2024-2025學(xué)年福建省莆田市高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)檢測試題一：單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對得5分，選錯(cuò)得0分．1.A. B. C. D.【正確答案】A【詳解】分析：根據(jù)終邊相同的角正弦值相等，將的正弦化成的正弦，，即可求出結(jié)果.詳解：由誘導(dǎo)公式可得，，，故選A.點(diǎn)睛：本題著重考查了終邊相同的角、誘導(dǎo)公式，特殊角的三角函數(shù)值等知識，屬于簡單題.2.已知向量，，則（）A.5 B. C.3 D.【正確答案】B【分析】先把向量和相加得到向量的坐標(biāo)，再利用向量的坐標(biāo)算出向量的模長．【詳解】，．故選：B．3.已知，向量與向量的夾角為，與向量共線同向的單位向量為，則向量在向量方向上的投影向量等于（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)投影向量的公式計(jì)算即可.【詳解】．故選：C.4已知，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由題意求出，再根據(jù)二倍角得正切公式即可得解.【詳解】由，得,故，故選：D5.如圖，已知平行四邊形ABCD，，E為CD中點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算求解即可.【詳解】.故選：D6.已知直角中，是斜邊，，則的值是（）A.27 B.1 C.9 D.【正確答案】D【分析】由可得，由向量平面數(shù)量積的坐標(biāo)表示，列方程求解即可.【詳解】因?yàn)橹苯侵?，是斜邊，，可得，則有，即，解得，故選：D.7.設(shè)點(diǎn)，若點(diǎn)在直線AB上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C.或 D.或【正確答案】D【分析】根據(jù)已知求出向量的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)，可求出向量的坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：，，∴，點(diǎn)在直線上，且，∴，或，故，或，故點(diǎn)坐標(biāo)為或，故選：D．本題考查的知識點(diǎn)是平面向量坐標(biāo)表示，熟練掌握向量坐標(biāo)等于終點(diǎn)坐標(biāo)與起點(diǎn)坐標(biāo)的差是解答的關(guān)鍵．8.在等腰梯形中，已知，，是的中點(diǎn)，，若，則的值為（）A. B. C.2 D.3【正確答案】A【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則及平面向量基本定理求出、即可.【詳解】根據(jù)題意，，，是的中點(diǎn)，，畫出梯形如下圖所示：所以，則，又，、不共線，所以，所以.故選：A二：多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.在下列各組向量中，不可以作為基底的是（

）A. B.C. D.【正確答案】ACD【分析】逐項(xiàng)判斷向量是否共線即可得解.【詳解】因?yàn)楣簿€，故不能做基底，故A正確；因?yàn)?，所以不共線，可作基底，故B錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，即共線，故不能作基底，故C正確；因?yàn)?，所以，即共線，故不能作基底，故D正確.故選：ACD10.下列四個(gè)命題中正確是（）A.向量與向量能作為平面向量的一組基底，則與不共線B.若，則C.為非零向量且，則D.為任意向量且，則【正確答案】ABD【分析】根據(jù)基底的概念判斷A，根據(jù)向量的數(shù)量積化簡運(yùn)算判斷B，根據(jù)向量垂直的關(guān)系由特例法判斷C，根據(jù)向量相等及數(shù)量積的概念判斷D.【詳解】對于A，根據(jù)基底的定義知，向量與向量能作為平面向量的一組基底，則與不共線正確；對于B，，，化簡可得，故正確；對于C，滿足，不能推出，例如向量都與垂直時(shí)等式成立，但不一定相等，故錯(cuò)誤；對于D，因，所以成立，故正確.故選：ABD11.函數(shù)的圖象如圖所示，將其向左平移個(gè)單位長度，得到的圖象，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.方程在上有5個(gè)根C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D.函數(shù)在上單調(diào)遞減【正確答案】ABD【分析】根據(jù)三角恒等變換及圖象特殊值，求出，進(jìn)而求出，求出最小正周期，判斷A選項(xiàng)；求出及，結(jié)合及函數(shù)圖象，判斷出有5個(gè)交點(diǎn)，即有5個(gè)根；C選項(xiàng)，求出，代入檢驗(yàn)得到圖象不關(guān)于直線對稱；當(dāng)時(shí)，，得到的單調(diào)性.【詳解】，由圖象可知：，所以，解得：，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，此時(shí)，所以最小正周期為，A正確；，則，即，因?yàn)?，所以，畫出在的圖象，如下：函數(shù)圖象與有5個(gè)交點(diǎn)，故方程在上有5個(gè)根，B正確；函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以的圖象關(guān)于直線不對稱，C錯(cuò)誤；，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，D正確.故選：ABD三：填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量與滿足，且，則與的夾角等于__________．【正確答案】##【分析】直接用數(shù)量積的定義求夾角即可.【詳解】依題意，，∴與的夾角為；故.13.已知，，，且，則的值為___________.【正確答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用和角的正弦公式求解作答.【詳解】由，，得，由，知，又，則，所以，所以.故14.《易經(jīng)》是闡述天地世間關(guān)于萬象變化的古老經(jīng)典，如圖所示的是《易經(jīng)》中記載的幾何圖形——八卦圖.圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖，其余八塊面積相等的圖形代表八卦田.已知正八邊形的邊長為，點(diǎn)P是正八邊形邊上的一點(diǎn)，則的最大值為_________.【正確答案】【分析】作垂直的延長線于點(diǎn)M，根據(jù)正八邊形的特征求出，根據(jù)的定義，即可求出的最大值.【詳解】由題意知，每個(gè)三角形的頂角為，，作垂直的延長線于點(diǎn)M，根據(jù)正八邊形的特征知，，設(shè)與所成的角為，則，所以，由的最大值為，所以的最大值為.故答案為.四、解答題：本題共5小題，共77分，（15題13分，16-17題15分，18-19題17分）解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.計(jì)算：（1）；（2）；（3）．【正確答案】（1）（2）（3）【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)乘運(yùn)算及線性運(yùn)算計(jì)算即可.【小問1詳解】原式．【小問2詳解】原式．【小問3詳解】原式．16.已知向量，，且．（1）若向量與互相垂直，求的值．（2）若向量與互相平行，求的值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由已知得，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律及已知條件代入求解即可．（2）根據(jù)向量平行及平面向量基本定理列式求解.【小問1詳解】，，，，即，得，若向量與互相垂直，則，即得，，解得或.小問2詳解】由，所以，所以不共線，由向量與互相平行，可知存在實(shí)數(shù)，使得，，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.或.17.已知是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量，，，，且三點(diǎn)共線．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若，，求的坐標(biāo)；（3）已知點(diǎn)，在（2）的條件下，若四點(diǎn)按逆時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根據(jù)已知可得，結(jié)合三點(diǎn)共線可得，列方程組求參數(shù)即可；（2）根據(jù)平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示求解即可；（3）根據(jù)平行四邊形中的坐標(biāo)表示列方程組求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?，，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)使得，即，又因?yàn)槭瞧矫鎯?nèi)兩個(gè)不共線的非零向量，所以，解得.【小問2詳解】由（1）可知，，所以，若，，則.【小問3詳解】由四點(diǎn)按逆時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形可得，設(shè)，則，由（2）得，所以，解得，所以.18.已知.（1）若，且，求的值；（2）設(shè)，，若方程恰有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）0；（2）.【分析】（1）由，利用平面向量數(shù)量積公式，二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式可得，結(jié)合，可求的值；（2）利用（1）可得，由可得,結(jié)合函數(shù)的圖象圖象有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍【小問1詳解】∵，∴，即，∴，∵，∴，∴，∴．【小問2詳解】∵，當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，故方程恰有兩個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.19.對于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時(shí)稱函數(shù)為向量的相伴函數(shù).（1）設(shè)函數(shù)，試求函數(shù)的相伴特征向量的坐標(biāo)；（2）記向量的相伴函數(shù)為.（I）當(dāng)且時(shí)，求的值；（II）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）（2）（I）（II）【分析】（1）利用兩角差的正弦公式及兩角和的余弦公式化簡函數(shù)解析式，再結(jié)合函數(shù)的相伴特征向量的定義即可求解；（2）（I）根據(jù)題意先求得函數(shù)的解析式，結(jié)合已知條件求得的值，進(jìn)而求得的值，通過配角的方法并結(jié)合兩角差的正弦公式即可求解；（II）通過誘導(dǎo)公式化簡原式，通過分類討論的正負(fù)，通過參變分離法