專題L2菱形的性質(zhì)與判定?針對(duì)訓(xùn)練

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題，滿分32分，每小題4分）

1.（4分）（2021春?恭江區(qū)期口）如圖，菱形中，對(duì)角線、8。交于點(diǎn)。，E為AD邊中點(diǎn)，菱形A8CO

的面積為24,0A=3,則OE的長(zhǎng)等于（）

713

D.——

【分析】依據(jù)菱形的性質(zhì)以及勾股定理，即可得到A。的長(zhǎng)，再根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，即

可得出OK的長(zhǎng).

【解答】解：???菱形的對(duì)角線、8。交于點(diǎn)O,04=3,

.\AC=2AO=6,

???菱形ABCD的面積為24,

1

x6xBD=24,

2

???〃。=8,7）0=4,

又???AC_L/3Q,

.*.AD=y/AO2+DO2=V32+42=5?

又YE為AO邊中點(diǎn)，

：,0E=^AD=^,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主■要考置了菱形的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是掌握菱形的兩條對(duì)角線互相垂直平分.

2.（4分）（2020?南充模擬）如圖，在△A8C中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),點(diǎn)E,尸分別在線段A。及其延長(zhǎng)

線上，DE=DF.在下列條件中，使四邊形廠是菱形的是（）

1

BC

A.EBIECB.AB1ACC.AB=ACD.BF//CE

【分析】首先證明四邊形BECF是平行四邊形，根據(jù)對(duì)角線垂直的平行四邊形是菱形，即可判斷.

【解答】解：?:RD=DC,DE=DF,

:.四邊形BECF是平行四邊形，

要使得四邊形B￡C廠是菱形，對(duì)角線必須垂直，

只有時(shí)，°：BD=CD,

：,ADLBC,

???此時(shí)四邊形是菱形，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定、平行四邊形的判定.等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用

所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型.

3.(4分)如圖，己知菱形OABC的頂點(diǎn)0(0,0),C(2,0)且NAOC=60°,則菱形0AHe兩對(duì)角

線的交點(diǎn)D的坐標(biāo)為()

3\[3「1V3

A.(1,1)B.(一，—)C.(1,V3)D.(一,—)

2222

【分析】先求出點(diǎn)4坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求解.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AE_LOC于E,

2

???點(diǎn)。（0,0）,C（2,0）,

：?OC=2,

???四邊形"CO是菱形，

：，OA=OC=2,AD=CD,

VZAOC=60o,AELOC.

???NOAE=3（r,

AOE=^AO=\,AE=V3OE=y/3,

?,?點(diǎn)A（1,V3）,

'：AD=CD,

3V3

，點(diǎn)D（二，—）,

22

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問

題是本題的關(guān)鍵.

4.（4分）（2021春?海淀區(qū)校級(jí)期中）如圖，兩張等寬的紙條交叉疊放在??起，若重合部分構(gòu)成的四邊

形A8CO中，A8=3,AC=2,則四邊形A8CO的面積為（）

A.4V2B.6V2C.8V2D.5

【分析】先證四邊形A8C。是菱形，由勾股定理可求80,由菱形的面積公式可?求解.

【解答】解：過點(diǎn)A作AE_LCO于E,AF_L5C于凡連接4C,8。交于點(diǎn)O,

3

A

???兩條紙條寬度相同，

：,AE=AF.

?：AB〃CD,AD//BC,

???四邊形A8CO是平行四邊形.

'：SOABCD=BC*AF=CD*AE.

又???AK=A/?.

:?BC=CD,

???四邊形ABC。是菱形，

：,AO=CO=\,BO=DO,AC1BD,

：,B0=y/AB2-AO2==2A/2,

:,BD=，a,

???西邊形ABCD的面積=生空=4V2,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判斷和性質(zhì)以及勾股定理應(yīng)用，證得四邊形A8CQ

為菱形是解題的關(guān)鍵.

5.（4分）（2021?太和縣模擬）如圖，菱形A8CO的邊長(zhǎng)為10,對(duì)角線AC=16,點(diǎn)E、產(chǎn)分別是邊C。、

BC的中點(diǎn)，連接七尸并延長(zhǎng)與48的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G,則EG長(zhǎng)為（）

A.13B.10C.12D.5

4

【分析】連接對(duì)角線BQ,交AC于點(diǎn)0,證四邊形5O￡G是平行四邊形，得EG=3D,利用勾股定理求

出OD的長(zhǎng)，80=20。，即可求出EG.

【解答】解：連接8Q,交AC于點(diǎn)0,如圖：

???菱形"CO的邊長(zhǎng)為10,點(diǎn)E、尸分別是邊C。、8C的中點(diǎn)，

：.AB//CD,AI3=BC=CD=DA=10,EF//BD,

■AC、4。是菱形的對(duì)角線，4c=16,

/.AC1BD,AO=CO=S,OB=OD,

又,：AB//CD,EF//BD,

：.DE//BG,BD//EG,

???四邊形8DEG是平行四邊形，

:?BD=EG,

在△co。中，DO=WD2_CO2=woo-64=6,

二.RD=2OD=12,

:?EG=BD=\2,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)及勾股定理等知識(shí)；熟練掌握菱形、平

行四邊形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵.

6.（4分）（2020?旌陽區(qū)模擬）如圖，在菱形A8CQ中，點(diǎn)E,尸分別在AB,C。上，且AE=C/，連接

EF交BD于息O,連接AO.若8c=25°,則N'QAD的度數(shù)為（）

C.65°D.75°

5

【分析】欲求NO4Q的度數(shù)，只需證得A0_L5。即可，即點(diǎn)0是菱形48C。對(duì)角線的交點(diǎn)；如圖，連

接EC,A”,構(gòu)造全等三角形△廠D4,MEC=AF,結(jié)合已知條件AE=b可以判定四邊形AECF

是平行四邊形，則其對(duì)角線互相平分，即科與AO平分，點(diǎn)。是菱形ABCO對(duì)角線的交點(diǎn)，所以AO_L

BD,由直角三角形的兩銳角互余性質(zhì)解答.

【解答】方法一：解：如圖，連接EGOC,AF.

在菱形ABCZ)中，NEBC=NADF,/ADB=/DBC=25°,AB=CD,BC=DA.

'：AE=CF,

-AE=CD-CF,即BE=DF.

在.AEBC與AFDA中，

,BE=DF

Z.EBC=Z.FDA.

BC=DA

:?△EBCWAFDA(SAS)

：.EC=AF.

又AE=CF,

???四邊形AEC尸是平行四邊形，

/與AC平分，

.??在菱形AAC。中，AOA-BD,

???NOAO=90°-NAQ8=900-25°=65°.

方法二：解：?.?ABC。是菱形，AE=CF,

:.ABHCD,AB=CD,

:?BE=DF,ZOBD=ZODF,

在AOEB和△OF。中，

[LEOB=LFOD

\^OBE=&ODF

[BE=DF

:AOEBqAODFCAAS).

:.OB=OD,

；?AOLBD,

???NO4O=900-ZADB=90°-25°=65°.

故選：C.

6

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證點(diǎn)0是菱形八8CO對(duì)角線

的交點(diǎn).

7.（4分）（2021?龍灣區(qū)模擬）如圖，在菱形48CD中，E是對(duì)角線4c上的一點(diǎn)，過點(diǎn)￡?’乍切〃AO,

G/〃A8,點(diǎn)尸，G,H,/分別在AB,BC,CD,D4上.若4C=mNB=60°,則圖中陰影部分的周長(zhǎng)

為（）

C

A.2V5QB.4aC.2y/5aD.6a

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得出AB=BC,由N8=60°可得出AB=BC=AC=a,由FH〃AD,GI//AB,

可得四邊形BFEG和四邊形EHD/是平?行四邊形,根據(jù)平行四邊形對(duì)邊相等的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可得出

答案.

【解答】解：???四邊形"C。是菱形，N8=60°,AB=BC.

：.AB=BC=AC=a,

又,：FH//AD,GI//AB,

???四邊形BFEG和四邊形EHDI是平行四邊形，

；?FE=BG,FB=EG,EH=ID,EI=HD,

???陰影部分的周長(zhǎng)=4尸+五￡+曰+4/+EG+CG+C77+E”

=AF+BF+BG+CG+CH+HD+AI+ID

=AB+BC+CD+AD

=4〃.

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形及平行四邊形的性質(zhì)，合理應(yīng)用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵.

8.（4分）（2020?望江縣一模）如圖，四邊形A8CO是菱形，AB=6,NA8C=120°,點(diǎn)W,N是對(duì)角

7

線AC上的三等分點(diǎn)，若點(diǎn)。是菱形A5CQ邊上的動(dòng)點(diǎn)，則滿足PM+PN=6的點(diǎn)。有（）

A.4個(gè)B.6個(gè)C.8個(gè)D.12個(gè)

【分析】先作點(diǎn)E關(guān)于人。的對(duì)稱點(diǎn)連接E尸交人。與點(diǎn)P,求出PE+P產(chǎn)的最小值，再求出戶與A

重合及P與D重合時(shí)PE+PF的值判斷AD邊上符合條件的P的個(gè)數(shù)，再根據(jù)對(duì)稱性求解.

【解答】解：作點(diǎn)￡關(guān)于A。的對(duì)稱點(diǎn)￡,連接石F交AQ與點(diǎn)P,連接A￡,四，作垂直于AC于

點(diǎn)K,

VZ4BC=120°,

AZBAD=60°,ZDAC=^￡BAD=30°,

?：BD=AB=6,

1

：,D0=/。=3,

???4。=即=6,AO=V3BO=3A/3,AC=2AO=6>/3,

:.AE-EF-FC=1AC-2V3,

???4E=4E,N￡7AE=2NOAO=60°,

???△EAE為等邊三角形，K為AE中點(diǎn)，KE=^AE=V3,

：,KE=V3KE=3,KF=KE+EF=36,

ffiRtAFKF't?,由勾股定理得，

EF=>JE'K2+KF2=6,

8

??.PE+P”的最小值為6.

由對(duì)稱性可知，每條邊上都有一個(gè)點(diǎn)。符合條件,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查菱形與最值問題.熟練掌握求四邊形中的最值問題為解題關(guān)鍵.

二.填空題（共6小題，滿分24分，每小題4分）

9.（4分）（2021?江西模擬）如圖，在菱形4BC。中，NABC=60",AE上BC于點(diǎn)、E,交BD

于點(diǎn)F.若夕是菱形ABCO邊上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△AFP的面積是9百時(shí)，QP的長(zhǎng)為6舊或或18.

【分析】由菱形的性質(zhì)可求乙48。=/。8。=30°,AD//BC,由三角形的面積公式可求點(diǎn)P到4戶的距

離為3百，即可求解.

【解答】解：VAS=6V3,ZABC=60°,AE1BC,

：.ZBAE=3O°,BE=1/4B=3V3,AE=y[3BE=9,

:,EC=36,

???四邊形A4C。是菱形，

/.ZABD=ZCBD=3O°,AD//HC,

:?BE=6EF,BF=2EF,ZDAF=ZAEB=9O°,

：.EF=3,BF=6,

：.AF=6,

■:ZVIFP的面積是9V3,

???96=1xAFX點(diǎn)P到AF的距離，

???點(diǎn)P到4/的距離為

???點(diǎn)P與點(diǎn)8或點(diǎn)C重合，

當(dāng)點(diǎn)戶與點(diǎn)C重合，

:?PD=66

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)〃重合時(shí)，

9

VZADB=30°,ND4F=9(T,

：,DF=2AF=\2,

/.PD=6+12=18；

當(dāng)點(diǎn)P在4。上時(shí)，AP=3>/3,

/.PD=3y13,

綜上所述：2。=6百或35后或18,

故答案為6V5或3遍或18.

【點(diǎn)睛】本題考杳了菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解

決問題是本題的關(guān)鍵.

10.（4分）（2021?河南四模）如圖，在0ABe。中，點(diǎn)E,尸分別是A/3,CQ邊上的點(diǎn)，且NADE=NC4F,

連接3。，EF.補(bǔ)充一個(gè)條件，可使四邊形是菱形，這個(gè)條件是一BDLEF.

【分析】證/（ASA）,得出AE=CF,則BE=OF,證出四邊形EBF。是平行四邊形，由

BDLEF,即可得出四邊形石BFO是菱形.

【解答】解:添加/,理由如下:

四邊形ABCD是平行四邊形.

:?AD=CB,NA=NC,AB//CD,AB=CD,

在△AOE和△C8b中，

4=z.C

AD=CB,

1/.ADE=乙CBF

:.MADE@XCBFCASA）,

：,AE=CF,

：.AB-AE=CD-CF,

即BE=DF,

又,：BE"DF,

???四邊形EBFD是平行四邊形，

■:BD1EF,

io

???四邊形灰法。是菱形.

故答案為：BDVEF.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熱練掌握平行

四邊形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

H.(4分)(2021春?渝中區(qū)校級(jí)期中)如圖，A(0,4),B(8,0),點(diǎn)C是x軸正半軸上一點(diǎn)，。是

平面內(nèi)任意一點(diǎn)，若以4、B、a。為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，一點(diǎn)D的坐標(biāo)為(5,4)或(心后，4).

【分析】當(dāng)為菱形的對(duì)角線時(shí)，如圖1,設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為相，利用菱形的性質(zhì)得到CA=AO=3C,

AD//BC,在RlZSAOC中利用勾股定理得到4之+(8-〃?)2=陽2,從而得到此時(shí)。點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)4B為菱形

的邊時(shí)，如圖2,先利用勾股定理計(jì)算出A8,再根據(jù)菱形的性質(zhì)得到BC=AB=4D=46,AD//BC,從

而得到此時(shí)。點(diǎn)坐標(biāo).

【解答】解：當(dāng)AB為菱形的對(duì)角線時(shí)，如圖1,設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為〃7,

V4(0,4),B(8,0),

???QA=4,OB=8,

???四邊形4BCO為菱形，

.\CA=AD=BC,AD//BC,

：?CA=CB—8-in9

在RIA40C中，42+(8-w)2=詭解得m=5,

:?D(5,4)；

當(dāng)4B為菱形的邊時(shí)，如圖2,

AB=V42+82=4A/5,

???四邊形ABCO為菱形，

：.BC=AB=AD=4VS,AD//BC,

:?D(4V5,4),

綜上所述，。點(diǎn)坐標(biāo)為(5,4)或(4V5,4).

故答案為(5,4)或(4V5,4).

11

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；四條邊都相等的四邊形是菱形.也

考查了菱形的性質(zhì)和坐標(biāo)與圖形.

12.（4分）（2021春?武昌區(qū)校級(jí)期中）如圖，四邊形A8CO是菱形，點(diǎn)N分別在AB,A。上，且

BM=DN,MG//AD,NF//AB,點(diǎn)、F,G分別在8C,CD1.,MG與N/7相交于點(diǎn)￡.若NA=120°,

AB=a（a>0）,AB：MB=3：1,則四邊形CFEG的面積是—a2.（用含a的式子表示）

—18-----

【分析】先證四邊形CPEG是菱形，由面枳關(guān)系可求解.

【解答】解：如圖，連接CE,AE,

???四邊形A4CO是菱形，ZA=120°,

：,AI3//CD,AD//BC,AIi=BC=a,ZB=60°,

■:MGHAD,NF//AB,

：.AB//FN//CD,MG〃BC〃AD,ZB=ZEFC=60a,

12

???四邊形EFCG是平行四邊形，四邊形ZM/GC是平行四邊形，四邊形QNFC是平行四邊形，

:.DN=FC,BM=CG,

：.CG=CF,

???四邊形CFEG是菱形，

:?EF=FC,

???△EFC是等邊三角形，

'：ABtMB=3：I,

EF=

???四邊形CFEG的面積=2SaEFC=2x*x&）2=y|d2,

故答案為：

18

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，等邊二角形的判定，證明四邊形CPKG是菱形是本題的關(guān)鍵.

13.（4分）（2021春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）如圖，在菱形A8CD中，AB=8,點(diǎn)E,尸分別在A8,4。上,

且AE=AF,過點(diǎn)E作EG//AD交CO于點(diǎn)G,過點(diǎn)F作FH//AB交BC于點(diǎn)H,EG與FH交于點(diǎn)O.當(dāng)

四邊形4E。尸與四邊形CGOH的周長(zhǎng)之差為12時(shí)，則AE的值為5.5.

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AO〃3C,AB//CD,推出平行四邊形48HRAEGD.GCH0,得出Ar=

FO=OE=AE^OH=CH=GC=GO,根據(jù)菱形的判定得出四邊形4EOb與四邊形CGOH是菱形，再解

答即可.

【解答】解：???四邊形ABC。是菱形，

：,AD=BC=AB=CD,AD//BC,AB//CD,

yEG/ZAD,FH//AB,

:.四邊形AEOF與四邊形CG0H是平行四邊形，

：.AF=OE,AE=OF,OH=GC>CH=OG,

*：AE=AF,

：.OE=OF=AE=AF,

13

'：AE=AF,

:.BC-BH=CD-DG,即OH=HC=CG=OG,

???四邊形AEOr與四邊形CGOH是菱形，

???四邊形AE。尸與四邊形CGO”的周長(zhǎng)之差為12,

A4AE-4（8-AE）=12,

解得：AE=5.5,

故答案為：5.5.

【點(diǎn)睛】此題考杳菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)菱形的判定得出四邊形AEO廠與四邊形CGO”是菱形.

14.（4分）（2020秋?錦州期末）如圖，在菱形ABC。中，N3=45°,BC=2V3,E,尸分別是邊C￡）,

V6

BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接4石，EF,G,H分別為4E,石尸的中點(diǎn)，連接G〃，則GH的最小值為一.

—2—

【分析】連接A八利用三角形中位線定理，可知G〃=±3,求出A尸的最小值即可解決問題.

【解答】解：連接A凡如圖所示：

???四邊形ABCO是菱形，

：?AB=BC=2仃,

,:G,〃分別為AE,E尸的中點(diǎn),

???G〃是的中位線，

：.GH=^AF,

當(dāng)Ab_L8C時(shí)，A尸最小,G”得到最小值,

則NA尸B=90°，

VZfi=45°,

???△ABF是等腰直角三角形，

.\AF=竽4B=孝x2>/3=V6,

???G”邛，

V6

即GH的最小值為

14

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、等櫻直角三角形的判定與性質(zhì)、垂線段最短等

知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考?？碱}型.

三.解答題（共6小題，滿分44分）

15.（6分）（2021春?東臺(tái)市月考）如圖，在口ABC。中，點(diǎn)石、〃分別是A。、8C的中點(diǎn)，分別連接

DF、BD.

（1）求證：ZVIEBg△CFQ：

（2）當(dāng)△ABO滿足什么條件時(shí)，四邊形EBb。是菱形，請(qǐng)說明理由.

【分析】（1）由SAS證明即可；

（2）由（1）得BF=DE,BF〃DE,則四邊形是平行四邊形，再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)

得8七=34。=?！昙纯傻贸鼋Y(jié)論.

【解答】（1）證明：???四邊形48CQ是平行四邊形，

???NA=NGAD=BC,AB=CD.

???點(diǎn)E、/分別是A。、BC的中點(diǎn)，

：.AE=DE=^4D,BF=FC=：BC.

：,AE=CF.

在與△CFO中，

AE=CF

Z.A=zC，

AB=CD

???△AEBWACFD（SAS）；

（2）解；當(dāng)△ABD滿足/A8O=90°,四邊形E3FD是菱形，理由如下;

15

由（1）得：BF=DE,BF//DE,

???四邊形EBFD是平行四邊形.

???乙48。=90°,點(diǎn)￡是的中點(diǎn)，

：,BE=^AD=DE,

???平行四邊形是菱形.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜

邊上的中線性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握菱形的判定，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

16.（6分）（2021?平谷區(qū)二模）如圖，在中，N4CB=90°,D,E分別是邊AB,8c的中點(diǎn),

連接。石并延長(zhǎng)到點(diǎn)F,使EF=DE,連接CRBF.

（I）求證：四邊形CF8O是菱形：

（2）連接AE,CF=V10,。尸=2,求AE的長(zhǎng).

【分析】（1）根據(jù)4E分別是邊人從"C的中點(diǎn)，EF=DE,可以得到四邊形。口"）是平行四邊形,

再根據(jù)三角形中位線和44。4=90°，可以得到QELCB,然后即可得到結(jié)論成立；

（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理，可以得到AC和CE的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理即可得到AE的長(zhǎng).

【解答】證明：（1）???點(diǎn)E為8C的中點(diǎn)，

：?CE=BE,

又,：EF=DE,

???四邊形CFBD是平行四邊形，

VD,E分別是邊AB,BC的中點(diǎn),ZACB=90°,

：,DE//AC.

???NO￡4=NAC8=9（r,

即DFYCB,

???四邊形CF8。是菱形：

16

(2)VD,E分別是邊A5,BC的中點(diǎn),

：,AC=2DE,

*：DF=2DE=2EF,DF=2,

???AC=2,EF=\,

VCF=<10,四邊形CFOB是菱形，

；?NCEF=90°,

：,CE=y)CF2-EF2=J(V10)2-l2=3,

VZACE=90°,

：.AE=y/AC2+CE2=V224-32=V13,

即AE的長(zhǎng)是45.

A

【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形的中位線，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用

數(shù)形結(jié)合的思想解答.

17.（8分）（2020秋?陽山縣期末）如圖，￡和尸分別是菱形A3C。的邊相和A。的中點(diǎn)，且A8=10,

AC=\2.

（1）判斷△OEb的形狀，并說明理由.

（2）求線段Ef的長(zhǎng).

【分析】（1）由菱形的性質(zhì)得BC=CD,再證OE是△A8C的中位線，。尸是△ACO的中位線，得OE=^BC,

OF=^CD,得出OE=。產(chǎn)即可；

17

（2）由菱形的性質(zhì)得0A=0C=%C=6,OB=OD,ACLBD,再由勾股定理得。8=8,則8。=208

=16,然后證M是△A8D的中位線，得所="。=8.

【解答】解?：（1）4OE/是等腰三角形，理由如下：

???四邊形ABCO是菱形，

：.BC=CD,

,:E、F分別是4分AD的中點(diǎn),

???OE是△ABC的中位線，是△AC。的中位線，

,OE=%C,OF=|CD,

??.OE=OF,

???△?！晔堑妊切?；

（2）???四邊形A38是菱形，

1

：.OA=OC=^AC=6,OB=OD,AC_LB。，

???N4OB=90°,

???OB=y/AB2-OA2=V102-62=8,

BD=2OB=16,

YE、產(chǎn)分別是4分AD的中點(diǎn),

???）是△A3。的中位線，

：.EF=^BD=S.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、三角形中位線定理、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握菱形的性質(zhì)和三角形

中位線定理是解題的關(guān)鍵.

18.（8分）（2020秋?會(huì)寧縣期末）如圖，在RtzMBC中，ZACB=90°,過點(diǎn)C的直線MV〃AB,。為

A/邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)。作。從L3C,交直線M/V于E,垂足為尸,連接C。、BE.

（I）求證：CE=A。；

（2）當(dāng)。在人8中點(diǎn)時(shí)，四邊形BECO是什么特殊四邊形？說明你的理由.

N

D

18

【分析】（1）先求出四邊形AQEC是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出即可；

（2）求出四邊形3ECO是平行四邊形，求出。。=3。，根據(jù)菱形的判定推出即可;

【解答】（1）證明：????！?_8。，

AZDFB=90°，

VZACB=90°,

；?NACB=NDFB,

：,AC//DE,

MN//AB,8|JCE//AD,

???四邊形AOEC是平行四邊形，

:.CE=AD：

（2）解：四邊形3ECO是菱形，理由如下：

???￡＞為A3中點(diǎn)，

:.AD=BD,

?：CE=AD,

:?BD=CE,

?：BD//CE,

/.四邊形BECD是平行四邊形，

???/4C4=90°,。為A8中點(diǎn)，

:.CD=BD,

???四邊形8EC。是菱形.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生

運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力.

19.（8分）（2021春?香坊區(qū)校汲月考）在平行四邊形ABC。中，點(diǎn)尸是A8上一點(diǎn)（不與A、B重合），

連接。尸交對(duì)角線4C于點(diǎn)E,連接BE.

（1）如圖I,若NEBC=NEPA,EC平分NDEB,證明：四邊形A8CO為菱形.

（2）如圖2,時(shí)角線AC與8。交于點(diǎn)O,當(dāng)。是人4的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出與△A。夕面積相等的三角

形（其中不含以AQ為邊的三角形）.

19

DDC

圖1圖2

【分析】(1)證△。上0g△。上8(A45),得C〃=C8,即可得出結(jié)論；

(2)由平行四邊形的性質(zhì)得。4=OC,OB=OD,則AAOB的面積=Z\30C的面積=Z\C0。的面枳=,

△A3。的面積，由中線的性質(zhì)得△AOP的面積=4OPB的面積=2Z\A8。的面積，進(jìn)而得出結(jié)論.

【解答】(1)證明：???四邊形48C。是平行四邊形，

：,AB//CD,

：^EDC=ZEPA,

?:N