.2.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),當(dāng)x∈[﹣3,﹣2]時(shí),f(x)=﹣x﹣2,則()A. B.f(sin3)<f(cos3)C. D.f(2020)>f(2019)3.我們熟悉的卡通形象“哆啦A夢(mèng)”的長(zhǎng)寬比為.在東方文化中通常稱這個(gè)比例為“白銀比例”,該比例在設(shè)計(jì)和建筑領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.已知某電波塔自下而上依次建有第一展望臺(tái)和第二展望臺(tái),塔頂?shù)剿椎母叨扰c第二展望臺(tái)到塔底的高度之比,第二展望臺(tái)到塔底的高度與第一展望臺(tái)到塔底的高度之比皆等于“白銀比例”,若兩展望臺(tái)間高度差為100米,則下列選項(xiàng)中與該塔的實(shí)際高度最接近的是()A.400米 B.480米C.520米 D.600米4.已知,,,若,則正數(shù)可以為()A.4 B.23 C.8 D.175.已知復(fù)數(shù)滿足(是虛數(shù)單位),則=()A. B. C. D.6.已知焦點(diǎn)為的拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn),點(diǎn)在拋物線上,則當(dāng)取得最大值時(shí),直線的方程為()A.或 B.或 C.或 D.7.一場(chǎng)考試需要2小時(shí),在這場(chǎng)考試中鐘表的時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為()A. B. C. D.8.要排出高三某班一天中,語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)各節(jié),自習(xí)課節(jié)的功課表,其中上午節(jié),下午節(jié),若要求節(jié)語(yǔ)文課必須相鄰且節(jié)數(shù)學(xué)課也必須相鄰(注意:上午第五節(jié)和下午第一節(jié)不算相鄰),則不同的排法種數(shù)是()A. B. C. D.9.設(shè),點(diǎn),,,,設(shè)對(duì)一切都有不等式成立,則正整數(shù)的最小值為()A. B. C. D.10.函數(shù)的圖象的大致形狀是()A. B. C. D.11.將一張邊長(zhǎng)為的紙片按如圖(1)所示陰影部分裁去四個(gè)全等的等腰三角形,將余下部分沿虛線折疊并拼成一個(gè)有底的正四棱錐模型,如圖(2)放置,如果正四棱錐的主視圖是正三角形,如圖(3)所示,則正四棱錐的體積是()A. B. C. D.12.在邊長(zhǎng)為2的菱形中,,將菱形沿對(duì)角線對(duì)折,使二面角的余弦值為,則所得三棱錐的外接球的表面積為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.下表是關(guān)于青年觀眾的性別與是否喜歡綜藝“奔跑吧,兄弟”的調(diào)查數(shù)據(jù),人數(shù)如下表所示:不喜歡喜歡男性青年觀眾4010女性青年觀眾3080現(xiàn)要在所有參與調(diào)查的人中用分層抽樣的方法抽取個(gè)人做進(jìn)一步的調(diào)研,若在“不喜歡的男性青年觀眾”的人中抽取了8人,則的值為______.14.記為數(shù)列的前項(xiàng)和.若,則______.15.若,則=______,=______.16.已知曲線,點(diǎn),在曲線上,且以為直徑的圓的方程是.則_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)底面為菱形的直四棱柱,被一平面截取后得到如圖所示的幾何體.若,.(1)求證:;(2)求二面角的正弦值.18.(12分)已知函數(shù)是減函數(shù).(1)試確定a的值;(2)已知數(shù)列,求證:.19.(12分)已知函數(shù)(,為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),.(1)若有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)當(dāng)時(shí),對(duì)任意的恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.(12分)如圖所示,在四棱錐中,底面是棱長(zhǎng)為2的正方形,側(cè)面為正三角形,且面面,分別為棱的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求二面角的正切值.21.(12分)已知函數(shù)f(x)=x-2a-x-a(Ⅰ)若f(1)>1,求a的取值范圍;(Ⅱ)若a<0,對(duì)?x,y∈-∞,a,都有不等式f(x)≤(y+2020)+22.(10分)已知都是大于零的實(shí)數(shù).(1)證明;(2)若,證明.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.B【解析】

選B.考點(diǎn):圓心坐標(biāo)2.B【解析】

根據(jù)函數(shù)的周期性以及x∈[﹣3,﹣2]的解析式,可作出函數(shù)f(x)在定義域上的圖象,由此結(jié)合選項(xiàng)判斷即可.【詳解】由f(x+2)=f(x),得f(x)是周期函數(shù)且周期為2,先作出f(x)在x∈[﹣3,﹣2]時(shí)的圖象,然后根據(jù)周期為2依次平移,并結(jié)合f(x)是偶函數(shù)作出f(x)在R上的圖象如下,選項(xiàng)A,,所以,選項(xiàng)A錯(cuò)誤;選項(xiàng)B,因?yàn)?,所以,所以f(sin3)<f(﹣cos3),即f(sin3)<f(cos3),選項(xiàng)B正確;選項(xiàng)C,,所以,即,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;選項(xiàng)D,,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用,考查函數(shù)值的大小比較,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.3.B【解析】

根據(jù)題意,畫出幾何關(guān)系,結(jié)合各線段比例可先求得第一展望臺(tái)和第二展望臺(tái)的距離,進(jìn)而由比例即可求得該塔的實(shí)際高度.【詳解】設(shè)第一展望臺(tái)到塔底的高度為米,塔的實(shí)際高度為米,幾何關(guān)系如下圖所示:由題意可得,解得;且滿足,故解得塔高米,即塔高約為480米.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)中國(guó)文化的理解與簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.4.C【解析】

首先根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出的取值范圍,再代入驗(yàn)證即可;【詳解】解:∵,∴當(dāng)時(shí),滿足,∴實(shí)數(shù)可以為8.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.5.A【解析】

把已知等式變形,再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.【詳解】解:由,得,.故選.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)題.6.A【解析】

過(guò)作與準(zhǔn)線垂直,垂足為,利用拋物線的定義可得,要使最大,則應(yīng)最大,此時(shí)與拋物線相切,再用判別式或?qū)?shù)計(jì)算即可.【詳解】過(guò)作與準(zhǔn)線垂直,垂足為,,則當(dāng)取得最大值時(shí),最大,此時(shí)與拋物線相切,易知此時(shí)直線的斜率存在,設(shè)切線方程為,則.則,則直線的方程為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系,涉及到拋物線的定義,考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想,是一道中檔題.7.B【解析】

因?yàn)闀r(shí)針經(jīng)過(guò)2小時(shí)相當(dāng)于轉(zhuǎn)了一圈的,且按順時(shí)針轉(zhuǎn)所形成的角為負(fù)角,綜合以上即可得到本題答案.【詳解】因?yàn)闀r(shí)針旋轉(zhuǎn)一周為12小時(shí),轉(zhuǎn)過(guò)的角度為,按順時(shí)針轉(zhuǎn)所形成的角為負(fù)角,所以經(jīng)過(guò)2小時(shí),時(shí)針?biāo)D(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查正負(fù)角的定義以及弧度制,屬于基礎(chǔ)題.8.C【解析】

根據(jù)題意,分兩種情況進(jìn)行討論:①語(yǔ)文和數(shù)學(xué)都安排在上午;②語(yǔ)文和數(shù)學(xué)一個(gè)安排在上午,一個(gè)安排在下午.分別求出每一種情況的安排方法數(shù)目,由分類加法計(jì)數(shù)原理可得答案.【詳解】根據(jù)題意,分兩種情況進(jìn)行討論:①語(yǔ)文和數(shù)學(xué)都安排在上午,要求節(jié)語(yǔ)文課必須相鄰且節(jié)數(shù)學(xué)課也必須相鄰,將節(jié)語(yǔ)文課和節(jié)數(shù)學(xué)課分別捆綁,然后在剩余節(jié)課中選節(jié)到上午,由于節(jié)英語(yǔ)課不加以區(qū)分,此時(shí),排法種數(shù)為種;②語(yǔ)文和數(shù)學(xué)都一個(gè)安排在上午,一個(gè)安排在下午.語(yǔ)文和數(shù)學(xué)一個(gè)安排在上午,一個(gè)安排在下午,但節(jié)語(yǔ)文課不加以區(qū)分,節(jié)數(shù)學(xué)課不加以區(qū)分,節(jié)英語(yǔ)課也不加以區(qū)分,此時(shí),排法種數(shù)為種.綜上所述,共有種不同的排法.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用,涉及分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用,屬于中等題.9.A【解析】

先求得,再求得左邊的范圍,只需,利用單調(diào)性解得t的范圍.【詳解】由題意知sin,∴,∴,隨n的增大而增大,∴,∴,即,又f(t)=在t上單增,f(2)=-1<0,f(3)=2>0,∴正整數(shù)的最小值為3.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)及求和問題,考查了數(shù)列的單調(diào)性及不等式的解法,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.10.B【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性,可排除D;求得及,由導(dǎo)函數(shù)符號(hào)可判斷在上單調(diào)遞增,即可排除AC選項(xiàng).【詳解】函數(shù)易知為奇函數(shù),故排除D.又,易知當(dāng)時(shí),;又當(dāng)時(shí),,故在上單調(diào)遞增,所以,綜上,時(shí),,即單調(diào)遞增.又為奇函數(shù),所以在上單調(diào)遞增,故排除A,C.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象,導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)與函數(shù)圖象關(guān)系,屬于中檔題.11.B【解析】設(shè)折成的四棱錐的底面邊長(zhǎng)為,高為,則,故由題設(shè)可得,所以四棱錐的體積,應(yīng)選答案B.12.D【解析】

取AC中點(diǎn)N,由題意得即為二面角的平面角,過(guò)點(diǎn)B作于O,易得點(diǎn)O為的中心,則三棱錐的外接球球心在直線BO上,設(shè)球心為,半徑為,列出方程即可得解.【詳解】如圖,由題意易知與均為正三角形,取AC中點(diǎn)N,連接BN,DN,則,,即為二面角的平面角,過(guò)點(diǎn)B作于O,則平面ACD,由,可得,,,即點(diǎn)O為的中心,三棱錐的外接球球心在直線BO上,設(shè)球心為,半徑為,,,解得,三棱錐的外接球的表面積為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了立體圖形外接球表面積的求解,考查了空間想象能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.32【解析】

由已知可得抽取的比例,計(jì)算出所有被調(diào)查的人數(shù),再乘以抽取的比例即為分層抽樣的樣本容量.【詳解】由題可知,抽取的比例為,被調(diào)查的總?cè)藬?shù)為人,則分層抽樣的樣本容量是人.故答案為:32【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣中求樣本容量,屬于基礎(chǔ)題.14.1【解析】

由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列是以16為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列,再由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解.【詳解】由,得,.且,則,即.?dāng)?shù)列是以16為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列,則.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列遞推式,考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.15.10【解析】

①根據(jù)換底公式計(jì)算即可得解;②根據(jù)同底對(duì)數(shù)加法法則,結(jié)合①的結(jié)果即可求解.【詳解】①由題:,則;②由①可得:.故答案為:①1,②0【點(diǎn)睛】此題考查對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算,涉及換底公式和同底對(duì)數(shù)加法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題目.16.【解析】

設(shè)所在直線方程為設(shè)?點(diǎn)坐標(biāo)分別為,,都在上,代入曲線方程,兩式作差可得,從而可得直線的斜率,聯(lián)立直線與的方程,由,利用弦長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】因?yàn)槭菆A的直徑,必過(guò)圓心點(diǎn),設(shè)所在直線方程為設(shè)?點(diǎn)坐標(biāo)分別為,,都在上,故兩式相減,可得(因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)),即聯(lián)立直線與的方程:又,即,即又因?yàn)?,則有即∴.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、弦長(zhǎng)公式,考查了學(xué)生的計(jì)算能力,綜合性比較強(qiáng),屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1)見解析;(2)【解析】

(1)先由線面垂直的判定定理證明平面,再證明線線垂直即可;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,求平面的一個(gè)法向量與平面的一個(gè)法向量,再利用向量數(shù)量積運(yùn)算即可.【詳解】(1)證明:連接,由平行且相等,可知四邊形為平行四邊形,所以.由題意易知,,所以,,因?yàn)?,所以平面,又平面,所?(2)設(shè),,由已知可得:平面平面,所以,同理可得:,所以四邊形為平行四邊形,所以為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),所以平行且相等,從而平面,又,所以,,兩兩垂直,如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,,,由平面幾何知識(shí),得.則,,,,所以,,.設(shè)平面的法向量為,由,可得,令,則,,所以.同理,平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面與平面所成角為,則,所以.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的判定定理及二面角的平面角的求法,重點(diǎn)考查了空間向量的應(yīng)用,屬中檔題.18.(Ⅰ)(Ⅱ)見證明【解析】

(Ⅰ)求導(dǎo)得,由是減函數(shù)得,對(duì)任意的,都有恒成立,構(gòu)造函數(shù),通過(guò)求導(dǎo)判斷它的單調(diào)性,令其最大值小于等于0,即可求出;(Ⅱ)由是減函數(shù),且可得,當(dāng)時(shí),,則,即,兩邊同除以得,,即,從而,兩邊取對(duì)數(shù),然后再證明恒成立即可,構(gòu)造函數(shù),,通過(guò)求導(dǎo)證明即可.【詳解】解:(Ⅰ)的定義域?yàn)椋?由是減函數(shù)得,對(duì)任意的,都有恒成立.設(shè).∵,由知,∴當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,∴在時(shí)取得最大值.又∵,∴對(duì)任意的,恒成立,即的最大值為.∴,解得.(Ⅱ)由是減函數(shù),且可得,當(dāng)時(shí),,∴,即.兩邊同除以得,,即.從而,所以①.下面證;記,.∴,∵在上單調(diào)遞增,∴在上單調(diào)遞減,而,∴當(dāng)時(shí),恒成立,∴在上單調(diào)遞減,即時(shí),,∴當(dāng)時(shí),.∵,∴當(dāng)時(shí),,即②.綜上①②可得,.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系,考查了函數(shù)的最值,考查了構(gòu)造函數(shù)的能力,考查了邏輯推理能力與計(jì)算求解能力,屬于難題.,19.(1);(2)【解析】

(1)將有兩個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)相異實(shí)根,令求導(dǎo),利用其單調(diào)性和極值求解;(2)將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)一切恒成立,令,求導(dǎo),研究單調(diào)性,求出其最值即可得結(jié)果.【詳解】(1)有兩個(gè)零點(diǎn)關(guān)于的方程有兩個(gè)相異實(shí)根由,知有兩個(gè)零點(diǎn)有兩個(gè)相異實(shí)根.令,則,由得:,由得:,在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,又當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí),實(shí)數(shù)的取值范圍為;(2)當(dāng)時(shí),,原命題等價(jià)于對(duì)一切恒成立對(duì)一切恒成立.令令,,則在上單增又,,使即①當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,即在遞減,在遞增,由①知函數(shù)在單調(diào)遞增即,實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,極值,最值問題,考查學(xué)生轉(zhuǎn)化能力和分析能力,是一道難度較大的題目.20.(1)見證明;(2)【解析】

(1)取PD中點(diǎn)G,可證EFGA是平行四邊形,從而,得證線面平行;(2)取AD中點(diǎn)O,連結(jié)PO,可得面,連交于,可證是二面角的平面角,再在中求解即得.【詳解】(1)證明:取PD中點(diǎn)G,連結(jié)為的中位線,且,又且,且,∴EFGA是平行四邊形,則,又面,面,面;(2)解:取AD中點(diǎn)O,連結(jié)PO,∵面面,為正三角形,面,且,連交于,可得,,則,即.連,又,可得平面,則,即是二面角的平面角,在中,∴,即二面角的正切值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行證明,考查求二面角.求二面角的步驟是一作二證三計(jì)算.即先作出二面角的平面角,然后證明此角是要求的二面角的平面角,最后在三角形中計(jì)算.21.(Ⅰ)(-∞,-1)∪(1,+∞);(Ⅱ)-1010,0.【解析】

(Ⅰ)由題意不等式化為|1-2a|-|1-a|>

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