高中數(shù)學(xué)圓的方程典型題型歸納總結(jié)

類型一：巧用圓系求圓的過程

在解析幾何中，符合特定條件的某些圓構(gòu)成一個圓系，一個圓系所具有的共同形式的方程稱為圓系方程。

常用的圓系方程有如下幾種：

（1）以3B）為圓心的同心圓系方程［x-ap+O-斤=兄2（工＞0）

⑵過直線,：出+玲+C=°與圓V+"+”+野+討二°的交點的圓系方程

/+y2+0x+￡y+H+；l（74x+￡y+C）=O

⑶過兩圓。1：/+/+D/+鳥丁+耳二0和圓工-/+/+2工+4）+為=°的交點的圓系方程

/+/+口工+鳥》+用+2（/+/+Ax+4尸+鳥）=0（魂w—1）

此圓系方程中不包含圓,a,直接應(yīng)用該圓系方程，必須檢驗圓1是否滿足題意，謹(jǐn)防漏解。

當(dāng)4=-1時，得到兩圓公共弦所在直線方程

（Q-A）x+（瓦一瓦?+（耳一居）二0

例1：密摞噌號X-6尸+冽=0與直線芯+2y-3=0相交于艮°兩點，o為坐標(biāo)原點，若

分析：此題最易想到設(shè)出產(chǎn)a,K）,Qs”影）,由。尸,°。得到再X。）皿二°,利用設(shè)而不求的

思想，聯(lián)立方程，由根與系數(shù)關(guān)系得出關(guān)于物的方程，最后驗證得解。倘若充分挖掘本題的幾何關(guān)系

°PL°Q，不難得出°在以尸。為直徑的圓上。而產(chǎn)，。剛好為直線與圓的交點，選取過直線與圓交點

的圓系方程，可極大地簡化運算過程。

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高中數(shù)學(xué)圓的方程典型題型歸納總結(jié)

解：過直線x+2?-3=0與圓/+/+彳_6>+物=0的交點的圓系方程為：

X2+y2+x-6.y+w+l(x+2j/-3)=0，即

x2+(1+2”+2(/—3)>+冽-3兄=0①

1+4,1

依題意，0在以尸。為直徑的圓上，則圓心(2')顯然在直線升+2?-3=0上，則

-1±^+2(3-^)-3=0

解之可得2=1

又0(，°)滿足方程①，則閉-32=0故學(xué)=3

例2:求過兩圓,+/=25和(l1丫+0-球=16的交點且面積最小的圓的方程。

解:0^+/=25和(1)2+0-1)2=16的公共弦方程為

x2+y2-25-[(7-l)2+(.y-n2-16]=0,即2入+2了-11=0

過直線2x+2了-11=0與圓/+/=25的交點的圓系方程為

x2+.y3-25+l(2x+2.y-11)=0,即/+/+2兄%+2月/一。1兄+25)=0

a=-口

必在上四斤睡碌圓滿積最犯蟲鷹麟徑最<1或則兩圓的公甦強麗廝碳國圜稟每程國冊英圓方即

,11、2/11、279

例3:求證：m為任意實數(shù)時，直線(m-l)x+(2m-l)y=m-5恒過一定點P,并求P點坐標(biāo)。

分析：不論m為何實數(shù)時，直線恒過定點，因此，這個定點就一定是直線系中任意兩直線的交點。

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解：由原方程得m(x+2y-l)-(x

+y-5)=0,①

(x+2y-l=0解得jx=9

x+y-5=0y=-4

即lI

???直線過定點P(9,-4)

注：方程①可看作經(jīng)過兩直線交點的直線系。

例4已知圓C:(x-l)2+(y-2)2=25,直線I:(2m+l)x+(m+1)y-7m-4=0(meR).

(1)證明：不論m取什么實數(shù)，直線I與圓恒交于兩點；

(2)求直線被圓C截得的弦長最小時I的方程.

剖析：直線過定點，而該定點在圓內(nèi)，此題便可解得.

(1)證明：I的方程(x+y-4)+m(2x+y-7)=0.

?「mdR,;{2x+y-7=0得-x=3,

x+y-4=0,y=l,

即I恒過定點A(3,1).

?.?圓心C(l,2),|AC|=/<5(半徑)，

:點A在圓C內(nèi)，從而直線I恒與圓C相交于兩點.

(2)解：弦長最小時，I_LAC,由I<AC=—,

-I的方程為2x-y-5=0.

評述：若定點A在圓外，要使直線與圓相交則需要什么條件呢？

思考討論

類型二：直線與圓的位置關(guān)系

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例5、若直線y=x+加與曲線y=<4-X2有且只有一個公共點,求實數(shù)，〃的取值范圍.

解：?.曲線y=、，；4-尤2表示半圓x2+y2=4()，20)，，利用數(shù)形結(jié)合法，可得實數(shù)m的取值范圍是

-2<m<2^m=2盤.

變式練習(xí)：1.若直線y=x+k與曲線x=W-”恰有一個公共點，則卜的取值范圍是__________.

解析：利用數(shù)形結(jié)合.

答案：-l<k41或k=-屁

例6圓(x—3)2+(>—3)2=9上到直線3x+4y-11=0的距離為1的點有幾個？

分析：借助圖形直觀求解.或先求出直線//的方程，從代數(shù)計算中尋找解答.

解法一：圓(工一3)2+(、-3)2=9的圓心為0|(3,3)，半徑廠=3.

|3x3+4x3-11|

設(shè)圓心空直線3-=。的距離為d,則d----,,---=2<3

y/32+42

如圖,在圓心。尸側(cè)，與直線3?6-11=。平彳迪巨離為1的直線(與圓有兩個交點,這兩個交

點符合題意.

又r—d=3-2=1.

，與直線3x+4y-11=0平行的圓的切線的兩個切點中有一個切點也符合題意.

二符合題意的點共有3個.

解法二：符合題意的點是平行于直線3x+4y-11=0,且與之距離為1的直線和圓的交點.設(shè)所求

直線為3x+4y+m=。.則〃==1

,32+42

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m+11=±5,即機=-6,或機=-16,也即

/：3x+4y-6=0，或/：3x+4y-16=0.

12

設(shè)圓。(x_3)2+(y_3)2=9的圓心到直線/、/的距離為d、d,則

11212

_|3x3+4x3-6|_J3x3+4x3-iq_

d=----,=—=3,d=-----,=-1.

1432+422<32+42

???/與。相切，與圓。有一個公共點；I與圓。相交，與圓。有兩個公共點.即符合題意的點共3

111211

小

說明：對于本題，若不留心，則易發(fā)生以下誤解：

|3x3+4x3-11|

設(shè)圓心。?到直線3x+4)，-11=0的距離為d，貝！|d==2<3

、/32+42

???圓。到3x+4)-11=0距離為1的點有兩個.

1

顯然，上述誤解中的〃是圓心到直線3》+4)，-11=0的距離,d<r,只能說明此直線與圓有兩個

交點，而不能說明圓上有兩點到此直線的距離為1.

類型三：圓中的最值問題

例7:圓X2+y2-4犬-4y_1°=°上的點到直線X+y-14=0的最大距離與最小距離的差是

解：???圓仁-2)2+(),-2)2=18的圓心為(2,2),半徑/'=3展，，圓心到直線的距離

d-5、吃>r直線與圓相離，二圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是

+r)-(d-r)=2r=6y/2,

例8(1)已知圓O(x-3)2+(y-4)2=1,P(x,y)為圓。上的動點，求d=x2+>2的最大、最小值.

y-2c

(2)已知圓0G+2)2+>2=1,,y)為圓上(『點求~——的最大、最小值，求X_2y的最大、

2X-1

最小值.

分析：(1)、(2)兩小題都涉及到圓上點的坐標(biāo)，可考慮用圓的參數(shù)方程或數(shù)形結(jié)合解決.

解：(1)(法1)由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(X-3)2+(y_4)2=1.

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X=3+COS。，n日公她、

可設(shè)圓的參數(shù)方程為（°是參數(shù)）.

y

貝Ud=%2+y2=9+6cos?+COS2?+16+8sin°+sin2。

4

=26+6cos。+8sin。=26+10cos（9-0）（其中tan<|）=_）

3

所以d=26+10=36,d=26-10=16.

maxmin

（法2）圓上點到原點距離的最大值”等于圓心到原點的距離〃?加上半徑1,圓上點到原點距離的最

11

小值”售書圓心到原點的距離“避去半徑

所以4=,32+42+1=6.

1

d=132+42-1=4.

2

所以d=36d=16.

maxmin

=-2+cos0,

（2）（法1）由（x+2b+），2=1得圓的參數(shù)方程：〈0是參數(shù).

Q

皿1y-2_sin0-2令sin0-2=t,

人」丑二口.令森后.

得sin。-tcos0=2-3t,Jl+f2，皿（。一?。?2一3t

2-31=pin（0-（|））|<1=>3邛<t<3+途

J1+I2

所以1=3+、京f_3-后

max4min4

即y-2的最大值為3+7,最小值為3-、回.

x-144

此時x-2y=-2+cos9-2sin。=一2+J5cos（。+。）.

所以X-2y的最大值為-2+/,最小值為-2-4.

（法2）設(shè)213=攵，則丘—y-攵+2=0.由于P（x,），）是圓上點，當(dāng)直線與圓有交點時，如圖所示,

X—}

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兩條切線的斜率分別是最大、最小值.

一，=卜2：—2+2|=i徨>==

J1+A24

所以二的最大值為3+力,最小值為3y.

x-144

令x-2y=t,同理兩條切線在x軸上的截距分別是最大、最小值.

,,I—