8.2.2非線性回歸模型【問題1】人們常將男子短跑100m的高水平運(yùn)動(dòng)員稱為“百米飛人”.

下表給出了1968年之前男子短跑100m世界紀(jì)錄產(chǎn)生的年份和世界紀(jì)錄的數(shù)據(jù).

編號(hào)12345678年份18961912192119301936195619601968記錄/s11.8010.6010.4010.3010.2010.1010.009.95線性相關(guān)系數(shù)

r

≈-0.86由最小二乘法，得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為①【思考1】預(yù)計(jì)2025年男子100m的世界紀(jì)錄能達(dá)到多少秒？2525年呢？【思考2】如何修正模型，以使其更好地反映散點(diǎn)的分布特征？【思考2】如何修正模型，以使其更好地反映散點(diǎn)的分布特征？散點(diǎn)更趨向于落在中間下凸且遞減的某條曲線附近.回顧已有的函數(shù)知識(shí)，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=-lnx圖象具有類似的形狀特征.注意到100m短跑的第一個(gè)世界紀(jì)錄產(chǎn)生于1896年,因此可以認(rèn)為散點(diǎn)是集中在曲線y=f(t)=c1+c2ln(t-1895)的周圍，其中c1、c2為未知參數(shù)，且c2<0.【思考3】如何利用成對(duì)數(shù)據(jù)估計(jì)參數(shù)c1、c2.y=f(t)=c1+c2ln(t-1895)y=f(x)=c1+c2x令x=ln(t-1895)通過x=ln(t-1895)，將年份變量數(shù)據(jù)進(jìn)行變換由散點(diǎn)圖可知，現(xiàn)在散點(diǎn)的分布呈現(xiàn)出很強(qiáng)的線性相關(guān)特征，故可以一元線性回歸模型建立經(jīng)驗(yàn)回歸方程.②編號(hào)12345678年份18961912192119301936195619601968記錄/s11.8010.6010.4010.3010.2010.1010.009.95編號(hào)12345678x0.002.833.263.563.714.114.174.29Y/s11.8010.6010.4010.3010.2010.1010.009.95【思考4】對(duì)于通過創(chuàng)紀(jì)錄時(shí)間預(yù)報(bào)世界紀(jì)錄的問題，我們建立了兩個(gè)回歸模型，得到了兩個(gè)回歸方程，你能判斷哪個(gè)回歸方程擬合的精度更好嗎？

我們發(fā)現(xiàn)，散點(diǎn)圖中各散點(diǎn)都非?？拷{(lán)色的圖象,表明非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程②對(duì)于原始數(shù)據(jù)的擬合效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于經(jīng)驗(yàn)回歸方程①.方法一：直接觀察法【思考4】對(duì)于通過創(chuàng)紀(jì)錄時(shí)間預(yù)報(bào)世界紀(jì)錄的問題，我們建立了兩個(gè)回歸模型，得到了兩個(gè)回歸方程，你能判斷哪個(gè)回歸方程擬合的精度更好嗎？方法二：殘差分析

——（殘差的平方和）方法二：殘差分析

——（利用決定系數(shù)R2

）可知Q2小于Q1，因此在殘差平方和最小的標(biāo)準(zhǔn)下，非線性回歸模型的擬合效果要優(yōu)于一元線性回歸模型的擬合效果.

由于

因此經(jīng)驗(yàn)回歸方程②的刻畫效果比經(jīng)驗(yàn)回歸方程①的好很多.(1)定變量：明確哪個(gè)變量是解釋變量，哪個(gè)變量是響應(yīng)變量．(2)定模型：畫出解釋變量與響應(yīng)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系(如是否存在線性關(guān)系等)．(3)求參數(shù)：按一定規(guī)則(如最小二乘法)估計(jì)經(jīng)驗(yàn)回歸方程中的參數(shù).(4)看效果：得出結(jié)果后需進(jìn)行殘差分析.①殘差平方和越小，模型的擬合效果越好.②決定系數(shù)R2取值越大，說明模型的擬合效果越好.【小結(jié)】建立線性回歸模型的基本步驟：非線性回歸分析線性回歸分析(1)定變量：明確哪個(gè)變量是解釋變量,哪個(gè)變量是響應(yīng)變量．(2)定模型：畫出解釋變量與響應(yīng)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系，由經(jīng)驗(yàn)確定非線性回歸方程的類型．(3)轉(zhuǎn)化換元：通過變換，將非線性經(jīng)驗(yàn)回歸模型轉(zhuǎn)化為線性經(jīng)驗(yàn)回歸模型；(4)求參數(shù)：按照公式計(jì)算經(jīng)驗(yàn)回歸方程中的參數(shù)，得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(5)消去新元：得到非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(6)看效果：得出結(jié)果后分析殘差是否有異常．【小結(jié)】建立非線性回歸模型的基本步驟：【例1】某地政府為提高當(dāng)?shù)剞r(nóng)民收入，鼓勵(lì)農(nóng)民種植藥材.以下是某農(nóng)戶近5年種植藥材的年收入的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：年份20202021202220232024年份代碼

12345年收入

（千元）5961646873

（1）根據(jù)殘差圖，判斷應(yīng)選擇哪個(gè)模型.（無需說明理由）

7.52.2582.504.5012.142.88

【變式2】某企業(yè)為確定下一年投入某種產(chǎn)品的研發(fā)費(fèi)用，需了解年研發(fā)費(fèi)用x(單位:千萬元)對(duì)年銷售量

y

(單位:千萬件)的影響，統(tǒng)計(jì)了近10年投入的年研發(fā)費(fèi)用

xi與年銷售量

yi(i=1,2,???,10)的數(shù)據(jù)，得到散點(diǎn)圖如圖所示.(1)利用散點(diǎn)圖判斷

y

=

a+bx

和

y

=

c?xd(其中

c，d

均為大于

0

的常數(shù))哪一個(gè)更適合作為年銷售量

y

和年研發(fā)費(fèi)用

x

的回歸方程模型(只要給出判斷即可，不必說明理由)；解：(1)由散點(diǎn)圖可知，選擇回歸模型

y=c?xd更合適.(2)對(duì)數(shù)據(jù)作出如下處理，令

ui=lnxi，vi=lnyi，得到相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值如表.

根據(jù)第(1)問的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求

y

關(guān)于

x

的回歸方程.(2)對(duì)

y=c?xd兩邊取對(duì)數(shù)，得lny=lnc+dlnx，即

v=lnc+du.由表中數(shù)據(jù)得即所以，y

關(guān)于

x

的回歸方程為

y

=

c?xd【變式3】某件產(chǎn)品的非原料成本y（元）與生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量x（千件）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下數(shù)據(jù):x12345678y1126144.53530.5282524

(1)用反比例函數(shù)模型求y關(guān)于x的回歸方程；(2)用相關(guān)系數(shù)判斷上述兩個(gè)模型哪一個(gè)擬合效果更好(精確到0.01)，并用其估計(jì)產(chǎn)量為10千件時(shí)每件產(chǎn)品的非原料成本；(1)用反比例函數(shù)模型求y關(guān)于x的回歸方程；(2)用相關(guān)系數(shù)判斷上述兩個(gè)模型哪一個(gè)擬合效果更好(精確到0.01)，并用其估計(jì)產(chǎn)量為10千件時(shí)每件產(chǎn)品的非原料成本；(1)指數(shù)函數(shù)型

y＝ebx＋a（y＝cebx）①兩邊取對(duì)數(shù)得lny＝lnebx＋a，即lny＝bx＋a.②令z＝lny，把原始數(shù)據(jù)(x，y)轉(zhuǎn)化為(x，z)，③根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b.(2)對(duì)數(shù)函數(shù)型y＝blnx＋a①設(shè)x′＝ln