第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)高三下學(xué)期質(zhì)量檢測(cè)一數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A=xx<2，集合B=x0≤x≤2A.x0≤x<2 B.x0≤x≤2 C.x?2<x<22.設(shè)復(fù)數(shù)z=1+i的共軛復(fù)數(shù)為z，則z?z=(

)A.1 B.2 C.2 D.3.在x+2x4的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為A.6 B.8 C.12 D.244.為了得到函數(shù)y=sin2x+cos2x的圖象，可以將函數(shù)A.向右平移π4個(gè)單位 B.向左平移π4個(gè)單位 C.向右平移π8個(gè)單位 D.5.已知an是等比數(shù)列，a2=2，a3=1A.18 B.14 C.126.已知曲線C:mx2?ny2=1，則“n>m>0”是“CA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知sinα+sinβ=0，cosα+cosA.?12 B.12 C.8.某市計(jì)劃在一條河上修建一座水上休閑公園，如圖所示．這條河兩岸所在直線l1，l2互相平行，橋DE與河岸所在直線垂直．休閑公園的形狀可視為直角三角形，它的三個(gè)入口分別設(shè)在直角三角形的頂點(diǎn)A，B，C處，其中入口A點(diǎn)(定點(diǎn))在橋DE上，且A到直線l1，l2的距離分別為?1，?2(?1,?2為定值)，入口B，C分別在直線l2，l1上，公園的一邊AB與直線l2所成的銳角∠ABD為A.函數(shù)Sα的最大值為?1?2

B.函數(shù)Sα的最小值為?1?22

C.若α1，α2∈0,π9.在?ABC中，CA=CB=5，AB=4，點(diǎn)M為?ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)且AM?BC=0，則A.0 B.?1625 C.?410.n位同學(xué)參加學(xué)校組織的某棋類單循環(huán)制比賽，即任意兩位參賽者之間恰好進(jìn)行一場(chǎng)比賽．每場(chǎng)比賽的計(jì)分規(guī)則是：勝者計(jì)3分，負(fù)者計(jì)0分，平局各計(jì)1分．所有比賽結(jié)束后，若這n位同學(xué)的得分總和為150分，且平局總場(chǎng)數(shù)不超過(guò)比賽總場(chǎng)數(shù)的一半，則平局總場(chǎng)數(shù)為(

)A.12 B.15 C.16 D.18二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.函數(shù)fx=11?x12.已知點(diǎn)M2,1在拋物線C:x2=2py(p>0)上，則拋物線C的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為

；以F為圓心，F(xiàn)M為半徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線的位置關(guān)系是

13.已知函數(shù)fx是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)fx=x+e2?x，則f?2=

；若存在a,b,c∈Ra≠b，使得14.干支紀(jì)年法是我國(guó)古代一種紀(jì)年方式，它以十天干(甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸)和十二地支(子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥)的組合來(lái)表示年份，循環(huán)紀(jì)年．比如某一年為甲子年‘，則下一年為乙丑年，再下一年為丙寅年，以此類推，排列到癸酉年后，天干回到“甲”，即甲戌年，下一年為乙亥年，之后地支回到“子”，即丙子年，以此類推．已知2025年是乙巳年，則2025年之后的首個(gè)己巳年是

年．(用數(shù)字作答)15.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1①PA+PC②PA+PC③PA+PC④PA2+其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

．三、解答題：本題共6小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。16.(本小題12分)如圖，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，A1A⊥平面(1)求證：A1E//平面(2)若平面A1ABB1⊥平面A1ADD17.(本小題12分)在?ABC中，b(1)求c的值；(2)已知sinC=35，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得?ABC條件①：∠B=π條件②：AB邊上的高為32條件③：a=4注：如果選擇的條件不符合要求，第(Ⅱ)問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．18.(本小題12分)某高中組織學(xué)生研學(xué)旅行．現(xiàn)有A，B兩地可供選擇，學(xué)生按照自愿的原則選擇一地進(jìn)行研學(xué)旅行．研學(xué)旅行結(jié)束后，學(xué)校從全體學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行滿意度調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表：

高一高二高三A地B地A地B地A地B地滿意122183156一般226568不滿意116232假設(shè)所有學(xué)生的研學(xué)旅行地點(diǎn)選擇相互獨(dú)立．用頻率估計(jì)概率．(1)估計(jì)該校學(xué)生對(duì)本次研學(xué)旅行滿意的概率；(2)分別從高一、高二、高三三個(gè)年級(jí)中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)這3人中至少有2人選擇去B地的概率；(3)對(duì)于上述樣本，在三個(gè)年級(jí)去A地研學(xué)旅行的學(xué)生中，調(diào)查結(jié)果為滿意的學(xué)生人數(shù)的方差為s12，調(diào)查結(jié)果為不滿意的學(xué)生人數(shù)的方差為s22，寫出s12和19.(本小題12分)已知橢圓:x2a2+(1)求橢圓E的方程；(2)過(guò)點(diǎn)M4,0作直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B.設(shè)C52,32，直線BC與直線x=120.(本小題12分)已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=fx在點(diǎn)1,f(2)若a≥12，求證：當(dāng)x≥1時(shí)，(3)若函數(shù)fx有3個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍．21.(本小題12分)已知Q:a1，a2，?，ann≥3,n∈N?為有窮正整數(shù)數(shù)列，若存在i,j∈(1)判斷Q1：1，3，2和Q2：4，2，(2)對(duì)任意的正整數(shù)i，記vi=maxv∈N|i=u?2u,u∈N?，其中maxS表示數(shù)集S中最大的數(shù)．令a(3)若Q:a1，a2，?，an的每一項(xiàng)均為不大于kk∈N?參考答案1.A

2.C

3.D

4.D

5.A

6.A

7.B

8.D

9.C

10.B

11.0,1

12.0,1

，相切13.?3

，

4(14.2049

15.①②④

16.(1)連接D1因?yàn)锳B=2,CD=1,E為AB的中點(diǎn)，所以AE=CD．又AB//CD，所以四邊形AECD為平行四邊形．所以EC//AD,EC=AD．又因?yàn)锳1所以A1所以四邊形A1所以A1又因?yàn)锳1E?平面C1所以A1E//平面(2)因?yàn)锳A1⊥所以AA又因?yàn)槠矫鍭1ABB1⊥平面A且AD?平面A1所以AD⊥平面A1所以AD⊥AB．所以AB,AD,AA如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz，則D0,1,0所以E1,0,0因?yàn)锳D⊥平面A1所以AD=0,1,0是平面設(shè)平面A1C1則n?E令x=2，則y=?2,z=1.于是n=設(shè)平面A1ABB1與平面則cosθ=17.(1)由正弦定理asinA得sinB所以sinA+B所以sinπ?C又因?yàn)镃∈0,π，所以sin所以c=1．(2)選條件①：因?yàn)锽=π4,所以b=c因?yàn)閎>c，所以B>C.所以C∈0,又因?yàn)閟inC=35所以sinA=又asinA=所以?ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=1+7選條件②：因?yàn)閏=1,AB邊上的高為32，所以S又因?yàn)閟inC=35所以ab=5因?yàn)閟inC=35(1)當(dāng)cosC=45時(shí)，由c又ab=52，所以所以a=b=所以?ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=1+(2)當(dāng)cosC=?45時(shí)，由c又ab=52，所以綜上，?ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=1+選條件③：a=由余弦定理c2=a2+解得b=53或b=718.(1)從表格數(shù)據(jù)可知，隨機(jī)抽取的100名學(xué)生對(duì)本次研學(xué)旅行滿意的人數(shù)為12+2+18+3+15+6=56，因此該校學(xué)生對(duì)本次研學(xué)旅行滿意的概率可估計(jì)為56100(2)設(shè)事件A1：抽取的高一學(xué)生選擇去B事件A2：抽取的高二學(xué)生選擇去B事件A3：抽取的高三學(xué)生選擇去B事件Ci：抽取的3人中恰有i人選擇去B地，i=2,3事件D：抽取的3人中至少有2人選擇去B地．從數(shù)據(jù)表格可知，抽取的100名學(xué)生中高一年級(jí)學(xué)生總數(shù)為12+2+1+2+2+1=20，選擇去B地的總數(shù)為2+2+1=5，所以PA1可估計(jì)為抽取的100名學(xué)生中高二年級(jí)學(xué)生總數(shù)為18+6+6+3+5+2=40，選擇去B地的總數(shù)為3+5+2=10，所以PA2可估計(jì)為抽取的100名學(xué)生中高三年級(jí)學(xué)生總數(shù)為15+6+3+6+8+2=40，選擇去B地的總數(shù)為6+8+2=16，所以PA3可估計(jì)為因?yàn)镈=C所以P(D)=P=PA所以抽取的3人中至少有2人選擇去B地的概率可估計(jì)為14(3)在三個(gè)年級(jí)去A地研學(xué)旅行的學(xué)生中，調(diào)查結(jié)果為滿意的學(xué)生人數(shù)的平均數(shù)為x1則調(diào)查結(jié)果為滿意的學(xué)生人數(shù)的方差為s1調(diào)查結(jié)果為不滿意的學(xué)生人數(shù)的平均數(shù)為x2則調(diào)查結(jié)果為不滿意的學(xué)生人數(shù)的方差為s2則s119.(1)由題意得c=1ca所以橢圓E的方程是x2(2)由題可知直線l斜率存在．設(shè)直線l:y=kx?4由3x2+4由Δ=?32k22?4設(shè)Ax則x1直線BC的方程為y?3令x=1，得N的縱坐標(biāo)為yN因?yàn)閥==2k所以kANk==k+1又2=128所以kAN+1=0，即所以直線AN的斜率為定值?1．20.(1)當(dāng)a=1時(shí)，fx=lnx?x?1x+1，則所以曲線y=fx在點(diǎn)1,f1處的切線方程為y=1(2)由題設(shè)知f′x設(shè)函數(shù)?x當(dāng)a≥12時(shí)，因?yàn)樗?x≥0對(duì)任意的x≥1恒成立，即所以函數(shù)fx在區(qū)間1,+∞上單調(diào)遞增，所以f所以當(dāng)a≥12且x≥1時(shí)，(3)函數(shù)fx的定義域?yàn)?,+∞f′x①當(dāng)a≤0時(shí)，f′x<0，函數(shù)fx函數(shù)fx②當(dāng)a≥12時(shí)，由(2)可知函數(shù)fx函數(shù)fx③當(dāng)0<a<12時(shí)，對(duì)于函數(shù)因?yàn)棣??8a+4>0，所以方程ax2+2a?2x+a=0滿足x1+x不妨設(shè)x1<x2，則0<xx0,xxxxf′+0?0+f增極大值減極小值增所以函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間是0,x1、x因?yàn)閒1=0，所以1為又fx1>f1=0所以存在唯一實(shí)數(shù)t1∈0,1又fx2<f1=0所以存在唯一實(shí)數(shù)t2∈1,+∞所以函數(shù)fx有3綜上，a的取值范圍為0,121.(1)數(shù)列Q1取s1=1,s所以數(shù)列Q1數(shù)列Q2當(dāng)i,j=1,3時(shí)，因?yàn)閟1,s2,當(dāng)i,j=1,2時(shí)，因?yàn)閟1,s2∈當(dāng)i,j=2,3時(shí)，因?yàn)閟2,s3∈所以數(shù)列Q2(2)因?yàn)?，3，5，7是奇數(shù)，故v1所以a1因?yàn)関2=v6=1，所以因?yàn)関4=2，所以所以數(shù)列Q:4,2,4,1,4,2,4．因?yàn)閟i所以siai當(dāng)i≤4<j或i<4≤j時(shí)，因?yàn)閍i,a所以ai所以si當(dāng)i,j取1,2,由(1)可知si綜上，數(shù)列Q不是連續(xù)可歸零數(shù)列．(3)設(shè)b則b1下面證明對(duì)任意i∈1,2,?,n，均有?k+1≤顯然b1=a假設(shè)結(jié)論不成立，則存在t∈2,3,?,n，使得bt>k且當(dāng)j<t時(shí)都有?k+1≤b(i)若bt>k，當(dāng)bt?1因?yàn)閍t≤k，所以當(dāng)bt?1>0時(shí)，因?yàn)閍t>0，所以(