專(zhuān)題18圓的對(duì)稱(chēng)性

閱讀與思考

圓是一個(gè)對(duì)稱(chēng)圖形．

首先，圓是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，任意一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱(chēng)軸，圓的對(duì)稱(chēng)軸有無(wú)數(shù)條；同

時(shí)，圓又是一個(gè)中心對(duì)稱(chēng)圖形，圓心就是對(duì)稱(chēng)中心，圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，都能夠與本身重合，這

是圓特有的旋轉(zhuǎn)不變性．

由圓的對(duì)稱(chēng)性引出了許多重要的定理：垂徑定理及推論；在同圓或等圓中，圓心角、圓周角、弦、

弦心距、弧之間的關(guān)系定理及推論．這些性質(zhì)在計(jì)算和證明線段相等、角相等、弧相等和弦相等等方面

有廣泛的應(yīng)有．一般方法是通過(guò)作輔助線構(gòu)造直角三角形，常與勾股定理和解直角三角形相結(jié)合使用．

熟悉以下基本圖形和以上基本結(jié)論．

我國(guó)戰(zhàn)國(guó)時(shí)期科學(xué)家墨翟在《墨經(jīng)》中寫(xiě)道：“圓，一中間長(zhǎng)也．”古代的美索不達(dá)米亞人最先開(kāi)始

制造圓輪．日、月、果實(shí)、圓木、車(chē)輪，人類(lèi)認(rèn)識(shí)圓、利用圓，圓的圖形在人類(lèi)文明的發(fā)展史上打下了

深深的烙印．

例題與求解

【例1】在半徑為1的⊙O中，弦AB，AC的長(zhǎng)分別為3和2，則∠BAC度數(shù)為_(kāi)______．

（黑龍江省中考試題）

解題思路：作出輔助線，解直角三角形，注AB與AC有不同位置關(guān)系．

由于對(duì)稱(chēng)性是圓的基本特性，因此，在解決圓的問(wèn)題時(shí)，若把對(duì)稱(chēng)性充分體現(xiàn)出來(lái)，有利于圓的問(wèn)

題的解決．

【例2】如圖，在三個(gè)等圓上各自有一條劣弧AB，CD，EF．如果AB+CD=EF，那么AB+CD

與EF的大小關(guān)系是（）

BD

F

AC

E

A．AB+CD=EFB．AB+CD>EF

C．AB+CD<EFD．AB+CD與EF的大小關(guān)系不能確定

（江蘇省競(jìng)賽試題）

解題思路：將弧與弦的關(guān)系及三角形的性質(zhì)結(jié)合起來(lái)思考．

【例3】⑴如圖1，已知多邊形ABDEC是由邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC和正方形BDEC組成，

⊙O過(guò)A，D，E三點(diǎn)，求⊙O的半徑．

⑵如圖2，若多邊形ABDEC是由等腰△ABC和矩形BDEC組成，AB=AC=BD=2，⊙O過(guò)A，D，

E三點(diǎn)，問(wèn)⊙O的半徑是否改變？

（《時(shí)代學(xué)習(xí)報(bào)》數(shù)學(xué)文化節(jié)試題）

AA

BCBC

OO

DEDE

圖1圖2

解題思路：對(duì)于⑴，給出不同解法；對(duì)于⑵，⊙的半徑不改變，解法類(lèi)似⑴．

等邊三角形、正方形、圓是平面幾何圖形中最完美的圖形，本例表明這三個(gè)完美的圖形能合成一個(gè)

從形式到結(jié)果依然完美的圖形．

三個(gè)完美圖形的不同組合可生成新的問(wèn)題，同學(xué)們可參照刻意練習(xí)．

【例4】如圖，已知圓內(nèi)接△ABC中，AB>AC，D為BAC的中點(diǎn)，DE⊥AB于E．求證：

BD2-AD2=ABAC．

（天津市競(jìng)賽試題）

解題思路：從化簡(jiǎn)待證式入手，將非常規(guī)幾何問(wèn)題的證明轉(zhuǎn)化為常規(guī)幾何題的證明．

D

A

E

C

B

圓是最簡(jiǎn)單的封閉曲線，但解決圓的問(wèn)題還要用到直線形的有關(guān)知識(shí)和方法．同樣，圓也為解決直

線形問(wèn)題提供了新的途徑和方法，善于促成同圓或等圓中的弦、弦心距、弧、圓周角、圓心角之間相等

或不等關(guān)系的互相轉(zhuǎn)化，是解圓相關(guān)問(wèn)題的重要技巧．

【例5】在△ABC中，M是AB上一點(diǎn)，且AM2+BM2+CM2=2AM+2BM+2CM－3．若P是線段AC

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，⊙O是過(guò)P，M，C三點(diǎn)的圓，過(guò)P作PD∥AB交⊙O于點(diǎn)D．

⑴求證：M是AB的中點(diǎn)；

⑵求PD的長(zhǎng)．（江蘇省競(jìng)賽試題）

解題思路：對(duì)于⑴，運(yùn)用配方法求出AM，BM，CM的長(zhǎng)，由線段長(zhǎng)確定直線位置關(guān)系；對(duì)于⑵，

促成圓周角與弧、弦之間的轉(zhuǎn)化．

A

M

P

O

CB

D

【例6】已知AD是⊙O的直徑，AB，AC是弦，且AB=AC．

AA

AP

BCBC

BEE

C

OOO

F

GF

DDD

圖1圖2圖3

⑴如圖1，求證：直徑AD平分∠BAC；

⑵如圖2，若弦BC經(jīng)過(guò)半徑OA的中點(diǎn)E，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，G是FB的中點(diǎn)，⊙O的半徑為1，

求弦FG的長(zhǎng)；

⑶如圖3，在⑵中若弦BC經(jīng)過(guò)半徑OA的中點(diǎn)E，P為劣弧上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PA，PB，PD，PF，

PAPF

求證：的定值．

PBPD

（武漢市調(diào)考試題）

解題思路：對(duì)于⑶，先證明∠BPA=∠DPF=300，∠BPD=600，這是解題的基礎(chǔ)，由此可導(dǎo)出下列解

題突破口的不同思路：①由∠BPA==∠DPF=300，構(gòu)建直角三角形；②構(gòu)造PA+PF，PB+PD相關(guān)線段；

③取BD的中點(diǎn)M，連結(jié)PM，聯(lián)想常規(guī)命題；等等．

本例實(shí)質(zhì)是借用了下列問(wèn)題：

⑴如圖1，PA+PB=3PH；⑵如圖2，PA+PB=PH；

⑶進(jìn)一步，如圖3，若∠APB=α，PH平分∠APB，則PA+PB=2PHcos為定

2

PPP

00B

A3060060

300A

A

HBB

圖1圖2HH

圖3

值．

能力訓(xùn)練

A級(jí)

1．圓的半徑為5cm，其內(nèi)接梯形的兩底分別為6cm和8cm，則梯形的面積為_(kāi)______cm2．

2．如圖，殘破的輪片上，弓形的弦AB長(zhǎng)是40cm，高CD是5cm，原輪片的直徑是________cm．

C

A

PB

（第4題圖）

BA

3．如圖，已知CD為半圓的直徑，AB⊥CD于B．設(shè)∠AOB=α，則tan=_________．

BD2

（黑龍江省中考試題）

4．如圖，在Rt△ABC中，∠C=900，AC=2，BC=1，若BC=1，若以C為圓心，CB的長(zhǎng)為半徑

的圓交AB于P，則AP=___________.（江蘇省宿遷市中考試題）

5．如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿OA—AB—BO的路徑運(yùn)動(dòng)一周.設(shè)OP長(zhǎng)為

s，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則下列圖形能大致地刻畫(huà)s與t之間的關(guān)系是（）

ssss

OtOtOtOt

ABCD

（太原市中考試題）

6．如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點(diǎn)，AB=10cm，CD=6cm，

那么AC的長(zhǎng)為（）

A．0.5cmB．1cmC．1.5cmD．2cm

A

B

O

E

AB

CDAC

PFD

ECDFB

（第6題圖）（第7題圖）（第8題圖）

7．如圖，AB為⊙O的直徑，CD是弦．若AB=10cm，CD=8cm，那么A，B兩點(diǎn)到直線CD的距離

之和為（）

A．12cmB．10cmC．8cmD．6cm

8．如圖，半徑為2的⊙O中，弦AB與弦CD垂直相交于點(diǎn)P，連結(jié)OP．若OP=1，求AB2+CD2

的值．（黑龍江省競(jìng)賽試題）

9．如圖，AM是⊙O的直徑，過(guò)⊙O上一點(diǎn)B作BN⊥AM于N，其延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)C，弦CD交

AM于點(diǎn)E．

⑴如果CD⊥AB，求證：EN=NM；

⑵如果弦CD交AB于點(diǎn)F，且CD=AB，求證：CE2=EF?ED；

⑶如果弦CD，AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，且CD=AB，那么⑵的結(jié)論是否仍成立？若成立，請(qǐng)證明；

若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（重慶市中考試題）

A

DF

O

E

BC

M

（第9題圖）

1

10．如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形ABMC中，AB>AC，M是BC的中點(diǎn)，MH⊥AB于點(diǎn)H．求證：BH=

2

（AB-AC）．

（河南省競(jìng)賽試題）

A

HC

BM

（第10題圖）

11．⑴如圖1，圓內(nèi)接△ABC中，AB=BC=CA，OD，OE為⊙O的半徑，OD⊥BC于點(diǎn)F，OE⊥AC

1

于點(diǎn)G．求證：陰影部分四邊形OFCG的面積是△ABC面積的．

3

⑵如圖2，若∠DOE保持1200角度不變，求證：當(dāng)∠DOE繞著O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，由兩條半徑和△ABC

1

的兩條邊圍成的圖形（圖中陰影部分）面積始終是△ABC的面積的．

3

12．如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)A，D和正方形JKLM的頂點(diǎn)K，L在一個(gè)以5為半徑的⊙O上，

點(diǎn)J，M在線段BC上．若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，求正方形JKLM的邊長(zhǎng)．

（上海市競(jìng)賽試題）

N

AD

O

J

BMC

KL

（第12題圖）

B級(jí)

1．如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，過(guò)A，B兩點(diǎn)作CD的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)．若AB=10，

AE=3，BF=5，則EC=__________．

AC

BD

ODE

AB

OP

ABC

ECDF

A′

（第題圖）

1（第2題圖）（第3題圖）

2．如圖，把正三角形ABC的外接圓對(duì)折，使點(diǎn)A落在BC的中點(diǎn)A′上，若BC=5，則折痕在△ABC

內(nèi)的部分DE長(zhǎng)為_(kāi)_______．（寧波市中考試題）

3．如圖，已知⊙O的半徑為R，C，D是直徑AB同側(cè)圓周上的兩點(diǎn)，AC的度數(shù)為960，BD的度

數(shù)為360．動(dòng)點(diǎn)P在AB上，則CP+PD的最小值為_(kāi)_________．

（陜西省競(jìng)賽試題）

4．如圖，用3個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形組成一個(gè)對(duì)稱(chēng)圖形，則能將其完全覆蓋的圓的最小半徑是（）

55517

A．2B．C．D．

2416

5．如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓圓周上一點(diǎn)，M是AC的中點(diǎn)，MN⊥AB于N，則有

（）

1233

A．MN=ACB．MN=ACC．MN=ACD．MN=AC

2253

（武漢市選拔賽試題）

C

B

D

F

N

AAC

EOBOP

GD

（第6題圖）（第7題圖）

6．已知，AB為⊙O的直徑，D為AC的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，且DE=3．求AC的長(zhǎng)度．

7．如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于直徑為3的⊙O；對(duì)角線AC是直徑，對(duì)角線AC和BD的交點(diǎn)

為P，AB=BD，且PC=0.6，求四邊形ABCD的周長(zhǎng)．

（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

8．如圖，已知點(diǎn)A，B，C，D順次在⊙O上，ABBD，BM⊥AC于M．求證：AM=DC+CM．

（江蘇省競(jìng)賽試題）

B

C

M

O

AD

（第8題圖）

9．如圖，在直角坐體系中，點(diǎn)B，C在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)A在y軸的負(fù)半軸上，以AC為直徑的

圓與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，CDAO，如果AB=10，AO>BO，且AO，BO是x的二次方程x2kx480

的兩個(gè)根．

⑴求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

1

⑵若點(diǎn)P在直徑AC上，且AP=AC，判斷點(diǎn)(－2，10)是否在過(guò)D，P兩點(diǎn)的直線上，并說(shuō)明理

4

由．（河南省中考試題）

y

D

CO

x

B

PA

（第9題圖）

10．⑴如圖1，已知PA，PB為⊙O的弦，C是劣弧AB的中點(diǎn)，直線CD⊥PA于點(diǎn)E，求證：AE=PE+PB．

⑵如圖2，已知PA，PB為⊙O的弦，C是優(yōu)弧AB的中點(diǎn)，直線CD⊥PA于點(diǎn)E，問(wèn)：AE，PE與

PB之間存在怎樣的等量關(guān)系？寫(xiě)出并證明你的結(jié)論．

CD

APAP

EE

OO

BB

DC

圖1圖2

11．如圖，已知弦CD垂直于⊙O的直徑AB于L，弦AE平分半徑OC于H．求證：弦DE平分弦

BC于M．(全俄奧林匹克競(jìng)賽試題)

C

HE

M

A

OLB

D

（第11題圖）

12．如圖，在△ABC中，D為AC邊上一點(diǎn)，且AD=DC+CB，過(guò)D作AC的垂線交△ABC的外接

圓于M，過(guò)M作AB的垂線MN，交圓于N．求證：MN為△ABC外接圓的直徑．

M

OC

D

AB

N

（第12題圖）

專(zhuān)題18圓的對(duì)稱(chēng)性

例115°或75°提示：分AB、AC在圓心O同側(cè)、異側(cè)兩種情況討論．

例2B

例3(1)解法一：如圖，將正方形BDEC上的等邊△ABC向下平移，使其底邊與DE重

合，得等邊ODE．∵A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是O、D、E，∴OD＝AB，OE＝AC，AO＝BD．∵

等邊△ABC和正方形BDEC的邊長(zhǎng)都是2，∴AB＝BD＝AC＝2，∴OD＝OA＝OE＝2．∵

△

A、D、E三點(diǎn)確定一圓，O到A、D、E三點(diǎn)的距離相等．∴O點(diǎn)為圓心，OA為半徑，

∴該圓的半徑為2．解法二：如圖，將ABC平移到ODE位置，并作AF⊥BC，垂足為F，延長(zhǎng)交DE

于H．∵△ABC為等邊三角形，∴AF垂直平分BC，∵四邊形BDEC為正方形，∴AH垂

△△

直平分正方形邊DE．又∵DE是圓的弦，∴AH必過(guò)圓心，記圓心為O點(diǎn)，并設(shè)⊙O的半

3

徑為r．在Rt△中，∵∠＝，∴AF＝AB·cos30°＝2×＝3，∴OH＝AF

2

ABFBAF30°

＋FH－OA＝3＋2－r．在Rt△ODH中，OH2＋DH2＝OD2，∴(32r)2＋12＝r2，解

得r＝2．

(2)⊙O的半徑不變，因?yàn)锳B＝AC＝BD＝2，此題求法和(1)一樣，⊙O的半徑為2．

例4提示：BD2－AD2＝(BE2＋ED2)－(AE2＋ED2)＝(BE＋AE)(BE－AE)＝AB(BE－AE)，只需要證明

AC＝BE－AE即可．在BA上截取BF＝AC．連DF可證明△DBF≌△，則DF＝AD，AE＝EF．

例5(1)由條件，得(AM－1)2＋(BM－1)2＋(CM－1)2＝0，∴AM＝BM＝CM＝1．因此，M是AB中點(diǎn)，

DCA

且∠ACB＝90°．(2)由(1)知，∠A＝∠PCM，又PD∥AB，∴∠A＝∠CPD，∠PCM＝∠CPD，因此，

CDPM,CPMDCP，于是有DP＝CM＝1．

例6(1)連結(jié)BD、CD，∵AD是直徑，所以∠ABD＝∠ACD＝90°，又∵AB＝AC，AD＝AD，∴ABD

≌ACD，∴∠BAD＝∠DAC，∴AD平分∠BAC．(2)連結(jié)OB、OC，則OA⊥BC，又AE＝OE，得AB

△

＝B△O＝OA＝OC，△AOB，△AOC都為等邊三角形，連結(jié)OG，則∠GOF＝90°，F(xiàn)G＝2．(3)取BD

的中點(diǎn)M，過(guò)M作MS⊥PA于S，MT⊥PF于T，連AM，F(xiàn)M．∠BPM＝∠DPM＝30°，∠APM＝∠

1

FPM＝60°，則MS＝MT，MA＝MF，RtASM≌Rt△，RtPMS≌RtPMF．∴＝PM．∴PA

2

△FTM△△PS

PAPFPM13

＋PF＝2PS＝2PT＝PM．同理可證：PB＋PD＝3PM．∴為定值．

PBPD3PM33

3

A級(jí)1．49或72.853．14．5．C6．D7．D8．過(guò)O點(diǎn)作OE⊥AB于E，OF⊥

3

1

CD于F，連結(jié)OD，OA，則AE＝BE，CF＝DF，∵OE2＝AO2－AE2＝(4AB2)，OF2＝OD2－FD2＝

4

11111

4CD2，∴OE2＋OF2＝(4AB2)＋(4CD2)＝PF2＋OF2＝OP2＝12，即4AB2＋4CD2＝1，

44444

22714

故AB＋CD＝28．得x1＝－3(舍去)，x2＝，∴正方形JKLM的邊長(zhǎng)為.

55

110

B級(jí)1.26－3提示:作OM⊥CD于M，則EC＝(EF－CD).2.3.3R提示:設(shè)D'是D點(diǎn)關(guān)于

23

直徑AB對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，連結(jié)CD'交AB于P，則P點(diǎn)使CP＋PD最小，∠COD'＝120°，CP＋PD＝CP＋PD'

＝CD'＝3R.

a2＋12＝r2

113517

4.D提示：如圖：