第八章第4講[A級基礎達標]1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，點A∈α，點D∈/l，直線AB∥l，直線AC⊥l，直線m∥α，m∥β，則下列四種位置關系中，不一定成立的是()A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥β D．AC⊥β【答案】D【解析】如圖所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l?AC⊥m；AB∥l?AB∥β，只有D不一定成立．故選D．2．(2016年東陽模擬)下列命題中錯誤的是()A．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γB．如果平面α⊥平面β，那么平面α內一定存在直線平行于平面βC．如果平面α⊥平面β，過α內任意一點作交線的垂線，那么此垂線必垂直于βD．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內一定不存在直線垂直于平面β【答案】C【解析】對于A，平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，則l⊥γ，命題正確；對于B，平面α⊥平面β，不妨設α∩β＝a，作直線b∥a，且b?α，則b∥β，命題正確；對于C，平面α⊥平面β，過α與β交線上的點作交線的垂線時，該垂線不一定垂直于β，命題錯誤；對于D，假設平面α內存在直線垂直于平面β，則平面α垂直于平面β，這與已知平面α與平面β不垂直矛盾，所以假設不成立，命題正確．故選C．3．如圖所示，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個平面后，某學生得出下列四個結論：①BD⊥AC；②△BAC是等邊三角形；③三棱錐D－ABC是正三棱錐；④平面ADC⊥平面ABC.其中正確的是()A．①②④ B．①②③C．②③④ D．①③④【答案】B【解析】由題意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正確；AD為等腰直角三角形斜邊BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等邊三角形，②正確；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正確；由①知④錯．故選B．4.若平面α，β滿足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P?l，則下列命題中是假命題的為()A．過點P垂直于平面α的直線平行于平面βB．過點P垂直于直線l的直線在平面α內C．過點P垂直于平面β的直線在平面α內D．過點P且在平面α內垂直于l的直線必垂直于平面β【答案】B【解析】由于過點P垂直于平面α的直線必平行于平面β內垂直于交線的直線，因此也平行于平面β，因此A正確．過點P垂直于直線l的直線有可能垂直于平面α，不一定在平面α內，因此B不正確．根據面面垂直的性質定理知，選項C、D正確．5．(2017年冀州月考)設PH⊥平面ABC，且PA，PB，PC相等，則H是△ABC的()A．內心 B．外心C．垂心 D．重心【答案】B【解析】由題意知，過點P作平面ABC的射影H，且PA＝PB＝PC，因為PH⊥底面ABC，所以△PAH≌△PBH≌△PCH，即HA＝HB＝HC，所以H為三角形的外心．故選B．6．如圖所示，直線PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC內接于⊙O，且AB為⊙O的直徑，點M為線段PB的中點．現(xiàn)有結論：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③點B到平面PAC的距離等于線段BC的長，其中正確的是()A．①② B．①②③C．① D．②③【答案】B【解析】對于①，∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB為⊙O的直徑，∴BC⊥AC.∴BC⊥平面PAC.又PC?平面PAC，∴BC⊥PC；對于②，∵點M為線段PB的中點，∴OM∥PA.∵PA?平面PAC，∴OM∥平面PAC，對于③，由①知BC⊥平面PAC，∴線段BC的長即是點B到平面PAC的距離，故①②③都正確．7．如圖所示，在三棱錐D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點，則下列命題中正確的有________(寫出全部正確命題的序號)．①平面ABC⊥平面ABD；②平面ABD⊥平面BCD；③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE；④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE.【答案】③【解析】由AB＝CB，AD＝CD知AC⊥DE，AC⊥BE，從而AC⊥平面BDE，故③正確8．(2017年華鎣測試)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，有下面結論①AC∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③AC1與底面ABCD所成角的正切值是eq\f(\r(2),2)；④AD1與BD為異面直線．其中正確的結論的序號是________．【答案】②③④【解析】①因為AC∩平面CB1D1＝C，所以AC∥平面CB1D1錯誤，所以①錯誤．②連接BC1，A1C1，則AC1⊥B1D1，AC1⊥A1因為B1D∩B1C＝B所以AC1⊥平面CB1D1，所以②正確．③因為AC1在底面ABCD的射影為AC，所以∠C1AC是AC1與底面ABCD所以tan∠C1AC＝eq\f(C1C,AC)＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，所以③正確．④由異面直線的定義可知，AD1與BD為異面直線，所以④正確．故答案為：②③④.9．(2016年衡水模擬)如圖所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分別是AB，PC的中點．(1)求證：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求證：MN⊥平面PCD.【證明】(1)如圖所示，連接AC，BD，設AC∩BD＝O，連接NO，MO，則NO∥PA.∵PA⊥平面ABCD，∴NO⊥平面ABCD.∴NO⊥AB，∵MO⊥AB，∴AB⊥平面MNO.∴MN⊥AB.而CD∥AB，∴MN⊥CD.(2)∵∠PDA＝45°∴PA＝AD＝BC，由△PAM≌△CMB，得PM＝CM，又∵N為PC的中點，∴MN⊥PC.又MN⊥CD，PC∩CD＝C，∴MN⊥平面PCD.10．(2016年肇慶三模)如圖所示，ABCD是平行四邊形，已知AB＝2BC＝4，BD＝2eq\r(3)，BE＝CE，平面BCE⊥平面ABCD.(1)證明：BD⊥CE；(2)若BE＝CE＝eq\r(10)，求三棱錐B－ADE的高．【證明】(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝AB＝4.∵BC＝2，BD＝2eq\r(3)，∴BD2＋BC2＝CD2.∴BD⊥BC，又平面BCE⊥平面ABCD，平面BCE∩平面ABCD＝BC，BD?平面ABCD，∴BD⊥平面BCE.∵CE?平面BCE，∴BD⊥CE.(2)取BC的中點F，連接EF，DF，AF，如圖所示．∵EB＝EC，∴EF⊥BC.∵平面EBC⊥平面ABCD，平面EBC∩平面ABCD＝BC，∴EF⊥平面ABCD.∵BE＝CE＝eq\r(10)，BC＝2，∴EF＝eq\r(BE2－BF2)＝3，DF＝eq\r(BD2＋BF2)＝eq\r(13)，AF＝eq\r(AD＋BF2＋BD2)＝eq\r(21).∴DE＝eq\r(EF2＋DF2)＝eq\r(22)，AE＝eq\r(AF2＋EF2)＝eq\r(30).∴VE－ABD＝eq\f(1,3)S△ABD·EF＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)×3＝2eq\r(3).cos∠AED＝eq\f(22＋30－4,2×\r(22)×\r(30))＝eq\f(12,\r(165))，sin∠AED＝eq\f(\r(21),\r(165)).∴S△ADE＝eq\f(1,2)AE·DEsin∠AED＝eq\f(1,2)×eq\r(30)×eq\r(22)×eq\f(\r(21),\r(165))＝eq\r(21).設點B到平面ADE的高為h，則VB－ADE＝eq\f(1,3)S△ADE·h＝eq\f(\r(21),3)h＝2eq\r(3)，∴h＝eq\f(6\r(7),7).∴三棱錐B－ADE的高為eq\f(6\r(7),7).[B級能力提升]11．(2017年哈爾濱模擬)如圖所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則點C1在平面ABC上的射影H必在A．直線AB上 B．直線BC上C．直線CA上 D．△ABC內部【答案】A【解析】∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(CA⊥AB，,CA⊥BC1，))∴CA⊥平面ABC1.∴平面ABC⊥平面ABC1.∴過點C1在平面ABC內作垂直于平面ABC，垂線在平面ABC1內，也在平面ABC內，∴點H在兩面的交線上，即H∈AB.故選A．12．如圖所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，側棱長為2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中點，F(xiàn)是BB1上的動點，AB1，DF交于點E.要使AB1⊥平面C1DF，則線段B1FA．eq\f(1,2) B．1C．eq\r(2) D．2【答案】A【解析】設B1F＝x，因為AB1⊥平面C1DF，DF?平面C1DF，所以AB1⊥DF.由已知可得A1B1＝eq\r(2)，設Rt△AA1B1斜邊AB1上的高為h，則DE＝eq\f(1,2)h.又2×eq\r(2)＝heq\r(22＋\r(2)2)，所以h＝eq\f(2\r(3),3)，DE＝eq\f(\r(3),3).在Rt△DB1E中，B1E＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2)＝eq\f(\r(6),6).由面積相等得eq\f(\r(6),6)×eq\r(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(2),2)x，得x＝eq\f(1,2).13．(2016年哈爾濱校級一模)如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，E為DC邊的中點，沿AE將△ADE折起，在折起過程中，下列結論中能成立的序號為________．①ED⊥平面ACD；②CD⊥平面BED；③BD⊥平面ACD；④AD⊥平面BED.【答案】④【解析】∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，E為DC邊的中點，∴在折起過程中，D點在平面BCE上的投影如圖．∵DE與AC所成角不能為直角，∴DE不會垂直于平面ACD，故①錯誤；只有D點投影位于點O2位置時，即平面AED與平面AEB重合時，才有BE⊥CD，此時CD不垂直于平面AEBC，故CD與平面BED不垂直，故②錯誤；BD與AC所成角不能成直角，∴BD不能垂直于平面ACD，故③錯誤；∵AD⊥ED，并且在折起過程中，有AD⊥BC，∴存在一個位置使AD⊥BE.∴在折起過程中AD⊥平面BED，故④正確．故答案為④.14．(2016年河南模擬)如圖所示，四邊形ABCD為梯形，AB∥CD，PD⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，DC＝2AB＝2a，DA＝eq\r(3)a，E為BC中點．(1)求證：平面PBC⊥平面PDE；(2)線段PC上是否存在一點F，使PA∥平面BDF？若有，請找出具體位置，并進行證明；若無，請分析說明理由．【證明】(1)證明：連接BD，如圖所示．∵∠BAD＝90°，AB＝a，DA＝eq\r(3)a，∴BD＝DC＝2a.