2024-2025學(xué)年福建省福州市高二下學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)階段檢測(cè)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.函數(shù)y=12x2A.(?1,1) B.(0,1) C.[1,+∞) D.(0,+∞)2.若奇函數(shù)fx的定義域?yàn)?∞,0∪0,+∞,fx在?∞,0上的圖象如圖所示，則不等式fA.?∞,?1∪0,1 B.?1,0∪1,+∞

C.3.某班有3名學(xué)生準(zhǔn)備參加校運(yùn)會(huì)的100米、200米、跳高、跳遠(yuǎn)四項(xiàng)比賽，如果每班每項(xiàng)限報(bào)1人，每人限報(bào)1項(xiàng)，則這3名學(xué)生的參賽的不同方法有(

)A.24種 B.48種 C.64種 D.81種4.已知函數(shù)f(x)和g(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象如圖所示，那么下列說(shuō)法正確的是A.f(x)在a到b之間的平均變化率大于g(x)在a到b之間的平均變化率

B.f(x)在a到b之間的平均變化率小于g(x)在a到b之間的平均變化率

C.對(duì)于任意x0∈(a,b)，函數(shù)f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率總大于函數(shù)g(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率

D.存在x0∈(a,b)，使得函數(shù)5.在一次勞動(dòng)實(shí)踐課上，甲組同學(xué)準(zhǔn)備將一根直徑為d的圓木鋸成截面為矩形的梁.如圖，已知矩形的寬為b，高為?，且梁的抗彎強(qiáng)度W=16b?2，則當(dāng)梁的抗彎強(qiáng)度W最大時(shí)，矩形的寬A.14d B.13d C.已知函數(shù)fx的定義域?yàn)?π2,f′(x)cosx+f(x)sinx<0，則關(guān)于x的不等式A.π3,π2 B.π6,7.已知實(shí)數(shù)a，b，c∈(0,e)，且2a=a2，3b=A.(c?a)(c?b)<0 B.(a?c)(a?b)<0

C.(b?a)(b?c)<0 D.b<a<c8.已知函數(shù)f(x)=ex21+lnxA.0,1 B.1e,1 C.1,e二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列函數(shù)有最小值的為(

)A.f(x)=xe2x B.f(x)=e2x+e10.已知函數(shù)f(x)=ex?mcosx，f?′(x)為A.當(dāng)m=1時(shí)，f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增

B.當(dāng)m=1時(shí)，f(x)在0,f(0)處的切線方程為y=x

C.當(dāng)m=?1時(shí)，f?′(x)在[0,+∞)上至少有一個(gè)零點(diǎn)

D.當(dāng)m=?1時(shí)，f(x)11.已知函數(shù)fx=xlnx?x2A.t>ln2?1

B.曲線y=fx在點(diǎn)e,fe處的切線可能與直線x?y=0垂直

C.三、填空題：本題共3小題，每小題6分，共18分。12.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x)=2x?f′(e)+lnx，則f′e等于

13.已知函數(shù)f(x)=x22?4lnx在區(qū)間(a?1,a+4)上有定義，且在此區(qū)間上有極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是14.已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，滿足f′(x)?f(x)<0且f(x+3)=f(?x+3)，f(x+1)=?f(?x+1)，若f(8)+f(9)=2，則不等式f(x)<2ex的解集為

．四、解答題：本題共2小題，共24分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題12分,兩問(wèn)分別6分)

已知函數(shù)f(x)=13x3+ax,g(x)=?x2?a(a∈R)．

(1)若函數(shù)F(x)=f(x)?g(x)在x∈[1,+∞)上單調(diào)遞增，求a的最小值；

(2)16.(本小題12分,兩問(wèn)分別5、7分已知函數(shù)f(x)=e(1)討論fx(2)若fx在區(qū)間0,+∞上存在唯一零點(diǎn)x0，證明：x0答案和解析1.【正確答案】B

解：由題意得函數(shù)定義域?yàn)?0,+∞)，y′=x?1x=x2?1x，

由y′=0得x=1，由y′>0得x>1，由y′<0得0<x<1，

∴函數(shù)y=2.【正確答案】A

解：由圖可知fx在?∞,0上單調(diào)遞減，且f所以fx在0,+∞所以對(duì)任意的x≠0，f′x所以當(dāng)x≠0時(shí)，fx當(dāng)x<?1時(shí)，fx>0，當(dāng)?1<x<0時(shí)，由奇函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)0<x<1時(shí)，fx>0，當(dāng)x>1時(shí)，注意到x=0時(shí)，fx沒(méi)有定義，f綜上所述，不等式fxf′x故選：A．3.【正確答案】A

解：由于每班每項(xiàng)限報(bào)1人，故當(dāng)前面的學(xué)生選了某項(xiàng)之后，后面的學(xué)生不能再報(bào)，

設(shè)三人分別為甲乙丙，分三步，則甲有4種選法，乙有3種選法，丙有2種選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有4×3×2=24種不同的參賽方法．

故選A．4.【正確答案】D

解：對(duì)于A、B，∵f(x)在a到b之間的平均變化率是f(b)?f(a)b?a，

g(x)在a到b之間的平均變化率是g(b)?g(a)b?a，

∴f(b)?f(a)b?a=g(b)?g(a)b?a，即二者相等；

∴選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤；

對(duì)于C、D，∵函數(shù)f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率是函數(shù)f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)，即函數(shù)f(x)在該點(diǎn)處的切線的斜率，同理函數(shù)g(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率是函數(shù)g(x)在x=5.【正確答案】D

【分析】本題考查實(shí)際問(wèn)題中的最值，建立函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)求極值是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬于中檔題．解：由題?2由題意可得梁的抗彎強(qiáng)度W=1求導(dǎo)數(shù)可得W′=1令W′=0，可解得b=33d，或當(dāng)0<b<33d時(shí)，W′>0，當(dāng)則當(dāng)梁的抗彎強(qiáng)度W最大時(shí)，矩形的寬b的值為故選D．6.【正確答案】B

解：令g(x)=f(x)cosx，則g′(x)=f′(x)cos?x+fxsinxcos2?x，

又f′(x)cosx+f(x)sinx<0，則有g(shù)′(x)<0，

則函數(shù)g(x)在?π2,π7.【正確答案】B

【分析】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)比較大小，屬于中檔題．

將已知的等式兩邊取對(duì)數(shù)可得ln22=ln?aa，ln3

解：由2a=a2，3b=b3，5c=c5，

得aln2=2lna，bln3=3ln?b，cln?5=5ln?c，

因此ln22=ln?aa，ln33=ln?bb，ln?55=ln?cc，

設(shè)函數(shù)f(x)=ln?xx，

則f(2)=f(a)，f(3)=f(b)，f(5)=f(c)，

又f?′(x)=1?ln?xx2，

令f?′(x)=0，得x=e，

易得f(x)在0,e上單調(diào)遞增，在e,+∞上單調(diào)遞減，

又因?yàn)?.【正確答案】B

解：不等式f(x)>ex即ex21+lnx>ex>0，

因?yàn)閤>0且1+lnx>0，即x>1e，

所以原不等式等價(jià)于ex1+lnx>exx，即e1+lnx1+lnx>exx，

令gx=exx，

所以原不等式等價(jià)于g1+lnx>gx，

因?yàn)間′x=exx?1x2，

所以當(dāng)x>1時(shí)g′x>0，當(dāng)0<x<1時(shí)g′x<0，

所以函數(shù)gx在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x>19.【正確答案】AB

解：由f(x)=xe2x，得f′(x)=e2x(1+2x)，

令f′(x)=0?x=?12，f′(x)>0?x>?12，f′(x)<0?x<?12，所以函數(shù)有唯一的極小值，亦為最小值，最小值為f(?12)=?12e.A正確．

由f(x)=e2x+10.【正確答案】ABD

【分析】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，邏輯推理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想方法，屬于較難題．

把m=1代入函數(shù)解析式，求出導(dǎo)函數(shù)f′(x)，由導(dǎo)函數(shù)值正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可判斷A；

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)在(0,f(0）處的切線方程即可判斷B；

把m=?1代入函數(shù)解析式，求出導(dǎo)函數(shù)f′(x)，利用導(dǎo)數(shù)求出導(dǎo)函數(shù)f′(x)的值域即可判斷C；

把m=?1代入函數(shù)解析式，求出導(dǎo)函數(shù)f′(x)，利用導(dǎo)數(shù)研究導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(?3π2,?π)

解：①當(dāng)m=1時(shí)，f(x)=ex?cosx，則f?′(x)=ex+sinx，

當(dāng)x>0時(shí)，ex>1，?1≤sinx≤1，則f?′(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，故A正確；

因?yàn)閒(0)=0，f?′(0)=1，所以f(x)在0,f(0)處的切線方程為y=x，故B正確；

②當(dāng)m=?1時(shí)，f(x)=ex+cosx，則f?′(x)=ex?sinx，

設(shè)φ(x)=f?′(x)，則φ?′(x)=ex?cosx，

當(dāng)x>0時(shí)，ex>1，?1≤cosx≤1，則φ?′(x)>0，

所以φ(x)=f?′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

當(dāng)x≥0時(shí)，f?′(x)≥f?′(0)=1，f?′(x)在[0,+∞)上無(wú)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；

當(dāng)x∈(?3π2,?π)時(shí)，cosx<0，ex>0，則φ?′(x)=ex?11.【正確答案】ACD

解：A、根據(jù)題意得到f′(x)=1+lnx?2xe+t=lnx?2xe+t+1，

令g(x)=f′(x)，則g′(x)=1x?2e=e?2xex(x>0)，

令g′(x)=0，則得到x=e2，

當(dāng)x>e2時(shí)，g′(x)<0，所以g(x)在(e2,+∞)上單調(diào)遞減;

當(dāng)0<x<e2時(shí)，g′(x)>0，所以g(x)在(0,e2)上單調(diào)遞增，

所以g(x)max=g(e2)=1?ln2+t，

由題意可知g(x)有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，故g(x)max=1?ln2+t>0，

即t>ln2?1，故A正確．

B、曲線y=f(x)在點(diǎn)(e,f(e）處的切線的斜率k=f′(e)=t，

若該切線與直線x?y=0垂直，則k=?1，即t=?1，

與t>ln2?1相矛盾，故B不正確．

C、因?yàn)閒′(x1)=0，即lnx1?2x1e+t+1=0，

則f(x1)=x1lnx1?x12e+tx12.【正確答案】?1解：由fx=2xf′e+lnx，

得f′x=2f′e+113.【正確答案】[1,3)

解：∵函數(shù)f(x)=x22?4lnx在區(qū)間(a?1,a+4)上有定義，

∴a?1≥0，解得a≥1．

f′(x)=x?4x=(x+2)(x?2)x，

令f′(x)=0，x>0，

解得x=2，

∵函數(shù)f(x)在此區(qū)間上有極值點(diǎn)，

∴a?1<2<a+4，a≥1，

解得1≤a<3，

14.【正確答案】(0,+∞)

解：因?yàn)閒′(x)?f(x)<0，

令g(x)=f(x)ex，則g′(x)=f′(x)?f(x)ex<0，所以g(x)在R上單調(diào)遞減，

f(x+3)=f(?x+3)，f(x+1)=?f(?x+1)，

所以f(x+3)=?f(?x?1)=f(?x+3)，所以f(x?1)=?f(x+3)，

所以f(x+3)=?f(x+7)=?f(x?1)，所以f(x+7)=f(x?1)，

所以f(x)為周期為8的周期函數(shù)，

由f(8)+f(9)=2，得f(0)+f(1)=2，

由f(x+1)=?f(?x+1)，得f(0+1)=?f(?0+1)，

所以f(1)=?f(1)，所以f(1)=0，

所以f(0)=2，所以g(0)=f(0)e0=f(0)=2，

由f(x)<2ex，得f(x)ex<2，所以g(x)<g(0)，

由15.【正確答案】解：(1)由題可得F(x)=f(x)?g(x)=13x3+ax+x2+a，

F′(x)=x2+2x+a，

因?yàn)楹瘮?shù)F(x)=f(x)?g(x)在x∈[1,+∞)上單調(diào)遞增，

所以F′(x)=x2+2x+a≥0在x∈[1,+∞)恒成立，

即a≥?x2?2x在x∈[1,+∞)恒成立，

解得a≥?3，

∴a的最小值為?3；

(2)由題可得G(x)=f(x)+g(x)=13x3?x2+ax?a與y=ax有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

即13x3?x2+ax?a=ax只有一個(gè)根，

∴13x3?x2?a=0只有一個(gè)根，

令?(x)=13x3?x2，所以?(x)的圖象與y=a的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，

?′(x)=x2?2x16.【正確答案】解：(1)由題意可知：

f(x)的定義域?yàn)镽，且f′(x)=2e若a≤0，

則f′(x)=2e2x?a>0可知fx的單調(diào)遞增區(qū)間為?∞,+∞若a>0，

令f′(x)>0，解得