第五章第1講[A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．(2021年豐臺(tái)模擬)已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(1，－eq\r(3))，則sinα＝()A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),3)【答案】C2．(2021年贛州模擬)已知角α終邊上一點(diǎn)P(－1,2)，則cos(π－α)＝()A．－eq\f(\r(5),5) B．－eq\f(2\r(5),5)C．eq\f(\r(5),5) D．eq\f(2\r(5),5)【答案】C3．(2021年遼寧模擬)“數(shù)摺聚清風(fēng)，一捻生秋意”是宋朝朱翌描寫折扇的詩句，折扇出入懷袖，扇面書畫，扇骨雕琢，是文人雅士的寵物，所以又有“懷袖雅物”的別號(hào)．如圖是折扇的示意圖，其中OA＝20cm，∠AOB＝120°，M為OA的中點(diǎn)，則扇面(圖中扇環(huán))部分的面積是()A．50πcm2 B．100πcm2C．150πcm2 D．200πcm2【答案】B4．(2021年上海交大附中期中)角α的終邊屬于第一象限，那么eq\f(α,3)的終邊不可能屬于的象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D5．(2021年廣州二模)已知第二象限角θ的終邊上有兩點(diǎn)A(－1，a)，B(b,2)，且cosθ＋3sinθ＝0，則3a－b＝()A．－7 B．－5C．5 D．7【答案】D6．(2021年鎮(zhèn)江期末)(多選)下列給出的角中，與－eq\f(11π,3)終邊相同的角有()A．eq\f(π,3) B．eq\f(13π,3)C．－eq\f(2π,3) D．－eq\f(29π,3)【答案】ABD【解析】與－eq\f(11π,3)終邊相同的角為2kπ－eq\f(11π,3)(k∈Z)，令k＝2，可得2kπ－eq\f(11π,3)＝eq\f(π,3)，令k＝4，可得2kπ－eq\f(11π,3)＝eq\f(13π,3)，令k＝－3，可得2kπ－eq\f(11π,3)＝－eq\f(29π,3).故選ABD．7．(2021年重慶聯(lián)考)(多選)已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(sin120°，tan120°)，則()A．cosα＝eq\f(\r(5),5) B．sinα＝eq\f(2\r(5),5)C．tanα＝－2 D．sinα＋cosα＝－eq\f(\r(5),5)【答案】ACD【解析】因?yàn)榻铅恋慕K邊經(jīng)過點(diǎn)P(sin120°，tan120°)，所以|OP|＝eq\r(sin2120°＋tan2120°)＝eq\r(\f(3,4)＋3)＝eq\f(\r(15),2)，所以sinα＝eq\f(tan120°,\f(\r(15),2))＝－eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(sin120°,\f(\r(15),2))＝eq\f(\r(5),5)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－2，sinα＋cosα＝－eq\f(\r(5),5).故選ACD．8．(2021年寧波寧海中學(xué)模擬)已知角α的終邊上有一點(diǎn)坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(2\r(2),3)))，則cosα＝________；tanα＝________.【答案】－eq\f(1,3)－2eq\r(2)【解析】該點(diǎn)滿足r＝eq\r(x2＋y2)＝1，故cosα＝x＝－eq\f(1,3)，tanα＝eq\f(y,x)＝－2eq\r(2).9．(2021年茂名五校模擬)某學(xué)生在勞動(dòng)技術(shù)課活動(dòng)中設(shè)計(jì)了如圖所示的幾何圖形，其中O1，O2為半圓的圓心，則該圖形的面積為________cm2.【答案】eq\f(5π,2)＋2eq\r(3)【解析】由圖可知，該平面圖形由兩個(gè)半徑分別為1和2的半圓，一個(gè)兩邊長分別為2,4且夾角為60°的三角形三部分組成，所以S＝eq\f(π×22,2)＋eq\f(π×12,2)＋eq\f(1,2)×4×2sin60°＝eq\f(5π,2)＋2eq\r(3).10．若角θ的終邊過點(diǎn)P(－4a,3a)(a≠0)．(1)求sinθ＋cosθ的值；(2)試判斷cos(sinθ)·sin(cosθ)的符號(hào)．解：(1)因?yàn)榻铅鹊慕K邊過點(diǎn)P(－4a,3a)(a≠0)，所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，當(dāng)a＞0時(shí)，r＝5a，sinθ＋cosθ＝eq\f(3,5)－eq\f(4,5)＝－eq\f(1,5).當(dāng)a＜0時(shí)，r＝－5a，sinθ＋cosθ＝－eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)＝eq\f(1,5).(2)當(dāng)a＞0時(shí)，sinθ＝eq\f(3,5)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，cosθ＝－eq\f(4,5)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，則cos(sinθ)·sin(cosθ)＝coseq\f(3,5)·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＜0；當(dāng)a＜0時(shí)，sinθ＝－eq\f(3,5)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，cosθ＝eq\f(4,5)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則cos(sinθ)·sin(cosθ)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))·sineq\f(4,5)＞0.綜上，當(dāng)a＞0時(shí)，cos(sinθ)·sin(cosθ)的符號(hào)為負(fù)；當(dāng)a＜0時(shí)，cos(sinθ)·sin(cosθ)的符號(hào)為正．[B級(jí)能力提升]11．(2021年太原模擬)已知斐波那契螺旋線被譽(yù)為自然界最完美的“黃金螺旋線”，它的畫法是：以斐波那契數(shù)列(即a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an(n∈N*))的各項(xiàng)為邊長的正方形拼成長方形，然后在每個(gè)正方形中畫一個(gè)圓心角為90°的圓弧，將這些圓弧依次連起來的弧線就是斐波那契螺旋線．自然界存在很多斐波那契螺旋線的圖案，例如向日葵、鸚鵡螺等．如圖為該螺旋線的一部分，則第七項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的扇形的弧長為()A．eq\f(169π,4) B．eq\f(21π,2)C．eq\f(13π,2) D．4π【答案】C【解析】由斐波那契數(shù)的規(guī)律可知，從第三項(xiàng)起，每一個(gè)數(shù)都是前面兩個(gè)數(shù)之和，根據(jù)題意，接下來的一段圓弧所在圓的半徑r＝5＋8＝13，對(duì)應(yīng)的弧長l＝2π×13×eq\f(1,4)＝eq\f(13π,2).故選C．12．(2021年合肥模擬)已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊在x軸非負(fù)半軸的銳角α繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)eq\f(π,3)后，終邊交單位圓于點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，\f(\r(3),3)))，則sinα的值為()A．eq\f(\r(3)－3\r(2),6) B．eq\f(3\r(2)－\r(3),6)C．eq\f(\r(3)＋3\r(2),6) D．eq\f(3\r(3)＋\r(3),6)【答案】C【解析】由題意，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\f(\r(3),3)，因?yàn)閤2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2＝1，所以x＝±eq\f(\r(6),3)，由于x＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))，eq\f(5π,6)＞α＋eq\f(π,3)＞eq\f(π,4)，所以x＜eq\f(\r(2),2)，所以x＝－eq\f(\r(6),3)，所以sinα＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))－\f(π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))coseq\f(π,3)－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),3)×eq\f(1,2)＋eq\f(\r(6),3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3)＋3\r(2),6).故選C．13．(2021年紹興期末)(多選)設(shè)扇形的圓心角為α，半徑為r，弧長為l，面積為S，周長為L，則()A．若α，r確定，則L，S唯一確定B．若α，l確定，則L，S唯一確定C．若S，L確定，則α，r唯一確定D．若S，l確定，則α，r唯一確定【答案】ABD【解析】由弧長公式得l＝αr，S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)αr2，周長L＝l＋2r，若α，r確定，則l確定，則L，S唯一確定，故A正確；若α，l確定，由l＝αr，可得r確定，由L＝2r＋αr，S＝eq\f(1,2)αr2＝eq\f(1,2)lr可得L，S唯一確定，故B正確；若S，L確定，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(L＝l＋2r＝αr＋2r，,S＝\f(1,2)αr2，))則α，r不一定唯一確定，故C錯(cuò)誤；若S，l確定，則r確定，則α唯一確定，故D正確．故選ABD．14．(2021年山東師大附中模擬)變徑圓弧螺旋線是以不同半徑的圓弧連接而成的螺旋線，這種螺旋線極具美感．圖1是鸚鵡螺的截面，其輪廓是等比變徑螺旋線(半徑構(gòu)成等比數(shù)列)，圖2是一段等差變徑圓弧螺旋線(半徑構(gòu)成等差數(shù)列)．其中ABCDEF是邊長為1的正六邊形，eq\o\ac(FA1,\s\up10(︵))是以A為圓心，AF為半徑的圓弧，eq\o\ac(A1B1,\s\up10(︵))是以B為圓心，BB1為半徑的圓弧，eq\o\ac(B1C1,\s\up10(︵))是以C為圓心，CC1為半徑的圓弧，以此類推，已知各圓弧的圓心角均等于正六邊形的外角，則eq\o\ac(E1F1,\s\up10(︵))的長為________．【答案】2π【解析】由題意知，正六邊形ABCDEF中，AB＝1，則AF＝AB＝AA1＝1，所以BB1＝AB＋AF＝2，又因?yàn)閳D2是一段等差變徑圓弧螺旋線，所以公差d＝BB1－AF＝1，所以FE1＝1＋5d＝6，又該弧所對(duì)的圓心角為eq\f(π,3)，所以eq\o\ac(E1F1,\s\up10(︵))的長為6×eq\f(π,3)＝2π.[C級(jí)創(chuàng)新突破]15．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表，其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為：弧田面積＝eq\f(1,2)(弦×矢＋矢2)．弧田(如圖)，由圓弧和其所對(duì)弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差．按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積與其實(shí)際面積之間存在誤差．現(xiàn)有圓心角為eq\f(2π,3)，弦長等于9m的弧田．(1)計(jì)算弧田的實(shí)際面積；(2)按照《九章算術(shù)》中弧田面積的經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得結(jié)果與(1)中計(jì)算的弧田實(shí)際面積相差多少m2(結(jié)果保留兩位小數(shù))?解：(1)在△OAB中，AB＝9，∠AOB＝eq\f(2π,3)，則∠AOC＝eq\f(π,3)，∠ACO＝eq\f(π,2)，則AC＝eq\f(9,2)，OA＝3eq\r(3)，即扇形半徑r＝3eq\r(3).所以扇形面積S扇形＝eq\f(1,2)αr2＝eq\f(1,2)×eq\f(2π,3)×(3eq\r(3))2＝9π，S△AOB＝eq\f(1,2)r2sineq\f(2π,3)＝eq\f(27\r(3),4)，故弧田面積S＝S扇形－S△AOB＝9π－eq\f(27\r(3),4)(m2)．(2)因?yàn)閳A心到弦的距離等于eq