第26頁（共26頁）2024-2025學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)人教A版（2019）期中必刷?？碱}之導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?錦州期末）對n∈N*，設(shè)xn是關(guān)于x的方程nx3+2x﹣n＝0的實(shí)數(shù)根，an＝[（n+1）xn]（n＝2，3，?），其中符號[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則a2A．1013 B．1015 C．2023 D．20252．（2024秋?諸暨市期末）將函數(shù)y＝x3+2的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)θ后第一次與x軸相切，則tanθ＝（）A．1 B．2 C．3 D．53．（2024秋?德州期末）已知函數(shù)f（x）＝xlnx+ax．過點(diǎn)P（1，1）可作兩條直線與f（x）的圖象相切，則a的取值范圍是（）A．[1，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，1]4．（2024秋?洛陽期末）已知函數(shù)f(x)=ex，x＞02-e-x，x≤0，當(dāng)x∈（0，e]時，f（xA．0 B．1 C．e D．e+15．（2024秋?臨泉縣校級期末）已知x＝1是函數(shù)f（x）＝ax3﹣3x的一個極值點(diǎn)，其中a為實(shí)數(shù)，則f（x）在區(qū)間[﹣2，2]上的最大值為（）A．0 B．1 C．2 D．3二．多選題（共3小題）（多選）6．（2024秋?南陽期末）已知函數(shù)f（x）＝x2﹣2xlnx，g（x）＝ex﹣lnx﹣2，下列說法正確的是（）A．函數(shù)g（x）存在唯一極值點(diǎn)x0，且x0B．令h（x）＝f（x）?g（x），則函數(shù)h（x）無零點(diǎn) C．若g（x）+2＞m恒成立，則m＜2 D．若a＞0，b＞0，則a（多選）7．（2024秋?田家庵區(qū)校級期末）已知函數(shù)f（x）＝lnx+ln（2﹣x），則下列結(jié)論中正確的是（）A．f（x）在（0，1）單調(diào)遞增 B．f（x）在（1，2）單調(diào)遞減 C．y＝f（x）的圖像關(guān)于直線x＝1對稱 D．y＝f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（0，1）對稱（多選）8．（2025?東興區(qū)模擬）設(shè)函數(shù)f（x）＝mlnx﹣x，g（x）=-13xA．當(dāng)m＝1時，f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y＝﹣1 B．當(dāng)﹣1＜a＜1時，g（x）有三個零點(diǎn) C．若F（x）＝f（x）﹣g′（x）有兩個極值點(diǎn)，則0＜D．若f（mx）≥ex﹣mx在（0，+∞）上有解，則正實(shí)數(shù)m的取值范圍為[e，+∞）三．填空題（共4小題）9．（2024秋?舟山期末）若圓C1：x2+y2＝1與曲線C2：y＝ln（x﹣1）+m的公切線經(jīng)過(1，-12)，則m＝10．（2024秋?漯河期末）已知函數(shù)f（x）＝lnx+x，g（x）＝ex+x，若f（a）＝g（b），則e2b+9+aa+111．（2024秋?諸暨市期末）已知函數(shù)y＝f（x）的圖象在點(diǎn)M（1，f（1））處的切線方程是y＝2x+1，則f（1）+f'（1）＝．12．（2025?衛(wèi)輝市校級模擬）已知f（x）＝xex+3sinx，則曲線y＝f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處切線方程為．四．解答題（共3小題）13．（2024秋?楚雄州期末）已知函數(shù)f（x）＝xlnx．（1）求f（x）的極值．（2）過點(diǎn)P(1a，0)能作兩條直線與曲線y＝f（x）相切，且切點(diǎn)坐標(biāo)為A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），其中x（i）求a的取值范圍；（ii）證明：方程ax2+（a﹣3）x+1＝0在（x1，x2）上有解．14．（2024秋?舟山期末）已知函數(shù)f(（1）若a＝0，求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（2）若f（x）在x＝﹣1處取得極值，求f（x）的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．15．（2024秋?諸暨市期末）已知函數(shù)f（x）＝aex+x2﹣2x+1（a∈R）．（1）是否存在實(shí)數(shù)a，使得x＝2為函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)．若存在，求a的值；若不存在，請說明理由；（2）求證：當(dāng)a∈(-54，0)

2024-2025學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)人教A版（2019）期中必刷?？碱}之導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用參考答案與試題解析題號12345答案ACBDC一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?錦州期末）對n∈N*，設(shè)xn是關(guān)于x的方程nx3+2x﹣n＝0的實(shí)數(shù)根，an＝[（n+1）xn]（n＝2，3，?），其中符號[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則a2A．1013 B．1015 C．2023 D．2025【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間．【專題】整體思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算求解；新定義類．【答案】A【分析】根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)f（x）＝nx3+2x﹣n，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出方程根的取值范圍，進(jìn)而結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解．【解答】解：設(shè)函數(shù)f（x）＝nx3+2x﹣n，則f′（x）＝3nx2+2＞0，則f（x）為增函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)n≥2時，f(且f（1）＝2＞0，所以當(dāng)n≥2時，方程nx3+2x﹣n＝0有唯一的實(shí)數(shù)根xn且xn因?yàn)閍n＝[（n+1）xn]（n＝2，3，?），其中符號[x]表示不超過x的最大整數(shù)，所以n＜（n+1）xn＜n+1，an＝[（n+1）xn]＝n，因此a2故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系的應(yīng)用，還考查了數(shù)列的求和，屬于中檔題．2．（2024秋?諸暨市期末）將函數(shù)y＝x3+2的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)θ后第一次與x軸相切，則tanθ＝（）A．1 B．2 C．3 D．5【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】根據(jù)題意及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，建立方程，即可求解．【解答】解：因?yàn)閷⒑瘮?shù)y＝x3+2的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)θ后第一次與x軸相切，所以y＝tanθ?x是y＝x3+2過原點(diǎn)的切線，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為：(x0，x03+2)則x03+2x0=3所以tanθ＝3．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．3．（2024秋?德州期末）已知函數(shù)f（x）＝xlnx+ax．過點(diǎn)P（1，1）可作兩條直線與f（x）的圖象相切，則a的取值范圍是（）A．[1，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，1]【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及過某一點(diǎn)的切線的求法，根據(jù)含參方程，從而通過方程的解的條件，可求出a得范圍．【解答】解：因?yàn)閒（x）＝xlnx+ax，所以f′（x）＝lnx+1+a，設(shè)過點(diǎn)P（1，1）的直線切f（x）于點(diǎn)（t，tlnt+at），所以切線方程為y﹣（tlnt+at）＝（lnt+1+a）（x﹣t），又其過P（1，1），所以1﹣（tlnt+at）＝（lnt+1+a）（1﹣t），整理可得a＝t﹣lnt，t＞0，因?yàn)檫^點(diǎn)P（1，1）可作兩條直線與f（x）的圖象相切，所以關(guān)于t的方程a＝t﹣lnt（t＞0）有兩不等實(shí)根，因?yàn)閥＝a與y＝t﹣lnt有兩個交點(diǎn)，設(shè)g（t）＝t﹣lnt，t＞0，則g′（t）＝1-1t=t-所以當(dāng)t∈（0，1）時，g′（t）＜0，g（t）單調(diào)遞減；當(dāng)t∈（1，+∞）時，g′（t）＞0，g（t）單調(diào)遞增，所以g（t）≥g（1）＝1，又t→0時，g（t）→+∞；t→+∞時，g（t）→+∞，所以要使y＝a與y＝t﹣lnt有兩個交點(diǎn)，則a∈（1，+∞）．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的切線問題的求解，屬中檔題．4．（2024秋?洛陽期末）已知函數(shù)f(x)=ex，x＞02-e-x，x≤0，當(dāng)x∈（0，e]時，f（xA．0 B．1 C．e D．e+1【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】整體思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】易得f（x）在R上遞增，令g（x）＝f（x）+f（﹣x），得到g（x）＝2恒成立，將f（x﹣2a）+f（x+lnx2）≤2，轉(zhuǎn)化為x+lnx2≤2a﹣x，即2a≥2x+lnx2恒成立求解．【解答】解：函數(shù)f(當(dāng)x＞0時，f（x）＝ex，在（0，+∞）上遞增，且f（x）＞f（0）＝1；當(dāng)x≤0時，f（x）＝2﹣e﹣x在（﹣∞，0]上遞增，且f（x）≤f（0）＝1，所以f（x）在R上遞增，令g（x）＝f（x）+f（﹣x），當(dāng)x＞0時，g（x）＝f（x）+f（﹣x）＝ex+2﹣ex＝2，當(dāng)x≤0時，g（x）＝f（x）+f（﹣x）＝e﹣x+2﹣e﹣x＝2，所以g（x）＝2恒成立，因?yàn)閒（x﹣2a）+f（x+lnx2）≤2，即f（x﹣2a）+f（x+lnx2）≤g（x），即f（x+lnx2）≤g（x）﹣f（x﹣2a）＝f（2a﹣x），所以x+lnx2≤2a﹣x，即2a≥2x+lnx2，令h（x）＝2x+lnx2＝2x+2lnx，x∈（0，e]，則h（x）在（0，e]上遞增，所以h（x）max＝2+2e，則2a≥2+2e，即a≥1+e，所以a的最小值為e+1．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了單調(diào)性及最值關(guān)系的應(yīng)用，還考查了恒成立與最值關(guān)系的轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．5．（2024秋?臨泉縣校級期末）已知x＝1是函數(shù)f（x）＝ax3﹣3x的一個極值點(diǎn)，其中a為實(shí)數(shù)，則f（x）在區(qū)間[﹣2，2]上的最大值為（）A．0 B．1 C．2 D．3【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值．【專題】方程思想；定義法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】對f（x）求導(dǎo)，根據(jù)題意求得a＝1，進(jìn)而得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極大值f（﹣1）＝2，結(jié)合f（2）＝2，即可求得函數(shù)的最大值．【解答】解：由f（x）＝ax3﹣3x，可得f′（x）＝3ax2﹣3，因?yàn)閤＝1是函數(shù)y＝f（x）的一個極值點(diǎn)，所以f′（1）＝3a﹣3＝0，解得a＝1，則f′（x）＝3x2﹣3＝3（x﹣1）（x+1），其中x∈[﹣2，2]，當(dāng)x∈[﹣2，﹣1）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（﹣1，1）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（1，2]時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝﹣1時，函數(shù)f（x）取得極大值，極大值為f（﹣1）＝﹣1+3＝2，又因?yàn)閒（2）＝23﹣3×2＝2，所以函數(shù)f（x）在[﹣2，2]上的最大值為2．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，考查了方程思想，屬中檔題．二．多選題（共3小題）（多選）6．（2024秋?南陽期末）已知函數(shù)f（x）＝x2﹣2xlnx，g（x）＝ex﹣lnx﹣2，下列說法正確的是（）A．函數(shù)g（x）存在唯一極值點(diǎn)x0，且x0B．令h（x）＝f（x）?g（x），則函數(shù)h（x）無零點(diǎn) C．若g（x）+2＞m恒成立，則m＜2 D．若a＞0，b＞0，則a【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值．【專題】整體思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】ABD【分析】由g′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，又g'(12)=e-2＜0，g′（1）＝e﹣1＞0，即可判斷A；由導(dǎo)數(shù)判斷出g（x）恒大于0，f（x）恒大于0，即可判斷B；由g（【解答】解：f（x）＝x2﹣2xlnx，g（x）＝ex﹣lnx﹣2，對于A：g'(x)=ex-1x在（0，+∞）上單調(diào)遞增，又g'(所以?x0∈(12，1)，使得g′（對于B：由A得，?x0∈(12，1)，使得g′（x0）＝0，即eg（x）在（0，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，+∞）上單調(diào)遞增，所以g（x）≥g（x0）=ex0-lnx0﹣2=x0+1x0由f′（x）＝2x﹣2lnx﹣2，令φ（x）＝2x﹣2lnx﹣2，x＞0，φ'(x)=2-2x=2(x-1)x，當(dāng)x＞1時，φ當(dāng)0＜x＜1時，φ′（x）＜0，即φ（x）在（0，1）單調(diào)遞減，所以φ（x）≥φ（1）＝0，即f′（x）≥0，即f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，又x→0時，f（x）→0，所以f（x）＞0，由g（x）恒大于0，f（x）恒大于0，故h（x）無零點(diǎn)，故B正確；對于C：由B得g（x）＞0，由g（x）+2＞m恒成立，得g（x）＞m﹣2在（0，+∞）恒成立，所以m﹣2≤0，即m≤2，故C錯誤；對于D：因?yàn)閒（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，又a＞0，b＞0，則a+b＞a，所以f（a+b）＞f（a），即（a+b）2﹣2（a+b）ln（a+b）＞a2﹣2alna，整理得2ab則a+b2故選：ABD．【點(diǎn)評】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及極值關(guān)系的應(yīng)用，還考查了不等式恒成立與最值關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．（多選）7．（2024秋?田家庵區(qū)校級期末）已知函數(shù)f（x）＝lnx+ln（2﹣x），則下列結(jié)論中正確的是（）A．f（x）在（0，1）單調(diào)遞增 B．f（x）在（1，2）單調(diào)遞減 C．y＝f（x）的圖像關(guān)于直線x＝1對稱 D．y＝f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（0，1）對稱【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間．【專題】函數(shù)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】ABC【分析】先求定義域，用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化為對數(shù)型復(fù)合函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷A，B的正誤；再根據(jù)f（x）和f（2﹣x）的關(guān)系判斷函數(shù)的對稱性．【解答】解：由題意知，f（x）＝lnx+ln（2﹣x）的定義域?yàn)椋?，2），f（x）＝ln[x（2﹣x）]＝ln[﹣（x﹣1）2+1]，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，2）上單調(diào)遞減，故A，B正確；∵函數(shù)f（x）＝lnx+ln（2﹣x），∴f（2﹣x）＝ln（2﹣x）+lnx，即f（x）＝f（2﹣x），即y＝f（x）的圖像關(guān)于直線x＝1對稱，故C正確，D錯誤．故選：ABC．【點(diǎn)評】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的對稱性，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．（多選）8．（2025?東興區(qū)模擬）設(shè)函數(shù)f（x）＝mlnx﹣x，g（x）=-13xA．當(dāng)m＝1時，f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y＝﹣1 B．當(dāng)﹣1＜a＜1時，g（x）有三個零點(diǎn) C．若F（x）＝f（x）﹣g′（x）有兩個極值點(diǎn)，則0＜D．若f（mx）≥ex﹣mx在（0，+∞）上有解，則正實(shí)數(shù)m的取值范圍為[e，+∞）【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)求解曲線在某點(diǎn)上的切線方程．【專題】整體思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】ACD【分析】選項(xiàng)A，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線斜率，得出方程；選項(xiàng)B，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的極值，極大值大于0，極小值小于0，函數(shù)有三個零點(diǎn)；選項(xiàng)C，極值點(diǎn)的個數(shù)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)求參數(shù)范圍；選項(xiàng)D，不等式在區(qū)間上有解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，求參數(shù)范圍．【解答】解：f（x）＝mlnx﹣x，g（x）=-13x選項(xiàng)A，當(dāng)m＝1時，f（x）＝lnx﹣x，f'(x)=1x-又f（1）＝﹣1，所以f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y＝﹣1，故A正確；選項(xiàng)B，g′（x）＝﹣x2+1，當(dāng)x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）時，g′（x）＜0，當(dāng)x∈（﹣1，1）時，g′（x）＞0，所以g（x）在（﹣1，1）上單調(diào)遞增；g（x）在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上單調(diào)遞減；g（x）的極小值為g(-1)=-23+要使g（x）有三個零點(diǎn)，則g(-1)＜0g(1)選項(xiàng)C，F(xiàn)（x）＝f（x）﹣g′（x）＝mlnx﹣x+x2﹣1，則F'若F（x）有兩個極值點(diǎn)，則2x2﹣x+m＝0在（0，+∞）有兩個不同的正根，則Δ=1-8m＞選項(xiàng)D，令h（x）＝f（mx）﹣ex+mx＝mlnmx﹣ex，則mlnmx≥ex，所以lnmx≥1m可整理為x+lnx≥ex﹣lnm+x﹣lnm，即elnx+lnx≥ex﹣lnm+x﹣lnm，令g（x）＝ex+x，因?yàn)間′（x）＝ex+1＞0，所以g（x）單調(diào)遞增，所以lnx≥x﹣lnm，即lnm≥x﹣lnx，令p（x）＝x﹣lnx，所以p'當(dāng)0＜x＜1時，p′（x）＜0，p（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x＞1時，p′（x）＞0，p（x）單調(diào)遞增，所以p（x）min＝p（1）＝1，即lnm≥1，所以m≥e，所以m的取值范圍為[e，+∞），所以D正確．故選：ACD．【點(diǎn)評】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及極值關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）9．（2024秋?舟山期末）若圓C1：x2+y2＝1與曲線C2：y＝ln（x﹣1）+m的公切線經(jīng)過(1，-12)，則m＝【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】方程思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】12【分析】由對數(shù)函數(shù)可知公切線斜率存在，設(shè)公切線方程為y=kx-k-12【解答】解：因?yàn)閥＝ln（x﹣1）+m的導(dǎo)數(shù)為y'由題知，公切線斜率存在，設(shè)公切線方程為y=則C1到公切線的距離等于半徑，即|k+1所以公切線方程為y=對于C2：y＝ln（x﹣1）+m，設(shè)切點(diǎn)為（x0，ln（x0﹣1）+m），則可得1x0-故答案為：12【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，直線與圓的位置關(guān)系，屬中檔題．10．（2024秋?漯河期末）已知函數(shù)f（x）＝lnx+x，g（x）＝ex+x，若f（a）＝g（b），則e2b+9+aa+1【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間．【專題】轉(zhuǎn)化思想；構(gòu)造法；運(yùn)算求解．【答案】5．【分析】根據(jù)f（a）＝g（b）elna+lna＝eb+b，結(jié)合g（x）為增函數(shù)，得到lna＝b，再結(jié)合基本不等式即可求解．【解答】解：因?yàn)間（x）＝ex+x，易知g（x）在R上單調(diào)遞增，又由f（a）＝g（b）可得lna+a＝elna+lna＝eb+b，故lna＝b，且a＞0，所以e2b+9+aa+1=e2lna+9+當(dāng)且僅當(dāng)a+1=9a+1，即a故答案為：5．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的單調(diào)性以及基本不等式，屬于中檔題．11．（2024秋?諸暨市期末）已知函數(shù)y＝f（x）的圖象在點(diǎn)M（1，f（1））處的切線方程是y＝2x+1，則f（1）+f'（1）＝5．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】方程思想；定義法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】5．【分析】由已知可得f'（1），再把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入切線方程求解f（1），則答案可求．【解答】解：由函數(shù)y＝f（x）的圖象在點(diǎn)M（1，f（1））處的切線方程是y＝2x+1，得f'（1）＝2，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入切線方程，可得f（1）＝2×1+1＝3，因此，f（1）+f'（1）＝5．故答案為：5．【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．12．（2025?衛(wèi)輝市校級模擬）已知f（x）＝xex+3sinx，則曲線y＝f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處切線方程為y＝4x．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】函數(shù)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】y＝4x．【分析】對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率，進(jìn)而容易得到切線方程．【解答】解：f′（x）＝ex+xex+3cosx，則f′（0）＝1+3＝4，又f（0）＝0，則所求切線方程為y＝4x．故答案為：y＝4x．【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共3小題）13．（2024秋?楚雄州期末）已知函數(shù)f（x）＝xlnx．（1）求f（x）的極值．（2）過點(diǎn)P(1a，0)能作兩條直線與曲線y＝f（x）相切，且切點(diǎn)坐標(biāo)為A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），其中x（i）求a的取值范圍；（ii）證明：方程ax2+（a﹣3）x+1＝0在（x1，x2）上有解．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（1）極小值為-1（2）（i）（0，1）；（ii）證明見解析．【分析】（1）求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性可求函數(shù)極值．（2）（i）表示曲線y＝f（x）在點(diǎn)A，B處的切線方程，問題轉(zhuǎn)化為直線y＝a與曲線g(（ii）通過分析函數(shù)單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可得結(jié)果．【解答】解：（1）由題意可得f′（x）＝1+lnx，x∈（0，+∞），令f′（x）＝0，得x=令f′（x）＜0，解得0＜x＜1e，令f′（x）＞0，解得x所以f（x）在（0，1e）上單調(diào)遞減；（1e，故當(dāng)x=1e時，f（x（2）（i）易知曲線y＝f（x）在點(diǎn)A處的切線方程為y﹣x1lnx1＝（1+lnx1）（x﹣x1），曲線y＝f（x）在點(diǎn)B處的切線方程為y﹣x2lnx2＝（1+lnx2）（x﹣x2）．因?yàn)辄c(diǎn)P在這兩條切線上，所以-x1令g(x)=當(dāng)x∈（0，1）時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（1，+∞）時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，則g（x）max＝g（1）＝1．且當(dāng)x∈(0，1e)時，g（x）＜0，當(dāng)x∈若直線y＝a與曲線y＝g（x）有兩個交點(diǎn)，則只需0＜a＜1，所以a的取值范圍為（0，1）．（ii）證明：由ax2+（a﹣3）x+1＝0，得a=3x令h(x)=lnx-2(x由（i）可知，0＜x1＜1＜x2，且h（1）＝0，所以h（x1）＜0，h（x2）＞0，即lnx1＜則a=1+ln同理可得ax故方程ax2+（a﹣3）x+1＝0在（x1，x2）上有解．【點(diǎn)評】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決第（2）問（i）的關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為直線y＝a與曲線g(x)=1+lnx14．（2024秋?舟山期末）已知函數(shù)f(（1）若a＝0，求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（2）若f（x）在x＝﹣1處取得極值，求f（x）的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（1）4x+y﹣6＝0；（2）答案見解析．【分析】（1）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；（2）根據(jù)極值點(diǎn)求得a＝4，再應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值即可．【解答】（1）當(dāng)a＝0時，f(x)=所以f′（1）＝﹣4，又f（1）＝2，所以f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y﹣2＝﹣4（x﹣1），即4x+y﹣6＝0；（2）因?yàn)閒'由f（x）在x＝﹣1處取得極值可得f'解得a＝4，檢驗(yàn)符合，故f(x)=3-2x列表如下：x（﹣∞，﹣1）﹣1（﹣1，4）4（4，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）增極大值減極小值增所以函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（﹣∞，﹣1）、（4，+∞），減區(qū)間為（﹣1，4）．由解析式易知，當(dāng)x＜32時f（x）＞1；當(dāng)x＞32時f（所以f(【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，屬于中檔題．15．（2024秋?諸暨市期末）已知函數(shù)f（x）＝aex+x2﹣2x+1（a∈R）．（1）是否存在實(shí)數(shù)a，使得x＝2為函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)．若存在，求a的值；若不存在，請說明理由；（2）求證：當(dāng)a∈(-54，0)【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【專題】整體思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（1）不存在，理由見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，若存在實(shí)數(shù)a，使得x＝2為函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)，得a=-2e2（2）問題化為?x1∈R，滿足f（x1）+f（﹣x1）＝0，構(gòu)造h(x)=-2x2【解答】解：（1）根據(jù)題意可得導(dǎo)函數(shù)f′（x）＝aex+2x﹣2，如果x＝2為f（x）的極小值點(diǎn)，那么f′（2）＝ae2+2＝0，所以a=因此函數(shù)f（x）＝﹣2ex﹣2+x2﹣2x+1，導(dǎo)函數(shù)f′（x）＝﹣2ex﹣2+2x﹣2，令函數(shù)g（x）＝f′（x），那么導(dǎo)函數(shù)g′（x）＝2（1﹣ex﹣2），當(dāng)x＞2時，g′（x）＜0，當(dāng)x＜2時，g′（x）＞0，因此函數(shù)g（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞減，在（﹣∞，2）上單調(diào)遞增，且g（2）＝0，因此f′（x）≤f′（2）＝0，因此函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，無極值點(diǎn)，因此不存在實(shí)數(shù)a，使得x＝2為f（x）的極小值點(diǎn)．（2）證明：要證明存在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，即證明?x1∈R，滿足f（x1）+f（﹣x1）＝0，所以a=設(shè)函數(shù)h(x)=-2x2x＞0時，那么導(dǎo)函數(shù)h'=-=2e-x(x-1)2(設(shè)函數(shù)φ（x）=ex+x+1x-1=1+ex+2x當(dāng)0＜x＜1，那么導(dǎo)函數(shù)φ′（x）=e根據(jù)函數(shù)r（x）＝（x﹣1）2ex﹣2且0＜x＜1，那么導(dǎo)函數(shù)r′（x）＝（x2﹣1）ex＜0，因此r（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，r（0）＝﹣1＜0，所以ex因此導(dǎo)函數(shù)φ'（x）＜0，所以函數(shù)φ（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，那么φ（x）＜φ（0）＝0，綜上所述，在（1，+∞）上φ（x）＞0，在（0，1）上φ（x）＜0，設(shè)φ(x)=所以φ（x）在（0，1）和（1，+∞）都單調(diào)遞增，φ（0）＝2＞0，則在（0，1）上φ（x）＞0，由φ(32)=e32-5=e3-25所以?x0∈(32，2)，在（1，x0）上φ（x）＜0，在（x0，+綜上，在（0，x0）上h′（x）＜0，在（x0，+∞）上h′（x）＞0，所以h（x）在（0，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，+∞）上單調(diào)遞增，h（x）≥h（x0），當(dāng)x→+∞，h（x）→0且h（x）＜0恒成立，又φ(所以h(所以(-54，0)故a∈(-54，0)【點(diǎn)評】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及極值關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是增函數(shù)，f′（x）＞0的解集與定義域的交集的對應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是減函數(shù)，f′（x）＜0的解集與定義域的交集的對應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間．2、利用導(dǎo)數(shù)求解多項(xiàng)式函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：（1）確定f（x）的定義域；（2）計(jì)算導(dǎo)數(shù)f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根將f（x）的定義域分成若干個區(qū)間，列表考察這若干個區(qū)間內(nèi)f′（x）的符號，進(jìn)而確定f（x）的單調(diào)區(qū)間：f′（x）＞0，則f（x）在對應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)，對應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；f′（x）＜0，則f（x）在對應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù)，對應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間．【解題方法點(diǎn)撥】若在某區(qū)間上有有限個點(diǎn)使f′（x）＝0，在其余的點(diǎn)恒有f′（x）＞0，則f（x）仍為增函數(shù)（減函數(shù)的情形完全類似）．即在區(qū)間內(nèi)f′（x）＞0是f（x）在此區(qū)間上為增函數(shù)的充分條件，而不是必要條件．【命題方向】題型一：導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系典例1：已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（﹣1）＝2，對任意x∈R，f′（x）＞2，則f（x）＞2x+4的解集為（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，設(shè)g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，則g′（x）＝f′（x）﹣2，∵對任意x∈R，f′（x）＞2，∴對任意x∈R，g′（x）＞0，即函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，則由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集為（﹣1，+∞），故選：B題型二：導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用典例2：已知函數(shù)f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)y＝f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對于任意的t∈[1，2]，函數(shù)g(x)=x3+x（Ⅲ）求證：ln2解：（Ⅰ）f'(x當(dāng)a＞0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1]，減區(qū)間為[1，+∞）；當(dāng)a＜0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[1，+∞），減區(qū)間為（0，1]；當(dāng)a＝0時，f（x）不是單調(diào)函數(shù)（4分）（Ⅱ）f'(2)=-a2=1得a＝﹣2，f（x）＝﹣∴g(∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，且g′（0）＝﹣2∴g由題意知：對于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：g'(1)＜0g（Ⅲ）令a＝﹣1此時f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴當(dāng)x∈（1，+∞）時f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴l(xiāng)nx＜x﹣1對一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，則有0＜lnn＜n﹣1，∴0∴l(xiāng)n2．利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是增函數(shù)，f′（x）＞0的解集與定義域的交集的對應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是減函數(shù)，f′（x）＜0的解集與定義域的交集的對應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間．2、利用導(dǎo)數(shù)求解多項(xiàng)式函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：（1）確定f（x）的定義域；（2）計(jì)算導(dǎo)數(shù)f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根將f（x）的定義域分成若干個區(qū)間，列表考察這若干個區(qū)間內(nèi)f′（x）的符號，進(jìn)而確定f（x）的單調(diào)區(qū)間：f′（x）＞0，則f（x）在對應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)，對應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；f′（x）＜0，則f（x）在對應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù)，對應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間．【解題方法點(diǎn)撥】若在某區(qū)間上有有限個點(diǎn)使f′（x）＝0，在其余的點(diǎn)恒有f′（x）＞0，則f（x）仍為增函數(shù)（減函數(shù)的情形完全類似）．即在區(qū)間內(nèi)f′（x）＞0是f（x）在此區(qū)間上為增函數(shù)的充分條件，而不是必要條件．【命題方向】導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系典例1：已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（﹣1）＝2，對任意x∈R，f′（x）＞2，則f（x）＞2x+4的解集為（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，設(shè)g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，則g′（x）＝f′（x）﹣2，∵對任意x∈R，f′（x）＞2，∴對任意x∈R，g′（x）＞0，即函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，則由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集為（﹣1，+∞），故選：B3．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、極值的定義：（1）極大值：一般地，設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點(diǎn)，都有f（x）＜f（x0），就說f（x0）是函數(shù)f（x）的一個極大值，記作y極大值＝f（x0），x0是極大值點(diǎn)；（2）極小值：一般地，設(shè)函數(shù)f（x）在x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點(diǎn)，都有f（x）＞f（x0），就說f（x0）是函數(shù)f（x）的一個極小值，記作y極小值＝f（x0），x0是極小值點(diǎn)．2、極值的性質(zhì)：（1）極值是一個局部概念，由定義知道，極值只是某個點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小，并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最??；（2）函數(shù)的極值不是唯一的，即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個；（3）極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系，即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值；（4）函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)，而使函數(shù)取得最大值、最小值的點(diǎn)可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點(diǎn)．3、判別f（x0）是極大、極小值的方法：若x0滿足f′（x0）＝0，且在x0的兩側(cè)f（x）的導(dǎo)數(shù)異號，則x0是f（x）的極值點(diǎn)，f（x0）是極值，并且如果f′（x）在x0兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，則x0是f（x）的極大值點(diǎn)，f（x0）是極大值；如果f′（x）在x0兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”，則x0是f（x）的極小值點(diǎn)，f（x0）是極小值．4、求函數(shù)f（x）的極值的步驟：（1）確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格，檢查f′（x）在方程根左右的值的符號，如果左正右負(fù)，那么f（x）在這個根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f（x）在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號即都為正或都為負(fù)，則f（x）在這個根處無極值．【解題方法點(diǎn)撥】在理解極值概念時要注意以下幾點(diǎn)：（1）按定義，極值點(diǎn)x0是區(qū)間[a，b]內(nèi)部的點(diǎn)，不會是端點(diǎn)a，b（因?yàn)樵诙它c(diǎn)不可導(dǎo)）．（2）極值是一個局部性概念，只要在一個小領(lǐng)域內(nèi)成立即可．要注意極值必須在區(qū)間內(nèi)的連續(xù)點(diǎn)取得．一個函數(shù)在定義域內(nèi)可以有許多個極小值和極大值，在某一點(diǎn)的極小值也可能大于另一個點(diǎn)的極大值，也就是說極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系，即極大值不一定比極小值大，極小值不一定比極大值?。?）若f（x）在（a，b）內(nèi)有極值，那么f（x）在（a，b）內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒有極值．（4）若函數(shù)f（x）在[a，b]上有極值且連續(xù)，則它的極值點(diǎn)的分布是有規(guī)律的，相鄰兩個極大值點(diǎn)之間必有一個極小值點(diǎn)，同樣相鄰兩個極小值點(diǎn)之間必有一個極大值點(diǎn)，一般地，當(dāng)函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)且有有限個極值點(diǎn)時，函數(shù)f（x）在[a，b]內(nèi)的極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)是交替出現(xiàn)的，（5）可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必須是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)，也可能不是極值點(diǎn)．4．利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、判別f（x0）是極大、極小值的方法：若x0滿足f′（x0）＝0，且在x0的兩側(cè)f（x）的導(dǎo)數(shù)異號，則x0是f（x）的極值點(diǎn)，f（x0）是極值，并且如果f′（x）在x0兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，則x0是f（x）的極大值點(diǎn)，f（x0）是極大值；如果f′（x）在x0兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”，則x0是f（x）的極小值點(diǎn)，f（x0）是極小值．2、求函數(shù)f（x）的極值的步驟：（1）確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格，檢查f′（x）在方程根左右的值的符號，如果左正右負(fù)，那么f（x）在這個根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f（x）在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號即都為正或都為負(fù)，則f（x）在這個根處無極值．【解題方法點(diǎn)撥】﹣求導(dǎo)：計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'（x）．﹣零點(diǎn)分析：求解f'（x）＝0以找到可能的極值點(diǎn)．﹣極值判斷：通過二階導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)符號變化判斷極值類型．【命題方向】常見題型包括利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值，分析函數(shù)在極值點(diǎn)的行為．已知函數(shù)f（x）＝﹣lnx+2x﹣2．求函數(shù)f（x）的極值．解：f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．令f'（x）＝0，得-1x+2=0令f'（x）＞0，得x＞12；令f'（x）＜0故f（x）在(0，12所以f（x）存在極小值為f(5．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、函數(shù)的最大值和最小值觀察圖中一個定義在閉區(qū)間[a，b]上的函數(shù)f（x）的圖象．圖中f（x1）與