第十章第3講[A級基礎達標]1．(2021年沈陽模擬)2021年，我國脫貧攻堅戰(zhàn)取得了全面勝利．為了鞏固脫貧攻堅成果，不斷提高群眾的幸福感，某縣繼續(xù)推進山羊養(yǎng)殖項目．為建設相應的配套項目，該縣主管部門對該縣近年來山羊養(yǎng)殖業(yè)的規(guī)模進行了跟蹤調查，得到了該縣每年售賣山羊數(shù)量y(單位：萬只)與相應年份代碼x的數(shù)據(jù)如下表：年份201520162017201820192020年份代碼x123456售賣山羊y/萬只111316152021(1)由上表可知y與x有較強的線性相關關系，求y關于x的線性回歸方程；(2)已知該縣養(yǎng)殖的山羊品種只有甲、乙兩種，且甲品種山羊與乙品種山羊的數(shù)量之比為2∶3，甲品種山羊達到售賣標準后的出售價為2500元/只，乙品種山羊達到售賣標準后的出售價為2700元/只．為了解養(yǎng)殖山羊所需要的時間，該縣主管部門隨機抽取了甲品種山羊和乙品種山羊各100只進行調查，得到要達到售賣標準所需的養(yǎng)殖時間如下表：養(yǎng)殖時間/月數(shù)6789甲品種山羊/只20353510乙品種山羊/只10304020以上述樣本統(tǒng)計的養(yǎng)殖山羊所需時間情況估計全縣養(yǎng)殖山羊所需時間(即以各養(yǎng)殖時間的頻率作為各養(yǎng)殖時間的概率)，且每月每只山羊的養(yǎng)殖成本為300元，結合(1)中所求回歸方程，試求2022年該縣養(yǎng)殖山羊所獲利潤的期望(假設山羊達到售賣標準后全部及時賣完)．參考公式及數(shù)據(jù)：回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)·\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).解：(1)因為eq\x\to(x)＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5＋6,6)＝3.5，eq\x\to(y)＝eq\f(11＋13＋16＋15＋20＋21,6)＝16，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(－2.5×－5＋－1.5×－3＋－0.5×0＋0.5×－1＋1.5×4＋2.5×5,－2.52＋－1.52＋－0.52＋0.52＋1.52＋2.52)＝eq\f(35,17.5)＝2，可得eq\o(a,\s\up6(^))＝16－2×3.5＝9.所以y與x之間的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝2x＋9.(2)由(1)可知，當x＝8時，可得eq\o(y,\s\up6(^))＝25，其中甲品種山羊有25×eq\f(2,5)＝10萬只，乙品種山羊有25×eq\f(3,5)＝15萬只．由頻率估計概率，可得甲品種山羊達到售賣標準需要的養(yǎng)殖時間為6個月，7個月，8個月和9個月的概率分別為0.2,0.35,0.35和0.1，所以甲品種山羊要達到售賣標準需要養(yǎng)殖時間的期望為6×0.2＋7×0.35＋8×0.35＋9×0.1＝7.35(月)．由頻率估計概率，可得乙品種山羊達到售賣標準需要的養(yǎng)殖時間為6個月，7個月，8個月和9個月的概率分別為0.1,0.3,0.4和0.2，所以乙品種山羊要達到售賣標準需要養(yǎng)殖時間的期望為6×0.1＋7×0.3＋8×0.4＋9×0.2＝7.7(月)．養(yǎng)殖每只甲品種山羊利潤的期望為2500－7.35×300＝2500－2205＝295(元)，養(yǎng)殖每只乙品種山羊利潤的期望為2700－7.7×300＝2700－2310＝390(元)，故2022年該縣售賣的山羊所獲利潤的期望為10×295＋15×390＝8800(萬元)．2．(2021年汕頭二模)“十三五”期間脫貧攻堅的目標是，到2020年穩(wěn)定實現(xiàn)農(nóng)村貧困人口不愁吃、不愁穿，農(nóng)村貧困人口義務教育、基本醫(yī)療、住房安全有保障；同時實現(xiàn)貧困地區(qū)農(nóng)民人均可支配收入增長幅度高于全國平均水平、基本公共服務主要領域指標接近全國平均水平．脫貧攻堅已經(jīng)到了啃硬骨頭、攻堅拔寨的沖刺階段，必須以更大的決心、更明確的思路、更精準的舉措、超常規(guī)的力度，眾志成城實現(xiàn)脫貧攻堅目標，決不能落下一個貧困地區(qū)、一個貧困群眾．四川省某縣貧困戶有3400戶，2012年開始進行了脫貧摘帽的規(guī)劃，2013年至2019年脫貧戶數(shù)逐年增加，如下表：年份2013201420152016201720182019年份代號t1234567脫貧的戶數(shù)y6011021034066010101960根據(jù)表中數(shù)據(jù)，繪制了散點圖如下圖．參考數(shù)據(jù)：eq\x\to(y)eq\x\to(v)eq\i\su(i＝1,7,t)iyieq\i\su(i＝1,7,t)ivi100.546212.542535078.123.47其中vi＝lgyi，eq\x\to(v)＝eq\f(1,7)eq\i\su(i＝1,7,v)i.(1)根據(jù)散點圖判斷，2013年至2019年期間，y＝bt＋a與y＝c·dt(c，d均為大于零的常數(shù))哪一個適宜作為脫貧戶數(shù)y關于年份t的回歸方程類型(給出判斷即可，不必說明理由)；(2)根據(jù)(1)的判斷結果及上表中數(shù)據(jù)，建立y關于t的回歸方程，并計算該縣2020年能脫貧攻堅成功嗎？參考公式：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線eq\o(v,\s\up6(^))＝eq\o(m,\s\up6(^))u＋eq\o(k,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為eq\o(m,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,u)ivi－n\o(u,\s\up6(－))\x\to(v),\i\su(i＝1,n,u)\o\al(2,i)－n\x\to(u)2)，eq\o(k,\s\up6(^))＝eq\x\to(v)－eq\o(m,\s\up6(^))eq\x\to(u).解：(1)根據(jù)散點圖可以判斷，y＝c·dt(c，d均為大于零的常數(shù))適宜作為脫貧戶數(shù)y關于年份t的回歸方程類型．(2)將y＝c·dt兩邊同時取常用對數(shù)，可得lgy＝lgc＋tlgd，設lgy＝v，則v＝lgc＋tlgd，由題意可得eq\x\to(t)＝4，eq\x\to(v)＝2.54，eq\i\su(i＝1,7,t)eq\o\al(2,i)＝140，eq\i\su(i＝1,7,t)ivi＝78.12，所以lgd＝eq\f(78.12－7×4×2.54,140－7×42)＝0.25，將(4,2.54)代入v＝lgc＋tlgd，可得lgc＝1.54，所以v＝1.54＋0.25t，即lgy＝1.54＋0.25t，所以y＝101.54＋0.25t＝101.54·(100.25)t，把t＝8代入上式，可得y＝103.54＝103×100.54＝3470，故y關于t的回歸方程為y＝101.54·(100.25)t，2020年脫貧的戶數(shù)是3470＞3400，故能脫貧攻堅成功．[B級能力提升]3．(2021年贛州模擬)遵守交通規(guī)則，人人有責．“禮讓行人”是我國“道路交通安全法”的明文規(guī)定，也是全國文明城市測評中的重要內容．“道路交通安全法”第47條明確規(guī)定：“機動車行經(jīng)人行橫道時，應當減速行駛，遇行人正在通過人行橫道，應當停車讓行．機動車行經(jīng)沒有交通信號的道路時，遇行人橫過道路，應當避讓．否則扣3分罰200元．”下表是2021年1至4月份我市某主干路口監(jiān)控設備抓拍到的駕駛員不“禮讓行人”行為統(tǒng)計數(shù)據(jù)：月份1234違章駕駛員人數(shù)12510510090(1)請利用所給數(shù)據(jù)求違章人數(shù)y與月份x之間的回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝beq\o(x,\s\up6(^))＋a，并預測該路口2021年5月不“禮讓行人”駕駛員的大約人數(shù)(四舍五入)；(2)交警從這4個月內通過該路口的駕駛員中隨機抽查50人，調查駕駛員不“禮讓行人”行為與駕齡的關系，得到數(shù)據(jù)如下表：不禮讓行人禮讓行人駕齡不超過2年1020駕齡2年以上812能否據(jù)此判斷有90%的把握認為“禮讓行人”行為與駕齡有關．參考公式：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2).P(χ2≥k)0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.879χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.解：(1)由表中數(shù)據(jù)知，eq\x\to(x)＝eq\f(1＋2＋3＋4,4)＝eq\f(5,2)，eq\x\to(y)＝eq\f(125＋105＋100＋90,4)＝105，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)＝eq\f(995－1050,30－25)＝－11，所以eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝105－(－11)×eq\f(5,2)＝132.5，故所求回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－11x＋132.5，令x＝5，則eq\o(y,\s\up6(^))＝－11×5＋132.5＝77.5≈78人，所以預測該路口5月份不“禮讓行人”的駕駛員人數(shù)大約為78人．(2)由表中數(shù)據(jù)得χ2＝eq\f(50×10×12－20×82,18×32×30×20)≈0.23＜2.706，根據(jù)統(tǒng)計知識可知，沒有90%的把握認為“禮讓行人”行為與駕齡有關．[C級創(chuàng)新突破]4．(2021年泉州二模)某公司為了解年宣傳費x(單位：十萬元)對年利潤y(單位：十萬元)的影響，統(tǒng)計甲、乙兩個地區(qū)5個營業(yè)網(wǎng)點近10年的年宣傳費和年利潤相關數(shù)據(jù)，公司采用相關指標衡量宣傳費是否產(chǎn)生利潤效益，產(chǎn)生利潤效益的年份用“＋”號記錄；反之用“－”號記錄．年份2011201220132014201520162017201820192020甲1＋＋－＋＋＋＋－＋＋甲2＋＋＋－＋＋－＋＋＋甲3＋＋－＋＋＋＋－＋＋乙1＋－－－＋＋－－＋＋乙2＋＋－－＋＋－－－＋(1)根據(jù)以上信息，填寫下面2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95%的把握認為宣傳費是否產(chǎn)生利潤效益與地區(qū)有關；產(chǎn)生利潤效益未產(chǎn)生利潤效益總計甲地乙地總計(2)現(xiàn)將甲、乙兩地相關數(shù)據(jù)作初步處理，得到相應散點圖后，根據(jù)散點圖分別選擇eq\o(y,\s\up6(^))＝a＋beq\r(x)和eq\o(y,\s\up6(^))＝c＋dlnx兩個模型擬合甲、乙兩地年宣傳費與年利潤的關系，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理計算，得到如下信息：回歸方程殘差平方和eq\i\su(i＝1,10,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2總偏差平方和eq\i\su(i＝1,10,)(yi－eq\x\to(y))2甲地eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.28＋2eq\r(x)0.0321.021乙地eq\o(y,\s\up6(^))＝1.3＋1.8lnx0.14211.614根據(jù)上述信息，某同學得出“因為甲地模型的殘差平方和小于乙地模型的殘差平方和，所以甲地的模型擬合度高于乙地”的判斷，根據(jù)你所學的統(tǒng)計知識，分析上述判斷是否正確，并給出適當?shù)慕忉專?3)該公司選擇上述兩個模型進行預報，若欲投入36萬元的年宣傳費，如何分配甲、乙兩地的宣傳費用，可以使兩地總的年利潤達到最大．參考公式：相關指數(shù)R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up6(^))i2,\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2).附：P(χ2≥k0)0.050.0250.010k03.8415.0246.635χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋ba＋cc＋db＋d).解：(1)填寫2×2列聯(lián)表如下：產(chǎn)生利潤效益未產(chǎn)生利潤效益總計甲地24630乙地101020總計341650χ2＝eq\f(50×24×10－6×102,30×20×34×16)≈4.963＞3.841，所以有95%的把握認為宣傳費是否產(chǎn)生利潤效益與地區(qū)有關．(2)對于甲地，其模型相關指數(shù)Req\o\al(2,1)＝1－eq\f(\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up6(^))i2,\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2)＝1－eq\f(0.032,1.021)≈0.96866，對于