第1頁共10頁課時(shí)跟蹤檢測（四十四）空間幾何體的表面積與體積一、題點(diǎn)全面練1．(2019·沈陽質(zhì)檢)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的側(cè)面積是()A．4＋4eq\r(2) B．4eq\r(2)＋2C．8＋4eq\r(2) D.eq\f(8,3)解析：選A由三視圖可知該幾何體是一個(gè)四棱錐，記為四棱錐P-ABCD，如圖所示，其中PA⊥底面ABCD，四邊形ABCD是正方形，且PA＝2，AB＝2，PB＝2eq\r(2)，所以該四棱錐的側(cè)面積S是四個(gè)直角三角形的面積和，即S＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×2＋\f(1,2)×2×2\r(2)))＝4＋4eq\r(2).2．(2019·開封模擬)某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為扇形，則該幾何體的體積為()A．4π B.2πC.eq\f(4π,3) D．π解析：選B由題意知該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體為圓柱的一部分，設(shè)底面扇形的圓心角為α，由tanα＝eq\f(\r(3),1)＝eq\r(3)，得α＝eq\f(π,3)，故底面面積為eq\f(1,2)×eq\f(π,3)×22＝eq\f(2π,3)，則該幾何體的體積為eq\f(2π,3)×3＝2π.3．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(其中正視圖的弧線為四分之一圓周)，則該幾何體的表面積為()A．72＋6π B．72＋4πC．48＋6π D．48＋4π解析：選A由三視圖知，該幾何體由一個(gè)正方體的eq\f(3,4)部分與一個(gè)圓柱的eq\f(1,4)部分組合而成(如圖所示)，其表面積為16×2＋(16－4＋π)×2＋4×(2＋2＋π)＝72＋6π.4．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為()A．64－eq\f(16π,3) B.64－eq\f(32π,3)C．64－16π D．64－eq\f(64π,3)解析：選A由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)正方體中間挖去兩個(gè)頂點(diǎn)相接的圓錐，其中，兩個(gè)圓錐的體積和是V錐＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×π×22×4＝eq\f(16π,3)，∴V＝V正方體－V錐＝43－eq\f(16π,3)＝64－eq\f(16π,3).5.(2018·廣州調(diào)研)如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1，圖中粗線畫出的是某三棱錐的三視圖，則該三棱錐的外接球的表面積為()A.eq\f(11,2)π B.6πC．11π D．12π解析：選C根據(jù)三視圖知，可將該三棱錐放在長方體中，如圖中三棱錐S-ABC所示，取線段AC的中點(diǎn)O1，過O1作直線垂直于平面ABC交長方體的上底面于點(diǎn)P，因?yàn)椤鰽BC是直角三角形，所以外接球的球心O必在直線PO1上，連接SO，SP，OC，設(shè)OO1＝x，球的半徑為R，易得SP＝eq\f(\r(10),2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R2＝x2＋\f(1,2)，,R2＝1－x2＋\f(5,2)，))解得R2＝eq\f(11,4)，所以該三棱錐外接球的表面積S＝4πR2＝11π，故選C.6.如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，P為BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)A，P，C1的平面截正方體所得的截面為M，則截面M的面積為________．解析：如圖，取A1D1，AD的中點(diǎn)分別為F，G.連接AF，AP，PC1，C1F，PG，D1G，AC1，PF.∵F為A1D1的中點(diǎn)，P為BC的中點(diǎn)，G為∴AF＝FC1＝AP＝PC1＝eq\f(\r(5),2)，PG綊CD，AF綊D1G.由題意易知CD綊C1D1，∴PG綊C1D1，∴四邊形C1D1GP為平行四邊形，∴PC1綊D1G，∴PC1綊AF，∴A，P，C1，F(xiàn)四點(diǎn)共面，∴四邊形APC1F為菱形．∵AC1＝eq\r(3)，PF＝eq\r(2)，過點(diǎn)A，P，C1的平面截正方體所得的截面M為菱形APC1F，∴截面M的面積S＝eq\f(1,2)AC1·PF＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(2)＝eq\f(\r(6),2).答案：eq\f(\r(6),2)7．(2019·合肥質(zhì)量檢測)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為________．解析：由三視圖可知，該幾何體由一個(gè)半圓柱與兩個(gè)半球構(gòu)成，故其表面積為4π×12＋eq\f(1,2)×2×π×1×3＋2×eq\f(1,2)×π×12＋3×2＝8π＋6.答案：8π＋68．已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S-ABC的體積為9，則球O的表面積為________．解析：如圖，取SC的中點(diǎn)O，連接OA，OB.∵SA＝AC，SB＝BC，∴OA⊥SC，OB⊥SC，∵平面SAC⊥平面SBC，∴OA⊥平面SBC.設(shè)OA＝r，則VS-ABC＝VA-SBC＝eq\f(1,3)S△SBC×OA＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2r×r×r＝eq\f(1,3)r3＝9.∴r＝3.∴球O的表面積為4πr2＝36π.答案：36π9．已知球的半徑為R，在球內(nèi)作一個(gè)內(nèi)接圓柱，這個(gè)圓柱的底面半徑與高為何值時(shí)，它的側(cè)面積最大？側(cè)面積的最大值是多少？解：如圖為其軸截面，令圓柱的高為h，底面半徑為r，側(cè)面積為S，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))2＋r2＝R2，即h＝2eq\r(R2－r2).因?yàn)镾＝2πrh＝4πr·eq\r(R2－r2)＝4πeq\r(r2·R2－r2)≤4πeq\r(\f(r2＋R2－r22,4))＝2πR2，當(dāng)且僅當(dāng)r2＝R2－r2，即r＝eq\f(\r(2),2)R時(shí)，取等號，所以當(dāng)內(nèi)接圓柱底面半徑為eq\f(\r(2),2)R，高為eq\r(2)R時(shí)，其側(cè)面積的值最大，最大值為2πR2.10.如圖，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點(diǎn)，BE⊥平面ABCD.(1)求證：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱錐E-ACD的體積為eq\f(\r(6),3)，求該三棱錐的側(cè)面積．解：(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以AC⊥BD.因?yàn)锽E⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以BE⊥AC.因?yàn)锽D∩BE＝B，BD?平面BED，BE?平面BED，所以AC⊥平面BED.又AC?平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.(2)設(shè)AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝eq\f(\r(3),2)x，GB＝GD＝eq\f(x,2).因?yàn)锳E⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝eq\f(\r(3),2)x.由BE⊥平面ABCD，知△EBG為直角三角形，可得BE＝eq\f(\r(2),2)x.由已知得，三棱錐E-ACD的體積V三棱錐E-ACD＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)AC·GD·BE＝eq\f(\r(6),24)x3＝eq\f(\r(6),3)，故x＝2.從而可得AE＝EC＝ED＝eq\r(6).所以△EAC的面積為3，△EAD的面積與△ECD的面積均為eq\r(5).故三棱錐E-ACD的側(cè)面積為3＋2eq\r(5).二、專項(xiàng)培優(yōu)練(一)易錯(cuò)專練——不丟怨枉分1．(2018·衡水二模)如圖是某個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體的表面積是()A．π＋4eq\r(2)＋4 B.2π＋4eq\r(2)＋4C．2π＋4eq\r(2)＋2 D．2π＋2eq\r(2)＋4解析：選B由三視圖可知，該幾何體是由一個(gè)半圓柱與一個(gè)三棱柱組成的幾何體，其直觀圖如圖所示，其表面積S＝2×eq\f(1,2)π×12＋2×eq\f(1,2)×2×1＋eq\f(1,2)π×2×1＋(eq\r(2)＋eq\r(2)＋2)×2－2×1＝2π＋4eq\r(2)＋4.2．(2019·石家莊質(zhì)檢)如圖是某四棱錐的三視圖，其中正視圖是邊長為2的正方形，側(cè)視圖是底邊分別為2和1的直角梯形，則該幾何體的體積為()A.eq\f(8,3) B.eq\f(4,3)C.eq\f(8\r(2),3) D.eq\f(4\r(2),3)解析：選A記由三視圖還原后的幾何體為四棱錐A-BCDE，如圖，將其放入棱長為2的正方體中，其中點(diǎn)D，E分別為所在棱的中點(diǎn)，分析知平面ABE⊥平面BCDE，點(diǎn)A到直線BE的距離即棱錐的高，設(shè)為h，在△ABE中，易知AE＝BE＝eq\r(5)，cos∠ABE＝eq\f(\r(5),5)，則sin∠ABE＝eq\f(2\r(5),5)，所以h＝eq\f(4\r(5),5)，故四棱錐的體積V＝eq\f(1,3)×2×eq\r(5)×eq\f(4\r(5),5)＝eq\f(8,3).3．三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為eq\r(3)的正三角形，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，若球O與三棱柱ABC-A1B1C1各側(cè)面、底面均相切，則側(cè)棱AA1的長為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C．1 D.eq\r(3)解析：選C因?yàn)榍騉與直三棱柱的側(cè)面、底面均相切，所以側(cè)棱AA1的長等于球的直徑．設(shè)球的半徑為R，則球心在底面上的射影是底面正三角形ABC的中心，如圖所示．因?yàn)锳C＝eq\r(3)，所以AD＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(\r(3),2).因?yàn)閠aneq\f(π,6)＝eq\f(MD,AD)，所以球的半徑R＝MD＝ADtaneq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(1,2)，所以AA1＝2R＝2×eq\f(1,2)＝1.4．(2018·洛陽聯(lián)考)已知球O與棱長為4的正四面體的各棱相切，則球O的體積為()A.eq\f(8\r(2),3)π B.eq\f(8\r(3),3)πC.eq\f(8\r(6),3)π D.eq\f(16\r(2),3)π解析：選A將正四面體補(bǔ)成正方體，則正四面體的棱為正方體面上的對角線，因?yàn)檎拿骟w的棱長為4，所以正方體的棱長為2eq\r(2).因?yàn)榍騉與正四面體的各棱都相切，所以球O為正方體的內(nèi)切球，即球O的直徑為正方體的棱長2eq\r(2)，則球O的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(8\r(2),3)π.(二)技法專練——活用快得分5．[構(gòu)造法]某幾何體的三視圖如圖所示(粗實(shí)線部分)，正方形網(wǎng)格的邊長為1，該幾何體的頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為()A．15π B.16πC．17π D．18π解析：選C由題中的三視圖可知，該幾何體為如圖所示的三棱錐D1-BCD，將其放在長方體ABCD-A1B1C1D1中，則該幾何體的外接球即長方體的外接球，長方體的長、寬、高分別為2,2,3，長方體的體對角線長為eq\r(4＋4＋9)＝eq\r(17)，球O的直徑為eq\r(17)，所以球O的表面積S＝17π.6．[補(bǔ)形法]一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.eq\f(3,2) B.eq\f(13,6)C．2 D.eq\f(11,6)解析：選D由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)底面為等腰直角三角形，高為2的直三棱柱，截去一個(gè)小三棱錐的組合體，直觀圖如圖所示．直三棱柱的體積為eq\f(1,2)×2×1×2＝2，而截去的三棱錐的體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6)，故所求幾何體的體積為2－eq\f(1,6)＝eq\f(11,6).7．[等體積法]在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD＝1，AB＝2，AA1＝2，點(diǎn)M在平面ACB1內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則線段BMA.eq\f(\r(6),2) B.eq\r(6)C.eq\f(\r(6),3) D．3解析：選C線段BM的最小值即點(diǎn)B到平面ACB1的距離h.在△ACB1中，AC＝B1C＝eq\r(5)，AB1＝2eq\r(2)，所以AB1邊上的高為eq\r(5－2)＝eq\r(3)，所以S△ACB1＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(3)＝eq\r(6).又三棱錐B-ACB1的體積VB-ACB1＝VA-BB1C＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×2＝eq\f(2,3)，所以VB-ACB1＝eq\f(1,3)×eq\r(6)h＝eq\f(2,3)，所以h＝eq\f(\r(6),3).8．[分割法]某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________．解析：如圖，由三視圖可知，該幾何體是由棱長為3的正方體削去左上角一個(gè)底面是直角邊長為3和1的直角三角形，側(cè)棱長為3且垂直于底面的三棱錐，削去右上角的一底面為直角邊長為2和3的直角三角形，側(cè)棱長為3的直棱柱之后得到的，剩余幾何體的體積為V＝27－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)×\f(1,2)×3×1×3＋3×\f(1,2)×2×3))＝eq\f(33,2).答案：eq\f(33,2)(三)交匯專練——融會巧遷移9．[與數(shù)學(xué)文化交匯]芻甍(chúménɡ)，中國古代算術(shù)中的一種幾何形體，《九章算術(shù)》中記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無廣．芻，草也．甍，屋蓋也．”翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱，芻甍的字面意思為茅草屋頂．”如圖為一芻甍的三視圖，其中正視圖為等腰梯形，側(cè)視圖為等腰三角形，則搭建它(無底面且不考慮厚度)需要的茅草面積為()A．24 B.32eq\r(5)C．64 D．32eq\r(6)解析：選B由三視圖易知，此幾何體的表面由兩個(gè)等腰三角形和兩個(gè)等腰梯形組成(不考慮底面)，則搭建此幾何體需要的茅草面積為S＝2×eq\f(1,2)×4×eq\r(22＋42)＋2×eq\f(1,2)×(4＋8)×eq\r(22＋42)＝32eq\r(5).10．[與數(shù)學(xué)文化交匯]古代數(shù)學(xué)名著《張丘建算經(jīng)》中