第八章第3講[A級基礎(chǔ)達標]1．(2021年寧夏模擬)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，且m?α，n?α，則“α∥β”是“m∥β且n∥β”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A2．(2021年重慶模擬)如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)分別在線段DB，DD1上，且eq\f(DE,EB)＝eq\f(DF,FD1)＝eq\f(1,2)，G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G，則eq\f(CG,CC1)＝()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(2,3) D．eq\f(1,4)【答案】B3．(2021年三明聯(lián)考)如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，E，F(xiàn)分別為平面ABCD和平面A′B′C′D′的中心，則正方體的六個面中與EF平行的平面有()A．4個 B．3個C．2個 D．1個【答案】A4．(2021年貴陽期末)一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖如圖所示，在正方體中，設(shè)BC的中點為M，GH的中點為N，下列結(jié)論正確的是()A．MN∥平面ABE B．MN∥平面ADEC．MN∥平面BDH D．MN∥平面CDE【答案】C5．(2021年成都模擬)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，已知E，F(xiàn)，G分別是線段A1C1上的點，且A1E＝EF＝FG＝GC1.則下列直線與平面A1BD平行的是()A．CE B．CFC．CG D．CC1【答案】B6．(2021年佛山期末)(多選)平面α與平面β平行的條件可以是()A．α內(nèi)有無數(shù)條直線都與β平行B．α內(nèi)的任何直線都與β平行C．兩條相交直線同時與α，β平行D．兩條異面直線同時與α，β平行【答案】BCD【解析】當α內(nèi)有無數(shù)多條直線與β平行時，α與β可能平行，也可能相交，故A不符合條件；當直線a?α，a是α平面內(nèi)任意直線，即a可以是α內(nèi)任意兩相交直線，a∥β時，滿足面面平行的判定定理，α與β平行，故B正確；兩條相交直線同時與α，β平行，即兩相交直線所在的面γ分別與α，β平行，即γ∥α，γ∥β，可得α∥β，故C正確；兩條異面直線同時與α，β平行，可在空間找一點分別作兩異面直線的平行線，則所作的平行線也分別平行于α，β，可得α∥β，故D正確．故選BCD．7．(多選)如圖，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G分別是AB，BC，CD的中點，則下列結(jié)論正確的是()A．AD∥EGB．AC∥平面EFGC．BD∥平面EFGD．AD，F(xiàn)G是一對相交直線【答案】BC【解析】取BD的中點M，連接EM，可得AD∥ME，而EM與EG為相交直線，則可得直線AD，EG為異面直線，故A錯誤；因為E，F(xiàn)，G分別是AB，BC，CD的中點，所以FE∥AC，又因為FE?面EFG，AC?面EFG.所以AC∥面EFG，故B正確；因為E，F(xiàn)，G分別是AB，BC，CD的中點，所以FG∥BD，又因為FG?面EFG，BD?面EFG.所以BD∥面EFG，故C正確；由AD是平面BCD外的一條直線，而FG為平面BCD內(nèi)不經(jīng)過點D的一條直線，所以AD，F(xiàn)G為異面直線，故D錯誤．故選BC．8．(2021年永州模擬)已知四棱錐S－ABCD的底面是邊長為4的正方形，SD⊥面ABCD，點M，N分別是AD，CD的中點，P為SD上一點，且SD＝3PD＝3，H為正方形ABCD內(nèi)一點，若SH∥面PMN，則SH的最小值為________．【答案】3eq\r(3)【解析】如圖所示，四棱錐S－ABCD中，SD⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以SD⊥BD，由點M，N分別是AD，CD的中點，所以MN∥AC，又SD＝3PD＝3，取OB的中點H，連接SH，則eq\f(PD,SD)＝eq\f(QD,HD)＝eq\f(1,3)，所以PQ∥SH；又PQ?平面PMN，SH?平面PMN，所以SH∥平面PMN.所以SH的最小值為eq\r(SD2＋DH2)＝eq\r(32＋3\r(2)2)＝3eq\r(3).故答案為3eq\r(3).9．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a，點P是棱AD上一點，且AP＝eq\f(a,3)，過B1，D1，P的平面交底面ABCD于PQ，Q在直線CD上，則PQ＝________.【答案】eq\f(2\r(2),3)a【解析】如圖，因為平面A1B1C1D1∥平面ABCD，而平面B1D1P∩平面ABCD＝PQ，平面B1D1P∩平面A1B1C1D1＝B1D1，所以B1D1∥PQ.又因為B1D1∥BD，所以BD∥PQ，設(shè)PQ∩AB＝M，因為AB∥CD，所以△APM∽△DPQ.所以eq\f(PQ,PM)＝eq\f(PD,AP)＝2，即PQ＝2PM.又知△APM∽△ADB，所以eq\f(PM,BD)＝eq\f(AP,AD)＝eq\f(1,3)，所以PM＝eq\f(1,3)BD，又BD＝eq\r(2)a，所以PQ＝eq\f(2\r(2),3)a.10．如圖，四邊形ABCD與ADEF均為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點．求證：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.證明：(1)如圖，連接AE，則AE必過DF與GN的交點O，連接MO，則MO為△ABE的中位線，所以BE∥MO，又BE?平面DMF，MO?平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因為N，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點，所以DE∥NG，又DE?平面MNG，GN?平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M為AB中點，所以MN為△ABD的中位線，所以BD∥MN，又BD?平面MNG，MN?平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE與BD為平面BDE內(nèi)的兩條相交直線，所以平面BDE∥平面MNG.[B級能力提升]11．(2021年湘豫名校聯(lián)考)已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是它們所在線段的中點，則滿足A1F∥平面BD1E的圖形個數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3【答案】B【解析】如圖，①中，平移A1F至D1F′，可知D1F′與面BD1E只有一個交點D1，則A1F與平面BD1E不平行；②中，由于A1F∥D1E，而A1F?平面BD1E，D1E?平面BD1E，故A1F∥平面BD1E；③中，平移A1F至D1F′，可知D1F′與面BD1E只有一個交點D1，則A1F與平面BD1E不平行．故選B． ① ② ③12．(多選)如圖是一幾何體的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)，G，H分別為PA，PD，PC，PB的中點．在此幾何體中，給出下列結(jié)論，其中正確的結(jié)論是()A．平面EFGH∥平面ABCDB．直線PA∥平面BDGC．直線EF∥平面PBCD．直線EF∥平面BDG【答案】ABC【解析】作出立體圖形如圖所示，連接E，F(xiàn)，G，H四點構(gòu)成平面EFGH，對于A，因為E，F(xiàn)分別是PA，PD的中點，所以EF∥AD，又EF?平面ABCD，AD?平面ABCD，所以EF∥平面ABCD，同理EH∥平面ABCD，又EH∩EF＝E，EF，EH?平面EFGH，所以平面EFGH∥平面ABCD，故選項A正確；對于B，連接AC，BD，DG，BG，設(shè)AC的中點為M，則M也是BD的中點，所以MG∥PA，又MG?平面BDG，PA?平面BDG，所以PA∥平面BDG，故選項B正確；對于C，由A中的分析可知EF∥AD，AD∥BC，所以EF∥BC，因為EF?平面PBC，BC?平面PBC，所以EF∥平面PBC，故選項C正確；對于D，根據(jù)C中的分析可知，EF∥BC，再結(jié)合圖形可得，BC∩BD＝B，則直線EF與平面BDG不平行，故選項D錯誤．故選ABC．13．(2021年阜陽月考)已知棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E在棱AD上，且2AE＝DE，則過點B1且與平面A1BE平行的正方體的截面面積為________．【答案】eq\f(4\r(11),3)【解析】如圖，取ED的中點F，在A1D1上取點G，使A1G＝eq\f(1,3)A1D1，在BC上取點H，使BH＝eq\f(1,3)BC，連接GF，F(xiàn)H，GB1，由平行性質(zhì)可知：FH∥GB1且FH＝GB1，即四邊形FHB1G為平行四邊形，因為棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E在棱AD上，且2AE＝DE，AE＝eq\f(1,3)AD＝eq\f(2,3)，所以BE∥FH，A1E∥GF，所以BE∥面FHB1G，A1E∥面FHB1G，因為A1E∩EB＝E，所以面A1BE∥面FHB1G，因為FH＝EB＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＋22)＝eq\f(2\r(10),3)，F(xiàn)G＝A1E＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＋22)＝eq\f(2\r(10),3)，所以四邊形FHB1G為菱形，GH＝A1B＝2eq\r(2)，所以B1F＝2eq\r(GF2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(GH,2)))2)＝2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(10),3)))2－\r(2)2)＝eq\f(2\r(22),3)，截面面積S＝eq\f(1,2)GH·B1F＝eq\f(1,2)×eq\f(2\r(22),3)×2eq\r(2)＝eq\f(4\r(11),3).14．(2021年衡水一模)如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)分別為CD，PB的中點．(1)求證：EF∥平面PAD；(2)在線段PC上是否存在一點Q，使得A，E，Q，F(xiàn)四點共面？若存在，求出eq\f(PQ,QC)的值；若不存在，請說明理由．(1)證明：如圖，取PA的中點M，連接MD，MF，因為F，M分別為PB，PA的中點，所以FM∥AB，F(xiàn)M＝eq\f(1,2)AB，又因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AB∥CD，AB＝CD，又因為E為CD的中點，所以DE∥AB，DE＝eq\f(1,2)AB.所以DE∥FM，DE＝FM，則四邊形DEFM為平行四邊形，所以EF∥DM.又因為EF?平面PAD，DM?平面PAD，所以EF∥平面PAD.(2)解：存在點Q符合題目條件，且此時PQ∶QC＝2∶1.如上圖，取AB的中點H，連接PH交AF于G，在PC上取點Q，使PQ∶QC＝2∶1，連接GQ，HC，則A，E，Q，F(xiàn)四點共面．證明如下：在平行四邊形ABCD中，因為E，H分別為CD，AB的中點，所以CH∥AE，又F是PB的中點，所以G是△PAB的重心，且PG∶GH＝2∶1.又PQ∶QC＝2∶1，所以GQ∥HC，又因為CH∥AE，所以GQ∥AE，所以GQ與AE確定一個平面α，而F∈直線AG，所以F∈α，則A，E，Q，F(xiàn)四點共面．故在線段PC上存在一點Q，使得A，E，Q，F(xiàn)四點共面．[C級創(chuàng)新突破]15．(2021年煙臺模擬)如圖，在矩形ABCD和矩形ABEF中，AF＝AD，AM＝DN，矩形ABEF可沿AB任意翻折．(1)求證：當點F，A，D不共線時，線段MN總平行于平面FAD；(2)“不管怎樣翻折矩形ABEF，線段MN總與線段FD平行”這個結(jié)論正確嗎？如果正確，請證明；如果不正確，請說明能否改變個別已知條件使上述結(jié)論成立，并給出理由．(1)證明：在平面圖形中，連接MN(圖略)，設(shè)MN與AB交于點G.當點F，A，D不共線時，如圖，MG∥AF，NG∥AD.又MG∩NG＝G，AD∩AF＝A，所以平面GNM∥平面ADF.又MN?平面GNM，所以MN∥平面ADF.故當點F，A，D不共線時，線段MN總平行于平面FAD.(2)解：這個結(jié)論不正確．要使上述結(jié)論成立，M，N應(yīng)分別為AE和DB的中點．理由如下：當點F，A，D共線時，如題圖，因為四邊形ABCD和四邊形ABEF都是矩形，AD＝AF，所以AD∥BE且AD＝BE，所以四邊形ADBE是平行四邊形，所以AE∥DB.又AM＝DN，所以四邊形ADNM是平行四邊形，所以MN∥AD，所以MN∥FD