屆高考數(shù)學模擬試卷一、單選題1.已知，，，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合的基本關(guān)系分類討論計算求參即可.【詳解】因為，所以當，即時，，滿足，即；當，即時，，滿足，即；當，即時，由，得，，即；綜上，．故選：C．2.已知復數(shù)滿足，則的最大值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】代入化簡得在復平面內(nèi)的點的軌跡是以為圓1可以看成單位圓上的點與案.【詳解】因為，所以，整理得，故復數(shù)在復平面內(nèi)的點的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓．又可以看成單位圓上的點與兩點連線的斜率，如圖，直線與單位圓分別切于點，，第1頁/共25頁因為和都為銳角，所以，所以，即的最大值為．故選：B3.分別是邊，，與交于，連接并延長交于點．若，則實數(shù)的值為（）A.B.C.D.2【答案】A【解析】【分析】由共線、共線分別可得、，進而得、求參數(shù)，得，最后由且共線求參數(shù).【詳解】由共線，則，，所以①，由共線，則，，第2頁/共25頁所以②，由①②知：，則，故，由，則，由共線，則，可得.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：令、，利用不同參數(shù)及表示出為關(guān)鍵.4.則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由角的正弦值求得余弦值，利用余弦與正切的和角公式，可得答案.【詳解】由，則，由，則，當時，，則，，；第3頁/共25頁當時，，則，，.故選：D.5.已知函數(shù)的定義域為，若為偶函數(shù)，且，，則（）A.2026B.2025C.2024D.2023【答案】A【解析】【分析】由已知條件推導出函數(shù)周期為4，，可求.【詳解】由為偶函數(shù)，得，即，則，因此，即，則，于是，函數(shù)是周期為4周期函數(shù)，由，得，因此，所以．故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用偶函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合已知等式，探討函數(shù)的周期性是求解問題的關(guān)鍵.6.已知一個圓臺的上、下底面半徑分別為1和4，高為．若該圓臺內(nèi)有一個球，則該球的表面積的最大值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】第4頁/共25頁【分析】根據(jù)題意，作出圓臺軸截面，分析可知，當球與相切時，其表面積最大，再結(jié)合條件求得球的半徑，得到結(jié)果即可.【詳解】如圖，作出圓臺的軸截面，要使球的表面積最大，則球需要與相切，設圓的半徑為，則，因為，所以，作，，因為，所以，而，由勾股定理得，則，且，而，即得到，解得，則該球的表面積的最大值為，故B正確.故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題關(guān)鍵是判斷出表面積最大時的情況，然后利用勾股定理建立方程，得到球的半徑，進而得到所要求的表面積即可．7.若函數(shù)的兩個零點分別為和，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用輔助角公式化簡，再利用函數(shù)零點的意義及正弦函數(shù)的性質(zhì)求得第5頁/共25頁，進而求出，最后利用二倍角的余弦求值.【詳解】函數(shù)，其中銳角由確定，由，得，而，因此，即，則，即，于是，所以.故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用輔助角公式化簡，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)用零點表示輔助角是求解問題的關(guān)鍵.8.已知，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】設由題可知，利用導函數(shù)研究單調(diào)性知存在使得構(gòu)造的單調(diào)性可知，的單調(diào)性，進而求得的值域，得出的取值范圍.【詳解】解法一：不等式，即，設，則，，令，則，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增.第6頁/共25頁故只需，所以，即.設，則在上單調(diào)遞增，又，所以，設，則，所以在上單調(diào)遞增，所以的值域為，即的取值范圍為.解法二：由題意將原不等式變形可得，即，令，則有，即因為，所以有對于任意的恒成立，令，則因為，且當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；所以在處取極大值，也是的最大值所以又因為，所以故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：1、構(gòu)造，原不等式恒成立轉(zhuǎn)化為有成立；2、由導數(shù)知在使得，此時保證即原不等式恒成立；3、由上得，構(gòu)造討論單調(diào)性，求得的值域.二、多選題9.已知，則下列結(jié)論成立的是（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】第7頁/共25頁【分析】應用賦值法及換元法分別判斷A，B，C選項；等式兩側(cè)同時求導函數(shù)及賦值可判斷D選項.【詳解】A.令，得，即，A正確.B.令，則原等式變形為，由二項式定理得，，令，得，等式兩側(cè)同乘，得，∴，B錯誤.C.令，得，故，C錯誤.D.對等式兩側(cè)同時求導函數(shù)得，，令，得，D正確.故選：AD.10.已知圓，圓，則下列說法正確的是（）A.B.若圓與圓有且僅有1個公共點，則C.若圓與圓相交弦長為4，則D.當時，若動圓M與圓外切，與圓內(nèi)切，則點M的軌跡方程為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題意求兩圓圓心和半徑.對于A有意義可得；對于B，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系分析求解；對于C，將兩圓方程作差得公共弦所在直線的方程，根據(jù)圓心在公共弦上可解；對于D，根據(jù)圓M與圓、的位置關(guān)系，結(jié)合橢圓的定義即可求得點M的軌跡方程.第8頁/共25頁【詳解】由題意可知：圓的圓心，半徑；將圓的方程化為標準方程得：，故其圓心，半徑，，即，故選項A正確；若圓與圓有且僅有1個公共點，則圓與圓外切或內(nèi)切，又，或，解得或，故選項B錯誤；圓的一般方程為，則相交弦方程為：，即，若圓與圓相交弦長為4，則相交弦為圓的直徑，將圓心代入相交弦方程可得，故選項C正確；當時，圓，圓心，半徑，設動圓M半徑為，因為動圓M與圓外切，與圓內(nèi)切，，，，所以點M的軌跡為以和為焦點，長軸長為8的橢圓，，所以點M的軌跡方程為，故選項D錯誤.故選：AC.對于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.當時，B.若是函數(shù)的導數(shù)，則C.對任意都有，則D.設在定義域上有兩個不同的極值點，則第9頁/共25頁【答案】BCD【解析】【分析】A選項求導利用單調(diào)性求解；B選項令，求導利用單調(diào)性證明即可；C選項化簡構(gòu)造函數(shù)即可；D選項兩個不同的極值點轉(zhuǎn)變?yōu)橹本€與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，得到的取值，再利用極值點偏移即可得解.【詳解】對于函數(shù)，定義域為，所以，對于A，當時，，則單調(diào)遞減，所以當時，，即，所以A錯誤；對于B，令，則，當時，，則單調(diào)遞增；當時，，則單調(diào)遞減，所以，即，所以B正確；對于C，由題可得，對于任意，恒成立，令，，則，且，于是，解得，所以C正確；對于D，，，則，令，得，由題可知有兩個不同的極值點，所以直線與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，對求導得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，第10頁/共25頁所以函數(shù)有最大值，且當時，，當時，，所以，由題可知，，不妨設，則，要證明，只需要證明，即證，也就是證明，令，，，，則，即在上單調(diào)遞增，又，所以，所以，即，所以D正確，故選：BCD【點睛】方法點睛：極值點偏移問題的一般題設形式：1.若函數(shù)存在兩個零點且，求證：（為函數(shù)2.若函數(shù)中存在且滿足（為函數(shù)3.若函數(shù)存在兩個零點且，令，求證：；4.若函數(shù)中存在且滿足，令，求證：.三、填空題第11頁/共25頁12.已知雙曲線為坐標原點，為雙曲線上一點，且，點滿足，則雙曲線的離心率為__________.【答案】【解析】的中點N0得垂直平分用雙曲線定義及向量數(shù)量運算列出關(guān)于的方程，即可得答案.【詳解】取的中點N，由，得，令與交于，由是的中點，得，則是的中點，由，得，因此垂直平分，令雙曲線的半焦距為c，則，，由，得，因此，化簡得，所以雙曲線的離心率為.故答案為：.【點睛】思路點睛：利用圖形幾何性質(zhì)探究，再利用數(shù)量積運算建立方程求出離心率.13.611三和周六，丙不值周五，則不同的安排方法有______種．【答案】【解析】【分析】利用特殊元素優(yōu)先及分類討論的思想計算即可.【詳解】①若甲安排在周五，則乙有3種安排方法，余下的四人四天種安排方法，合計有第12頁/共25頁種方法；②同理，若乙被安排在周五，也有72種方法；③若甲、乙都不被安排在周五，則甲、乙可選周一、二、四三天中的兩天即有種方法，丙有余下四天中除周五的三天可選，即3種方法，余下三人安排余下的三天，有種方法，合計有種方法，綜上不同的安排方法共種.故答案為：【點睛】思路點睛：利用特殊元素優(yōu)先，先考慮周五的安排方案，結(jié)合討論甲、乙、丙三位的安排情況計算即可.14.實數(shù)滿足，則的最小值為__________.【答案】【解析】，，則由可得用表示出，再利用基本不等式計算即可得解.【詳解】令，，即，，由，則，即，則，當且僅當，時，等號成立，故的最小值為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點在于借助換元法，令，，從而得到，再用表示出.四、解答題15.在中，內(nèi)角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，且（1）求B；第13頁/共25頁（2）若，D為AC邊上的一點，且，，求AC的最大值．【答案】（1）（2）【解析】B的大??；（2即可求出結(jié)果.【小問1詳解】在中，由正弦定理，得因為，所以，所以因為，所以因為，所以，所以，因為，所以因為，所以，所以，所以；【小問2詳解】因為D為AC邊上的一點，且，，所以，所以，所以，即，在中，由余弦定理，得因為，所以第14頁/共25頁所以因為，所以，所以，所以，所以，所以，所以，當且僅當時等號成立.所以AC的最大值為16.中，，和所成角的余弦值為，點是線段上的一個動點．（1）證明：平面平面；（2）若二面角的正弦值為，求．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】1）結(jié)合題目條件，利用線面垂直可證面面垂直.（2）以為原點建立空間直角坐標系，利用空間向量可求結(jié)果.【小問1詳解】第15頁/共25頁中點，由，得，作，，則四邊形為菱形，且，連接，，，則，.∵異面直線與所成角的余弦值為，∴，當時，，此時，不能構(gòu)成，舍去，故，，∵，，∴為直角三角形，故，∴，即，∵，，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面．中點，由，得，，故二面角的平面角為，第16頁/共25頁由題意，得，，設，，，．則，，，，，，∵，∴，∴或∴，此時，平面平面．【小問2詳解】如圖，以，，分別為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標系，則，，，，∴，，，設，，則，∴，得，故.設平面的法向量，則令，得，，即，第17頁/共25頁設平面的法向量為，則令，則，即，設二面角的平面角為，則，得或，∴，故.17.已知函數(shù)．（1）若對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）若是函數(shù)的極值點，求證：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】1）由參數(shù)分離整理不等式，并構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求得新函數(shù)的最值，可得答案；（2）根據(jù)極值點與導數(shù)的關(guān)系，可得極值點的取值范圍以及等量關(guān)系，整理所證的不等式，可得答案.【小問1詳解】由，則可得不等式，由，則，令，求導可得，令，解得，當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由題意可得.第18頁/共25頁【小問2詳解】由，則，令，求導可得在上恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，由是函數(shù)的極值點，則，即，由，則，所以.18.類問題以及難度系數(shù)較高的類問題）供選擇，且每輪游戲只回答兩類問題中的其中一個問題．甲遇到每類問題的概率均為，甲遇到類問題時回答正確的概率為，回答正確記1分，否則記0分；甲遇到類問題時回答正確的概率為，回答正確記2分，否則記0分，總得分記為X分，甲回答每個問題相互獨立．（1）當進行完2輪游戲時，求甲的總分X的分布列與數(shù)學期望．（2）設甲在每輪游戲中均回答正確且累計得分為n分的概率為．（?。┳C明：為等比數(shù)列．（ⅱ）求的最大值以及對應n的值．【答案】（1）分布列見解析，1（2時，取到最大值為【解析】1）由已知可得X的可能取值，分別求解概率即可得分布列和期望；（2）（?。└鶕?jù)等比數(shù)列的定義證明即可；由（?。┛勺C為等比數(shù)列，可得，結(jié)合不等式的性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【小問1詳解】X可以取0，1，2，3，4，第19頁/共25頁每次回答A類問題且回答正確的概率為，回答A類問題且回答不正確的概率為，每次回答B(yǎng)類問題且回答正確的概率為，回答B(yǎng)類問題且回答不正確的概率為，，，，；，X的分布列為：X01234P；【小問2詳解】（?。?，由題意得甲累計得分為n分的前一輪得分只能為分或分，故當時，，所以，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列；（ⅱ）根據(jù)（?。┛芍?，①，易得，第20頁/共25頁所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以②，令②－①可得，所以，經(jīng)檢驗，時均滿足上式，故，所以，而顯然隨著n的增大而減小，故，又因，所以當時，取到最大值為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是深入理解游戲得分的規(guī)則，找出累計得分分與分，分之間的概率遞推關(guān)系，從而得到與，的關(guān)系式.19.已知橢圓的左，右焦點分別為，，短軸長為，離心率為.（1）求的方程；（2）記的左頂點為，直線與交于P，Q兩點，直線AP，AQ的斜率之積為.（i）證明：直線過定點；（ii）若在軸上方，直線與圓交于點，點在軸上方.是否存在點，使得與的面積之比為3：5？若存在，求出點坐標；若不存在，說明理由.【答案】（1）；第21頁/共25頁（2iii）存在，點，【解析】1）根據(jù)短軸長和離心率得到方程組，求出，得到橢圓方程；（2i）當直線的斜率不存在時，計算出直線方程為，當直線的斜率存在時，設直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，設，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)斜率之積得到方程，求出或，當時不合題意，當時，求出所過定點，驗證后得到結(jié)論；（ii，當直線斜率不存在時，，此時，求出，當直線斜率存在時，設，或要求，舍去，綜上，求出答案.【小問1詳解】由題意得，，故，，又，