第=page11頁，共=sectionpages11頁2025年湖南省常德市高考數(shù)學(xué)模擬試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x|(x+1)(x?3)≤0}，B={?3,?2,?1,1,2,3}，則A∩B=(

)A.{?2,?1} B.{?1,1,2,3} C.{1,2} D.{?3,?2,?1}2.命題“?x∈R，x2+x+2=0”的否定是(

)A.?x∈R，x2+x+2≠0 B.?x∈R，x2+x+2>0

C.?x∈R，x23.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=1A.a2=2 B.a4=8 C.4.已知復(fù)數(shù)z滿足：z?1z=2i，則|z|=A.1 B.2 C.3 5.下列不等式正確的是(

)A.0.30.3>0.30.2 B.log0.20.3>6.從1，2，3，4，5，6，7這7個數(shù)任選3個不同數(shù)排成一個數(shù)列，則得到的數(shù)列為等差數(shù)列的概率為(

)A.335 B.370 C.9357.已知cos2α=2sin2β?56，cosA.17 B.7 C.?178.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上，連接PF1并延長交橢圓A.35 B.75 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.設(shè)樣本空間Ω={5,6,7,8}，且每個樣本點是等可能的，已知事件A={5,6}，B={5,7}，C={5,8}，則下列結(jié)論正確的是(

)A.事件A與B為互斥事件 B.事件A，B，C兩兩獨立

C.P(ABC)=P(A)P(B)P(C) D.P(A|C)=P(C|A)10.已知連續(xù)函數(shù)y=f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，且在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增，則下列說法正確的是(

)A.函數(shù)y=x2+f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增

B.函數(shù)y=x2f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增

C.函數(shù)y=f(x211.如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，空間中的點P滿足AP=A.若μ=1，則BP⊥A1D

B.若AP=5，則λ+2μ的最大值為52

C.若λ=1，則平面BPD1截該正方體的截面面積的最小值為6

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知雙曲線C：x2a2?y13.若函數(shù)f(x)=1?ax,x≤1xlnx,x>1有最小值，則實數(shù)a的取值范圍是______．14.已知函數(shù)f(x)=cos(ωx?π3)(ω>0)在區(qū)間(?π,π)上有且僅有1個零點和1四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

某景區(qū)經(jīng)過提質(zhì)改造后統(tǒng)計連續(xù)5天進入該景區(qū)參觀的人數(shù)(單位：千人)如下：日期3月5日3月6日3月7日3月8日3月9日第x天12345參觀人數(shù)y2.22.63.15.26.9(1)建立y關(guān)于x的回歸直線方程，預(yù)測第10天進入該景區(qū)參觀的人數(shù)；

(2)該景區(qū)只開放東門、西門供游客出入，游客從東門、西門進入該景區(qū)的概率分別為34、14，且出景區(qū)與進入景區(qū)選擇相同的門的概率為15，出景區(qū)與進入景區(qū)選擇不同的門的概率為45.假設(shè)游客從東門、西門出入景區(qū)互不影響，求甲、乙兩名游客都從西門出景區(qū)的概率．

附：參考數(shù)據(jù)：i=15xiyi=72，i=1516.(本小題15分)

如圖，在四棱錐E?ABCD中，底面四邊形ABCD是正方形，AE⊥平面CDE，二面角E?AB?D為π4．

(1)證明：平面ADE⊥平面ABCD；

(2)求直線BE與平面ABCD所成角的正弦值．17.(本小題15分)

如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點，且BD=CE，BE與CD交于點O，已知OC=OD=2，且∠EOC=π3．

(1)若OB=32，求BC的長；

(2)求18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=(x2?m)ex在x=0處的切線與直線y=x?1垂直．

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若f(x)≥ax?1對任意x∈(?1,+∞)恒成立，求實數(shù)a的值；

(3)對于函數(shù)f(x)，規(guī)定：f′(x)=[f(x)]′，f(2)(x)=[f′(x)]′，?，f(n)(x)=[f(n?1)(x)]′，f(n)(x)19.(本小題17分)

已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F，點P(a,2)在C上，且|PF|=2．

(1)求拋物線C的方程；

(2)過點P作圓O：x2+y2=r2(r>0)的兩條切線l1，l2，且l1，l2分別與C相交于點A，B(異于點P)．

參考答案1.B

2.C

3.D

4.A

5.D

6.A

7.C

8.C

9.BD

10.ACD

11.ABD

12.y=±x

13.[1,+∞)

14.(115.解：(1)依題意，x?=1+2+3+4+55=3，而i=15xiyi=72，i=15xi2=55,y=4，

則b=i=15xiyi?nx?y?i=15xi2?nx?2=72?5×3×455?5×32=1.2，a=4?1.2×3=0.4，

因此y=1.2x+0.4，當(dāng)x=10時，y=1.2×10+0.4=12.4，

所以y關(guān)于x的回歸直線方程為y=1.2x+0.4，第10天進入該景區(qū)參觀的人數(shù)約為12.4千人；

(2)記“甲從西門進入景區(qū)”為事件A，“甲從西門出景區(qū)”為事件B，“乙從西門出景區(qū)”為事件C，

P(A)=14，P(A?)=34，P(B|A)=15,P(B|A?)=45，

由全概率公式得P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A?)P(A?)=15×14+34×45=1320，

同理P(C)=1320，所以甲，乙兩名游客都從西門出景區(qū)的概率P(BC)=P(B)P(C)=169400．

16.解：(1)證明：在四棱錐E?ABCD中，由AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，得AE⊥CD，

由四邊形ABCD是正方形，得AD⊥CD，而AD∩AE=A，AD，AE?平面ADE，

因此CD⊥平面ADE，又CD?平面ABCD，

所以平面ADE⊥平面ABCD．

(2)由(1)知，CD⊥平面ADE，而AB//CD，

則AB⊥17.解：(1)在△BOC中，∵OC=2,OB=32,∠BOC=π?π3=2π3，

∴BC2=OB2+OC2?2OB?OCcos∠BOC

=94+4?2×32×2×(?12)=374，

∴BC=372；

(2)如圖，在OB上取點18.解：(1)由題意可知：函數(shù)f(x)的定義域為R，

則f′(x)=(x2+2x?m)ex，

若函數(shù)f(x)=(x2?m)ex在x=0處的切線與直線y=x?1垂直，

則f′(0)=?m=?1，解得m=1，

所以f′(x)=(x2+2x?1)ex，

令f′(x)>0，則x2+2x?1>0，解得x>2?1或x<?2?1；

令f′(x)<0，則x2+2x?1<0，解得?2?1<x<2?1；

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?∞,?2?1),(2?1,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(?2?1,2?1)．

(2)構(gòu)造g(x)=f(x)?ax+1=(x2?1)ex?ax+1，

則g′(x)=(x2+2x?1)ex?a，

由題意可知：g(x)≥0對任意x∈(?1,+∞)恒成立，且g(0)=0，

則g′(0)=?1?a=0，解得a=?1，

若a=?1，則g(x)=(x2?1)ex+x+1=(x+1)[(x?1)ex+1]，

構(gòu)造?(x)=(x?1)ex+1，x>?1，

則?′(x)=xex，

令?′(x)>0，解得x>0；令?(x)<0，解得?1<x<0；

可知?(x)在(?1,0)內(nèi)單調(diào)遞減，在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，

則?(x)≥?(0)=0，即(x?1)ex+1≥0對任意x∈(?1,+∞)恒成立，

且x+1>0對任意x∈(?1,+∞)恒成立，

可知g(x)≥0對任意x∈(?1,+∞)恒成立，所以a=?1符合題意；

綜上所述：a=?1．

(3)由(1)可知：f′(x)=(x2+2x?1)ex，

根據(jù)求導(dǎo)法則可設(shè)f(n)(x)=(x2+anx+bn)ex,n∈N?，其中a1=2，b1=?1，

則f(n+1)(x)=(x2+anx+bn)ex+(2x+an)ex=[x2+(an+2)x+an+bn]ex，

則an+1=an+2，bn+1=an+bn，

可知數(shù)列{an}是以首項為2，公差為2的等差數(shù)