隨時間變化的電磁場稱為時變電磁場。時變電磁場比靜態(tài)電磁場要復雜得多，主要表現(xiàn)在：時變電磁場之間相互激勵而具有的波動特性，波動使時變電磁場的疊不僅要考慮矢量的方向，同時還要考慮波相位對疊加的影響；電磁場的大小和方向隨時間而變化，將導致介質(zhì)的極化和磁化特性隨時而變，使介質(zhì)呈現(xiàn)色散特性等

電磁波的輻射

§5.1時諧電磁場

電荷或電流，在原子尺度內(nèi)，不管源在自由空間還是在介質(zhì)內(nèi)，其作用（或影響）能以電磁波的形式向外傳播，而電磁波的運動速度就是光速。電磁波是世間運動最快的物質(zhì)，這就是現(xiàn)代信息傳遞用電磁波作載體的根本原因。波是物質(zhì)運動的一種基本形式，波動的基本特征對于我們理解電磁波十分重要。

（a）（b）（c）（d）波動舉例

（a）沿繩子傳播的一維波；（b）沿水面?zhèn)鞑サ亩S波（c）（d）三維波：光平面波以及與其通過長縫激勵的柱面波、球面波(5.1.2)(5.1.3)(5.1.4)任意時變電磁場＝Σ時諧電磁場（利用傅里葉變換）

對于時諧電場，只有上面三個式子中的初始相位相等時，合成電場強度E

才有可能成為時諧函數(shù)，此時對時諧電場的運算，可以借用交流電路中討論過的復數(shù)符號法，現(xiàn)在通用的方法是在字母上方加小圓點的方法表示復數(shù)量，下面是電場的三個分量表示成復數(shù)的實部的形式。

(5.1.5)(5.1.6)(5.1.7)(5.1.8)的向量或復振幅，它們僅僅為空間坐標的函數(shù)，與時間變量無關，可以表示成下式(5.1.9)(5.1.10)(5.1.11)(5.1.14)(5.1.17)(5.1.18)(5.1.19)對時諧場來說，該方程組的復數(shù)形式為：(5.1.33)(5.1.34)(5.1.35)(5.1.36)復數(shù)形式的微分方程組本構方程組的復數(shù)形式

各種條件下的邊界條件的復數(shù)形式與此類似，不在這里一一贅述，具體形式請參考教材。引入復數(shù)表示場量以后，可以簡化運算過程，對時間的微分和積分運算分別簡化為乘以jω和除以jω。3.電磁場邊界條件的復數(shù)形式4.復介電常數(shù)和復磁導率如果介質(zhì)均勻、線性、各向同性，麥氏方程組可以寫成：(5.1.65)(5.1.66)(5.1.67)4.復介電常數(shù)和復磁導率否則反之。來描述介質(zhì)的損耗特性，分別為見右下圖.求:已知例題：可以求得磁場強度如下例題例題§5.2矢量磁位和標量電位

靜態(tài)電磁場可通過位（勢）函數(shù)滿足的方程進行求解，并且可以得到簡化。時變電磁場能否引入位函數(shù)，通過位函數(shù)滿足的方程來求解，達到求解時變電磁場的目的。是一無散矢量場引入位函數(shù)將上式代入電磁感應定律，得到1.矢量磁位、標量電位、DD’Alembert方程是一無旋矢量場，可以引入標量

函數(shù)的梯度表示，即和分別為電磁場的矢量磁位和標量電位。

必須指出的是，盡管磁感應強度在形式上只與矢量磁位有關，不能據(jù)此認為磁感應強度由磁矢位決定而與標量電位無關。因為在時變情形下，電磁場相互激發(fā)，而時變電場由磁矢位和標量電位共同描述，使得時變磁場本質(zhì)上與矢量磁位和標量電位都有聯(lián)系。

位函數(shù)的規(guī)范根據(jù)矢量場的Helmholtz定理，確定區(qū)域上的矢量函數(shù)只有在該矢量函數(shù)的散度和旋度及其邊界條件是確定的才能唯一確定。根據(jù)磁矢位引入的定義，是不能唯一確定磁矢位的。位的非唯一性源于其磁矢位散度的任意性。因此，要使電磁場與位函數(shù)之間為唯一對應關系，須給勢函數(shù)以明確的約束規(guī)定，稱這種約束規(guī)定為勢函數(shù)的規(guī)范對于磁矢勢，輔以Coulomb規(guī)范：得到位函數(shù)方程：0BLorentz規(guī)范和D’Alembert方程對位函數(shù)輔以約束條件得到位函數(shù)滿足的D’Alembert方程：這是一組標準的D’Alembert方程。上式形式上磁矢位僅與電流有關，標量電位僅與電荷分布有關，但它們通過Lorentz規(guī)范聯(lián)系。盡管電磁場的位函數(shù)有多種規(guī)范，不同規(guī)范有不同的位函數(shù)，但不同規(guī)范下的位函數(shù)可以通過變換關系實現(xiàn)相互之間的轉換，稱為規(guī)范變換。不同規(guī)范下的位函數(shù)描述同一電磁場。位函數(shù)作規(guī)范變換時，其所描述的物理量及其遵循的物理規(guī)律應保持不變，稱為規(guī)范變換的不變性(5.2.12)(5.2.13)對（5.2.16）（5.2.17）兩端取旋度，并利用矢量恒等式

可以得到E和H的奇次D’Alembert方程。D’Alembert方程的定解問題時變電磁場可歸納為不同初始條件和邊界下D’Alembert方程的求解。一般情形下的求解是困難的。僅就無界空間的特例的解及其意義進行討論。取球坐標系，一點電荷處于坐標原點處，在坐標原點外的全部空間，標量電位應滿足奇次D’Alembert方程(5.2.22)我們將點電荷產(chǎn)生的時變場與靜電場的結果進行比較來確定上式中f1、f2的形式。置于原點的靜止點電荷ρdV

產(chǎn)生的電位為可以推斷時變情形的通解為(5.2.30)(5.2.26)(5.2.24)(5.1.14)(5.2.32)(5.2.36)位函數(shù)值在時間上要滯后于產(chǎn)生這一位函數(shù)的原函數(shù)，我們將這一項稱之為滯后位（推遲勢），第二項稱之為超前位，實際上代表電磁波遇到障礙物以后的反射波。在無限大自由空間，不可能有反射波此時只有滯后位。它們表示為(5.2.38)(5.2.39)r2.時諧電磁場的矢量磁位和標量電位復數(shù)形式的洛侖茲方程在無源區(qū)域，復數(shù)形式的場矢量和位函數(shù)滿足齊次亥姆霍茲方程k表示波數(shù)對于時諧場，相應的電荷密度可以表示為標量電位的積分表達式為同樣的方法可以得到磁矢位的積分表達式(5.2.53)(5.2.52)

請注意將上述表達式與恒定場得結果比較，除開增加了一個指數(shù)因子外，其余均相同，這個指數(shù)因子描述了場傳播這一事實。今后計算時變場時可以借用靜態(tài)場的結果?！?.3坡印廷定理與坡印廷矢量利用矢量恒等式得注意到§5.3坡印廷定理與坡印廷矢量利用高斯散度定理電場能量密度磁場能量密度歐姆功率密度坡印廷（Poynting)矢量或功率流密度矢量坡印廷（Poynting)矢量的方向垂直于E

和H

構成的平面，S、E、H

三者服從右手螺旋法則。即為坡印廷定理。(5.3.10)(5.3.10)§5.3坡印廷定理與坡印廷矢量JρV場的能量密度設為：能量流密度矢量：由于時變電磁場的波動特點，閉合空間內(nèi)部的電磁場有可能傳播到外部，外部空間的電磁場也有可能傳播到空間內(nèi)部，閉合空間的內(nèi)外有可能存在電磁場能量的交流。

根據(jù)能量守恒定律：

表示場對荷電系統(tǒng)作用力密度

v為荷電系統(tǒng)運動速度

表示通過界面在單位時間內(nèi)進入V內(nèi)電磁場的能量表示單位時間內(nèi)空間區(qū)域電磁場能量的增量區(qū)域內(nèi)場對荷電系統(tǒng)所作的功率,通常以熱形式消耗

由洛侖茲力公式：§5.3坡印廷定理與坡印廷矢量(5.3.15)

取復共軛后出現(xiàn)負號§5.3坡印廷定理與坡印廷矢量§5.3坡印廷定理與坡印廷矢量例：已知在空氣中

求：

分析：注意：§5.3坡印廷定理與坡印廷矢量根據(jù)正弦時變場的麥克斯韋方程組解得：乘以取實部§5.3坡印廷定理與坡印廷矢量§5.3坡印廷定理與坡印廷矢量§5.3坡印廷定理與坡印廷矢量注意§5.3坡印廷定理與坡印廷矢量恒定電流或低頻交流電的情況下，場量往往是通過電流、電壓及負載的阻抗等參數(shù)表現(xiàn)，表面上給人造成能量是通過電荷在導線內(nèi)傳輸?shù)募傧?。I如能量真是通過電荷在導線內(nèi)傳輸，常溫下導體中的電荷運動速度約10-5m/s，電荷由電源端到負載端所需時間約是場傳播時間（L/c）的億萬倍負載只需經(jīng)過極短（t=L/c，其中c為光速）的時間就能得到能量的供應。----§5.4電磁波的輻射電荷電流電磁場的分布電磁場、源和邊界條件作為整體求解1電磁場的計算公式GPS衛(wèi)星天線系統(tǒng)5.4.1輻射場及其計算公式§5.4電磁波的輻射

為了突出電磁場輻射的本質(zhì)，設無界自由空間區(qū)域V上存在隨時間簡諧變化的電流和電荷，在空間激發(fā)隨時間諧變的電磁場可通過位函數(shù)方法獲得。r注意：§5.4電磁波的輻射§5.4電磁波的輻射對于輻射問題，場點遠離源區(qū)，源激發(fā)的電場可利用其與磁場的關系計算。采用球坐標系，源激發(fā)電磁場的計算公式為：源在空間激發(fā)的電磁場由兩部分組成：其一是電荷和電流源直接激發(fā)的電磁場，它們與電荷和電流分布相聯(lián)系。其二是變化的電場與磁場之間相互激發(fā)而產(chǎn)生的電磁場，與電場和磁場時間變化率相聯(lián)系。

§5.4電磁波的輻射總電磁場＝源所激發(fā)的電磁場＋電磁場相互激發(fā)的電磁場靜態(tài)電磁場特點場量與r

2成反比不能有靜態(tài)電磁場特點場量只能與r

成反比2電磁場的三個區(qū)域及其特點三個尺度概念：源區(qū)的尺度：電磁波的波長：場點至原點的距離①

這說明在源區(qū)附近，磁矢位蛻變?yōu)殪o態(tài)電磁場的磁矢位。由磁矢位計算得到的磁場必然具有靜態(tài)場的特點。因此在源區(qū)的附近，源激發(fā)的電磁場可以采取靜態(tài)電磁場方法進行計算。這也意味著在源區(qū)附近，源直接產(chǎn)生的靜態(tài)電磁場遠大于電磁場相互激發(fā)所產(chǎn)生的電磁場。場量與r2成反比②

場點與源區(qū)的距離大約在一個波長的數(shù)量級，在這個范圍中，源直接產(chǎn)生的場與變化電磁場相互激發(fā)所產(chǎn)生的電磁場同時并存，量級上相當。在這個區(qū)域中，既有變化的電磁場相互激發(fā)形成的電磁波，將源的能量以電磁波形式輻射出去。同時也存在不向外輻射的靜態(tài)場，將源提供能量的一部分存儲在空間中，這一區(qū)域稱為感應區(qū)。§5.4電磁波的輻射③

，

場點遠離源區(qū)。由于源直接激發(fā)的電磁場與r2成反比，所以在這個區(qū)域中，源直接激發(fā)的靜態(tài)場遠小于電磁場相互激發(fā)而形成的電磁場。電磁場主要以波動形式將源的能量輻射出去。這一區(qū)域稱為遠場區(qū)，或者稱為輻射區(qū)域。場量只能與r

成反比。§5.4電磁波的輻射3矢量磁位的多極矩展開

先分析矢量磁位被積函數(shù)中各因子對位函數(shù)貢獻的大小。振幅項相位項振幅項微小變化導致誤差的量級相位項微小變化導致誤差的量級注意函數(shù)展開式§5.4電磁波的輻射

結論：

對遠場區(qū)（r很大）振幅的微小變化對最后結果影響很小，而相位項的微小變化對結果影響大。

所以在矢量磁位中，對于振幅因子取零級的近似，對相位因子保留一級近似rr’P§5.4電磁波的輻射得到：其中仍注意函數(shù)展開式對再一次展開§5.4電磁波的輻射§5.4電磁波的輻射

上述結果說明：小區(qū)域時變電流體系在遠的電磁場為源中電多極矩和磁多極矩激發(fā)電磁場的疊加。電四極矩與磁偶極矩激發(fā)電磁場的能力為同一量級。進一步還可證明，電多極矩激發(fā)電磁場的能力高于同級的磁多極矩。利用求得的矢量磁位可以求得體電流激發(fā)的電磁場，其輻射場在計算過程中必須把靜態(tài)電磁場部分分離出來?！?.4電磁波的輻射5.4.2電偶極子天線1

電偶極子天線結構能向空間輻射和接收電磁波的裝置稱為天線，是無線電設備的一個重要部件。天線通過其上隨時間變化的電流在空間激發(fā)的變化的電磁場，從而輻射電磁波。發(fā)射機（時變電信號）導體導體上電流的大小和相位分布是不均勻的和時變的接地偶極子天線結構§5.4電磁波的輻射作為一種近似的處理，設導線元上的電流只有z分量，其分布函數(shù)為：根據(jù)電流連續(xù)性原理，在電偶極子天線的兩個端點，將同時積累大小相等符號相反的時變電荷，利用電荷與電流之間的關系得到：§5.4電磁波的輻射2電偶極子天線的電磁場設天線位于自由空間的坐標原點，其矢量磁位為：

(5.4.6)§5.4電磁波的輻射近場電磁場區(qū)

記：電磁場相位差為虛數(shù)§5.4電磁波的輻射從近區(qū)電磁場的表達式看到，電場與磁場始終保持的相位差，其Poynting矢量的平均值恒為零，沒有能量向外部輸運。因此在源區(qū)附近，電磁場為靜態(tài)電磁場的特點。這正是電偶極子的靜電場和恒定電流元的磁場。因此盡管電偶極子上的電流是時變的，它在近區(qū)激發(fā)的電磁場仍具有靜態(tài)電磁場特點。這說明，在電偶極子附近，時變電磁場之間相互激發(fā)是產(chǎn)生具有波動特點的電磁場，比電荷和電流直接激發(fā)不具有波動特點的靜態(tài)場要小得多?！?.4電磁波的輻射3遠區(qū)輻射場及其特點當場點位于遠場區(qū)，其電磁場的結果為：

這是一個與近區(qū)具有完全不同性質(zhì)的電磁場

與近區(qū)場比較注意，式中§5.4電磁波的輻射遠區(qū)的輻射場有如下特點：①電磁場的瞬時表達式為：

其等相位面方程為球面，其方程是：在等相位面上，電場和磁場的幅度相同，相位為同一常數(shù)，且為沿徑向向外傳播的球面波。波在空間傳播的速度為：§5.4電磁波的輻射②電磁波在空間傳播方向上既沒有電場分量、也沒有磁場分量，電場、磁場和傳播方向相互垂直，為橫電磁波（TEM）在與傳播方向相垂直的平面內(nèi)，電場或磁場矢量末端的軌跡為直線，是線極化（偏振）面電磁波。稱之為波阻抗§5.4電磁波的輻射③電偶極子遠區(qū)輻射場具有方向性。在同一半徑的球面上，不同方向輻射場的強度隨方位的不同而變化，所以電偶極子遠區(qū)場是非均勻的球面波。場強度隨方向變化的曲線：電偶極子E面方向圖電偶極子H面方向圖§5.4電磁波的輻射④利用Poynting矢量的定義，求得周期內(nèi)平均能流密度矢量為：能流密度矢量沿球面徑向向外傳輸，具有方向性，不同的方向能流密度不同，這意味著空間的某些方向上能流密度大，另一些方向上能流密度小，甚至某些方向上能流密度為零。

§5.4電磁波的輻射⑤天線的輻射功率與輻射電阻在單位時間內(nèi)通過半徑為r的球面向外傳播的電磁能為：

P是一個與球面半徑無關的常數(shù)，即在單位時間通過任意半徑球面向外傳輸?shù)哪芰浚üβ剩┦窍嗤?。根?jù)能量守恒定律，這部分能量的確是天線以電磁波的形式所輻射?！?.4電磁波的輻射

由于能量不斷向外輻射，要保證輻射進行下去，必須提供能源，如發(fā)射機。設天線是理想的天線

(沒有損耗)，發(fā)射機與天線匹配，發(fā)射機供給的能量全部被天線輻射出去，天線可以看作一個兩端網(wǎng)絡，其輻射能力可應用二端網(wǎng)絡的等效電阻

表征，稱為天線的輻射電阻，是衡量天線輻射電磁場能力的重要參量。發(fā)射機發(fā)射機§5.4電磁波的輻射

在實際中，輸入阻抗并不完全等于輻射電阻，這是因為輸入到天線上的能量并不完全被輻射，還