8．4空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系【題型歸納目錄】題型一：平面的概念及其表示題型二：平面的確定題型三：點線共面題型四：三點共線題型五：三線共點問題題型六：截面問題題型七：直線與直線的位置關(guān)系題型八：異面直線所成的角題型九：直線與平面的位置關(guān)系題型十：平面與平面的位置關(guān)系【思維導圖】【知識點梳理】知識點一、平面的基本概念1、平面的概念：“平面”是一個只描述而不定義的原始概念，常見的桌面、黑板面、平靜的水面等都給我們以平面的形象．幾何里的平面就是從這些物體中抽象出來的，但是，幾何里的平面是無限延展的．知識點詮釋：（1）“平面”是平的（這是區(qū)別“平面”與“曲面”的依據(jù)）；（2）“平面”無厚薄之分；（3）“平面”無邊界，它可以向四周無限延展，這是區(qū)別“平面”與“平面圖形”的依據(jù)．2、平面的畫法：通常畫平行四邊形表示平面．知識點詮釋：（1）表示平面的平行四邊形，通常把它的銳角畫成，橫邊長是其鄰邊的兩倍；（2）兩個相交平面的畫法：當一個平面的一部分被另一個平面遮住時，把被遮住的部分的線段畫為虛線或者不畫；3、平面的表示法：（1）用一個希臘字母表示一個平面，如平面、平面、平面等；（2）用表示平面的平行四邊形的四個字母表示，如平面；（3）用表示平面的平行四邊形的相對兩個頂點的兩個字母表示，如平面或者平面；4、點、直線、平面的位置關(guān)系：（1）點A在直線a上，記作；點A在直線a外，記作；（2）點A在平面上，記作；點A在平面外，記作；（3）直線在平面內(nèi)，記作；直線不在平面內(nèi)，記作．知識點二、平面的基本性質(zhì)平面的基本性質(zhì)即書中的三個公理，它們是研究立體幾何的基本理論基礎(chǔ)．1、公理1：（1）文字語言表述：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)；（2）符號語言表述：，，，；（3）圖形語言表述：知識點詮釋：公理1是判斷直線在平面內(nèi)的依據(jù)．證明一條直線在某一平面內(nèi)，只需證明這條直線上有兩個不同的點在該平面內(nèi)．“直線在平面內(nèi)”是指“直線上的所有點都在平面內(nèi)”．2、公理2：（1）文字語言表述：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面；（2）符號語言表述：、、三點不共線有且只有一個平面，使得，，；（3）圖形語言表述：知識點詮釋：公理2的作用是確定平面，是把空間問題化歸成平面問題的重要依據(jù)．它還可用來證明“兩個平面重合”．特別要注意公理2中“不在一條直線上的三點”這一條件．“有且只有一個”的含義可以分開來理解．“有”是說明“存在”，“只有一個”說明“唯一”，所以“有且只有一個”也可以說成“存在”并且“唯一”，與確定同義．（4）公理2的推論：①過一條直線和直線外一點，有且只有一個平面；②過兩條相交直線，有且只有一個平面；③過兩條平行直線，有且只有一個平面．（5）作用：確定一個平面的依據(jù)．3、公理3：（1）文字語言表述：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線；（2）符號語言表述：且；（3）圖形語言表述：知識點詮釋：公理3的作用是判定兩個平面相交及證明點在直線上的依據(jù)．知識點三、點線共面的證明所謂點線共面問題就是指證明一些點或直線在同一個平面內(nèi)的問題．1、證明點線共面的主要依據(jù)：（1）如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點都在這個平面內(nèi)（公理1）；②經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面（公理2及其推論）．2、證明點線共面的常用方法：（1）證明幾點共面的問題可先取三點（不共線的三點）確定一個平面，再證明其余各點都在這個平面內(nèi)；（2）證明空間幾條直線共面問題可先取兩條（相交或平行）直線確定一個平面，再證明其余直線均在這個平面內(nèi)．知識點四、證明三點共線問題所謂點共線問題就是證明三個或三個以上的點在同—條直線上．1、證明三點共線的依據(jù)是公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們還有其他的公共點，且所有這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線．也就說一個點若是兩個平面的公共點，則這個點在這兩個平面的交線上．對于這個公理應進一步理解下面三點：①如果兩個相交平面有兩個公共點，那么過這兩點的直線就是它們的交線；②如果兩個相交平面有三個公共點，那么這三點共線；③如果兩個平面相交，那么一個平面內(nèi)的直線和另一個平面的交點必在這兩個平面的交線上．2、證明三點共線的常用方法方法1：首先找出兩個平面，然后證明這三點都是這兩個平面的公共點．根據(jù)公理3知，這些點都在交線上．方法2：選擇其中兩點確定一條直線，然后證明另一點也在其上．知識點五、證明三線共點問題所謂線共點問題就是證明三條或三條以上的直線交于一點．1、證明三線共點的依據(jù)是公理3．2、證明三線共點的思路：先證兩條直線交于一點，再證明第三條直線經(jīng)過這點，把問題轉(zhuǎn)化為證明點在直線上的問題．知識點六、異面直線1、定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線．2、畫法：3、兩異面直線所成角的常用方法平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面直線所成的角．知識點七、空間兩條直線的位置關(guān)系位置關(guān)系共面情況有無公共點相交在同一平面內(nèi)有且只有一個公共點平行在同一平面內(nèi)沒有公共點異面不同在任何一個平面內(nèi)沒有公共點知識點八、直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形表示符號表示公共點直線a在平面α內(nèi)有無數(shù)個公共點直線a與平面α相交有且只有一個公共點直線a與平面α平行無公共點知識點九、平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形表示符號表示公共點兩平面平行無公共點兩平面相交有無數(shù)個公共點，這些點在一條直線上【典型例題】題型一：平面的概念及其表示【例1】點A在直線l上，而直線l在平面β上．用集合符號表示為（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】（三種語言轉(zhuǎn)換的注意事項）（1）用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言表示，再用符號語言表示．（2）符號語言的意義．如點與直線的位置關(guān)系只能用“∈”或“?”，直線與平面的位置關(guān)系只能用“?”或“?”．（3）由符號語言或文字語言畫相應的圖形時，要注意把被遮擋的部分畫成虛線．【變式1-1】（2025·高二·上?！ふn后作業(yè)）若一直線a在平面上，則正確的作圖是（

）A． B．C． D．【變式1-2】（2025·高一·北京房山·期末）“點A在直線l上，l在平面內(nèi)”用數(shù)學符號表示為（

）A．， B．，C．， D．，【變式1-3】（2025·高一·全國·專題練習）如圖所示的平行四邊形表示的平面不能記為（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面題型二：平面的確定【例2】（2025·高一·河北石家莊·期中）有下列四個判斷：①兩條相交直線確定一個平面；②兩條平行直線確定一個平面；③三個點確定一個平面；④一條直線和一點確定一個平面.正確的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式2-1】（2025·四川內(nèi)江·三模）三個不互相重合的平面將空間分成個部分，則的最小值與最大值之和為（

）A．11 B．12 C．13 D．14【變式2-2】（2025·廣東廣州·模擬預測）三個不互相重合的平面將空間分成個部分，則不可能是（

）A． B． C． D．【變式2-3】（2025·高一·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習）下列命題中正確的是（

）A．過三點確定一個圓B．兩個相交平面把空間分成四個區(qū)域C．三條直線兩兩相交，則確定一個平面D．四邊形一定是平面圖形題型三：點線共面【例3】（2025·高二·上?！て谥校┰谡襟w中，、分別為與的中點，求證：、、、四點共面【方法技巧與總結(jié)】（證明點線共面問題的常用方法）（1）納入法：先由部分直線確定一個平面，再證明其他直線在這個平面內(nèi)．（2）重合法：先說明一些直線在一個平面內(nèi)，另一些直線在另一個平面內(nèi)，再證明兩個平面重合．【變式3-1】（2025·高二·上?！るA段練習）已知：，求證：直線共面于.

【變式3-2】（2025·高三·全國·專題練習）如圖，在四棱錐中，，，，是的中點，分別在上，且．證明：四點共面；【變式3-3】（2025·高三·全國·專題練習）如圖，在正四棱柱中，，，點分別在棱，，，上，，，．證明：點在平面中.【變式3-4】（2025·高二·上?！るA段練習）如圖，在四面體中，、分別是、的中點，、分別在、上，且．(1)求證：、、、四點共面；(2)設與交于點，求證：、、三點共線．題型四：三點共線【例4】（2025·高一·全國·專題練習）已知與所在平面相交，并且交于一點.若，求證:共線.【變式4-1】（2025·高一·全國·課后作業(yè)）如圖所示，，，，與，分別在平面的兩側(cè)，，．求證：，，三點共線.【變式4-2】（2025·高一·江蘇·專題練習）如圖所示，在正方體中，分別為上的點且．求證：點三點共線．

【變式4-3】（2025·高一·全國·課后作業(yè)）如圖所示，已知四面體中，E，F(xiàn)分別是AB，AD上的點，G，H分別是BC，CD上的點，且四邊形是以EF，GH為底的梯形．求證：直線EG，F(xiàn)H，AC相交于同一點．題型五：三線共點問題【例5】（2025·高二·上?！るA段練習）如圖，在正方體中，點、分別是、的中點．求證：

(1)直線和在同一平面上；(2)直線、和交于一點．【方法技巧與總結(jié)】（證明多點共線、多線共點的常用方法）（1）證明三線共點常用的方法：先證明兩條直線相交于一點，然后證明這個點在兩個平面內(nèi)，第三條線是這兩個平面的交線，于是該點在第三條直線上，從而得到三線共點．也可以先證明a，b相交于一點A，b與c相交于一點B，再證明A，B是同一點，從而得到a，b，c三線共點．（2）類比線共點的證明方法，可得到三點共線的證明方法：①首先找出兩個平面的交線，然后證明這三點都是這兩個平面的公共點，根據(jù)公理3，可推知這些點都在交線上，即三點共線．②選擇其中兩點確定一條直線，然后證明第三個點也在這條直線上．【變式5-1】（2025·高三·全國·專題練習）如圖，在正四棱臺中，分別為棱，，，上的點.已知，，，，正四棱臺的高為6.證明：直線，，相交于同一點.【變式5-2】（2025·高一·安徽合肥·期中）如圖，正四棱柱.(1)請在正四棱柱中，畫出經(jīng)過P、Q、R三點的截面（無需證明）；(2)若Q、R分別為中點，證明：AQ、CR、三線共點.題型六：截面問題【例6】如圖，正方體的棱長為a，M、N分別是、AD的中點，P在上且滿足，過M、N、P三點作正方體的截面．

【變式6-1】（2025·高三·安徽·階段練習）如圖，在棱長為的正方體中，，分別是，中點，過，，三點的平面與正方體的下底面相交于直線.

(1)畫出直線的位置，并說明作圖依據(jù)；(2)正方體被平面截成兩部分，求較小部分幾何體的體積.【變式6-2】（2025·高一·遼寧·期末）如圖，直四棱柱的底面為正方形，為的中點．(1)請在直四棱柱中，畫出經(jīng)過三點的截面并寫出作法（無需證明）．(2)求截面的面積．【變式6-3】（2025·高一·湖北武漢·期末）如圖，棱長為2的正方體中，，分別為棱，的中點，

(1)求作過，，三點的截面（寫出作圖過程）；(2)求截面圖形的面積【變式6-4】（2025·高一·重慶北碚·階段練習）如圖，在棱長為6的正方體中，P為的中點，Q為的一個三等分點（靠近C）．

(1)經(jīng)過P，Q兩點作平面，平面截正方體所得截面可能是n邊形，請根據(jù)n的不同取值分別作出截面圖形（每種情況作一個代表類型，例如只需要畫一種，下面給了四幅圖，可以不用完，如果不夠請自行增加），保留作圖痕跡；

(2)若M為AB的中點，求過點P，Q，M的截面的面積．題型七：直線與直線的位置關(guān)系【例7】（2025·高二·云南·期末）如圖，在正方體中，直線與直線BD（

）A．異面 B．平行 C．相交且垂直 D．相交但不垂直【方法技巧與總結(jié)】（判定兩直線異面的常用方法）（1）定義法：由定義判斷兩直線不可能在同一平面內(nèi)；（2）排除法（反證法）：排除兩直線共面（平行或相交）的情況．【變式7-1】（2025·高一·上海嘉定·期中）已知點是平行六面體的面對角線上的動點，則下列直線中與恒為異面直線的是（

）A． B． C． D．【變式7-2】（2025·高二·重慶·階段練習）下列選項中，，，，分別是所在棱的中點，則這四個點共面的是（

）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①③④【變式7-3】（2025·上?！つM預測）如圖所示，在正方體中，點為線段上的動點，則下列直線中，始終與直線異面的是（

）A． B． C． D．題型八：異面直線所成的角【例8】（2025·高一·湖南岳陽·期末）在如圖所示的圓錐中，AB為底面圓O的直徑，C為的中點，，則異面直線AP與BC所成角的余弦值為．【方法技巧與總結(jié)】（兩異面直線所成角的常用方法）平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面直線所成的角．【變式8-1】（2025·高一·廣西桂林·期末）在正方體中，為的中點，則直線與所成角的余弦值為．【變式8-2】（2025·高一·四川德陽·期末）正方體的棱與體對角線所成角的正切值為．【變式8-3】（2025·高三·全國·專題練習）如圖，在四面體中，，，、分別為、中點，并且異面直線與所成的角為，則的長為．題型九：直線與平面的位置關(guān)系【例9】（2025·高一·全國·課后作業(yè)）直線a，b是異面直線，是不在a，b上的點，則下列結(jié)論成立的是（

）A．過A有且只有一個平面平行于a，b B．過至少有一個平面平行于a，bC．過有無數(shù)個平面平行于a，b D．過且平行于a，b的平面可能不存在【方法技巧與總結(jié)】（直線與平面位置關(guān)系的解題思路）解決此類問題首先要搞清楚直線與平面各種位置關(guān)系的特征，利用其定義作出判斷，要有畫圖意識，并借助空間想象能力進行細致的分析．【變式9-1】（2025·高一·北京通州·期末）如圖，在長方體中，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點平面 B．直線平面C．直線與直線是相交直線 D．直線與直線是異面直線【變式9-2】（2025·高二·浙江寧波·學業(yè)考試）如圖，在正方體中，直線與平面的位置關(guān)系為（

）A．直線在平面內(nèi) B．直線與平面相交但不垂直C．直線與平面相交且垂直 D．直線與平面平行【變式9-3】（2025·高一·北京·期末）過平面外一點，能做（

）條直線與平面平行.A．0 B．1 C．2 D．無數(shù)題型十：平面與平面的位置關(guān)系【例10】（2025·高一·全國·課后作業(yè)）在四棱臺中，平面與平面的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．平行C．不確定 D．異面【方法技巧與總結(jié)】（平面與平面位置關(guān)系的解題思路）判斷線線、線面、面面的位置關(guān)系，要牢牢地抓住其特征與定義、要有畫圖的意識，結(jié)合空間想象能力全方位、多角度地去考慮問題，作出判斷．常借助長方體模型進行判斷．【變式10-1】（2025·高二·吉林通化·期中）平面滿足則與的位置關(guān)系為（

）A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．以上都不對【變式10-2】（2025·高二·上海長寧·階段練習）平面與平面相交于直線l，點A、B在平面上，點C在平面上但不在直線l上，直線AB與直線l相交于點D．設A、B、C三點確定的平面為，則與的交線是（

）A．直線AC B．直線AB C．直線CD D．直線BC【變式10-3】（多選題）（2025·江蘇南京·一模）如圖，是長方體，是的中點，直線交平面于點M，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．四點共面 B．四點共面C．四點共面 D．三點共線

【強化訓練】1．兩條直線和一個平面所成的角相等是這兩條直線平行的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件2．如圖，在長方體中，已知為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．3．兩個相交平面畫法正確的是（

）A． B．C． D．4．下列選項中，，，，分別是所在棱的中點，則這四個點不共面的是（

）A． B．C． D．5．如圖，在正方體中，直線與的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．相交C．異面 D．以上都不是6．在直三棱