第8章偏微分方程數(shù)值解一、經(jīng)典偏微分方程介紹1.橢圓型方程:在研究有熱源穩(wěn)定狀態(tài)下熱傳導，有固定外力作用下薄膜平衡問題時，都會碰到Poisson方程Laplace方程Poisson方程第1頁2.拋物型方程

熱傳導方程:在研究熱傳導過程、氣體擴散現(xiàn)象、電磁場傳輸?shù)葐栴}中以及在統(tǒng)計物理、概率論和重子力學中，經(jīng)常碰到拋物型方程。這類方程中最簡單、最經(jīng)典是熱傳導方程。其中a是常數(shù)。它表示長度為L細桿內(nèi)，物體溫度分布規(guī)律第2頁3．雙曲型方程波動方程(波傳輸、物體振動)它表示長度為L弦振動規(guī)律。第3頁二、定解問題決定方程唯一解所必須給定初始條件和邊界條件叫做定解條件.定解條件由實際問題提出.解條件

拋物型方程邊界條件提法應(yīng)為物體在端點溫度分布為已知，即邊界條件第4頁雙曲型方程初始條件表示弦在兩端振動規(guī)律為已知：第5頁Poisson方程反應(yīng)穩(wěn)定狀態(tài)情況，與時間無關(guān)，所以不需要提初始條件。邊界條件提法為：其中

(x,y)為已知邊界，s是區(qū)域D邊界。第6頁本章主要針對幾個經(jīng)典微分方程介紹慣用差分方法和有限元方法。這些方法基本思想是：把一個連續(xù)問題離散化經(jīng)過各種手法化成有限形式線性方程組然后求其解。第7頁計算機只能作有限次加、減、乘、除運算，它既不能求導數(shù)，更不能解偏微分方程假如想在計算機上求得微分方程數(shù)值解，它主要做法是把偏微分方程中全部偏導數(shù)分別用差商代替從而得到一個代數(shù)方程組——差分方程組然后對差分方程求解，并以所求解作為偏微分方程數(shù)值解8.1

差分法介紹第8頁所以需要對區(qū)域進行剖分，用網(wǎng)格點來代替連續(xù)區(qū)域，所以差分法亦稱“網(wǎng)格法”。0xy第9頁把整體分割成若干個單元來處理問題方法在數(shù)學上稱為“離散化方法”。在結(jié)點上采取離散化方法（數(shù)值微分、數(shù)值積分、泰勒展開等）將微分方程初邊值問題化成關(guān)于離散變量對應(yīng)問題，這個對應(yīng)問題解就是方程在點xi上數(shù)值解f(x)，或在點（xi

,ti）上數(shù)值解U(xi

,ti)。普通來說，不一樣離散化造成不一樣方法。第10頁例：取一邊長為1正方形均勻薄板，上下側(cè)面絕熱，四面保持恒溫，求板內(nèi)各點穩(wěn)定溫定分布。u=0u=0u=00xyLaplace方程第一邊值問題第11頁記u在這些點滿足方程

第12頁得到u(i,k)近似ui,k，所滿足線性代數(shù)方程組：其中用迭代法來解方程組第13頁簡單迭代法高斯—賽德爾迭代法第14頁表8.1表8.200000k=400000000.35400.707k=300.1510.3540.4530.70700.2500.751k=200.250.4270.751000.35400.707k=100.1510.3540.4530.70700000k=000000i=0i=1i=2i=3i=4u(0)第15頁000000.7070.4530.2580.151010.583

0.4270.182

00.7070.453

0.2580.151000000表8.3i=0i=1i=2i=3i=4k=0k=1k=2k=3k=4第16頁000000.7070.4530.2580.151010.573

0.3860.182

00.7070.3810.2430.134000000表8.4i=0i=1i=2i=3i=4k=0k=1k=2k=3k=4第17頁用差分法解偏微分方程需要考慮三個問題：1．選取網(wǎng)格，將微分方程離散化為差分方程。2．當網(wǎng)格步長h

0時差分方程準確解是否收斂于微分方程解？3．怎樣解對應(yīng)代數(shù)方程組？第18頁8.2橢圓型方程差分解法

橢圓型方程最簡單經(jīng)典問題就是拉普拉斯方程泊松方程第19頁考慮泊松方程第一邊值問題：第20頁(一)矩形網(wǎng)格設(shè)

為xy平面上一有界區(qū)域，

為其邊界，是分段光滑曲線。0xy正則內(nèi)點非正則內(nèi)點邊界點第21頁（二）五點差分格式現(xiàn)在假設(shè)（i，k）為正則內(nèi)點。沿著x，y軸方向分別用二階中心差商代替uxx，uyy，則得若以uh，fh表示網(wǎng)函數(shù)，記第22頁則差分方程可簡寫成：利用Taylor展式

第23頁第24頁這四個式子兩兩相加便有：第25頁于是可得差分方程截斷誤差第26頁（三）邊值條件處理

以第一邊值條件為例：非正則內(nèi)點集合

h：邊界點集合

（1）直接轉(zhuǎn)移法對（xi,yk）

，用邊界上距離這點最近點值作為（xi,yk）值，即第27頁（2）線性插值法641352h1第28頁則u在這些點上值有近似關(guān)系：

第29頁（3）列不等距差分方程f1為f在1點值。

第30頁8.3拋物型方程差分解法

拋物型方程是指以下形式方程：

很多實際物理問題都能夠用這類方程描述：熱傳導方程第31頁現(xiàn)以熱傳導方程為例，介紹拋物型方程有限差分格式。設(shè)熱傳導方程：定解條件(1)(2)求（1）滿足（2）解。第32頁8.3.1矩形網(wǎng)格用兩組平行直線族xj=jh,

tk=k

(j=0,

1,…，k=0，

1,…)組成矩形網(wǎng)覆蓋了xt平面，網(wǎng)格點（xj,tk）稱為結(jié)點，簡記為（j,k），h、

為常數(shù)，分別稱為空間步長及時間步長，或稱h為沿x方向步長，稱

為沿t方向步長，，N為正整數(shù)。在t=0上結(jié)點稱為邊界結(jié)點，其余全部屬于

內(nèi)結(jié)點稱為內(nèi)部結(jié)點。txoh

(xj,tk)第33頁8.3.2．古典差分格式于平面區(qū)域上考慮傳導方程：a為正常數(shù)

（3）

(4)第34頁于結(jié)點（j,k）處偏導數(shù)與差商之間有以下近似關(guān)系：利用上述表示式得到LU在(j,k)處關(guān)系式：

(5)第35頁視為u(xj,tk)近似值。

令，j=1,2,…,N–1；k=0,1,2,…則有：（6）差分方程（6）稱為解熱傳導方程（3）古典顯格式，它所用到結(jié)點以下列圖：

*

***

（j,k）第36頁將（6）寫成便于計算格式：（7）稱為網(wǎng)比，利用（7）及初邊值條件（4）在網(wǎng)格上值（8）即可算出k=1,2,…，各層上值。截斷誤差階為0(

+h2)。

第37頁為了提升截斷誤差階，能夠利用中心差商：j=1,2,…,N–1；k=0,1,2,…

（9）得到Richardson格式，其結(jié)點圖為：

*

***（j,k）*第38頁截斷誤差階為o(

2+h2)，較古典顯格式高。將（9）式改寫成適于計算形式：j=1,2,…,N–1；

k=1,2,…

r=a

/h2稱為網(wǎng)比，（10）式中出現(xiàn)了三層網(wǎng)格上值，（10）才能逐層計算。故需要事先求得第k－1層值

和第k層值,第39頁假如利用向后差商

j=1,2,…,N–1；k=0,1,2,…

(11)(12)j=1,2,…,N–1；k=0,1,2,…

古典隱格式，其結(jié)點圖為：

（j,k）****截斷誤差為o(

+h2)，與古典顯格式相同。

第40頁8.3.3六點對稱格式取該點中心差商，從而對于方程（3）式，在點列方程，，a為正常數(shù)

（3）

第41頁將以上各式代入（3）式得到差分方程：

第42頁整理,得

此即六點對稱格式，也稱為Crank-Nicolson格式，所用結(jié)點圖為：

***k+1 ***k

j+1jj–1（13）第43頁8.3.4穩(wěn)定性（1）當步長無限縮小時，差分方程解是否迫近于微分方程（2）計算過程中產(chǎn)生誤差在以后計算中是無限增加，還是能夠控制？（穩(wěn)定性）解？（收斂性）穩(wěn)定性問題是研究拋物型差分方程一個中心課題！

第44頁考查Richardson格式穩(wěn)定性。

用表示計算所產(chǎn)生誤差，假如右端無誤差存在，則滿足：取（14）假設(shè)k-1層之前無誤差存在。即，而在第k層產(chǎn)生了誤差。，這一層其它點也無誤差，而且在計算過程中不再產(chǎn)生新誤差，利用（14）式算出誤差

傳輸以下表：第45頁

r=?時Richardson格式誤差傳輸

j

j0–4j0–3j0–2j0–1j0

j0+1j0+2j0+3j0+4k

-2

-4

7

4

-6

17

-24

17

-6

-8

31

-68

89

-68

31

-8

-10

49

-144

277

-388

277

-144

49

-10

71

-260

641

-109

1311

-109

641

-260

71

第46頁

r≤1/2時古典顯格式誤差傳輸

j

j0–4j0–3j0–2j0–1j0

j0+1j0+2j0+3j0+4k

0.500.50.2500.5

00.25

0.125

00.375

00.375

00.125

0.0625

00.25

00.375

00.25

00.0625

假如選取

r=?

時古典顯格式，誤差方程為：第47頁

差分格式關(guān)于初值穩(wěn)定實際含義是：假如其解在某一層存在誤差，則由它引發(fā)以后各層上誤差不超出原始誤差M倍（M為與

無關(guān)常數(shù)）。所以，在穩(wěn)定條件下，只要初始誤差足夠小，以后各層誤差也能足夠小。以上結(jié)構(gòu)幾個差分格式中，古典顯格式：r≤1/2時穩(wěn)定古典隱格式：絕對穩(wěn)定Richardson格式：絕對不穩(wěn)定六點對稱格式：絕對穩(wěn)定。穩(wěn)定性概念：第48頁8.4雙曲型方程差分解法

一階線性雙曲型方程最簡單形式為（8.4.1)當給定初始條件(8.4.2)以后，輕易驗證，雙曲型方程(8.4.1)解為：(8.4.3)第49頁也就是說，在平面

xt上，沿著（k

是常數(shù)）

這么直線，u值保持不變。這種直線叫做特征線。0xta>00xta<0這是個單向傳輸波，a>0時，波形

（x）沿x軸方向傳輸，為右傳輸波，a<0時，為左傳輸波，在傳輸過程中，波形均不發(fā)生改變。第50頁在物理上常見雙曲型偏微分方程最簡單模型是波動方程其中，假如引進變量則得到與波動方程等價方程組(8.4.4)(8.4.6)(8.4.5)第51頁8.4.1矩形網(wǎng)格用兩組平行直線族xj=jh,

tn=n

(j=0,

1,…，n=0，1,2…)組成矩形網(wǎng)覆蓋了xt平面，網(wǎng)格點（xj,tn）稱為結(jié)點，簡記為（j,n），h、

為常數(shù)，分別稱為空間步長及時間步長，或稱h為沿x方向步長，稱

為沿t方向步長，，N為正整數(shù)。在t=0上結(jié)點稱為邊界結(jié)點，其余全部屬于

內(nèi)結(jié)點稱為內(nèi)部結(jié)點。txoh

(xj,tn)第52頁a）迎格調(diào)式

ut(xj,tn)用向前差商代替，ux（xj,tn）用向前或向后差商代替，得8.4.2一階雙曲方程差分法或第53頁令r=

/h，得截斷誤差均為節(jié)點分布圖：

*

***

（j,n）(8.4.7)(8.4.8)第54頁穩(wěn)定性討論：令代入（8.4.7）得傳輸因子第55頁當a>0時，恒有，格式（8.4.7）不穩(wěn)定；當a<0且ar

1時，，格式（8.4.7）穩(wěn)定。

格式（8.4.8）在a<0時不穩(wěn)定，在a>0且ar

1時穩(wěn)定