數(shù)學結(jié)合思想的起源發(fā)展及其價值體現(xiàn)研究TOC\o"1-3"\h\u285611引言 1294931.1研究背景 1247231.2研究意義 157061.3研究價值 119512數(shù)學結(jié)合思想的起源與發(fā)展 262452.1數(shù)與形的產(chǎn)生 290152.2古希臘時期的數(shù)形結(jié)合思想 3186932.3中國古代數(shù)學中的數(shù)形結(jié)合 4193892.4解析幾何的創(chuàng)立 5210892.5近現(xiàn)代數(shù)學中的數(shù)形結(jié)合 642223數(shù)形結(jié)合思想的價值體現(xiàn) 694033.1數(shù)形結(jié)合在概念定理中的優(yōu)越性 7282153.2數(shù)形結(jié)合對微積分的重要作用 8269653.3數(shù)形結(jié)合為三大幾何問題的解決提供了轉(zhuǎn)機 9160043.4數(shù)形結(jié)合使圓錐曲線的研究有了新進展 107504總結(jié) 1123722參考文獻 12摘要：數(shù)學思想方法是對數(shù)學知識的本質(zhì)認識，是從具體的數(shù)學內(nèi)容以及對數(shù)學的認識過程中所提煉的數(shù)學觀點與方法，而數(shù)形結(jié)合思想是具有一般性的數(shù)學思想,也是數(shù)學中最常見和最基本的數(shù)學思想方法之一，在數(shù)學中具有重要的價值和意義.數(shù)形結(jié)合思想貫徹于整個數(shù)學知識體現(xiàn)中，通過“數(shù)”與“形”的緊密結(jié)合，將代數(shù)式的精確性與幾何圖形的直觀性相結(jié)合，使代數(shù)問題和幾何問題相互滲透、相互轉(zhuǎn)化，為代數(shù)問題提供了幾何直觀，為幾何問題提供了精確的證明，具有很高的研究價值.關(guān)鍵詞：數(shù)學思想；數(shù)形結(jié)合；方法；價值1引言1.1研究背景社會的發(fā)展需要數(shù)學，生活中處處離不開數(shù)學，數(shù)與形無論是在實際生活中還是在數(shù)學的研究中，都隨處可見.學習數(shù)學，除了掌握最基本的數(shù)學知識以外，更應(yīng)該掌握數(shù)學知識背后的本質(zhì)，即數(shù)學思想.數(shù)學思想在培養(yǎng)能力、提升數(shù)學核心素養(yǎng)反面都發(fā)揮著重要的作用.數(shù)學思想方法是對數(shù)學知識的本質(zhì)認識，是從具體的數(shù)學內(nèi)容以及對數(shù)學的認識過程中所提煉的數(shù)學觀點與方法，而數(shù)形結(jié)合思想是具有一般性的數(shù)學思想,也是數(shù)學中最常見和最基本的數(shù)學思想方法之一，在數(shù)學中具有重要的價值和意義.更有說法是：“數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微.”這短短的兩句話，從反面道出了數(shù)形結(jié)合在數(shù)學思想中的重要地位.1.2研究意義數(shù)形結(jié)合思想貫徹于整個數(shù)學知識體現(xiàn)中，直覺上，代數(shù)與幾何似乎互不相干，數(shù)形結(jié)合卻大膽地打破了二者之間的界限，為解決問題提供了極大的便利，具有很高的研究價值.數(shù)形結(jié)合通過形象來揭示事物的本質(zhì)，與邏輯思維相輔相成，使數(shù)學研究有目的性和方向性，并通過嚴格的論證與辯證法的有機結(jié)合，促進了數(shù)學的進階發(fā)展.不得不說，數(shù)學根本離不開數(shù)與形的結(jié)合，數(shù)和形兩者相互滲透，不可分割.通過“數(shù)”與“形”的緊密結(jié)合，將代數(shù)式的精確性與幾何圖形的直觀性相結(jié)合，使代數(shù)問題和幾何問題相互滲透、互為呼應(yīng)，從而，抽象和形象完美地融合在一起.1.3研究價值通過數(shù)形結(jié)合，首先，我們對幾何圖形的性質(zhì)進行了更深刻、更廣泛的研究，同時，研究對象也更加寬泛，方法也更加通用.其次，它為代數(shù)研究提供了幾何直觀.代數(shù)方法在計算方面面展現(xiàn)了其精確性，而幾何圖形則突顯的是直觀形象，兩者的結(jié)合相互促進，從而深化了我們對數(shù)量關(guān)系與空間形式之間的理解.就好比拉格朗日說的那樣，只有當數(shù)與形結(jié)合成伴侶時，它們才會互相吸取活力.數(shù)形結(jié)合思想的重要性顯而易見，對于數(shù)形結(jié)合思想的研究自然也很多，但當下的相關(guān)研究主要是在中學生用其解決數(shù)學問題的情況及教學策略等方面，然而，數(shù)形結(jié)合思想的價值并不局限于此.本文簡單的介紹了數(shù)形結(jié)合的起源與發(fā)展，主要從數(shù)形結(jié)合在概念定理中所具有的優(yōu)越性、在微積分這個數(shù)學分支中的重要性、在三大幾何問題以及圓錐曲線的研究中發(fā)揮的重要作用四個方面來論述數(shù)形結(jié)合思想的價值意義.希望由此能夠引起大家對數(shù)形結(jié)合思想的重視.2數(shù)學結(jié)合思想的起源與發(fā)展2.1數(shù)與形的產(chǎn)生人類很早就已然具備了區(qū)分事物多與少的技能，原始的對數(shù)的知覺到真正“數(shù)”概念的形成，是極緩慢的過程[1].在后來，人類從對生活中事物的觀察和思考發(fā)現(xiàn)了：一棵樹，一條魚，一個太陽等一系列物體間，似乎存在著某些共通點，這樣一來，“數(shù)”產(chǎn)生了.這就是“數(shù)”與“形”相結(jié)合最早的無意識表征[2].遠古人類對數(shù)的領(lǐng)會是不斷進步的，他們?yōu)榱烁玫谋磉_事物在“數(shù)”方面的數(shù)學，于是便產(chǎn)生了“記數(shù)”，如利用石子、繩結(jié)、刻痕等記數(shù)方法，都是人類早期時候的記數(shù)方式.數(shù)的概念產(chǎn)生之后，“形”是被用來呈現(xiàn)“數(shù)”的第一個工具.在古代的形形色色的記數(shù)方法中，抽象的數(shù)都是以具體的圖形來展現(xiàn)的（如圖1），而歷史最長的一種記數(shù)工具當屬中國的算盤.而幾何知識最開始是根據(jù)人們對形的直覺萌生出來的，這與數(shù)的產(chǎn)生差不多.那時，人們最初是從自然環(huán)境中抽象出幾何形式，比如圓月，并且通過器皿制作、建筑設(shè)計以及繪畫裝飾等加以再現(xiàn).這一時期人類的認識能力有局限，數(shù)和形的最初結(jié)合是無意識的，其根本原因是人們尚且還無法區(qū)別二者[3].圖1用圖形表示數(shù)2.2古希臘時期的數(shù)形結(jié)合思想幾何學發(fā)展的繁榮時期是在古希臘時期，在長期的生產(chǎn)生活實踐中，古巴比倫人和古埃及人獲得了大量且直觀的幾何知識，之后古希臘又將其引入，在這一時期，有兩大著名的數(shù)學學派，他們是當時數(shù)學的代表，為幾何學的進步與發(fā)展做出了巨大的貢獻.其中之一就是信奉“萬物皆數(shù)”的畢達哥拉斯學派，他們以算術(shù)為基礎(chǔ)，為幾何學的發(fā)展確立了根基，使數(shù)與形的結(jié)合得以發(fā)展，促使古希臘數(shù)學向前進步.畢達哥拉斯學派強調(diào)了數(shù)學上數(shù)和圖形并不同于實際事物與形象[4].他們還對數(shù)進行了廣泛的研究，比如“完全數(shù)”、“親和數(shù)”、“形數(shù)”等.例如，三角形數(shù)1,3,6,10圖2三角形數(shù)正方形數(shù)1,4,9,16圖3正方形數(shù)五邊形數(shù)1,5,12,22圖4五邊形數(shù)用公式表示為：；；.更大膽的說法是“萬物皆數(shù)”，畢達哥拉斯學派信奉“萬事萬物均可歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比[5]”.他們之所以把一切事物的根本看作是數(shù)，原因是他們努力嘗試將幾何建立在算術(shù)的前提上.畢達哥拉斯相信，任何數(shù)量都可以表示成兩個整數(shù)之比（即某個有理量），這是他們對“數(shù)”狹隘的認識，當不可公度線段被發(fā)現(xiàn)時，一切的幾何基礎(chǔ)倒塌.歐幾里得是希臘論證幾何學的集大成者，他的《幾何原本》為幾何學的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)，他從幾何的角度鉆研代數(shù)問題，通常認為，一切代數(shù)問題均可從幾何的角度進行思考，實際上，這也體現(xiàn)了畢達哥拉斯學派不認可無理數(shù)的存在.他們用線段描述數(shù)：線段的延伸是數(shù)的和，一線段割去另一線段的長度是兩數(shù)之差，兩數(shù)為邊長的矩形面積表示數(shù)的乘積[2].在對“形”的研究中，數(shù)也得到了發(fā)展，其中，較為經(jīng)典的例子就是無理數(shù)的發(fā)現(xiàn).可惜的是，那時候的古希臘人根本接受不了無理數(shù)的概念，最后就導致了他們把代數(shù)與幾何看成是兩門完全不相干的學科.2.3中國古代數(shù)學中的數(shù)形結(jié)合在歷史上，中國數(shù)學中數(shù)形結(jié)合的印跡隨處可見.算籌和算盤是早期歷史最長的計算工具，可以看成是“數(shù)形結(jié)合”最初的形式.《周髀算經(jīng)》是我國最早的數(shù)學著作之一，其中記載了：“數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一.”另外，《九章算術(shù)》在“商功”這一章中敘述的關(guān)于體積的內(nèi)容，實際上已經(jīng)孕育著幾何代數(shù)化方法.我國數(shù)學家劉徽也在他的《九章算術(shù)注》中主張“析理以辭，解體用圖”.數(shù)形結(jié)合的有利之處就在中國古代數(shù)學的發(fā)展中充分顯現(xiàn)了，它在推動中國古代數(shù)學發(fā)展的同時，也讓現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展有了可借鑒之處，可見其在數(shù)學發(fā)展中的巨大貢獻.而在古代的數(shù)學研究中，最能體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的例子之一就是劉徽和楊輝對“三角形面積公式”的推導.《九章算術(shù)》呈現(xiàn)了劉徽對三角形面積公式的推導方法，具體描述為：“半廣以乘正從.半廣知，以盈補虛為直田也.亦可半正從以乘廣.”[2]實際上，我們?nèi)缃襁\用的三角形面積公式與劉徽的推導方法得出的結(jié)論的說法是一樣的，那個時期的中國古代數(shù)學家將數(shù)與形相結(jié)合用以解決數(shù)學問題，他們的思考促進了三角形面積公式結(jié)論的產(chǎn)生，這也直接體現(xiàn)出中國古代就已經(jīng)在運用數(shù)形結(jié)合思想了.具體分析如下（如圖5所示）.圖5劉徽對三角形面積公式的推導之后，楊輝更深層次地研究了劉徽對三角面積公式的推導方法，其結(jié)論收錄在《田畝比類乘除捷法》中.其中記載的：“廣步可以折半者，用半廣以乘正從，從補可以折半者，用半從步乘廣.廣從皆不可折半者，用步從相乘折半.”[2].這一結(jié)跟現(xiàn)今所用公式一模一樣，他的結(jié)論可以用字母闡述如下：；；.劉徽和楊輝的方法是“以盈補虛”，進而得出三角面積公式，它的推導過程是我國古代數(shù)學中數(shù)與形完美結(jié)合的經(jīng)典例子，毋庸置疑，這也滲透出了數(shù)形結(jié)合思想.2.4解析幾何的創(chuàng)立17世紀以后，隨著社會生產(chǎn)的進一步發(fā)展和需要，圓錐曲線的研究也應(yīng)運而生，解析幾何由此誕生.回看解析幾何的發(fā)明就要歸功于兩位法國的笛卡爾與費馬，他們對解析幾何的創(chuàng)建作出了極大的貢獻.笛卡爾和費馬結(jié)束了古希臘人對代數(shù)與圖形結(jié)合上狹隘認知，他們將數(shù)與形相結(jié)合統(tǒng)一了起來.依據(jù)笛卡爾的《幾何》可以知道，他創(chuàng)立解析幾何的核心就是為了轉(zhuǎn)化幾何學的問題為代數(shù)形式的問題，簡單的說就是從運動軌跡（形）出發(fā)尋找它所滿足的方程（數(shù)），而費馬則相反，他是從方程（數(shù)）出發(fā)研究曲線（形），對比兩人的思維路徑，他們研究解析幾何基本原理的方向幾乎是東趨西步.“解析幾何的創(chuàng)立使得代數(shù)與分析中的許多事實可用幾何來表現(xiàn)，幾何上的一些考慮又可幫助解決代數(shù)與分析的問題”[6].2.5近現(xiàn)代數(shù)學中的數(shù)形結(jié)合從解析幾何創(chuàng)立以后，數(shù)與形之間就不再有那么明顯的界限了.尤其是在18世紀之后，我們牽強地把“數(shù)”與“形”理解為單側(cè)重于“數(shù)”與單側(cè)重于“形”的研究學科[7].但解析幾何從一開始就不僅限于對“形”的研究，故此它從誕生開始便不能說是完全意義上的幾何學.此后，代數(shù)與幾何幾乎是相互滲透發(fā)展，難以分割，而數(shù)與形在局部相關(guān)領(lǐng)域聯(lián)系也更加緊密，“數(shù)”可以作為研究的工具，并從新的角度看待問題，而“形”提供的是研究對象和思考工具，數(shù)形結(jié)合思想也充分融入到了數(shù)學的發(fā)展當中.就近現(xiàn)代來看，“數(shù)”使研究更加深入與抽象，但也有某些領(lǐng)域使研究的對象與“形”之間的聯(lián)系漸行漸遠.由于數(shù)學分支的不斷壯大，整個數(shù)學領(lǐng)域中交叉的學科也愈來愈多，現(xiàn)在已經(jīng)很難闡述“數(shù)”與“形”的具體含義，同時，備受數(shù)學家們“寵愛”的“結(jié)合”、“聯(lián)系”不再局限于“數(shù)”與“形”，在他們看來，從不同角度出發(fā)的數(shù)學方法與數(shù)學思想之間的相互滲透反而更具有價值.現(xiàn)代數(shù)學工具大都兼?zhèn)淞恕皵?shù)”和“形”雙重特征，“數(shù)形結(jié)合”已完全地、徹底地熔融到數(shù)學的發(fā)展中[8].3數(shù)形結(jié)合思想的價值體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想是中學數(shù)學中常見的數(shù)學思想之一，它在數(shù)學學習中具有重要的價值.數(shù)學主要研究的兩類對象就是數(shù)與形，數(shù)是數(shù)學知識的抽象性，形是數(shù)學知識的直觀性.數(shù)形結(jié)合是聯(lián)結(jié)數(shù)與形的橋梁，在解決問題時，需要邏輯時用“數(shù)”，需要直觀時用“形”，二者互為支撐，可化抽象為直觀，化形象為邏輯，達到解決問題的最終目的.因此，掌握數(shù)形結(jié)合思想是很有必要的.3.1數(shù)形結(jié)合在概念定理中的優(yōu)越性數(shù)形結(jié)合思想的優(yōu)越性就在于，幾何對象、幾何概念、幾何目標、幾何圖象都可以直接或間接地以代數(shù)方法進行表達；反之，數(shù)形結(jié)合思想使代數(shù)語言得到了幾何解釋，這使得代數(shù)語言直觀而生動.比如畢達哥拉斯學派對完全平方公式的證明，具體的證明過程如下（如圖6所示）：圖6完全平方公式的證明正方形的邊為，割分為四個矩形，其中兩個小正方形的邊長各為，，以為邊的大正方形的面積等于其余四個矩形面積的和，即，整理就得到完全平方式：.圖6完全平方公式的證明又如我國古代科學家趙爽對勾股定理的證明：如圖7，四個全等直角三角形拼成一個正方形，三角形的兩直角邊為、，斜邊為，易知，大正方形與小正方形的邊長分別為和.四個三角形的面積之和為，大正方形和小正方形的面積分別為和.顯然，，所以，故，勾股定理成立.圖7趙爽弦圖圖82002年世界數(shù)學家大會會徽趙爽根據(jù)他繪制的圖形，運用數(shù)形結(jié)合證明了勾股定理，這使我國數(shù)學的發(fā)展又向前邁進了一步.2002年，世界數(shù)學家大會在我國北京舉辦，大會的會徽就是趙爽的“勾股弦圖”（如圖8所示），再一次把我們的民族驕傲展現(xiàn)在世界的面前.上述例子說明，從古至今，數(shù)形結(jié)合彼此間的聯(lián)系緊密相關(guān).代數(shù)與幾何間的界限已然愈加模糊，在解決部分問題時，二者幾乎合為一體，數(shù)形結(jié)合思想對于理解數(shù)學概念、證明數(shù)學定理的優(yōu)越性不言而喻.3.2數(shù)形結(jié)合對微積分的重要作用由恩格斯編撰的《自然辯證法》中提到，17世紀人類理性精神的最高代表是微積分的創(chuàng)立，可以說它的產(chǎn)生同解析幾何的貢獻密不可分.在17世紀上半葉時期，數(shù)學家們已經(jīng)積累了大量微積分的知識和方法，如開普勒對求旋轉(zhuǎn)體體積方法的發(fā)現(xiàn)；卡瓦列里對不可分量原理的建立，這個原理后稱“卡瓦列里原理”；笛卡爾對“圓法”的提出；費馬對求極大值、極小值的代數(shù)方法的提出；巴羅對曲線切線進行“微分三角法”的求解，這個方法也叫“特征三角法”，以及沃利斯的“無窮算法”等，這些努力都對促進微積分的產(chǎn)生起到了積極作用，而解析幾何的出現(xiàn)是微積分創(chuàng)立的穩(wěn)固底座.解析幾何在17世紀被笛卡爾所創(chuàng)立，坐標系中點與數(shù)的對應(yīng)由此建立，為利用數(shù)形結(jié)合思想研究微積分打下了基礎(chǔ)[9].實際上，微積分學中不少問題都是建立數(shù)與形的聯(lián)系，將其合為一體，從而以達到解決問題的目的，其主要體現(xiàn)在兩方面：一是形象化代數(shù)問題，即根據(jù)數(shù)量特征，構(gòu)造出相應(yīng)的幾何圖形；二是具體化幾何問題，也就是將圖像信息轉(zhuǎn)化為數(shù)學符號的表達.更具體的說，大多數(shù)微積分的概念和定理中都深嵌了數(shù)形結(jié)合.如：函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)表示它的圖像在這個區(qū)間上是一個連貫的曲線；定積分表示曲邊梯形的面積代數(shù)和.解析幾何融合了幾何與代數(shù)，在數(shù)學中引入了不定量，為微積分的創(chuàng)立提供了可能性[10].解析幾何的出現(xiàn)，促使微積分向前進步.3.3數(shù)形結(jié)合為三大幾何問題的解決提供了轉(zhuǎn)機古希臘是幾何學的故鄉(xiāng)，而古希臘時期的三大幾何難題困擾了數(shù)學研究者們兩千多年，之后才逐步得以解決.古希臘三大著名幾何問題是：（1）化圓為方，即作一個與給定的圓面積相等的正方形；（2）倍立方體，即求作一立方體，使其體積等于已知立方體的兩倍；（3）三等分角，即分任意角為三等分[1].三大幾何問題的起源涉及一些古老的傳說，如由埃拉托塞尼記載的兩個關(guān)于倍立方體問題的神話故事，一是神話中的米諾斯王命令將其墳墓擴大一倍；二是瘟疫襲擊提洛島，一個先知者說必須將立方體的祭壇的體積加倍，瘟疫方可停息[11].這類問題當時就引起了眾多數(shù)學愛好者的關(guān)注，他們對這類問題的研究幾乎風靡一時.解決三大幾何問題的難點在于古希臘人限制了作圖工具，而古希臘人要求幾何作圖只能使用沒有刻度的直尺和圓規(guī)（稱為尺規(guī)作圖法），致使這三大幾何問題看似簡單，而實際操作起來卻很難，令數(shù)學家們百思不得其解.這三個看起來不復雜的幾何作圖問題困擾了數(shù)學家們一千多年，而一代代數(shù)學家貢獻力無限時間與精力，都沒有找到正確的方法.許多古希臘學者都為解決這三個問題作了大量的工作，如今看來，盡管他們最終沒能解決這三大幾何問題，但他們在試圖解決這三個問題的過程中的探究引出了許多重要的發(fā)現(xiàn)，這些發(fā)現(xiàn)對整個希臘數(shù)學的意義深遠.有些人在解決問題的過程中善于變通，富有技巧的添加了一些條件，例如阿基米德在直尺上固定標出兩個點，從而解決了三等分角的問題.此外，數(shù)學家們在這些基礎(chǔ)上摸索并且由此發(fā)現(xiàn)了一些從未出現(xiàn)過的新問題，還得出了一些新的數(shù)學理論.例如，柏拉圖的學生梅內(nèi)勞斯為了解決倍立方體問題發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線；在三等分任意角的求解過程中，對高等幾何有了新發(fā)現(xiàn)，如尼科梅德斯的蚌線、阿基米德的螺線等.解析幾何是一直到1637年才被法國數(shù)學家笛卡爾所創(chuàng)立的，其中，運用了代數(shù)方法來研究幾何問題，這為解決這三大幾何難題提供了新的轉(zhuǎn)機.其中，笛卡爾在1637年首次提出尺規(guī)作圖無法解決立方倍積問題.解析幾何誕生后，代數(shù)方程與幾何曲線的聯(lián)系就更為緊密，這促使人們對尺規(guī)作圖問題的可能性有了更加深入的認識，由此得出：一個幾何量能否僅用直尺、圓規(guī)作出，等同于它是否可以通過已知量經(jīng)過有限次基本的四則運算以及開方來獲得.直到解析幾何創(chuàng)立之后的19世紀，三大幾何作圖問題才得以真正解決.1837年，法國的旺澤爾經(jīng)過努力，用方程的形式證明了倍立方體和三等分角問題只用尺規(guī)作圖是無法實現(xiàn)的.1882年，德國數(shù)學家林德曼證明了的超越性，從而證實了利用尺規(guī)化圓為方同樣不可實現(xiàn).至此，古希臘三大幾何問題才得以全部解決.事實上，三大幾何問題的解決過程中存在著解析幾何的影子，可見，解析幾何在三大作圖問題中的作用是不可替代的.3.4數(shù)形結(jié)合使圓錐曲線的研究有了新進展關(guān)于圓錐曲線的起源，古希臘幾何學家梅內(nèi)勞斯認為，提出圓錐曲線是為了解決三大幾何問題中的“倍立方體”問題.圓錐曲線的出現(xiàn)掀起了一陣古希臘數(shù)學家們的研究熱潮，而他們的研究為圓錐曲線的發(fā)展積累了大量的素材.其中，對圓錐曲線的研究作出最大貢獻的則是阿波羅尼奧斯，一直到晚年時期，他才在自己研究成果的基礎(chǔ)上，思考并總結(jié)了前人在圓錐曲線上的研究成果，撰成了《圓錐曲線論》.《圓錐曲線論》是學習或研究圓錐曲線的必讀經(jīng)典，它是古希臘幾何的象征，但這本書晦澀難懂，阻礙了希臘數(shù)學的發(fā)展.自此以后很長時間，圓錐曲線的研究再也無法達到古希臘時期那樣的盛況，希臘幾何也再沒有實質(zhì)性的進步.17世紀初期，費馬和笛卡爾創(chuàng)立了解析幾何，圓錐曲線的研究從此進入新紀元[12].在這一時期，數(shù)學家們運用解析的方法從代數(shù)的層面，探討圓錐曲線的各種性質(zhì)，與此同時，大量有關(guān)圓錐曲線的著作紛紛涌現(xiàn)，其中一部分成為了當時奉為經(jīng)典的教材，其中對橢圓定義的方式多種多樣，對其方程的推導即便是對現(xiàn)在也有極大的影響.1655年，英國數(shù)學家、物理學家沃利斯為了解釋阿波羅尼奧斯的結(jié)論，他在撰寫的《論圓錐曲線》一書中將幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)條件，首次得到了圓錐曲線的解析方程.顯然，解析幾何的引入，巧妙的將晦澀難懂的圓錐曲線問題轉(zhuǎn)化得易懂，同時，也促使圓錐曲線的研究有了新進展.19世紀以來，解析幾何的內(nèi)容發(fā)展得尤為豐富，就圓錐曲線來看，不僅理論發(fā)展上達到了極高點，在實際中也有其必不可少的妙用[12].4總結(jié)所謂數(shù)形結(jié)合，就是把問題中的“數(shù)”和能與之相聯(lián)系的“形”相互結(jié)合，從而簡化問題結(jié)果，達到解決問題的目的，或者說是把“數(shù)”或“形”轉(zhuǎn)化為研究者或大眾更能理解的形式，讓復雜、抽象的內(nèi)容轉(zhuǎn)化成直觀、形象的內(nèi)容.作為中學數(shù)學中必不可少的簡化思想，數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學教學中的地位顯而易見.首先，在數(shù)學概念定理的教學中，數(shù)形結(jié)合有著優(yōu)越性，學生要實實在在地弄懂數(shù)學必須從了解數(shù)學的概念定理開始，而數(shù)形結(jié)合正好可以作為梳理概念定理的工具，簡化抽象難懂的文字描述.有時候在數(shù)學概念的教學中，如果有概論定理的幾何意義作為輔助，那么學生就更能抓住概念定理的本質(zhì).因此，教師在教學中用好數(shù)形結(jié)合思想對學生數(shù)學思維的培養(yǎng)有著不可小覷的巨大力量.其次，數(shù)形結(jié)合對微積分有著重要作用.解析幾何的創(chuàng)立為利用數(shù)形結(jié)合思想研究微積分打下了基礎(chǔ)