電路的定理

§4-1線性電路的三大性質(zhì)

例：x(t)y(t)N0kx(t)ky(t)N0一、比例性

在單個電源作用的線性電路中，響應(yīng)y(t)

與激勵x(t)成正比。

線性電路的比例性由齊性原理描述。線性無源電阻網(wǎng)絡(luò)齊性原理：（homogeneityproperty)??+-10V2

3

2AU2U1++--+-20V2

3

4AU2U1++--例題：電路如圖，求各支路電流，電壓。采用關(guān)聯(lián)參考方向：設(shè)I5=1A'I1=4A'則I2=1A'I3=3A'I4=2A'US=55V'U3=39V'U5=24V'+-10V4

39

5

12

4

20

I5I4I3I2I1USU3U5+-+-

'US=US5.5=K

各支路電流，電壓根據(jù)比例性縮小K倍。U5=4.32VI1=0.72AI2=0.18AI3=0.54AI4=0.36AI5=0.18AU3=7.02V

x1(t)+x2(t)y

(t)=y1(t)+y2(t)

x1(t)y1(t)N0x2(t)y2(t)N0N0x1(t)x2(t)y

(t)二、迭加性

迭加定理：在多個電源共同作用的線性電路中，各支路電流、（電壓）等于每一個電源單獨作用時，在該支路產(chǎn)生的電流（電壓）代數(shù)和。（SuperpositionTheorem）線性電路的迭加性由迭加定理描述。??證明：+-30V2

5

2A3

+-10VI=2

5

-1A3

+-10V??10V作用I=''30V作用+-30V2

5

I=3A3

??

'共同作用I

=I+I'''推廣定理：

K1x1(t)K1y1(t)K2x2(t)K2y2(t)x1(t)y

(t)x2(t)N0

K1x1(t)+K2x2(t)K1y1(t)+K2y2(t)y

(t)=K[x1(t)+x2(t)]y

(t)=K[y1(t)+y2(t)]若K1=

K2=

Ky

(t)=y1(t)+y2(t)注意以下幾點：2.

應(yīng)用時電路的結(jié)構(gòu)參數(shù)必須前后一致。1.

疊加定理只適用于線性電路求電壓和電流；不能用疊加定理求功率(功率為電源的二次函數(shù))。不適用于非線性電路。3.不作用的電壓源短路；不作用的電流源開路。4.

含受控源(線性)電路亦可用疊加，受控源應(yīng)始終保留。

5.疊加時注意參考方向下求代數(shù)和。應(yīng)用疊加定理解題：1、分解電路；2、單獨計算；3、迭加。例題1：求圖中電壓u。解:(1)10V電壓源單獨作用，4A電流源開路u'=4V(2)4A電流源單獨作用，10V電壓源短路u"=-42.4=-9.6V3、迭加

u=u'+u"=4+(-9.6)=-5.6V+–10V6

+–4

u'1、分解電路2、單獨計算4A6

+–4

u''??+–10V4A6

+–4

u求電流源電壓Us。(1)10V電壓源單獨作用：(2)4A電流源單獨作用：解:10V+–6

I1'+–10I1'4

+–Us'+–U1'Us'=-10I1'+U1'Us"=-10I1"+U1”

例題2：10VI1+–6

4A+–Us+–10I14

6

I1''4A+–Us''+–10I1''4

+–U1"Us'=-10I1'+U1’=-10I1'+4I1'=

-101+41=-6VUs"=-10I1"+U1”

=-10(-1.6)+9.6=25.6V共同作用：Us=Us'+Us"=-6+25.6=19.6V10V+–6

I1'+–10I1'4

+–Us'+–U1'6

I1''4A+–Us''+–10I1''4

+–U1"第一種形式:激勵

電壓源，響應(yīng)

電流NONO+-+-ususisc2isc1isc2isc1=三、互易性

互易定理：當無源線性網(wǎng)絡(luò)的激勵和響應(yīng)互換位置時,(ReciprocityTheorem)線性電路的互易性由互易定理描述。同一激勵電壓將產(chǎn)生相同的響應(yīng)電流。isNO°°NO°°is++--uOC1uOC2isNOisc1+-usNO°°uOC2+-第二種形式:激勵

電流源，響應(yīng)

電壓uOC1=uOC2

第三種形式:如果is=us，isc1=uOC2證明：

以互易定理一為例，選定回路電流。（1）用回路電流法列方程0212111=+iRiR+……us1222121+iRiRus2+……=…………2l21l1+iRiR+……=（2）根據(jù)克萊姆法則：1i=

21

us2

N0+–us1i1i2us2+–無受控源，系數(shù)矩陣對稱

us12i=us2=0Rjk=Rkj則

21

12=1ius2us1=

0當us1=us2時則

isc1=isc2互易定理成立。2i=

12

us1令us2=

0令us1=

0

=isc2=isc1當含有受控源時，系數(shù)矩陣不對稱互易定理不成立。**互易定理二、三的證明自己思考。例題1：I2

4

2

8

+–10V3

I2

4

2

8

+–10V3

求電流I。解：利用互易定理一如圖（1）（1）I=0.75A4//)32//2(8++練習題：+-8v4

1

2

1

2

II=0.667A例題2：A20

40

60

30

50

12

8AI20

40

60

30

50

12

+-8v°°+-U利用互易定理三，電橋平衡。I=U=

4A解：例題3：已知us1=3V，us2=0V時，

i1=1A。i2=2A求

us1=9V，us2=6V時，

i1=？

NO+_us1us2i1+_i2電路如圖

解：1、比例性2、互易性3、迭加性us1=3v，i1=1Ai2=2Ai1=3Aus1=9v，則i2=6Aus1=3v，i2=2Aus2=3v，則i1=-2Aus2=6v，i1=-4A比例性us1=9v，us2=6v，則i1=3+（-4）=-1A注意方向(1)適用于線性網(wǎng)絡(luò)只有一個電源時，電源支路和另一支路間電壓、電流的關(guān)系。(2)激勵為電壓源時，響應(yīng)為電流激勵為電流源時，響應(yīng)為電壓電壓與電流互易。(3)電壓源激勵，互易時原電壓源處短路，電壓源串入另一支路；

電流源激勵，互易時原電流源處開路，電流源并入另一支路的兩個節(jié)點間。(4)互易時要注意電壓、電流的方向。(5)含有受控源的網(wǎng)絡(luò)，互易定理一般不成立。應(yīng)用互易定理時應(yīng)注意：§4-2線性電路的基本定理NSik+–uk支路

k

NS+–ukikNS一、替代定理(SubstitutionTheorem)任意一個線性電路，其中第k條支路的電壓已知為uk（電流為ik），那么就可以用一個電壓等于uk的理想電壓源（電流等于ik的獨立電流源）來替代該支路，替代前后電路中各處電壓和電流均保持不變。說明1.替代定理適用于線性、非線性電路、定常和時變電路。2)被替代的支路和電路其它部分應(yīng)無耦合關(guān)系。1)

原電路和替代后的電路必須有唯一解。2.替代定理的應(yīng)用必須滿足兩個前提:例:圖（a）所示電路，已知U=2V，試用替代定理求各U1，I1和I.

解；由替代定理，圖中所示電路中網(wǎng)絡(luò)N的端口電壓U可用一個端電壓和參考方向都與U相同的電壓源Us替代，如圖（b）所示U18VN+-U?abI+-?+-2I1+-3U14

I1（a）由圖（b）所示可寫出KVL方程-3U1+8+U1–2=0-3U1+4I1–2=0得U1=2.75A并由KCL可求得:I=2I1–I1=I1=2.75A+-a??+-+-+-4

Ib3U1I1U12I1（b）8V2V二、戴維南定理和諾頓定理

(Thevenin-NortonTheorem)NO°°°°ReqNSababRiuoc+-任意線性？（1）°°+-usisRRiueq+-（2）（3）問題的提出

1、戴維南定理：任何一個線性含有獨立電源、線性電阻和線性受控源的一端口網(wǎng)絡(luò)，對外電路來說，可以用一個獨立電壓源Uo和電阻Ri

的串聯(lián)組合來等效替代；其中電壓Uo等于端口開路電壓，電阻Ri

等于端口中所有獨立電源置零后端口的入端等效電阻。NSababRius+-任意線性NS°°+-uoc=usabbNo°°aRi=Req（1883年）定理的證明+abAi+–uN'iUoc+–uN'ab+–ReqabAi+–uabA+–u'abPi+–u''Req則替代疊加A中獨立源置零NSababGiis證明留作課后思考任何一個含獨立電源、線性電阻和線性受控源的一端口網(wǎng)絡(luò)，對外電路來說，可以用一個電流源和電導(dǎo)的并聯(lián)來等效替代；其中電流源的電流等于該一端口的短路電流，電導(dǎo)Gi

等于端口中所有獨立電源置零后端口的入端等效電導(dǎo)。2、諾頓定理：NS°°isc=isabbNo°°aGi=Geq3、戴維南定理和諾頓定理的應(yīng)用：a、范圍1）求電路中某一條支路的電壓、電流、功率。2）求電路中某一元件的最大功率。3）求電路的靈敏度。b、方法1）斷開所求支路，形成有源一端口網(wǎng)絡(luò)。2）用所學的所有方法求uoc,Ri

或

isc,Gi。解：根據(jù)電源的等效互換例題1：分別求出R=3

，

4

，5

，時的電流I。15V5V2A+20

+--20

10

5

+-85VR10

I5V+-20

15V2A20

+-10

5

+-85VR10

IIU0R0+-RVU80o=Ω29.4o=RR=3Ω時，I=10.97AR=4Ω時，I=9.63AR=5Ω時，I=8.59AR為何值時，其上獲最大功率，并求此最大功率。*

時，Rf獲最大功率iSRRUI+=

iSfRRRURIP22+==（）2直流電路最大功率傳輸定理得

R

=RiUsRRiUI+-R=4.29

獲最大功率。功率匹配解：方法一斷開所求支路，做戴維南等效電路。(1)求開路電壓UoUo=6I1+3I1I1=9/9=1AUo=9V3

6

I1+–9V+–Uo+–6I1含受控源電路如圖，求UR

。例題2：Uo+–Ri3

UR-+3

3

6

I1+–9V+–6I1°°–+UR(2)求等效電阻Ri（獨立源置零，受控源保留），外加電源法U=6I1+3I1=9I1I1=I

6/(6+3)=(2/3)IRi=U/I=6

3

6

I1+–6I1U+–IU=9

(2/3)I=6I*(3)等效電路Uo+–Ri3

UR-+°°IscRi？諾頓等效電路利用開路電壓、短路電流3

6

I1+–9VIsc+–6I13I1+6I1=0I1=0Isc=1.5A6

+–9VIscRi=Uo/Isc=9/1.5=6

*方法二直接用外加電源法，求戴維南等效電路。設(shè)端口電壓、電流如圖。3

6

I1+–9V+–6I1KVL：U=6I1+3I1U=6I1+6（I-I1）+9°°+-UI得U=6I

+99V+–6

U+-I三、特勒根定理(Tellegen’sTheorem)特勒根定理適合任何集總參數(shù)電路，討論功率所遵從得規(guī)律。KCL—

電荷守恒KVL—

能量守恒

01==bkkkiu

01==bkkkiu

01==bkkkiu

功率守恒特勒根定理一：對于一個具有n個結(jié)點，b條支路的電路，設(shè)各支路電壓、電流為uk

、ik

。若采用關(guān)聯(lián)參考方向，在任何時刻，則各支路的功率代數(shù)和為零。擬功率守恒特勒根定理二：即：

01==bkkkiu

功率守恒（證明略）如果網(wǎng)絡(luò)

和網(wǎng)絡(luò)具有相同的拓撲結(jié)構(gòu)。（電路元件可以不同），在任何時刻，若設(shè)

1.對應(yīng)支路取相同的參考方向

2.各支路電壓、電流均取關(guān)聯(lián)的參考方向則擬功率守恒注意：擬功率守恒定理只是符合電路計算時的一種規(guī)律。證明1221iuuiukk)(-=122121iuiu-=212121iuiu+=211221iiiuuukk-==-=

,

令流出1流出21i流出節(jié)點1的所有支路電流和同理可證：

12ukik+-

12ukik+-^^N

L++==2211iuiuiubkkk1n個節(jié)點,有n項=0

例題：

電路如圖,

求電流ix解:N+-10V1Ai1設(shè)電流i1和i2，方向如圖所示。由特勒根定理，得Aiixx5.0510=-=-\+-5Vixi2kkkkkkkuiiRiiu==

\四、對偶原理

(DualPrinciple)例題網(wǎng)孔電流方程：(R1+R2)il=us節(jié)點電壓方程：(G1+G2)un=isR2+–usilR1G1G2unis一.

網(wǎng)絡(luò)對偶的概念1.平面網(wǎng)絡(luò)；3.兩個方程中對應(yīng)元素互換后方程能彼此轉(zhuǎn)換,互換的元素稱為對偶元素;這兩個方程所表示的兩個電路互為對偶。2.兩個網(wǎng)絡(luò)所涉及的量屬于同一個物理量(電路）；成對的相似性稱對偶性對應(yīng)元素互換，兩個方程可以彼此轉(zhuǎn)換，兩個電路互為對偶。二.

對偶原理注意=對偶等效（或陳述）S成立，則將S中所有元素，分別以其對應(yīng)的對偶兩個對偶電路N，N，如果對電路N有命題元素替換，所得命題（或陳述）S對電路N成立。對偶關(guān)系通過對偶性，可以幫助記憶一些電路分析的方法，公式。例題：證網(wǎng)孔方程：節(jié)點方程：兩個電路互為對偶電路。(R1+R2)il1-R2

il2=us1-(R2-

rm)il1+(R2+R3)il2=0(G1+G2)un1-G2

un2=is1-(G2

-

gm)un1+(G2+G3)un2

=0R3R1R2+–us1il1il2i1+–rm

i1G2G3G1un1un2+–u1is1gmu1對應(yīng)元素

網(wǎng)孔電阻陣CCVST形節(jié)點導(dǎo)納陣VCCS

形對偶項目

對偶關(guān)系狀態(tài)開路短路元件或參數(shù)電壓源電流源電阻電導(dǎo)

自阻

自導(dǎo)

互阻

互導(dǎo)

電感

電容變量

電壓

電流

結(jié)點電壓