2024-2025學(xué)年江蘇省連云港市高一上學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（一）一、單選題（本大題共8小題）1．已知或，，則＝（

）A． B． C． D．2．設(shè)集合，，則（

）．A． B．C． D．x?1≤x≤33．若集合，，且，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．下列命題的否定是全稱量詞命題且為真命題的有（

）A．， B．所有的正方形都是矩形C．， D．至少有一個(gè)實(shí)數(shù)，使5．命題“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，6．已知，，且恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．牛頓冷卻定律（Newton'slawofcooling）是牛頓在1701年用實(shí)驗(yàn)確定的：物體在空氣中冷卻，如果物體的初始溫度為，環(huán)境溫度為，則分鐘后物體的溫度（單位：）滿足.已知環(huán)境溫度為，一塊面包從溫度為的烤箱里拿出，經(jīng)過(guò)10分鐘溫度降為，那么大約再經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，溫度降為？（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．33分鐘 B．28分鐘 C．23分鐘 D．18分鐘8．已知為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共4小題）9．設(shè)為全集，集合滿足條件，那么下列各式中不一定成立的是（）A． B．C． D．10．對(duì)任意，記，并稱為集合的對(duì)稱差．例如：若，則．下列命題中，為真命題的是（

）A．若且，則A=?B．若且，則C．若且，則D．存在，使得11．下列說(shuō)法不正確的是（

）A．“”是“”的必要不充分條件B．若，則的最大值為2C．若不等式的解集為，則必有D．命題“，使得．”的否定為“，使得．”12．已知，且，則（

）A．的最小值是 B．最小值為C．的最大值是 D．的最小值是三、填空題（本大題共4小題）13．設(shè)A,是非空集合，定義且.已知，，則.14．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．15．已知，則．16．設(shè)，則的最大值為.四、解答題（本大題共6小題）17．設(shè)集合，；(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．已知集合，，全集.(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若“”是“”的必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（1）已知，計(jì)算和的值；（2）已知，，求的值．20．（1）設(shè)，求的值；（2）已知，且，求的值．21．中國(guó)建設(shè)新的芯片工廠的速度處于世界前列，這是朝著提高半導(dǎo)體自給率目標(biāo)邁出的重要一步.根據(jù)國(guó)際半導(dǎo)體產(chǎn)業(yè)協(xié)會(huì)(SEMI)的數(shù)據(jù)，在截至2024年的4年里，中國(guó)計(jì)劃建設(shè)31家大型半導(dǎo)體工廠.某公司打算在2023年度建設(shè)某型芯片的生產(chǎn)線，建設(shè)該生產(chǎn)線的成本為300萬(wàn)元，若該型芯片生產(chǎn)線在2024年產(chǎn)出萬(wàn)枚芯片，還需要投入物料及人工等成本（單位：萬(wàn)元），已知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，已知生產(chǎn)的該型芯片都能以每枚80元的價(jià)格售出.(1)已知2024年該型芯片生產(chǎn)線的利潤(rùn)為（單位：萬(wàn)元），試求出的函數(shù)解析式.(2)請(qǐng)你為該型芯片的生產(chǎn)線的產(chǎn)量做一個(gè)計(jì)劃，使得2024年該型芯片的生產(chǎn)線所獲利潤(rùn)最大，并預(yù)測(cè)最大利潤(rùn).22．設(shè)為正整數(shù)，集合．對(duì)于集合中的任意元素和，記．(1)當(dāng)時(shí)，若，，求和的值；(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)是的子集，且滿足：對(duì)于中的任意元素，當(dāng)相同時(shí)，是奇數(shù)；當(dāng)不同時(shí)，是偶數(shù)．求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值；(3)給定不小于的，從集合中任取個(gè)兩兩互不相同的元素．證明：存在，使得．

答案1．【正確答案】D【詳解】因?yàn)榛颍?，所以，故選D.2．【正確答案】D【詳解】集合，，則，故選D.3．【正確答案】D【詳解】因?yàn)榧希?，且，?dāng)時(shí)，則，解得；當(dāng)時(shí)，則，解得.綜上所述，的取值范圍是.故選D.4．【正確答案】A【詳解】對(duì)于A，A是特稱命題，其否定為，，即為真命題，A正確；對(duì)于B，B是全稱命題，其否定為特稱命題，故B排除；對(duì)于C，C是特稱命題，其否定為，，即為假命題，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，D是特稱命題，其否定為任意實(shí)數(shù)x，都有，代入不成立，為假命題，D錯(cuò)誤.故選A．5．【正確答案】D【分析】由存在量詞命題的否定是全稱量詞命題可得.【詳解】命題“，”的否定是“，”.故選D.6．【正確答案】B【分析】先利用“1”的代換求得的最小值，再由求解.【詳解】設(shè)，則，解得，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為2，又因?yàn)閷?duì)，，且恒成立，所以，故選B.7．【正確答案】C【分析】根據(jù)題意列出方程，指數(shù)對(duì)數(shù)互化，解出即可．【詳解】依題意，得，化簡(jiǎn)得，解得.設(shè)這塊面包總共經(jīng)過(guò)分鐘，溫度降為30°，則，化簡(jiǎn)得，解得，故大約再經(jīng)過(guò)（分鐘），這塊面包溫度降為30°，故選C.8．【正確答案】C【詳解】因?yàn)?，則，由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為，故選C.9．【正確答案】ABC【分析】結(jié)合舉例及集合的運(yùn)算和集合的關(guān)系求解即可.【詳解】當(dāng)，，，時(shí)，滿足，此時(shí)，不是的子集，所以A、B不一定成立；，，所以C不一定成立；對(duì)于D，若，則，但，因?yàn)椋?，于是，所以，同理若，則，，因此，成立，所以D成立.故選ABC.10．【正確答案】AB【分析】根據(jù)集合的新定義，結(jié)合選項(xiàng)以及集合交并補(bǔ)的性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】對(duì)于，因?yàn)?，所以，所以，且中的元素不能出現(xiàn)在中，因此，即正確；對(duì)于，因?yàn)?，所以，即與是相同的，所以，B正確；對(duì)于，因?yàn)椋?，所以，即錯(cuò)誤；對(duì)于，由于,而，故，即錯(cuò)誤．故選AB．11．【正確答案】ABD【分析】對(duì)于A：根據(jù)充分、必要條件分析判斷；對(duì)于B：根據(jù)不等式運(yùn)算求解；對(duì)于C：根據(jù)分類討論a的符號(hào)，結(jié)合一元二次不等式分析判斷；對(duì)于D：根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：例如，則，即，滿足題意，但，即充分性不成立；例如，則，即，滿足題意，但，即必要性不成立；所以“”是“”的既不充分也不必要條件，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：若，則的解集不可能為兩數(shù)之間，不合題意；若，則的解集不可能為兩數(shù)之間，不合題意；綜上所述：若不等式的解集為，則必有，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：命題“，使得．”的否定為“，使得”，故D錯(cuò)誤.故選ABD.12．【正確答案】BC【分析】利用基本不等式即可得到A選項(xiàng)；二元換一元，代入，利用二次函數(shù)求出最值，得出B選項(xiàng)；利用即可得到C選項(xiàng)；利用“1”的妙用得出D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)?，且，所以，即時(shí)，等號(hào)成立，即的最大值是，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)椋?，，所以，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)椋?，所以，即?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)?，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值是，故D錯(cuò)誤．故選BC．13．【正確答案】或【詳解】∵A,是非空集合，且，而，，∴，，故或.14．【正確答案】【詳解】由，可得，由于，且，則，所以，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，故15．【正確答案】5【分析】設(shè)，再用表達(dá)求解即可.【詳解】設(shè)，則，，，故.故516．【正確答案】2【詳解】設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，故.令，解得，，所以，當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立.故2.17．【正確答案】(1);(2)【詳解】（1）由題意，集合，，需分為和兩種情形進(jìn)行討論：當(dāng)時(shí)，，解得，滿足題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）由題意，需分為和兩種情形進(jìn)行討論：當(dāng)時(shí)，，解得，滿足題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，解得，或無(wú)解,綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．【方法總結(jié)】根據(jù)集合的運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)的值或取值范圍的方法(1)將集合中的運(yùn)算關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)集合之間的關(guān)系,若集合中的元素能一一列舉,則用觀察法得到不同集合中元素之間的關(guān)系;若集合與不等式有關(guān),則一般利用數(shù)軸解決,要注意端點(diǎn)值能否取到.(2)將集合之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為解方程(組)或不等式(組)問(wèn)題求解.(3)根據(jù)求解結(jié)果來(lái)確定參數(shù)的值或取值范圍.18．【正確答案】(1);(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，集合，則或，所以.（2）若“”是“”的必要條件，則，因?yàn)椋瑒t，可知，可得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【方法總結(jié)】充分必要條件和對(duì)應(yīng)集合的關(guān)系可根據(jù)如下規(guī)則轉(zhuǎn)化:(1)若p是q的必要不充分條件,則q對(duì)應(yīng)集合是p對(duì)應(yīng)集合的真子集;(2)若p是q的充分不必要條件,則p對(duì)應(yīng)集合是q對(duì)應(yīng)集合的真子集;(3)若p是q的充要條件,則p對(duì)應(yīng)集合與q對(duì)應(yīng)集合相等;(4)若p是q的既不充分也不必要條件,則q對(duì)應(yīng)集合與p對(duì)應(yīng)集合互不包含.19．【正確答案】（1），；（2）.【詳解】解：（1）∵，∴；．（2）（方法一）．（方法二）.20．【正確答案】（1）1；（2）【詳解】（1）因?yàn)?，則，則,所以；（2）因?yàn)?，則，，可得，，則．由題意可得，則，且，所以．21．【正確答案】(1)；(2)當(dāng)2024年該型芯片產(chǎn)量為40萬(wàn)枚時(shí)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為220萬(wàn)元．【分析】（1）根據(jù)利潤(rùn)等于售價(jià)減成本可求利潤(rùn)的表達(dá)式；（2）根據(jù)的表達(dá)式分別求出每段函數(shù)的最大值即可.【詳解】（1）（1）由題意可得，，所以，即.（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱軸，；當(dāng)時(shí)，由基本不等式知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故，綜上，當(dāng)2024年該型芯片產(chǎn)量為40萬(wàn)枚時(shí)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為220萬(wàn)元．22．【正確答案】(1)2，1；(2)最大值為4個(gè)；(3)證明見(jiàn)解析．【分析】（1）直接根據(jù)定義計(jì)算；（2）注意到1的個(gè)數(shù)的奇偶性，根據(jù)定義反證證明；（3）設(shè)，，，，則且，對(duì)從集合中任取個(gè)兩兩互不相同的元素，分兩種情況討論，第一種若存在兩個(gè)不同元素同時(shí)屬于一個(gè)；第二種若任意兩個(gè)不同元素都不同時(shí)屬于一個(gè)，由第二種情況推出矛盾即可．【詳解】（1）因?yàn)?，所以，．?）設(shè)，令其中()則，，，則，當(dāng)，且()時(shí)，由題意知，是奇數(shù)，(不同)是偶數(shù)，等價(jià)于是奇數(shù)，(不同)是偶數(shù)．若是奇數(shù)時(shí)，則中等于1的個(gè)數(shù)為1或3，所以，且．將上述集合中的元素分成如下四組：經(jīng)檢驗(yàn)，每組中兩個(gè)元素，均有，所以每組中兩個(gè)元素不可能同時(shí)是集合中的元素．所以集合中元素的個(gè)數(shù)不超過(guò)4個(gè)．當(dāng)且時(shí)，或，所以又集合滿足條件．所以集合中元素個(gè)數(shù)最大值為4個(gè)．（3）設(shè)，，，則且，從集合中任取個(gè)兩兩互不相同的元素，若存在兩個(gè)不同元素同時(shí)屬于一個(gè)，則，記，所以，存在，使得；若任意兩個(gè)不同元素都不同時(shí)屬于一個(gè)，則至多取個(gè)兩兩互不相同的元素，與已知取個(gè)兩兩互不相同的元素矛盾．綜上，存在，使得．2024-2025學(xué)年江蘇省連云港市高一上學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（二）一、填空題（本大題滿分54分，其中第1-6題每題滿分4分，第7-12題每題滿分5分）1．用符號(hào)“”或“”填空：.2．不列各對(duì)象的全體不能構(gòu)成集合的有.（填序號(hào)）①上大嘉高高一年級(jí)全體學(xué)生；②與1非常接近的全體實(shí)數(shù)；③7的正整數(shù)倍的全體；④給定的一條長(zhǎng)度為1的線段上的所有點(diǎn).3．已知全集，集合，則.4．已知集合，若，則實(shí)數(shù)．5．已知方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根和，則.6．集合，則.（用“”或“”連接）7．已知集合，，則.8．計(jì)算.9．用描述法表示被7除余3的所有自然數(shù)組成的集合.10．已知集合滿足，則滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為.11．已知集合有且僅有兩個(gè)子集，則實(shí)數(shù).12．設(shè)是整數(shù)集的一個(gè)非空子集，對(duì)于，若且，則是的一個(gè)“孤立元”，給定，由的3個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有個(gè)．二、選擇題（本大題滿分18分，其中第13-14題每題滿分4分，第15-16題每題滿分5分）13．如果集合中的元素是三角形的邊長(zhǎng)，那么這個(gè)三角形一定不可能是（

）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形14．設(shè)集合，，則（

）A． B．C． D．15．下列結(jié)論正確的是（）A．任何一個(gè)集合至少有兩個(gè)子集B．空集是任何集合的真子集C．若且，則D．若且，則16．設(shè)集合，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．三、解答題（本大題共5題，滿分78分）17．已知，.(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的值.18．已知，.(1)若，求；(2)若且，求的值.19．已知方程，當(dāng)取何值時(shí)；(1)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？(2)方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根？20．已知集合，，.(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．已知是滿足下列條件的集合：①，；②若，，則；③若且，則.(1)判斷是否正確，并說(shuō)明理由；(2)證明：若，，則；(3)證明：若，則.1．【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求解．【詳解】不是自然數(shù)，因此應(yīng)填，故．2．②【分析】根據(jù)集合的概念判斷即可.【詳解】因?yàn)棰谒硎镜难芯繉?duì)象不能確定，所以不能構(gòu)成集合，而①③④研究對(duì)象確定符合集合的概念.故②3．【分析】利用全集和補(bǔ)集的運(yùn)算即可得出結(jié)果.【詳解】由全集，集合可得，.故4．【分析】利用元素與集合的關(guān)系可得出關(guān)于的等式，解之即可.【詳解】因?yàn)榧?，若，則，解得.故答案為.5．8【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系求解.【詳解】方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根和，則有，，所以.故86．【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，若，求出m、n的值，驗(yàn)證是否符合條件即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，有，滿足.所以.故7．【分析】解集合A中函數(shù)的定義域和集合B中函數(shù)的值域，得到這兩個(gè)集合，再求交集.【詳解】函數(shù)有意義，則有，，所以，由，得，所以，則.故8．【分析】把和式中的每個(gè)分?jǐn)?shù)裂成兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差，再求和即得.【詳解】.9．【分析】根據(jù)被7除余3的自然數(shù)為，結(jié)合集合的表示方法，即可求解.【詳解】由題意，設(shè)被除7的商為，余數(shù)為3，這個(gè)數(shù)可表示為，所以設(shè)被7除余3的自然數(shù)組成的集合為.故10．16【分析】根據(jù)已知，只需考慮元素的情況即可．【詳解】由已知可得，一定是集合的元素，所以只需要考慮剩余元素出現(xiàn)在集合中的情況即可．又集合的子集個(gè)數(shù)為，所以所有滿足條件的集合的個(gè)數(shù)是16．故16．11．1或【分析】結(jié)合已知條件，求出的解的個(gè)數(shù)，然后對(duì)參數(shù)分類討論，并結(jié)合一元二次方程的根的個(gè)數(shù)與判別式之間的關(guān)系求解即可.【詳解】若A恰有兩個(gè)子集，所以關(guān)于x的方程恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解，①當(dāng)時(shí)，，滿足題意；②當(dāng)時(shí)，，所以，綜上所述，或.故1或.12．7根據(jù)集合的新定義，可得集合不含“孤立元”，則集合中的三個(gè)數(shù)必須連在一起，利用列舉法，即可求解.【詳解】由集合的新定義知，沒(méi)有與之相鄰的元素是“孤立元”，集合不含“孤立元”，則集合中的三個(gè)數(shù)必須連在一起，所以符合題意的集合是，，，，，，，共7個(gè)．故7.本題主要考查集合的新定義的應(yīng)用，其中解答中正確理解新定義，合理轉(zhuǎn)化求解是解答的關(guān)鍵，著重考查分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力.13．D【分析】由集合元素的互異性可得解.【詳解】根據(jù)集合元素的互異性可知，該三角形一定不可能是等腰三角形.故選：D.14．B【分析】根據(jù)給定條件，利用交集的定義求解即得.【詳解】依題意，，解得或，所以.故選：B15．C【分析】利用空集的性質(zhì)以及子集，真子集的定義、元素與集合的屬于關(guān)系、集合與集合的包含關(guān)系對(duì)各個(gè)問(wèn)題逐個(gè)判斷即可求解．【詳解】解：A．空集只有一個(gè)子集，是它本身，故錯(cuò)誤，不符合題意；B．空集是任何非空集合的真子集，故錯(cuò)誤，不符合題意；C．若且，則，正確，符合題意；D．若且，則不一定相等，故錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．16．B【分析】將兩集合結(jié)構(gòu)化為一致即可判斷.【詳解】，代表所有奇數(shù)，代表所有整數(shù)所以故選:B17．(1)且(2)【分析】（1）利用集合中元素的互異性解方程即可得出結(jié)果；（2）由集合相等構(gòu)造方程組即可求得.【詳解】（1）由并根據(jù)集合中元素的互異性可知，即，解得且；所以實(shí)數(shù)的取值范圍為且；（2）當(dāng)時(shí)可得或；當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，無(wú)解；所以.18．(1)；(2)1或2.【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合