高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)的應(yīng)用3.2函數(shù)模型及其應(yīng)用3.2.2函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例教學(xué)設(shè)計(jì)新人教A版必修1學(xué)校授課教師課時(shí)授課班級(jí)授課地點(diǎn)教具教材分析高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)的應(yīng)用，特別是3.2.2節(jié)函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例，緊密聯(lián)系實(shí)際生活，旨在幫助學(xué)生理解和運(yùn)用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題。本節(jié)課內(nèi)容與學(xué)生所學(xué)函數(shù)概念、性質(zhì)和圖像密切相關(guān)，通過(guò)具體實(shí)例分析，強(qiáng)化學(xué)生將理論知識(shí)應(yīng)用于實(shí)踐的能力，符合新課標(biāo)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維和解決問(wèn)題能力的培養(yǎng)目標(biāo)。核心素養(yǎng)目標(biāo)1.培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的能力。

2.提升學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的邏輯思維能力。

3.強(qiáng)化學(xué)生將數(shù)學(xué)模型應(yīng)用于實(shí)際情境的創(chuàng)新能力。

4.增進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)與生活、科技、社會(huì)等領(lǐng)域的聯(lián)系的認(rèn)識(shí)。教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)

①理解并掌握不同類型函數(shù)模型的特點(diǎn)及其在生活中的應(yīng)用。

②能夠根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇合適的函數(shù)模型，并能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)對(duì)模型進(jìn)行初步分析。

2.教學(xué)難點(diǎn)

①理解并靈活運(yùn)用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。

②分析函數(shù)模型時(shí)，如何準(zhǔn)確識(shí)別和提取問(wèn)題中的關(guān)鍵信息，構(gòu)建數(shù)學(xué)關(guān)系。

③在處理復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，如何運(yùn)用函數(shù)模型進(jìn)行有效決策和預(yù)測(cè)，并解釋其結(jié)果。教學(xué)方法與手段教學(xué)方法：

1.講授法：系統(tǒng)講解函數(shù)模型的基本概念和應(yīng)用實(shí)例，幫助學(xué)生建立知識(shí)框架。

2.討論法：引導(dǎo)學(xué)生針對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行小組討論，培養(yǎng)合作學(xué)習(xí)和批判性思維能力。

3.案例分析法：通過(guò)分析具體案例，讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何運(yùn)用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題。

教學(xué)手段：

1.多媒體教學(xué)：利用PPT展示函數(shù)圖像和模型，直觀展示函數(shù)變化規(guī)律。

2.實(shí)際數(shù)據(jù)應(yīng)用：引入現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)據(jù)，讓學(xué)生通過(guò)計(jì)算和模型分析，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的實(shí)用性。

3.在線教學(xué)平臺(tái)：利用在線資源，提供課后練習(xí)和討論空間，鞏固學(xué)習(xí)效果。教學(xué)實(shí)施過(guò)程1.課前自主探索

教師活動(dòng)：

發(fā)布預(yù)習(xí)任務(wù)：通過(guò)在線平臺(tái)或班級(jí)微信群，發(fā)布預(yù)習(xí)資料（如PPT、視頻、文檔等），明確預(yù)習(xí)目標(biāo)和要求。例如，要求學(xué)生預(yù)習(xí)函數(shù)模型的基本類型和例子。

設(shè)計(jì)預(yù)習(xí)問(wèn)題：圍繞“函數(shù)模型的應(yīng)用”課題，設(shè)計(jì)一系列具有啟發(fā)性和探究性的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生自主思考。如：“你能從生活中找到哪些可以用函數(shù)模型描述的現(xiàn)象？”

監(jiān)控預(yù)習(xí)進(jìn)度：利用平臺(tái)功能或?qū)W生反饋，監(jiān)控學(xué)生的預(yù)習(xí)進(jìn)度，確保預(yù)習(xí)效果。例如，通過(guò)查看學(xué)生提交的預(yù)習(xí)筆記或思維導(dǎo)圖來(lái)評(píng)估預(yù)習(xí)情況。

學(xué)生活動(dòng)：

自主閱讀預(yù)習(xí)資料：按照預(yù)習(xí)要求，自主閱讀預(yù)習(xí)資料，理解函數(shù)模型的基本類型和例子。

思考預(yù)習(xí)問(wèn)題：針對(duì)預(yù)習(xí)問(wèn)題，進(jìn)行獨(dú)立思考，記錄自己的理解和疑問(wèn)。例如，學(xué)生可能思考如何將身高與年齡的關(guān)系用函數(shù)模型表示。

提交預(yù)習(xí)成果：將預(yù)習(xí)成果（如筆記、思維導(dǎo)圖、問(wèn)題等）提交至平臺(tái)或老師處。

2.課中強(qiáng)化技能

教師活動(dòng)：

導(dǎo)入新課：通過(guò)展示實(shí)際生活中的函數(shù)模型案例（如天氣預(yù)報(bào)中的溫度變化），引出“函數(shù)模型的應(yīng)用”課題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

講解知識(shí)點(diǎn)：詳細(xì)講解函數(shù)模型的選擇、構(gòu)建和分析方法，結(jié)合實(shí)例幫助學(xué)生理解。例如，講解線性函數(shù)模型在描述直線關(guān)系中的應(yīng)用。

組織課堂活動(dòng)：設(shè)計(jì)小組討論，讓學(xué)生根據(jù)預(yù)習(xí)內(nèi)容，分析并解決實(shí)際問(wèn)題。如：“小組合作，選擇一個(gè)生活中的場(chǎng)景，構(gòu)建并分析一個(gè)函數(shù)模型?！?/p>

解答疑問(wèn)：針對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)中產(chǎn)生的疑問(wèn)，進(jìn)行及時(shí)解答和指導(dǎo)。例如，解答學(xué)生在構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)遇到的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

學(xué)生活動(dòng)：

聽講并思考：認(rèn)真聽講，積極思考老師提出的問(wèn)題。

參與課堂活動(dòng)：積極參與小組討論，體驗(yàn)函數(shù)模型在解決問(wèn)題中的應(yīng)用。

提問(wèn)與討論：針對(duì)不懂的問(wèn)題或新的想法，勇敢提問(wèn)并參與討論。

3.課后拓展應(yīng)用

教師活動(dòng)：

布置作業(yè)：布置與函數(shù)模型應(yīng)用相關(guān)的課后作業(yè)，如：“分析一家超市的銷售數(shù)據(jù)，構(gòu)建銷售量與價(jià)格的關(guān)系模型?！?/p>

提供拓展資源：提供與函數(shù)模型應(yīng)用相關(guān)的拓展資源，如相關(guān)書籍、在線課程或?qū)W術(shù)論文。

反饋?zhàn)鳂I(yè)情況：及時(shí)批改作業(yè)，給予學(xué)生反饋和指導(dǎo)，例如，指出學(xué)生在模型構(gòu)建和分析中的錯(cuò)誤，并給出改進(jìn)建議。

學(xué)生活動(dòng)：

完成作業(yè)：認(rèn)真完成老師布置的課后作業(yè)，鞏固學(xué)習(xí)效果。

拓展學(xué)習(xí)：利用老師提供的拓展資源，進(jìn)行進(jìn)一步的學(xué)習(xí)和思考，例如，研究更復(fù)雜的函數(shù)模型，如指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用。

反思總結(jié)：對(duì)自己的學(xué)習(xí)過(guò)程和成果進(jìn)行反思和總結(jié)，提出改進(jìn)建議，例如，思考如何將所學(xué)的函數(shù)模型應(yīng)用到其他學(xué)科中。教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

a.函數(shù)模型的歷史背景與演變：介紹函數(shù)模型的發(fā)展歷程，從簡(jiǎn)單的線性模型到復(fù)雜的非線性模型，以及它們?cè)诓煌瑢W(xué)科中的應(yīng)用。

b.不同類型的函數(shù)模型：詳細(xì)探討一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等常見函數(shù)模型的特點(diǎn)、圖像和性質(zhì)。

c.函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用案例：收集并整理各類實(shí)際應(yīng)用案例，如經(jīng)濟(jì)學(xué)中的供需模型、物理學(xué)中的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型、生物學(xué)中的種群增長(zhǎng)模型等。

d.函數(shù)模型的軟件工具：介紹MATLAB、Python、R等軟件在函數(shù)模型構(gòu)建、分析和可視化方面的應(yīng)用。

2.拓展建議：

a.閱讀相關(guān)書籍和文獻(xiàn)：推薦學(xué)生閱讀《數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》、《高等數(shù)學(xué)》等書籍，深入了解函數(shù)模型的理論和應(yīng)用。

b.參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽：鼓勵(lì)學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，通過(guò)實(shí)際案例分析，提高運(yùn)用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

c.開展小組研究項(xiàng)目：組織學(xué)生開展小組研究項(xiàng)目，選擇一個(gè)感興趣的實(shí)際問(wèn)題，運(yùn)用函數(shù)模型進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)。

d.利用在線資源進(jìn)行學(xué)習(xí)：推薦學(xué)生訪問(wèn)一些在線教育平臺(tái)，如Coursera、edX等，學(xué)習(xí)相關(guān)課程，拓寬知識(shí)面。

e.關(guān)注現(xiàn)實(shí)生活中的函數(shù)模型：引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注日常生活中的函數(shù)模型，如房?jī)r(jià)與地段、交通流量與時(shí)間等，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維。

f.制作函數(shù)模型演示文稿：要求學(xué)生制作函數(shù)模型演示文稿，展示其構(gòu)建和分析過(guò)程，提高學(xué)生的表達(dá)能力和溝通能力。

g.開展課堂討論與分享：組織學(xué)生進(jìn)行課堂討論與分享，交流各自在學(xué)習(xí)函數(shù)模型過(guò)程中的心得體會(huì)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

h.探索函數(shù)模型與其他學(xué)科的交叉應(yīng)用：引導(dǎo)學(xué)生探索函數(shù)模型在物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)等學(xué)科中的應(yīng)用，培養(yǎng)他們的跨學(xué)科思維。

i.參觀相關(guān)企業(yè)或?qū)嶒?yàn)室：組織學(xué)生參觀相關(guān)企業(yè)或?qū)嶒?yàn)室，了解函數(shù)模型在實(shí)際工程中的應(yīng)用，增強(qiáng)他們的實(shí)踐能力。

j.撰寫論文或報(bào)告：鼓勵(lì)學(xué)生撰寫論文或報(bào)告，總結(jié)自己在函數(shù)模型學(xué)習(xí)過(guò)程中的收獲和體會(huì)，提高他們的學(xué)術(shù)水平。反思改進(jìn)措施反思改進(jìn)措施（一）教學(xué)特色創(chuàng)新

1.互動(dòng)式教學(xué)：在課堂上，我嘗試了更多的互動(dòng)環(huán)節(jié)，比如小組討論、角色扮演等，讓學(xué)生在參與中學(xué)習(xí)，這樣的教學(xué)方式不僅提高了學(xué)生的積極性，也讓他們?cè)诤献髦袑W(xué)會(huì)了如何溝通和解決問(wèn)題。

2.案例教學(xué)：我引入了多個(gè)實(shí)際案例，讓學(xué)生通過(guò)分析案例來(lái)理解函數(shù)模型的應(yīng)用，這種方法讓學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)的實(shí)用性，也激發(fā)了他們的學(xué)習(xí)興趣。

反思改進(jìn)措施（二）存在主要問(wèn)題

1.學(xué)生基礎(chǔ)差異較大：在教學(xué)過(guò)程中，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)存在較大差異，這導(dǎo)致部分學(xué)生在理解函數(shù)模型時(shí)感到困難。

2.教學(xué)方式單一：雖然我嘗試了多種教學(xué)方法，但在實(shí)際操作中，我發(fā)現(xiàn)教學(xué)方式還是相對(duì)單一，缺乏針對(duì)不同學(xué)生的個(gè)性化教學(xué)。

3.評(píng)價(jià)方式不夠全面：目前的評(píng)價(jià)方式主要依賴于課堂表現(xiàn)和作業(yè)完成情況，缺乏對(duì)學(xué)生實(shí)際應(yīng)用能力的評(píng)估。

反思改進(jìn)措施（三）

1.個(gè)性化教學(xué)：針對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)差異，我將嘗試分層教學(xué)，為不同層次的學(xué)生提供適合他們的學(xué)習(xí)材料和指導(dǎo)，確保每個(gè)學(xué)生都能跟上教學(xué)進(jìn)度。

2.豐富教學(xué)手段：除了傳統(tǒng)的講授法，我還將引入更多互動(dòng)式和探究式的教學(xué)方法，如項(xiàng)目式學(xué)習(xí)、翻轉(zhuǎn)課堂等，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動(dòng)性。

3.完善評(píng)價(jià)體系：我將設(shè)計(jì)更加全面的評(píng)價(jià)體系，包括課堂表現(xiàn)、作業(yè)完成、小組合作、實(shí)際應(yīng)用等多個(gè)方面，以更全面地評(píng)估學(xué)生的學(xué)習(xí)成果。

4.加強(qiáng)與學(xué)生的溝通：我將定期與學(xué)生交流，了解他們的學(xué)習(xí)需求和困難，及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略，確保教學(xué)效果。

5.拓展校企合作：尋求與企業(yè)合作，為學(xué)生提供實(shí)習(xí)和實(shí)訓(xùn)機(jī)會(huì)，讓他們?cè)趯?shí)際工作中應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力。典型例題講解例題1：某商品的原價(jià)為200元，商家為了促銷，決定每降價(jià)10元，銷量增加20件。求商家降價(jià)x元時(shí)的利潤(rùn)函數(shù)，并求出最大利潤(rùn)及對(duì)應(yīng)的降價(jià)金額。

解答：

設(shè)降價(jià)x元后的售價(jià)為p元，則售價(jià)為200-10x元。銷量為20x件。利潤(rùn)為售價(jià)乘以銷量減去成本，即：

利潤(rùn)=(200-10x)*20x-200*20

化簡(jiǎn)得：

利潤(rùn)=-200x^2+4000x-4000

這是一個(gè)二次函數(shù)，開口向下，其頂點(diǎn)即為最大利潤(rùn)點(diǎn)。頂點(diǎn)的x坐標(biāo)為：

x=-b/(2a)=-4000/(2*-200)=10

將x=10代入利潤(rùn)函數(shù)得最大利潤(rùn)：

利潤(rùn)=-200*10^2+4000*10-4000=6000元

所以，最大利潤(rùn)為6000元，對(duì)應(yīng)的降價(jià)金額為10元。

例題2：某工廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，固定成本為1000元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品需要可變成本5元。若產(chǎn)品售價(jià)為20元，求生產(chǎn)x件產(chǎn)品時(shí)的總利潤(rùn)函數(shù)，并求出最大利潤(rùn)及對(duì)應(yīng)的生產(chǎn)數(shù)量。

解答：

總成本函數(shù)為固定成本加上可變成本，即：

總成本=1000+5x

總收入函數(shù)為售價(jià)乘以銷售數(shù)量，即：

總收入=20x

總利潤(rùn)函數(shù)為總收入減去總成本，即：

總利潤(rùn)=20x-(1000+5x)=15x-1000

這是一個(gè)一次函數(shù)，斜率為正，因此總利潤(rùn)隨著生產(chǎn)數(shù)量的增加而增加。最大利潤(rùn)發(fā)生在生產(chǎn)數(shù)量無(wú)限大時(shí)，但實(shí)際生產(chǎn)中不可能無(wú)限大，因此我們需要找到總利潤(rùn)增長(zhǎng)速度減慢的點(diǎn)。由于總利潤(rùn)函數(shù)是線性的，最大利潤(rùn)發(fā)生在總成本等于總收入的點(diǎn)，即：

15x-1000=20x

解得：

x=100

將x=100代入總利潤(rùn)函數(shù)得最大利潤(rùn)：

總利潤(rùn)=15*100-1000=500元

所以，最大利潤(rùn)為500元，對(duì)應(yīng)的生產(chǎn)數(shù)量為100件。

例題3：某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品需要原材料成本10元，加工成本5元，總成本為15元。若產(chǎn)品售價(jià)為20元，求生產(chǎn)x件產(chǎn)品時(shí)的總利潤(rùn)函數(shù)，并求出最大利潤(rùn)及對(duì)應(yīng)的生產(chǎn)數(shù)量。

解答：

總成本函數(shù)為固定成本加上可變成本，即：

總成本=15x

總收入函數(shù)為售價(jià)乘以銷售數(shù)量，即：

總收入=20x

總利潤(rùn)函數(shù)為總收入減去總成本，即：

總利潤(rùn)=20x-15x=5x

這是一個(gè)一次函數(shù)，斜率為正，因此總利潤(rùn)隨著生產(chǎn)數(shù)量的增加而增加。最大利潤(rùn)發(fā)生在生產(chǎn)數(shù)量無(wú)限大時(shí)，但實(shí)際生產(chǎn)中不可能無(wú)限大，因此我們需要找到總利潤(rùn)增長(zhǎng)速度減慢的點(diǎn)。由于總利潤(rùn)函數(shù)是線性的，最大利潤(rùn)發(fā)生在總成本等于總收入的點(diǎn)，即：

5x=20x

解得：

x=4

將x=4代入總利潤(rùn)函數(shù)得最大利潤(rùn)：

總利潤(rùn)=5*4=20元

所以，最大利潤(rùn)為20元，對(duì)應(yīng)的生產(chǎn)數(shù)量為4件。

例題4：某商店銷售一種商品，每件商品的進(jìn)價(jià)為50元，售價(jià)為100元。若銷售量為x件，求銷售利潤(rùn)函數(shù)，并求出最大利潤(rùn)及對(duì)應(yīng)的銷售量。

解答：

銷售利潤(rùn)為售價(jià)減去進(jìn)價(jià)，即：

銷售利潤(rùn)=100-50=50元/件

銷售利潤(rùn)函數(shù)為銷售利潤(rùn)乘以銷售量，即：

銷售利潤(rùn)函數(shù)=50x

這是一個(gè)一次函數(shù)，斜率為正，因此銷售利潤(rùn)隨著銷售量的增加而增加。最大利潤(rùn)發(fā)生在銷售量無(wú)限大時(shí)，但實(shí)際銷售中不可能無(wú)限大，因此我們需要找到銷售利潤(rùn)增長(zhǎng)速度減慢的點(diǎn)。由于銷售利潤(rùn)函數(shù)是線性的，最大利潤(rùn)發(fā)生在銷售量等于進(jìn)價(jià)與售價(jià)之比時(shí)，即：

50x=100

解得：

x=2

將x=2代入銷售利潤(rùn)函數(shù)得最大利潤(rùn)：

銷售利潤(rùn)=50*2=100元

所以，最大利潤(rùn)為100